Chương 2.BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐIBài 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM & CÁC TÍNH CHẤT

Chương BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI Bài MỘT SỐ KHÁI NIỆM & CÁC TÍNH CHẤT 1.1 Khái niệm 1: Biến ngẫu nhiên biến số mà giá trị nhận số mà ta khơng nói trước Tức giá trị biến số nhận số ngẫu nhiên Ví dụ 1: Gieo xúc sắc giá trị mà nhận 1; 2; 3; 4; 5; 6, khơng có giá trị nói trước Vậy ta gọi X số chấm xuất mặt xúc sắc X biến ngẫu nhiên 1.2 Định nghĩa 1: Gọi  tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử Ánh xạ X từ  vào R gọi biến ngẫu nhiên Tức phép đặt tương ứng biến cố sơ cấp A với số thực X(A) gọi biến ngẫu nhiên Ví dụ 1: Gieo xúc sắc Tập biến cố sơ cấp    A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6  Ánh xạ X :  � R Ai a X ( Ai )  i Là biến ngẫu nhiên Ví dụ 2: Trong hộp có 10 bi có bi đỏ bi xanh Chọn ngẫu nhiên bi từ hộp    A0 ; A1; A2 ; A3  Với Ai biến cố chọn bi mà có i bi đỏ Ánh xạ X : � R Ai a X ( Ai )  i Là biến ngẫu nhiên Để cho đơn giản ta cần gọi X số bi đỏ chọn số bi chọn, X biến ngẫu nhiên Ví dụ 3: Gọi X khỏang thời gian mà bóng đèn (hay thiết bị ) bị hỏng X đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị từ vô 1.3 Phân lọai biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên mà nhận giá trị đếm gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Chẵng hạn ví dụ 1, Biến ngẫu nhiên mà nhận giá trị không đếm gọi biến ngẫu nhiên liên tục Chẵng hạn ví dụ 1.4 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc: Là bảng gồm hai dòng: dòng ghi giá trị mà X nhận, dòng ghi xác suất mà X nhận giá trị x1 p1 X P X x2 p2 xn pn Trong pi  p[ X  xi ] Ví dụ 1: Gọi X số chấm xuất mặt gieo xúc sắc Ta có bảng phân phối xác suất sau: X pX 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ví dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp Gọi X số phẩm chọn Lập bảng phân phối xác suất X X nhận giá trị 0; 1; với xác suất C4 sau: p[ X  0]   C10 15 1 10 10 CC C p[ X  1]   ; p[ X  2]   C 15 C Từ ta có bảng phân phối xác suất X là: X X P 15 15 1.5 Tính chất bảng phân phối xác suất: i) p[a �X  b]  ii) a �xi b n �p[ X  x ]  i 1 � p[ X  x ] i i 1.6 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc: Là hàm số có miền xác định R xác định theo công thức sau: F ( x)  p[ X  x]  �p[ X  xi ] xi  x Ví dụ 1: Gọi X số chấm xuất mặt gieo xúc sắc Lập hàm phân phối xác suất X Ta có bảng phân phối xác suất X 1.10 Một số luật phân phối đặc biệt: 1.10.1 Phân phối nhị thức: a) Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli: Dãy n phép thử thỏa điều kiện sau gọi dãy phép thử Bernoulli i) Các phép thử độc lập ii) Trong phép thử ta quan tâm đến biến cố A Nếu A xảy gọi thành công iii) Xác suất thành công phép thử số p ( A)  p  Ví dụ: Gieo xúc sắc cân đối đồng chất 10 lần Gọi A biến cố xuất mặt chấm lần gieo Đây dãy phép thử Bernoulli Với ví dụ tính xác suất sau: a) Mặt chấm xuất 10 lần b) Mặt chấm không xuất 10 lần c) Mặt chấm xuất lần d) Mặt chấm xuất lần a) Ta cần tính xác suất biến cố A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 Trong A1  A2   A10  A , A biến cố xúc sắc xuất mặt 1chấm p  A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10    p ( A)  b)  p A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10  10 10 �1 � �� �6 � 10 �5 � �� �6 � c) Biến cố A xuất lần 10 lần gieo Vậy có C10 trường hợp xảy Trong trường hợp, xác suất xảy 7 cho trường hợp là: p (1  p )  p q Vậy xác suất để biến cố A xuất lần 10 lần gieo �1 ��5 � C p (1  p )  C p q  C � �� � �6 ��6 � 10 10 10 d) Xác suất mặt chấm xuất lần biến cố đối lập biến cố 10 lần không xuất mặt chấm: 10 5� � 1 � � 6� � b) Định nghĩa phân phối Bernoulli (hay phân phối nhị thức) Xét dãy n phép thử Bernoulli, thành công A với xác suất p>0 Gọi X số lần thành công A xảy Khi X gọi có phân phối Bernoulli (hay phân phối nhị thức) X nhận giá trị 0; 1; 2; ; n với xác suất p[ X  k ]  C p (1  p ) k n k n k k n k C p q k n Ví dụ: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất 100 lần Tính xác suất để mặt sấp xuất 40 lần 100 40 100 �1 � �� �2 � f  xk  p[ X  40]  C p (1  p )  C 40 100 40 60  0.01084 c) Cơng thức tính gần p[ X  k ]  C p q k n k nk � npq k  np Hàm f tra bảng A xk  npq Ví dụ: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất 100 lần Tính xác suất để mặt sấp xuất 40 lần p[ X  40]  Trong f  x40  npq 40  100 �0.5 x40   2 100 �0.5 �0.5 f  2  0.0539 p[ X  40]    0.01078 5 p[k1 �X  k2 ]    x2     x1  ki  np xi  npq Hàm  tra bảng B, ý hàm lẻ Ví dụ: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất 100 lần Tính xác suất p[48 �X  51] p[48 �X  51]    x2     x1  51  100 �0.5 48  100 �0.5 x2   0.2; x1   0.4 100 �0.5 �0.5 100 �0.5 �0.5 p[48 �X  51]    0.2     0.4      0.2     0.4   0.07926  0.15542  0.23468 Nếu tính trực tiếp p[48 �X  51]  p[ X  48]  p[ X  49]  p[ X  50]  0.231144 1.10.2 Phân phối chuẩn: a) Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối chuẩn hàm mật độ X có dạng: f ( x)  e  2 Nếu  bảng A x    2  1,   giá trị f tra Hàm phân phối X x x t     2 2 F ( x)  � f (t )dt  e dt �  2 � � Nếu   1,   giá trị F tra bảng B F ( x)   ( x)  2 x t  e dt � � Trong thực tế biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn giá trị X nhận có dạng hình chng Ta có cơng thức sau p[ x1 �X �x2 ]   (t2 )   (t1 ) Trong x2   x1   t2  ; t1  ;   Ví dụ sau thu từ mẫu thực tiễn làm tròn số Điều tra 354 291 thí sinh dự thi mơn Tóan ta có bảng kết qủa sau: Điểm quy tròn tới 0.5 Tức điểm từ 0; 0.5; 1.5;viên 2; 2.5; 10 lấy Số1;sinh đạt 3…….; điểm 0; 9; 1; 9.5; … gần 3; 9; 27; 81; 243; …., tức lũy thừa Kết qủa phân bố bảng 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 10 11 10 Dòng ghi điểm, dòng ghi tổng số sinh viên đạt điểm đó, số mũ 3, chẳng hạn : 33  27 Với số liệu trên, gọi X số sinh viên đạt điểm thi mơn Tóan X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (kết qủa ta thấy phần thống kê)   5,   0.612 Khi đó, để tính xác suất biến cố p[3 �X �6]   (t2 )   (t1 ) 65 35 t2   1.63, t1   3.26 0.612 0.612   1.63  0.44845,   3.26     3.26   0.49944 p[3 �X �6]  0.44845  0.49944  0.947 �95% Nếu tính trực tiếp p[3 �X �6]  p[ X  3]  p[ X  3.5]   p[ X  6]  0.969 �97% ... liên tục dùng bảng phân phối xác suất Ta có định nghĩa sau 1.8 Định nghĩa hàm mật độ (hay hàm mật độ phân phối xác suất) biến ngẫu nhiên liên tục: Hàm f gọi hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục X... trị đếm gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Chẵng hạn ví dụ 1, Biến ngẫu nhiên mà nhận giá trị không đếm gọi biến ngẫu nhiên liên tục Chẵng hạn ví dụ 1.4 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc:... chọn, X biến ngẫu nhiên Ví dụ 3: Gọi X khỏang thời gian mà bóng đèn (hay thiết bị ) bị hỏng X đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị từ vô 1.3 Phân lọai biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên mà nhận