Giáo án xác xuất thống kê chương 2 biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3

2.5 Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm 2.5.1 Khái niệm hội tụ dãy ngẫu nhiên Cho dãy X1 , X , , X n , X ĐLNN a) Dãy (X n ) hội tụ hầu chắn X, ký hiệu h.c.c X n  →X , P  lim X n = X  =  n→∞  b) Dãy (X n ) hội tụ theo trung bình tồn phương L2 X, ký hiệu X n → X , lim M ( X n − X ) = n →∞ c) Dãy (X n ) hội tụ theo xác suất X, ký hiệu P X n  → X , lim P  X n − X ≥ ε  = ∀ε > n →∞ d) Dãy (X n ) hội tụ theo phân phối X, ký hiệu F X n  →X trường hợp sau (X, ntrong ) F X  X rời rạc có tập - Rời rạc: nvà X→ giá⇔ trị lim T P [ X = x ] = P [ X = x ] ∀x ∈ T n →∞ n - Liên tục: X liên tục, (X n ) tùy ý F X n  →X ⇔ lim P [ X n < x ] = P [ X < x ] hay n →∞ lim FX n (x) = FX (x) n →∞ ∀x ∈ ¡ ∀x ∈ ¡ 2.5.2 Luật số lớn a) Bất đẳng thức Chebyshev: Nếu ĐLNN X có kỳ vọng M(X) phương sai D(X) hữu hạn D(X) P  X − M(X) ≥ ε  ≤ , ∀ε > ε b) Luật số lớn Chebyshev: Nếu dãy ĐLNN X1 , X , , X n , độc lập đơi, có phương sai D(X n ) ≤ C, ∀n n 1 n  P →0  n ∑ X i − n ∑ M(X i ) ÷ i =1  i=1  * Hệ (luật số lớn Bernoulli): Nếu f n (A) tần suất xuất biến cố A dãy n phép thử độc lập với p(A)=p P f n (A)  → p(A) = p * Ý nghĩa: Luật số lớn Bernoulli cho ta sở định nghĩa xác suất theo thống kê 2.5.3 Định lý liên hệ siêu bội nhị thức Nếu X ∈ H(N, N A , n), n cố định, N NA tăng vô hạn tỷ lệ N tiến tới giới hạn p F  → B(n, p) khác hay 1,Xthì * Ý nghĩa thực N hành: X ∈ H(N, A , n) p=N N X ∈ B(n,, p) N a Cho lớn, A /n nhỏ so với N với b Khi N lớn so với n việc lấy n phần tử N phần tử theo phương thức có hồn lại hay khơng hồn lại VD 2.26: Một cơng ty XNK nhập 5000 thùng hóa chất, có 1000 thùng chất lượng Công ty phân phối ngẫu nhiên cho cửa hàng 10 thùng (khơng hồn lại) Tìm xác suất để cửa hàng nhận thùng hóa chất chất lượng 2.5.4 Định lý giới hạn Poisson Cho X ∈ B(n, p) Nếu số phép thử n → ∞ , xác suất thắng lợi P(A) → cho np = λ F → P(λ ) thìX  * Ý nghĩa thực hành: Nếu X ∈ B(n, p) với n lớn, p bé λ = np X ∈ P(λ ) với VD 2.27: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép 0,1% Chọn ngẫu nhiên liên tiếp có hồn lại 1000 hạt Tính xác suất để có hạt lép 2.5.5 Định lý giới hạn Moivre-Laplace (giáo trình trang 105-107) * Ý nghĩa thực hành: Nếu X ∈ B(n, p) với n đủ lớn, p khơng q gần X ∈ N np, npq , P[X = k] ≈ f (t k ) npq t2 −2 k − np e hàm mật với t k = f (t) = 2π npq ( ( ) ) độ pp chuẩn N(0,1) (tra bảng A) VD 2.28: Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ loại 20% Cho máy sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để 100 sản phẩm có a) 19 sản phẩm loại b) khơng 19 sản phẩm loại VD 2.29: Trong thị trấn có 40% người dân nghiện thuốc Chọn ngẫu nhiên 300 người dân (các lần chọn độc lập) để vấn Tính xác suất để 300 người dân chọn có khơng 140 người nghiện thuốc 2.5.5 Định lý giới hạn trung tâm Nếu dãy ĐLNN X1 , X , , X n , phân phối xác suất với M(X n ) = µ, D(X n ) = σ n Xi − µ ∑ n i=1 F Sn =  → N(0,1) σ n Như vậy, với n đủ lớn (n ≥ 30) , xem n ∑ X ∈ N(nµ, nσ ) i =1 i VD 2.30: Trọng lượng loại sản phẩm ĐLNN có trung bình 50g, độ lệch tiêu chuẩn 10g Các sản phẩm đóng thành hộp, hộp 100 sản phẩm Hộp có trọng lượng 4,85kg đạt tiêu chuẩn Tính tỷ lệ hộp đạt tiêu chuẩn Kiểm tra kỳ ... (t k ) npq t2 ? ?2 k − np e hàm mật với t k = f (t) = 2? ? npq ( ( ) ) độ pp chuẩn N(0,1) (tra bảng A) VD 2. 28: Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ loại 20 % Cho máy sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để... loại VD 2. 29: Trong thị trấn có 40% người dân nghiện thuốc Chọn ngẫu nhiên 30 0 người dân (các lần chọn độc lập) để vấn Tính xác suất để 30 0 người dân chọn có khơng q 140 người nghiện thuốc 2. 5.5... np X ∈ P(λ ) với VD 2. 27: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép 0,1% Chọn ngẫu nhiên liên tiếp có hồn lại 1000 hạt Tính xác suất để có hạt lép 2. 5.5 Định lý giới hạn Moivre-Laplace (giáo trình trang 105-107)