slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất

VÍ DỤQ uan sát tại một siêu thị khi siêu thị này mở cửa, gọi X là số người vào mua hàng tại siêu thị này trong một ngày thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc... VÍ DỤ•Chọn ngẫu nhiên m

Chương 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

QUY LUẬT PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT

§1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

(BIẾN NGẪU NHIÊN)

1 ĐỊNH NGHĨA

2 PHÂN LOẠI

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

● Ta thường biểu thị đại lượng

ngẫu nhiên bởi các ký hiệu X, Y,…



ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Mỗi biến cố sơ cấp có tương

R

2 PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG

NGẪU NHIÊN

Ta xem đại lượng ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian mẫu S vào tập số thực R.

• Nếu X(S) là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được ta nói X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

• Nếu X(S) chứa một khoảng số (khoảng (a; b) với a < b) ta nói X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục

VÍ DỤ

Q uan sát tại một siêu thị khi

siêu thị này mở cửa, gọi X

là số người vào mua hàng tại siêu thị này trong một ngày thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

VÍ DỤ

•Chọn ngẫu nhiên một bóng đèn do

một công ty sản xuất, gọi Y là tuổi thọ của bóng đèn đó thì Y là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

•Chọn ngẫu nhiên một con gà trong

một đàn gà, gọi Z là trọng lượng của con gà đó thì Z cũng được xem là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT

1 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

2 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

1 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận các giá trị x1, x2, …, xn

Xác suất để X nhận giá trị

xi là pi, ta ký hiệu

P(X = xi) = pi

(i = 1, 2, …, n)

BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

p = 1

BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Bảng này được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, nó cho biết quy luật phân phối xác suất của X.

VÍ DỤ

Một lô hàng có 10 sản phẩm,

trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng này Tìm quy luật phân phối xác suất của

số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm được lấy ra

Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm được lấy ra X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2

2 2 2 10

C 1 P(X = 0) = =

C 45

1 1

8 2 2

28 45

2 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

Để mô tả quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc ta dùng bảng phân phối xác suất, trong trường hợp đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta dùng hàm mật độ xác suất.

2 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

Hàm mật độ xác suất f(x) của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nào đó, thỏa mãn các điều kiện sau:

2 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

Ví dụ Nhóm nghiên cứu thị trường

của một công ty điện thoại khảo sát 120 thuê bao ở một địa phương

mà công ty này mới phủ sóng trong thời gian gần đây Thời gian sử dụng mobile phone của các thuê bao này trong một tháng được khảo sát cho ở bảng sau:

2 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

§3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI

LƯỢNG NGẪU NHIÊN

§3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

nhiên ta không chỉ cần biết quy luật phân phối xác suất của nó (dưới dạng bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất hay hàm phân phối xác suất) mà còn cần quan tâm đến những thông tin cô đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng của đại lượng ngẫu nhiên.

1 KỲ VỌNG TOÁN

Ví dụ Một công ty có 600 nhân viên,

bảng sau đây cho biết thu nhập trong một tháng của nhân viên trong công ty.

Thu nhập

(triệu đồng/tháng) 3 3,5 4 5 6 10

Số người có

1 KỲ VỌNG TOÁN

Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của

công ty, gọi X là thu nhập một tháng của nhân viên này thì X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

P 600 48 100 600 150 600 600 200 600 60 600 42

1 KỲ VỌNG TOÁN

48 100 150 200 60 42 E(X) = 3× + 3,5× + 4× + 5× + 6× + 10×

600 600 600 600 600 600

= 4,79 (triệu đồng/tháng)

KỲ VỌNG TOÁN

Giả sử các yếu tố khác không có sự khác biệt đáng

kể và công ty này chỉ quan tâm đến chi phí sửa chữa hàng năm, hỏi nên chọn mua máy do công ty nào sản xuất?

KỲ VỌNG TOÁN

 Gọi X là chi phí sửa chữa của một

máy của công ty AP (triệu đồng/ năm) Ta xem X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

 Ta có: E(X) = 1,01

X 0 7 10,5 15,5

P 0,9 0,04 0,04 0,02

KỲ VỌNG TOÁN

 Gọi Y là chi phí sửa chữa của một máy của công ty TB (triệu đồng/năm) Ta xem Y là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

 Ta có: E(Y) = 1,025

Y 0 6,5 9,5 14

P 0,9 0,02 0,05 0,03

KỲ VỌNG TOÁN

 Vì 1,01 < 1,025

Ta chọn mua máy của công ty AP

TÍNH CHẤT CỦA KỲ VỌNG

(a) E(aX + b) = aE(X) + b

(b) E(X + Y) = E(X) + E(Y)

E(X1 + X2 + … + Xn)

= E(X1)+E(X2)+…+ E(Xn) (c) Nếu X, Y độc lập thì

E(XY) = E(X).E(Y)

2 PHƯƠNG SAI

 Mặc dù E(X) = E(Y) = E(Z) = 0

nhưng các đại lượng ngẫu nhiên này rất khác biệt nhau.

2 PHƯƠNG SAI

Định nghĩa

Phương sai của đại lượng

ngẫu nhiên X, ký hiệu là Var(X), được xác định như sau:

Ý NGHĨA CỦA PHƯƠNG SAI

Phương sai cho ta ý niệm

về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn.

2 PHƯƠNG SAI

Ví dụ Một nhà đầu tư có 3 dự

án Gọi Xi (i = 1, 2, 3) là lợi nhuận khi thực hiện dự án thứ i, còn giá trị âm chỉ số tiền bị thua lỗ Qua nghiên cứu và bằng kinh nghiệm, nhà đầu tư có ước lượng như sau:

PHƯƠNG SAI

 Nếu chọn một trong 3 dự án

trên, theo bạn nên chọn dự

án nào?

TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG SAI

(a) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên

và a, b là hai hằng số thì:

Var(aX + b) = a 2 Var(X) (b) Nếu hai đại lượng ngẫu nhiên X

và Y độc lập (và các phương sai hữu hạn) thì:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG SAI

(c) Nếu các đại lượng ngẫu nhiên

4 MODE

 Mode của một đại lượng ngẫu nhiên

rời rạc X là giá trị, mà X nhận giá trị đó tương ứng với xác suất lớn nhất trong bảng phân phối xác suất của nó, ký hiệu là Mod(X) Người ta cũng gọi Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X

 Ví dụ

Mod(X) = 1

P 0,1 0,4 0,3 0,2

4 MODE

 Mode của một đại lượng ngẫu nhiên

liên tục X là giá trị mà hàm mật độ xác suất của X đạt cực đại tại giá trị đó.

Mod(X) = 