Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng

ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ NGỌC ANH SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên nghành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học T.s: TRẦN MINH TƯỚC Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, với cố gắng thân với hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo bạn sinh viên, em hồn thành khóa luân Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo khoa Toán, thầy giáo tổ Ứng dụng, bạn sinh viên tạo điều kiện cho em suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo Nguyễn Trung Dũng-thầy giúp đỡ tận tình trình chuẩn bị thực khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế nên em khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đươc đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên, để khóa luận em dược hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Ngọc Anh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu thực Các số liệu kết luận luận văn không trùng với công bố tác giả khác Tơi xin chịu trách nhiệm khó luận Hà nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Ngọc Anh Mục lục MỞ ĐẦU Chương I Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên I.1 Một số kiến thức liên quan I.1.1 Không gian L p I.1.2 Bất đẳng thức Chebyshev I.1.3 Bất đẳng thức Markov I.1.4 Bất đẳng thức Cr 6 7 I.2 Hội tụ hầu chắn I.3 Hội tụ theo xác suất 14 I.4 Hội tụ trung bình 16 I.4.1 Tính chất khả tích I.4.2 Hội tụ trung bình 16 18 I.5 Hội tụ theo phân phối 20 Chương II Mối liên hệ dạng hội tụ 21 II.1 Mối liên hệ hội tụ hầu chắn hôi tụ theo xác suất 21 II.2 Mối quan hệ hội tụ theo xác suất hội tụ theo phân phối 25 II.3 Mối liên hệ hội tụ trung bình hội tụ theo xác suất 30 II.4 Mối liên hệ hội tụ theo trung bình hội tụ hầu chắn 33 KẾT LUẬN 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Trong hoạt động thực tiễn mình, người bắt buộc phải tiếp xúc với biến cố ngẫu nhiên khơng thể dự đốn trước Một lĩnh vực tốn học có tên : "Lí thuyết xác suất" đời nhằm nghiên cứu quy luật quy tắc tính tốn tượng ngẫu nhiên Ngày Lí thuyết xác suất trở thành ngành tốn học lớn, chiếm vị trí quan trọng lí thuyết lẫn ứng dụng Một mặt Lí thuyết xác suất ngành tốn học có tầm lí thuyết trình độ cao, mặt khác ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học kĩ thuật khoa học xã hội nhân văn Đặc biệt Lí thuyết xác suất gắn liền với khoa học thống kê, khoa học phương pháp thu nhập, tổ chức phân tích liệu, thơng tin định lượng Khóa luận trình bày phần Lí thuyết xác suất : "Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên mối liên hệ chúng" Khóa luận đươc trình bày theo bố cục: Chương : Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Trong chương trình bày mục sau: Hội tụ hầu chắn, Hội tụ theo xác suất, Hội tụ theo trung bình, Hội tụ theo phân phối , định nghĩa, định lí, ví dụ dạng hội tụ Chương : Mối liên hệ dạng hội tụ Trong chương thứ trình bày mối liên hệ dạng hội tụ, định lí, ví dụ phản ví dụ mối liên hệ Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo Nguyễn Trung Dũng dã nhiệt tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ em q trình viết khóa luận Hà nội, tháng 05 năm 2013 Chương I Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên I.1 Một số kiến thức liên quan I.1.1 Không gian L p Với p > 0, kí hiệu L p = L p (Ω, F , P) tợp hợp b.n.n X (xác định (Ω, F , P)) cho E | X |P < ∞ Khi X ∈ L p , p > ta kí hiệu: X P p p = (E | X | ) Nó gọi chuẩn bậc p X I.1.2 Bất đẳng thức Chebyshev Giả sử X ∈ L0 g : R −→ R+ hàm Borel không âm không giảm [0, +∞).Khi g(X) > P{ω : X(ω) ≥ ε} ≤ Eg(X) g(X) I.1.3 Bất đẳng thức Markov E | X |p , ∀p > 0, ∀ε > εp Bất đẳng thức Markov hệ bất đẳng thức Chebyshev P{ω :| X(ω) |≥ ε} ≤ I.1.4 Bất đẳng thức Cr Nếu X, A ∈ Lr với r > : E | X + A |r ≤ Cr E | X |r +Cr E | A |r : 2r−1 Cr = I.2 với < r ≤ với r ≥ Hội tụ hầu chắn Ta giả thiết (Ω, A , P) không gian xác suất bản, với P đọ đo đủ Giả sử {Xn , n 1} dãy đại lượng ngẫu nhiên , xác định không gian xác suất (Ω, A , P) Ta kí hiệu {Xn →} tập ω cho nó, dãy {Xn (ω)} hội tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy số, ta viết: {Xn →} = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ {| Xm − Xn |< } k k=1 n=1 m=n+1 hay {Xn →} = {sup | Xn+v − Xn |< } k k=1 n=1 v Vì vậy, {Xn →} ∈ A nói xác suất tập hội tụ (hay không hội tụ) dãy đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa I.2.1 Dãy đại lượng ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ hầu chắn (hay với xác suất 1) đến đại lượng ngẫu nhiên X (và viết h.c.c Xn −→ X) P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = n→∞ Giới hạn hầu chắn (nếu tồn ) theo định nghĩa : h.c.c Xn −→ X Xn −→ η P(X = η) = h.c.c Ví dụ I.1 Cho Ω = (0, 1], A σ đại số Borel (0, 1], P độ đo Lebesgue thông thường (0, 1] với k ∈ N ta xác định k đại lượng ngẫu nhiên (k) (k) (k) X1 , X2 , , Xk (k) X j = 1, j = 1, k, ∀k ∈ N Dãy số dãy số dừng, có xác suất 1, nên dãy số hội tụ hầu chắn Mệnh đề I.2.1 Để dãy đại lượng ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắn, cần đủ là: lim P{sup | Xm − Xn |≥ ε} = 0, ∀ε > n→∞ m≥n Chứng minh: Theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy số, Xn hội tụ hầu chắn với xác suất Tức biến cố sau có xác suất ∞ {Xn }= ∞ {sup | Xm − Xn |≥ } k k=1 n=1 m≥n Xác suất biến cố vế phải đẳng thức khi: ∞ sup | Xm − Xn |≥ ) = 0, ∀k k n=1 m≥n P( Hiển nhiên, điều xảy khi: lim P{sup | Xm − Xn |≥ ε} = 0, ∀ε > n→∞ m≥n Mệnh đề I.2.2 Các điều kiện sau tương đương với nhau: h.c.c (1)Xn −→ X ∞ [ω :| Xk (ω) − X(ω) |≥ 0} = 0, ∀ε > (2) lim P{ n→∞ k=n (3) lim P{ω : sup | Xk (ω) − X(ω) |≥ ε} = 0, ∀ε > n→∞ k≥n Chứng minh: • Ta chứng minh (1)⇔ (2) h.c.c Giả sử Xn −→ X ⇒ P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = n→∞ Vì lim Xn (ω) = X(ω) n→∞ ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0 :| Xn (ω) − X(ω) |< ε Do P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = n→∞ ⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) |< ε, ∀n ≥ n0 } = 1, ∀ε > ⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) ≥ ε, ∀n ≥ n0 } = 0, ∀ε > Chọn n0 = k ⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε, ∀n ≥ k} = 0, ∀ε > ∞ ⇒ ≤ P{ [ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε]} = 0, ∀ε > k=n ∞ ⇒ lim P{ n→∞ [ω :| Xn (ω) − X(ω) |] ≥ ε} = 0, ∀ε > k=n • Ta chứng minh (2) ⇔ (3) Giả sử : ∞ [ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε]} = 0, ∀ε > lim P{ n→∞ k=n ∞ ⇒ P{ [ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε]} = 0, ∀ε > k=n Chương II Mối liên hệ dạng hội tụ Mối liên hệ dạng hội tụ thể giản đồ đây: Hình II.1: II.1 Mối liên hệ hội tụ hầu chắn hôi tụ theo xác suất h.c.c P Định lí II.1.1 a, Nếu Xn −→ X Xn −→ X P h.c.c b, Nếu Xn −→ X tồn dãy {Xnk } cho Xnk −→ X 21 Chứng minh : • Ý (a) hệ trực tiếp Mệnh đề I.2.1 P • Để chứng minh (b), ta giả sử Xn −→ chọn dãy số dương {εn }, {δn }, cho εn ↓ ∑ δn < ∞ P Vì Xn −→ nên ta chọn dãy {nk } thỏa mãn điều kiện P{| Xnk |≥ εk } ≤ δk Đặt : ∞ ∞ {| Xnk |≥ εk }, Q = Rj = Rj j=1 k= j Rõ ràng R j ↓ Q Do ∞ P(Q) = lim P(R j ) ≤ lim j→∞ j→∞ ∑ δk = k= j tức P(Q) = Bây ta lim Xnk (ω) = 0, ∀ω ∈ /Q n→∞ Thật vậy, giả sử ω ∈ / Q Khi tồn j0 cho ω ∈ / R j0 , tức | Xnk (ω) |< εk , ∀k ≥ j0 Vì εk ↓ nên suy lim Xnk (ω) = 0, ∀ω ∈ /Q n→∞ P h.c.c • Lưu ý : Xn −→ X khơng suy Xn −→ X Ví dụ II.1 Cho {Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối P(Xn = 0) = − n1 P(Xn = 1) = n với < ε < ta có P(| Xn |> ε) = P(Xn = 1) = n → n → ∞ P Như Xn −→ Mặt khác : ∞ lim P( k→∞ ∞ ∞ {| Xn |≥ ε}) = − lim P( k→ n=k 22 n=k {| Xn |< ε}) ∞ = − lim ∏ P(| Xn |< ε) k→∞ n=k ∞ = − lim ∏ (1 − ) = k→∞ n=k n Điều có nghĩa dãy {Xn } khơng hội tụ hầu chắn Mệnh đề II.1.1 Nếu dãy {Xn } theo xác suất rút dãy {Xnk } hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X Chứng minh : Ta chọn dãy = n0 < n1 < n2 < < nk < quy nạp sau : Đặt n0 = Giả sử chọn nk Khi tìm nn+1 > nk cho : P[| Xnk+1 − Xnk |> 2−k ] < 2−k , k = 1, 2, 3, Do thực hiên dãy {Xn } theo xác suất Rõ ràng ∑ P[| Xnk+1 − Xnk | 2−k ] < ∑ 2−k < ∞ k k Theo Mệnh đề I.2.5, dãy {Xnk } hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X Định lí II.1.2 Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n > 1} đơn điệu tăng (giảm) P h.c.c Xn −→ X n → ∞ Xn −→ X n → ∞ Chứng minh : P Không tính tổng qt, ta giả thiết X ≡ 0, Xn > 0, Xn ↓ Xn −→ X n → ∞ Giả sử {Xn } không hội tụ hầu chắn đến X Điều có nghĩa tồn ε > tập A với P(A) > δ > cho sup Xk > ε k≥n với ω ∈ A, ∀n Vì {Xn } dãy giảm n tăng nên sup Xk = Xn k≥n Vậy P[Xn > ε] > P(A) > δ > 0, ∀n P Điều mâu thuẫn với giả thiết Xn −→ X Định lí đươc chứng minh 23 h.c.c Định lí II.1.3 Xn −→ X P sup | Xn − X |−→ k≥n n → ∞ Nghĩa với ε > cho trước P(sup | Xk − X |> ε) −→ k≥n n → ∞ Chứng minh : h.c.c Có Xn −→ X : P sup | Xk − X |−→ k≥n n → ∞ Hơn nữa, dãy sup | Xk − X | k≥n đơn điệu giảm tiến dần đến theo xác suất n → ∞ Theo Định lí II.1.2, ta nhận h.c.c sup | Xk − X |−→ k≥n n → ∞ Định lí chứng minh Định lí II.1.4 Nếu ∞ ∑ P[ω :| Xk − X |> ε] < ∞, ∀ε > k=1 h.c.c Xn −→ X n → ∞ Chứng minh : Ta có : P[ ∞ [ω | Xk − X |≥ ε]] ≤ ∑ P[ω :| Xk − X |> ε] k=1 k≥n 24 Theo giả thiết : ∞ ∑ P[ω :| Xk − X |≥ ε] < ∞ k=1 nên phần dư ∞ ∑ P[ω :| Xk − X |> ε] −→ k=n n → ∞ Vậy [ω :| Xk − X |≥ ε]] −→ P[ k≥n n → ∞ h.c.c nghĩa Xn −→ X n → ∞ II.2 Mối quan hệ hội tụ theo xác suất hội tụ theo phân phối Định lí II.2.1 Nếu dãy đại lượng ngẫu nhiên {Xn }; X xác định P không gian xác suất Xn −→ X Xn =⇒ X Chứng minh : Kí hiệu C(F) tập hợp điểm liên tục hàm phân phối F đại lượng ngẫu nhiên X Giả sử x < x, x ∈ C(F), X < x x ≤ Xn | Xn − X |> x − x > Do lim P{X < x , Xn ≥ x} ≤ lim P{| Xn − X |> x − x } = n→∞ n→∞ F(x ) = P{X < x } ≤ P{Xn < x} + P{X < x , Xn ≥ x} hay F(x ) ≤ Fn (x) + P{X < x , Xn ≥ x} Cho n → ∞ ta có F(x ) ≤ lim Fn (x), ∀x < x, (1) n→∞ Chứng minh tương tự ta có : lim Fn (x) ≤ F(x ), (2) n→∞ 25 với x ≤ x , Vì x ↑ x x ↓ x, F(x ) F(x ) hội tụ F(x) nên từ (1) (2) ta có F(x) = lim Fn (x), ∀x ∈ C(F) n→∞ Định lí chứng minh • Chú ý : Mệnh đề ngược lại nói chung khơng Ví dụ II.2 Giả sử Z độc lập ngẫu nhiên rời rạc xác định bởi: 1 P{Z = 1} = , P{Z = −1} = 2 Dãy Zn xác định sau: Với n chẵn Zn = Z Với n lẻ Zn = −Z Khi hiển nhiên với n, Zn nhận hai giá trị ±1 P{Zn = 1} = P{Zn = −1} = Do limP{Zn = 1} = P{Z = 1} limP{Zn = −1} = P{Z = −1} Như dãy Zn hội tụ tới Z theo phân phối Tuy nhiên Zn không hội tụ tới Z theo xác suất Qủa với n = 2m + 1: P{| Z2m+1 − Z |> 1} = P{| 2Z |> 1} = P{| Z |> 12 } = Do lim P{| Z2m+1 − Z | 1} = = n→∞ •Tuy nhiên trường hợp riêng, X đại lượng ngẫu nhiên suy biến, tức tồn số c cho P{X = c} = ta có kết luận sau : P Định lí II.2.2 Nếu Xn =⇒ X X suy biến Xn −→ X Chứng minh : Giả sử Xn =⇒ X P{X=c}=1 Với ε > ta có đánh giá : P{| Xn − c |≥ ε} = P{Xn − c ≥ ε} + P{Xn − c ≤ −ε} = − P{Xn < c + ε} + P{Xn ≤ c − ε} 26 Với ε : < ε < ε ta có: P{| Xn − c |≥ ε} ≤ − Fn (c + ε) + Fn (c − ε + ε ) Khi n → ∞ Fn (c + ε) −→ 1, Fn (c − ε + ε ) −→ Vì lim P{| Xn − c |≥ ε} = n→∞ Ví dụ II.3 a, Giả sử Z1 , Z2 , Z độc lập ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị C gồm điểm cô lập đường thẳng Zn hội tụ tới Z theo xác suất Khi Zn hội tụ tới Z theo phân phối Điều ngược lại không b, Giả sử Z độc lập ngẫu nhiên số P{Z = c} = Khi Zn hội tụ theo phân phối tới Z Zn hội tụ theo xác suất tới Z Giải: a, Gọi c giá trị tập giá trị Z ε > số dương đủ nhỏ cho khoảng (c − ε, c + ε) không chứa giá trị Z Kí hiệu A = {Zn = c}, B = {| Z − Zn |< ε} Biến cố AB kéo theo biến cố c − ε < Z < c + ε Thành thử P(AB) ≤ P{c − ε < Z < c + ε} = P{Z = c} ⇒ − P(AB) ≥ − P{Z = c} hay ¯ ≥ − P{Z = c} P(A¯ ∪ B) ¯ + P(B) ¯ ≥ − P{Z = c} ⇒ P(A) ¯ ≥ P(A) − P{Z = c} ⇒ P(B) hay P{| Z − Zn |≥ ε} ≥ P{Zn = c} − P{Z = c} Tương tự ta có: P{| Z − Zn |≥ ε} ≥ P{Z = c} − P{Zn = c} Vậy | P{Zn = c} − P{Z = c} |≤ P{| Z − Zn |≥ ε} Cho n → ∞, vế phải tiến tới vế trái tiến tới Ở ví dụ II.2 dã cho thấy điều ngược lại không b, Ta có với ε > 0: P{| Zn − Z |> ε} = P{| Zn − c |> ε} = 27 = P{Zn < c − ε} + P{Zn > c + ε} = − P{c − ε ≤ Zn ≤ c + ε} ≤ − P{Zn = c} Theo giả thiết: lim P{Zn = c} = P{Z = c} = n→∞ suy lim P{| Zn − Z |> ε} = n→∞ Vậy Zn hội tụ tới Z theo xác suất Định lí II.2.3 Giả sử {Xn , n ≥ 1} biến ngẫu nhiên Nếu c số mà: P Xn −→ c Xn =⇒ c ngược lại Chứng minh: Nó ln hội tụ phân phối bao hàm hội tụ xác suất, phải tập trung vào điều Nếu Xn =⇒ c P[Xn ≤ x] → x < c x > c P Xn −→ c có nghĩa P[| Xn − c |> ε] → xảy P[Xn < c − ε] → P[Xn < c + ε] → • Nếu Xn hội tụ theo phân phối đến X Yn gần Xn Yn hội tụ theo phân phối đến X tốt Định lí II.2.4 Giả sử {X, Xn ,Yn , ξn , n ≥ 1} biến ngẫu nhiên P a, Nếu Xn =⇒ X Xn −Yn −→ Yn =⇒ X P b, Tương tự: Nếu Xn =⇒ X ξ −→ Xn + ξn =⇒ X 28 Chứng minh: Cho f có giá trị thực tế, giới hạn thống liên tục ωδ ( f ) = sup | f (x) − f (y) | |x−y|≤δ Vì f thống liên tục ωδ ( f ) → 0, δ → ⇒ E f (Xn + ξn ) −→ E f (X) Ta có: | E f (Xn + ξn ) − E f (X) |≤| E f (Xn + ξn ) − E f (Xn ) | + | E f (Xn ) − E f (X) | = E | f (Xn + ξn ) − f (Xn ) | 1[|ξn |≤δ ] + sup | f (x) | P[| ξn |> δ ] + o(1) x (Từ Xn =⇒ X) = o(1) + ωδ (1) + (const)P[| ξn |> δ ] Xác suất cuối đến theo giả thiết Cho δ → sử dụng ( ) ta có điề phải chứng minh Định lí II.2.5 Giả sử {Xun , Xu ,Yn , X, n ≥ 1, u ≥ 1} biến ngẫu nhiên Như mà cho n,Yn , Xun , u ≥ xác định miền chung Giả sử cho u, với n → ∞ Xun =⇒ Xu với u → ∞ Giả sử thêm cho tất ε > lim lim sup P[| Xun −Yn |> ε] = u→∞ n→∞ n→∞ Sau ta có Yn =⇒ X với n → ∞ Chứng minh: Đối với giới hạn, chức thống liên tục f , phải thấy lim E f (Yn ) = E f (X) n→∞ 29 Không tính tổng qt giả sử sup | f (x) |≤ x∈R Bây viết | E f (Yn )−E f (X) |≤ E | f (Yn )− f (Xun ) | +E | f (Xun )− f (Xu ) | +E | f (Xu )− f (X) | để lim sup | E f (Yn ) − E f (X) |≤ lim lim sup E | f (Yn ) − f (Xun ) | +0 + n→∞ n→∞ u→∞ n→∞ n→∞ ≤ lim lim sup E | f (Yn ) − f (Xun ) | 1[|Yn −Xun |≤ε] u→∞ n→∞ n→∞ + lim lim sup E | f (Yn ) − f (Xun ) | 1[|Yn −Xun |>ε] u→∞ n→∞ n→∞ ≤ sup{| f (x) − f (y) |:| x − y |≤ ε} + lim lim sup P[| Yn − Xun |> ε] u→∞ n→∞ n→∞ →0 với ε → Ta có điều phải chứng minh II.3 Mối liên hệ hội tụ trung bình hội tụ theo xác suất Định lí II.3.1 Giả sử {Xn } ⊂ L1 X ⊂ L0 Khi đó, hai điều kiện sau tương đương với P 1, {Xn } khả tích Xn −→ X L 2, X ∈ L1 Xn −→ X Chứng minh : • Ta chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử có điều kiện (1) Khi đó, theo Định lí II.1.1: tồn dãy {Xnk } h.c.c cho Xnk −→ X h.c.c Do | Xnk |−→| X | 30 Áp dụng bất đẳng thức Fatou Mệnh đề I.4.1 ta có : E | X |≤ limk E | Xnk |≤ sup E | Xn |< +∞ n Tức X ∈ L1 Hơn E | Xn − X |≤ ≤ {|Xn −X|< ε3 } ε + | Xn − X | dP + {|Xn −X|≥ ε3 } | Xn | dP + {|Xn −X|≥ ε3 } {|Xn −X|≥ ε3 } | Xn − X | dP | X | dP Từ từ Mênh đề I.4.1 suy (1) ⇒ (2) • Ta chứng minh (2) ⇒ (1) L P Ta có Xn −→ X suy Xn −→ X Mặt khác ta có : lim sup P{| Xn |≥ a} ≤ lim sup E | Xn | a→∞ n a→∞ n a {|Xn |≥a} | Xn | dP ≤ {|Xn |≥a} ≤ sup | A∈A A | Xn − X | dP + (Xn − X)dP | + | X | dP {|Xn −X|≥a} | X | dP {|Xn |≥a} Từ diều kiện (2) từ Mệnh đề I.4.2 ta suy {Xn } khả tích Định lí chứng minh Tổng qt ta có : Định lí II.3.2 a, Nếu dãy biến ngẫu nhiên {| Xn |P } khả tích với p > Lp P Xn −→ X X ∈ L p Xn −→ X Lp P b, Ngược lại {Xn } ⊂ L p , Xn −→ X X ∈ L p , Xn −→ X {| Xn |P } khả tích Chứng minh : P a, Nếu Xn −→ X theo Định lí II.1.1, tồn dãy {Xnk } hội tụ hầu chắn đến X Theo bổ đề Fatou : E | X |P = E(lim | Xnk |P ) ≤ limE | Xnk |P ≤ sup E | Xnk |P < ∞ k 31 Từ bất đẳng thức: E | Xn − X |P IA ≤ 2P (E | Xn | IA + E | X |P IA ) giả thiết a, suy (| Xn − X |P ) khả tích P Mặt khác, Xn −→ X nên với ε > 0, P[| Xn − X |≥ ε] −→ tìm n0 cho: E(| Xn − X |P I[|Xn −X|≥ε] ) < ε, ∀n > n0 Khi : E(| Xn − X |P ) = E(| Xn − X |P I[|Xn −X| bất kì, ta tìm n0 cho E | Xn − X |P < ε với n > n0 Tập hữu hạn biến ngẫu nhiên | X |P , | X1 |P , , | Xn0 |P khả tích đều, tồn δ > cho A ∈ F P(A) < δ ta có : E(| X |P IA ) < ε, sup E | Xn |P IA < ε k≤n0 Khi E | Xn |P IA ≤ 2P (E | Xn − X |P IA + E | X |P IA ) < p+1 ε với n = 1, 2, Vậy {| Xn |P } khả tích Theo bất đẳng thức Markov, ∀ε > E | Xn − X |P −→ P[| Xn − X |≥ ε] ≤ εP n → ∞ P Cho nên Xn −→ X P • Hệ : Nếu Xn −→ X {Xn } bị chặn với xác suất tức sup | Xn |≤ c < +∞ n Lp hầu chắn Xn −→ X, ∀p ∈ (0, +∞) Lp P • Chú ý : Nói chung, từ Xn −→ X khơng suy Xn −→ X 32 Ví dụ II.4 Giả sử Zn độc lập ngẫu nhiên rời rạc xác định sau: 1 P{Zn = 0} = − , P{Zn = n} = n n Chứng minh Zn hội tụ tới theo xác suất, không hội tụ tới theo nghĩa bình phương trung bình Giải: Ta có P{| Zn |> ε} = P{Zn = n} = 1n → n → ∞ Do Zn hội tụ tới theo xác suất Mặt khác: 1 E | Zn |2 = 0(1 − ) + n2 = n → ∞ n n Khi n → ∞, Zn khơng hội tụ tới theo nghĩa bình phương trung bình II.4 Mối liên hệ hội tụ theo trung bình hội tụ hầu chắn Giữa hội tụ theo trung bình hội tụ hầu chắn khơng có mối liên hệ so sánh nào, tức hội tụ theo trung bình khơng suy đươc hội tụ hầu chắn hội tụ hầu chắn khơng suy hội tụ theo trung bình 33 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận "Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên mối liên hệ chúng" Nội dung khóa luận đề cập đến : 1, Nêu kiến thức bổ trợ, khái niệm, tính chất dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 2, Nêu lên mối liên hệ dạng hội tụ Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tịi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo Nguyễn Trung Dũng ý kiến đóng góp thầy khoa tốn bạn sinh viên Khóa luận tốt nghiệp đạt mục đích đề Tuy nhiên thời gian có hạn bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn 34 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 2001 [2] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục, 2009 [3] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp 1983 [4] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lí thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất giáo Giáo dục Việt Nam, 2005 [5] Sidney I Resnick, A probabbility path, B I R K H A U S E R 35 ... liên hệ hội tụ hầu chắn hôi tụ theo xác suất 21 II.2 Mối quan hệ hội tụ theo xác suất hội tụ theo phân phối 25 II.3 Mối liên hệ hội tụ trung bình hội tụ theo xác suất 30 II.4 Mối liên hệ hội. .. suất : "Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên mối liên hệ chúng" Khóa luận đươc trình bày theo bố cục: Chương : Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Trong chương trình bày mục sau: Hội tụ hầu chắn, Hội tụ theo... luận "Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên mối liên hệ chúng" Nội dung khóa luận đề cập đến : 1, Nêu kiến thức bổ trợ, khái niệm, tính chất dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 2, Nêu lên mối liên hệ dạng hội