Giáo án xác xuất thống kê chương 2 biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 2

2.4.3 Hàm ĐLNN: * Trường hợp chiều: Y = ϕ(X) + X nhận giá trị x1 , x , ⇒ Y nhận giá trị y1 , y , + Xác suất P[Y = y j ] = ∑ pi ϕ( xi )= y j VD 2.18: Cho X có luật phân phối X −1 P X 0,1 0,2 0,3 0,4 Y = X Tìm luật pp * Trường hợp chiều: Z = ϕ(X, Y) + Tìm giá trị Z tương ứng với giá trị X Y + Xác suất P[Z = z k ] = ∑ pij ϕ ( x i ,y j ) = z k VD 2.19: Cho bảng ppxs đồng thời X Y Lập luật pp Z = 2X − Y + X Y 0,1 0,3 0,15 0,15 0,25 0,05 * Hàm mật độ số hàm ĐLNN hay dùng (trong thống kê) (giáo trình trang 69) 2.4.4 Các số đặc trưng * Mốt: Mod[X] - Với X rời rạc, Mod[X] giá trị X ứng với xác suất lớn (hay gọi giá trị tin nhất) - Với X liên tục, Mod[X] giá trị làm cho hàm mật độ pp f(x) đạt giá trị lớn * Kỳ vọng toán học: M(X) - Định nghĩa n  X rời rạc  ∑ x i pi  i=1 M(X) =  b  xf (x)dx X liên tục có ∫a hàm mật độ f(x) xác định [a,b] VD 2.20: Tính M(X) X −1 X 0,1 0,2 0,3 0,4 P - Ý nghĩa: M(X) giá trị trung bình (về mặt xác suất) X - Kỳ vọng hàm ĐLNN: Cho ĐLNN X hàm Y = ϕ(X) + Với X rời rạc: n M(Y) = M[ϕ(X)] = ∑ ϕ(x i )p i i =1 + Với X liên tục có hàm mật độ pp f(x) +∞ M(Y) = M[ϕ(X)] = ∫ ϕ(x)f (x)dx −∞ VD 2.21: Cho X có luật pp X P X M(X ) Tính M(2X+1), VD 2.22: X có hàm mật độ 1, < x ≤ f (x) =  0, trường hợp khác Tính M(X ) - Tính chất: i M(C)=C, C số ii M(CX)=C.M(X) iii M(X+Y)=M(X)+M(Y) iv M(XY)=M(X).M(Y) X Y độc lập (X Y độc lập X Y nhận giá trị độc lập nhau) * Phương sai D(X) độ lệch tiêu chuẩn σ(X) - Định nghĩa + Phương sai D(X) = M[X − M(X)] + Độ lệch tiêu chuẩn σ(X) = D(X) Trong thực hành, ta thường dùng cơng thức sau để tính phương sai 2 D(X) = M(X ) − [M(X)] VD 2.23: Tính D(X) X −1 P X 0,1 0,2 0,3 0,4 - Ý nghĩa: D(X) thông số đo mức độ phân tán X quanh kỳ vọng Trong kỹ thuật, D(X) đặc trưng cho độ sai số thiết bị, kinh doanh đặc trưng cho độ rủi ro định - Tính chất: i D(C)=0, C số D(CX) = C D(X) ii iii D(X+Y)=D(X)+D(Y) X, Y độc lập 2.4.5 Đặc trưng số VTNN - Kỳ vọng hàm VTNN: Cho VTNN (X,Y) có ppxs đồng thời P[X = x i , Y = y j ] = pij Z = ϕ(X, Y) hàm m n Kỳ vọng M(Z) = M[ϕ(X, Y)] = ∑∑ ϕ(x i , y j )p ij i =1 j=1 - Hiệp phương sai Cov(X, Y) = M[(X − µ1 )(Y − µ )] với µ1 = M(X), µ = M(Y), - Hệ số tương quan Cov(X, Y) M(XY) − M(X)M(Y) R XY = = σ(X).σ(Y) σ(X).σ(Y) * Tính chất: i | R XY |≤ | R XY |= ⇔ X Y liên hệ tuyến tính ii Nếu X Y độc lập R XY = VD 2.24: X Y có ppxs đồng thời X 0,4 0,15 0,3 0,35 0,8 0,05 0,12 0,03 Y a) Tìm ppxs X Y b) Tính hệ số tương quan 2.4.6 Đặc trưng số số luật phân phối * pp siêu bội X ∈ H(N, N A , n) - Kỳ vọng NA M(X) = np, p = N - Phương sai N−n D(X) = npq , q =1− p N −1 * pp nhị thức X ∈ B(n, p) - Mốt Mod[X]=k với k nguyên không âm thỏa np − q ≤ k ≤ np − q + - Kỳ vọng M(X)=np - Phương sai D(X)=npq, q=1-p VD 2.25: Xác suất bắn trúng 0,7 Bắn 25 phát Số lần có khả bắn trúng bao nhiêu? * pp Poisson X ∈ P(λ ) M(X) = D(X) = λ * pp chuẩn X ∈ N(µ, σ ) - Mốt Mod[X] = µ - Kỳ vọng M[X] = µ D[X] = σ - Phương sai: * Bài tập: 68, 74, 80 sách Bài tập  ... Y + Xác suất P[Z = z k ] = ∑ pij ϕ ( x i ,y j ) = z k VD 2. 19: Cho bảng ppxs đồng thời X Y Lập luật pp Z = 2X − Y + X Y 0,1 0,3 0,15 0,15 0 ,25 0,05 * Hàm mật độ số hàm ĐLNN hay dùng (trong thống. .. lớn * Kỳ vọng toán học: M(X) - Định nghĩa n  X rời rạc  ∑ x i pi  i=1 M(X) =  b  xf (x)dx X liên tục có ∫a hàm mật độ f(x) xác định [a,b] VD 2. 20: Tính M(X) X −1 X 0,1 0 ,2 0,3 0,4 P - Ý... tục có hàm mật độ pp f(x) +∞ M(Y) = M[ϕ(X)] = ∫ ϕ(x)f (x)dx −∞ VD 2. 21: Cho X có luật pp X P X M(X ) Tính M(2X+1), VD 2. 22: X có hàm mật độ 1, < x ≤ f (x) =  0, trường hợp khác Tính M(X ) - Tính