BÀI TẬP 4 LÝ THUYẾT Phân phối xác suất kết (Joint Probability Distribution) , r , ,0 ,1 XY XY XY xy f x y P X x Y y f x y f x y Tính phân phối xác suất lề (Marginal Probability Distribution) thông qua phân phối xác suất kết: Pr , x X XY R f x X x f x y với R x = tập hợp các điểm thuộc miền (X,Y) mà X=x , X XY R E X xf x y 2 2 ar , X x XY R v X x f x y Xác suất có điều kiện | , || XY Yx X f x y f y f y x f Y y X x fx với f X (x)>0 Nếu X, Y độc lập | , XY X Y Y x Y f x y f x f y f y f y Hiệp phương sai (Covariance) cov(X,Y) = ϭ XY = E[(X-μ X )(Y-μ Y )] = E(XY) - μ X μ Y Độ tương quan (Correlation) cov , 11 ar( )var( ) XY XY XY XY v X Y Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên (Linear combination of random variables) Cho các biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 ,…,X n và các hằng số c 1 ,c 2 ,…,c n , Y=c 1 X 1 +…+c n X n là một tổ hợp tuyến tính của X 1 ,X 2 ,…,X n Thì Kỳ vọng E(Y)= c 1 E(X 1 )+…+c n E (X n ) Phương sai Var(Y)= c 1 2 Var (X 1 )+…+c n 2 Var (X n )+ 2 cov , i j i j ij c c X X Nếu X 1 ,X 2 ,…,X n độc lập thì Var(Y)= c 1 2 Var (X 1 )+…+c n 2 Var (X n ). Phân phối của tổ hợp tuyến tính Nếu X 1 ,X 2 ,…,X n là các biến ngẫu nhiên, độc lập, có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(X i )=μ i , và phương sai var(X i )=ϭ i 2 , ∀i=1,…,n, Y=c 1 X 1 +…+c n X n (c 1 ,c 2 ,…,c n là các hằng số) Thì Y cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Y)=c 1 μ 1 + … + c n μ n , và phương sai var(Y)=c 1 2 ϭ 1 2 +…+ c n 2 ϭ n 2 Định lý giới hạn trung tâm Nếu X 1 , X 2 ,…, X n là một mẫu ngẫu nhiên kích thước n của một quần thể với kỳ vọng μ và phương sai ϭ 2 , và nếu X là trung bình của tập mẫu 12 n X X X X n thì X Z n có phân phối chuẩn chính tắc khi n . ( X có phân phối chuẩn với kỳ vọng , phương sai 2 n khi n ). Thường áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n ≥ 30. Nếu X có phân phối liên tục, unimodal (có 1 mode), đối xứng, có thể áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n nhỏ hơn. BÀI TẬP 1) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối bất kỳ với kỳ vọng μ và phương sai ϭ 2 . Cho tập mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm n phần tử {X 1 ,X 2 ,…,X n } của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X . Giải: {X 1 ,X 2 ,…,X n } là tập mẫu của X nên E(X 1 ) = E(X 2 ) = … = E(X n ) = E(X), var(X 1 ) = var(X 2 ) =…= var(X) 12 n X X X X n là một tổ hợp tuyến tính của {X 1 ,X 2 ,…,X n } suy ra: 12 1 1 1 1 n E X E X E X E X n E X E X n n n n 2 2 2 2 12 ar 1 1 1 1 ar ar ar ar ar n vX v X v X v X v X n v X n n n n n 2) Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X 1 , X 2 . Biết X 1 có phân phối chuẩn N(2; 0.1 2 ), X 2 có phân phối chuẩn N(5; 0.2 2 ). Cho biến ngẫu nhiên Y = X 1 +2X 2 . Xác định Pr(Y>14.5) Giải: Y là tổ hơp tuyến tính của X 1 , X 2 X 1 , X 2 có phân phối chuẩn => Y có phân phối chuẩn Y = X 1 +2X 2 => Kỳ vọng E(Y) = E(X 1 ) + 2E(X 2 ) = 2 + 2.5 = 12 Phương sai var(Y) = 1 2 ×var(X 1 ) + 2 2 ×var(X 2 ) = 1×0.1 2 + 4×0.2 2 =0.17 Như vậy, Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Y)=12, phương sai var(Y)=0.17 Pr(Y>14.5) = 1-Pr(Y<14.5) = 0 (để tính Pr(Y>14.5), xem lại bài tập về phân phối chuẩn) 3) X là biến ngẫu nhiên cho biết điện trở của thiết bị. Biết rằng X có phân phối chuẩn với trung bình 100 ohm, độ lệch chuẩn 10 ohm. Cho một tập dữ liệu mẫu ngẫu nhiên của X gồm 25 phần tử. Xác định xác suất tập mẫu có trung bình X nhỏ hơn 95 ohm. Giải: Gọi tập dữ liệu mẫu kích thước n=25 của X là {X 1 ,X 2 ,…,X 25 }. Vì X có phân phối chuẩn N(100; 10 2 ) nên X 1 ,X 2 ,…,X 25 cũng có phân phối chuẩn N(100; 10 2 ). X 1 ,X 2 ,…,X 25 có phân phối chuẩn, nên mọi tổ hợp tuyến tính của X 1 ,X 2 ,…,X 25 có phân phối chuẩn. Suy ra X có phân phối chuẩn. X có kỳ vọng E( X ) = E(X), var( X ) = var(Y) / n (với n=25) => E( X )=100, var( X )=10 2 /25=4 Vậy X có phân phối chuẩn N(100; ϭ 2 =4) Pr( X <95) = 0.0062 (để tính Pr( X <95), xem lại bài tập về phân phối chuẩn) 4) Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau: 1 , 1,2,3 3 0, khá x fx c Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=36. Xác định xác suất trung bình mẫu X lớn hơn 2.1 nhưng nhỏ hơn 2.5 (giả sử trung bình mẫu X được đo tới độ chính xác 0.1). Giải: Kỳ vọng của X: 1 1 1 1 2 3 2 3 3 3 E X xf x Phương sai của X: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ar 2 1 2 3 4 3 3 3 3 v X E X E X E X x f x Vì kích thước tập mẫu lớn n = 36 > 30, theo định lý giới hạn trung tâm, X có thể xem như có phân phối chuẩn với kỳ vọng và phương sai: E( X )=E(X) = 2 var( X ) = var(X)/ n = 2/(3×36 ) = 1/54 Vậy X có phân phối chuẩn N(2;ϭ 2 =1/54) Pr(2.1< X <2.5) = Pr( X <2.5) – Pr( X <2.1) = 0.231 (để tính Pr(2.1< X <2.5), xem lại bài tập về phân phối chuẩn) BÀI TẬP Bài 1: Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ và phương sai ϭ 2 . Cho tập mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm n phần tử {X 1 ,X 2 ,…,X n } của X. Xác định phân phối của X (loại phân phối, giá trị kỳ vọng, phương sai). Bài 2: Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X 1 , X 2 . Biết X 1 có phân phối chuẩn N(2; 0.2 2 ), X 2 có phân phối chuẩn N(5; 0.3 2 ). Cho biến ngẫu nhiên Y = 3X 1 +2X 2 . Xác định Pr(Y<5). Bài 3: X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20, phương sai 4. Cho một tập dữ liệu mẫu ngẫu nhiên của X gồm 10 phần tử. Xác định xác suất tập mẫu có trung bình mẫu X nhỏ hơn 15. Bài 4: Một tập mẫu ngẫu nhiên kích thước n=16 được lấy mẫu từ một phân phối chuẩn với kỳ vọng 40, phương sai 5. Xác định xác suất trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 37. Bài 5: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều liên tục với hàm xác suất như sau: 1 ,4 6 2 0, khá x fx c Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=40. Bài 6: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau: 1 , 2,3,4,5,6 5 0, khá x fx c Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=30. Xác định xác suất trung bình mẫu X lớn hơn 3.2 (giả sử trung bình mẫu X được đo tới độ chính xác 0.1). . Phân phối xác suất kết (Joint Probability Distribution) , r , ,0 ,1 XY XY XY xy f x y P X x Y y f x y f x y Tính phân phối xác suất lề (Marginal Probability Distribution). xem lại bài tập về phân phối chuẩn) 4) Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau: 1 , 1,2,3 3 0, khá x fx c Xác định phân phối của trung bình. mẫu từ một phân phối chuẩn với kỳ vọng 40, phương sai 5. Xác định xác suất trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 37. Bài 5: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều liên tục với hàm xác suất như