Chương 2.BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐIBài 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM & CÁC TÍNH CHẤT

Định nghĩa 1: Gọi là tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử.. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:Là hàm số có miền xác định là R và được xác định theo công

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN

là một số ngẫu nhiên

Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc thì giá trị

mà nó nhận có thể là 1; 2; 3; 4; 5; 6, nhưng không có giá trị nào có thể nói trước được

Vậy nếu ta gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu nhiên

1.2 Định nghĩa 1:

Gọi là tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử Ánh xạ X từ vào R được gọi là biến ngẫu nhiên





Là một biến ngẫu nhiên.

Là một biến ngẫu nhiên

Để cho đơn giản ta chỉ cần gọi X là số bi đỏ chọn ra được trong số 3 bi đã chọn, thì X là biến ngẫu nhiên

Ví dụ 3: Gọi X là khỏang thời gian mà một bóng đèn (hay một thiết bị nào đó ) bị hỏng

X là một đại lượng ngẫu nhiên

X có thể nhận các giá trị từ 0 cho đến vô

cùng

1.3 Phân lọai biến ngẫu nhiên:

Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá trị đếm được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc

Chẵng hạn ví dụ 1, 2

Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá trị không đếm được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

pX 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ví dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm trong

đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Chọn

ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp Gọi X là số chính phẩm chọn ra được

Lập bảng phân phối xác suất của X

X có thể nhận các giá trị 0; 1; 2 với xác suất như sau: p X[  0] 42

2 10

215

p X x



�ii)

1.6 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

Là hàm số có miền xác định là R và được xác định theo công thức sau:

Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên

mặt khi gieo một con xúc sắc Lập hàm

phân phối xác suất của X

Ta có bảng phân phối xác suất của X

0 1 1

x x x

Ví dụ 2: Một người dùng 3 viên đạn bắn vào một mục tiêu Xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,6 Người này bắn đến khi hoặc

hết đạn hoặc trúng mục tiêu mới thôi Gọi

X là số viên đạn bị tiêu hao

a/ Tìm bảng phân phối của X

b/ Tìm hàm phân phối xác suất của X

c/ Tính P[1≤X<4]

1.7 Định nghĩa biến ngẫu nhiên liên tục:

Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó

a, b có thể vô hạn

Ví dụ: Nếu quan sát nhiệt độ X tại một

thời điểm trong ngày thì ta có X là ĐLNN liên tục

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục không thể dùng bảng phân phối xác suất Ta có định nghĩa sau

1.8 Định nghĩa hàm mật độ (hay hàm mật

độ phân phối xác suất) của biến ngẫu nhiên liên tục:

Hàm f được gọi là hàm mật độ của

biến ngẫu nhiên liên tục X nếu:

Ví dụ: Giả sử một máy (thiết bị) nào đó, ta

mở tại thời điểm t=0, còn tại thời điểm

ngẫu nhiên t nó bị hỏng

Gọi X là thời điểm nó bị hỏng, X là biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ phân phối xác suất của X là:

0 ( )

3 0

Từ đó a=4

1.9 Định nghĩa hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục:

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là f(x) Hàm phân phối xác suất của X được định nghĩa như sau:

x X

F (x) p[X x] f (t)dt

�

Ví dụ: Tìm hàm phân phối của biến ngẫu

nhiên liên tục X có hàm mật độ trong ví dụ1

Ví dụ: Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm

a) Tìm a và hàm phân phối xác suất

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

1.10 Một số luật phân phối đặc biệt:

1.10.1 Phân phối nhị thức:

a) Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli:

Dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện sau được gọi là dãy phép thử Bernoulli

biến cố A Nếu A xảy ra gọi là thành công.

iii) Xác suất thành công trong mỗi phép thử luôn

là hằng số p A( )  p 0

Ví dụ: Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất 10 lần Gọi A là biến cố xuất hiện mặt

1 chấm trong mỗi lần gieo

Đây là dãy phép thử Bernoulli

Với ví dụ ở trên hãy tính các xác suất sau:

a) Mặt 1 chấm xuất hiện cả 10 lần

b) Mặt 1 chấm không xuất hiện cả 10 lần.c) Mặt 1 chấm xuất hiện đúng 3 lần

a) Ta cần tính xác suất của biến cố

6

p A A A A A A A A A A  p A  � � � �

� �b)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  10

5 6

p A A A A A A A A A A � �

 � �

� �

c) Biến cố A xuất hiện 3 lần trong 10 lần

gieo Vậy có trường hợp xảy ra.C103

Trong mỗi trường hợp, xác suất xảy ra cho trường hợp này là: p3(1  p)7  p q3 7

Vậy xác suất để biến cố A xuất hiện đúng 3 lần trong 10 lần gieo là

3 7

3 3 7 3 3 7 3

10 10 10

1 5 (1 )

6 6

C p  p  C p q  C � �� �� �� �

� �� �

d) Xác suất mặt 1 chấm xuất hiện ít nhất

một lần là biến cố đối lập của biến cố cả

10 lần đều không xuất hiện mặt 1 chấm:

10 5

1 � �

 � �

b) Định nghĩa phân phối Bernoulli (hay

phân phối nhị thức)

Xét dãy n phép thử Bernoulli, thành công A với xác suất p>0 Gọi X là số lần thành công A xảy ra

Khi đó X được gọi là có phân phối Bernoulli (hay phân phối nhị thức)

X có thể nhận các giá trị 0; 1; 2; ; n với xác suất

p X k   C p  p   C p q 

Ví dụ: Gieo một đồng tiền cân đối đồng

chất 100 lần Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện đúng 40 lần

100

40 40 60 40

100 100

1 [ 40] (1 )

2 0.01084



1.10.2 Phân phối chuẩn:

a) Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm

Hàm phân phối của X là

Trong thực tế những biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn nếu giá trị X nhận có dạng hình quả chuông Ta có công thức sau

Điều tra 354 291 thí sinh dự thi môn Tóan ta có bảng kết qủa sau:

Điểm quy tròn tới 0.5 Tức là điểm từ

0; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3…….; 9; 9.5; 10Số sinh viên đạt điểm 0; 1; … cũng lấy gần đúng là 3; 9; 27; 81; 243; …., tức là lũy thừa của 3

Kết qủa phân bố trong bảng

ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (kết qủa ta

sẽ thấy trong phần thống kê)

Khi đó, để tính xác suất của biến cố