Giáo án xác xuất thống kê chương 2 biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3

b Luật số lớn Chebyshev: Nếu dãy ĐLNN độc lập từng đôi, có phương sai thì * Hệ quả luật số lớn Bernoulli: Nếu là tần suất xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử độc lập với pA=p thì X

2.5 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm

2.5.1 Khái niệm hội tụ của dãy ngẫu nhiên

Cho dãy và X là các ĐLNN

a) Dãy hội tụ hầu chắc chắn về X, ký hiệu

, nếu

b) Dãy hội tụ theo trung bình toàn phương

về X, ký hiệu , nếu

X ,X , ,X ,

n

(X )

h.c.c n

X    X

n n

 

n

(X )

2

L n

n

c) Dãy hội tụ theo xác suất về X, ký hiệu

, nếu

d) Dãy hội tụ theo phân phối về X, ký hiệu

, trong các trường hợp sau

- Rời rạc: và X đều rời rạc có cùng tập

giá trị T thì

n

(X )

P n

X   X

n n

       

n

(X )

F n

X   X

n

(X )

F n

n n

X X

 

 

- Liên tục: X liên tục, còn tùy ý thì

hay

2.5.2 Luật số lớn

a) Bất đẳng thức Chebyshev: Nếu ĐLNN X có

kỳ vọng M(X) và phương sai D(X) hữu hạn thì

n

(X )

F n

n n

X X

 

 

n

n

lim F (x) F (x) x

2

D(X)

P X M(X)    ,   0



b) Luật số lớn Chebyshev:

Nếu dãy ĐLNN độc lập từng đôi, có phương sai thì

* Hệ quả (luật số lớn Bernoulli):

Nếu là tần suất xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử độc lập với p(A)=p thì

X ,X , ,X ,

n

D(X ) C, n 

P

n

f (A)

P n

f (A)   p(A) p

* Ý nghĩa: Luật số lớn Bernoulli cho ta cơ sở

định nghĩa xác suất theo thống kê

2.5.3 Định lý liên hệ giữa siêu bội và nhị thức

Nếu , n cố định, còn N tăng

vô hạn và tỷ lệ tiến tới một giới hạn p khác

0 hay 1, thì

* Ý nghĩa trong thực hành:

a Cho , nếu N khá lớn, n rất nhỏ so với N thì với

A

X H(N, N ,n)

A

N N

F

X   B(n,p)

A

X H(N, N ,n)

X B(n,p) p N / N. A

b Khi N khá lớn so với n thì việc lấy n phần tử trong N phần tử theo phương thức có hoàn lại hay không hoàn lại là như nhau

VD 2.26: Một công ty XNK nhập 5000

thùng hóa chất, trong đó có 1000 thùng kém chất lượng Công ty này phân phối ngẫu nhiên cho một cửa hàng 10 thùng (không hoàn lại) Tìm xác suất để cửa hàng này nhận được 3

thùng hóa chất kém chất lượng

2.5.4 Định lý giới hạn Poisson

Cho Nếu số phép thử , còn

xác suất thắng lợi sao cho thì

* Ý nghĩa trong thực hành:

Nếu với n khá lớn, p khá bé thì với

VD 2.27: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,1%

Chọn ngẫu nhiên liên tiếp có hoàn lại 1000 hạt Tính xác suất để có đúng 2 hạt lép.

F

X   P( ).

X B(n,p)

X P( )   np

2.5.5 Định lý giới hạn Moivre-Laplace (giáo

trình trang 105-107)

* Ý nghĩa trong thực hành:

Nếu với n đủ lớn, p không quá gần 0 và 1 thì

với và là hàm mật

độ pp chuẩn N(0,1) (tra bảng A)

X B(n,p)

k

k np t

npq





2

t 2

1

2







k

1

npq

VD 2.28: Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ loại 1

là 20% Cho máy sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để trong 100 sản phẩm đó có

a) 19 sản phẩm loại 1

b) không ít hơn 19 sản phẩm loại 1

VD 2.29: Trong một thị trấn có 40% người dân

nghiện thuốc lá Chọn ngẫu nhiên 300 người dân (các lần chọn độc lập) để phỏng vấn Tính xác suất để trong 300 người dân được chọn có không quá 140 người nghiện thuốc lá

2.5.5 Định lý giới hạn trung tâm

Nếu dãy các ĐLNN cùng phân phối xác suất với thì

Như vậy, với n đủ lớn , có thể xem

X ,X , ,X ,

2

M(X ) , D(X ) 

n

i

F

i 1 n

1

X n

n



 





(n 30)

n

2



VD 2.30: Trọng lượng của một loại sản

phẩm là ĐLNN có trung bình 50g, độ lệch tiêu chuẩn 10g Các sản phẩm được đóng thành

hộp, mỗi hộp 100 sản phẩm Hộp có trọng

lượng trên 4,85kg là đạt tiêu chuẩn Tính tỷ lệ hộp đạt tiêu chuẩn

Kiểm tra giữa kỳ