Sự hội tụ yếu và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền trƣờng đại học sƣ phạm hà nội khoa toán ************* nguyễn thị tuyền hội tụ yếu ứng dụng khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS Trần văn Hà Nội - 2008 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền LỜI CẢM ƠN Bản khoá luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần Văn Bằng, giúp em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện để em hoàn thành khoá luận Xuân Hoà tháng năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tuyền Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đề tài: ‘‘Sự hội tụ yếu ứng dụng ’’ đảm bảo tính xác, khách quan, khoa học, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Xuân Hoà tháng năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tuyền Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu ………………………………… Chương 1: Kiến thức chuẩn bị……………………………………… 1.1 Các định nghĩa ………………………………………… 1.1.1 Không gian tô pô ………………………………… 1.1.2 Độ đo ……………………………………………… 1.1.3 Không gian metric ………………………………… 1.1.4 Không gian tuyến tính …………………………… 10 1.1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn ………………… 12 1.1.6 Không gian Hilbert ………………………………… 14 1.1.7 Các định nghĩa khác ……………………………… 15 1.2 Các định lí ……………………………………………… 18 1.2.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 18 1.2.2 Không gian Hilbert 18 1.2.3 Đối ngẫu không gian tuyến tính định chuẩn 20 1.3 Kiến thức liên quan khác 21 Chương 2: Sự hội tụ yếu …………………………………………… 22 2.1 Định nghĩa ……………………………………………… 22 2.2 Tính bị chặn dãy hội tụ yếu …………………… 27 2.3 Tính liên tục compact yếu ……………………………… 33 2.4 Sự hội tụ yếu* ………………………………………… 36 Chương 3: Ứng dụng hội tụ yếu ……………………………… 3.1 Xấp xỉ hàm  40 hàm liên tục ………………… 40 3.2 Sự phân kì chuỗi Fourier …………………………… 42 3.3 Cầu phương xấp xỉ ……………………………………… 44 3.4 Tính giải tích yếu, giải tích mạnh hàm giá trị vectơ ………………………………………………………… 45 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền 3.5 Sự tồn nghiệm phương trình đạo hàm riêng …… 47 3.6 Sự biểu diễn hàm giải tích với phần thực dương …… 51 Kết luận……………………………………………………………… 55 Tài liệu tham khảo …………………………………………………… 57 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền MỞ ĐẦU Lý thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt toán học ứng dụng vào chuyên ngành khác nhƣ giải tích phức, lý thuyết xấp xỉ, phƣơng trình đạo hàm riêng, nói giải tích hàm sở hầu hết môn học Sự xâm nhập ấy, mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác đề cho ngành giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để trừng mực đề kết Trong lý thuyết giải tích hàm hội tụ yếu giữ vị trí quan trọng, từ niềm say mê thân giúp đỡ tận tình thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng, em mạnh dạn thực luận văn với đề tài: “Sự hội tụ yếu ứng dụng” Bài khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Sự hội tụ yếu Chƣơng 3: Ứng dụng hội tụ yếu Do thời gian có hạn làm quen với việc nghiên cứu khoa học, vấn đề đƣợc trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc, để đề tài đƣợc hoàn thiện Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Qua em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng, tận tình hƣớng dẫn em thầy cô khoa Toán tạo điều kiện có ý kiến giúp cho khóa luận đƣợc hoàn thành Cuối em xin chúc thầy cô gia đình mạnh khỏe, thành công sống Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Không gian tô pô Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tô pô) Cho tập X ,  họ tập X Họ  đƣợc gọi tô pô X  họ thoả mãn điều kiện sau: i) X  ,  ii) (G α )αM     G   ii) (G j )1m  τ ( m N *)   Gj    M  m j 1 Cặp  X,  gọi không gian tô pô Định nghĩa 1.1.2 (Tập mở) Cho không gian tô pô  X,  , tập G   đƣợc gọi tập mở Định nghĩa 1.1.3 (Tập đóng) Tập hợp F không gian tô pô  X,  đƣợc gọi tập hợp đóng X \ F tập mở Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Định nghĩa 1.1.4 (Lân cận) Cho không gian tô pô  X,  , x  X Tập V  X đƣợc gọi lân cận điểm x không gian  X,  tồn tập mở G cho: x  G  V Định nghĩa 1.1.5 (Phần trong) Cho không gian tô pô  X,  , A  X Ta gọi phần tập A hợp tất tập mở chứa A Kí hiệu: intA A Định nghĩa 1.1.6 (Bao đóng tập) Cho không gian tô pô  X,  , A  X Ta gọi bao đóng tập A giao tất tập hợp đóng chứa A  Kí hiệu : A Định nghĩa 1.1.7 (Tập trù mật) Cho không gian tôpô  X,  , A  X Tập A đƣợc gọi trù mật nếu:  A = X Định nghĩa 1.1.8 (Không gian tách được) Không gian tô pô tách không gian có chứa tập đếm đƣợc trù mật Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền 1.1.2 Độ đo Định nghĩa 1.1.9 (Đại số) Một họ M tập tập hợp X gọi đại số tập X nếu: i) X M ; A  M,X \ A  M ii) Với họ hữu hạn tuỳ ý A1,A2,…,An  M,  A i  M n i 1 Định nghĩa 1.1.10 (σ_đại số) M gọi σ_đại số tập hợp X thoả mãn: i) X M, A  M,X \ A  M ii) Với họ đếm đƣợc A1, A2,…  M,  A i  M  i 1 Định nghĩa 1.1.11 (Không gian đo được) Cặp (X,M) M σ_đại số tập X gọi không gian đo Mỗi tập A M gọi tập hợp đo đƣợc Định nghĩa 1.1.12 (Hàm đo được) Cho không gian đo đƣợc (X,M) A M Hàm số f : A →  gọi đo A a  , tập hợp {x A : f(x) < a} M 10 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Sử dụng công thức tính tổng chuỗi hình học hữu hạn, dễ dàng nhận đƣợc, với   0, sin(N  ) 2k N ()   sin (10’) Nhƣ hội tụ chuỗi Fourier hàm liên tục tƣơng đƣơng với dãy {kn} đƣợc định nghĩa (10) xấp xỉ  hàm Theo định lí 3.1.1 trƣờng hợp điều kiện (2), (3), (4) đƣợc thoả mãn Bây điều kiện (4) không thoả mãn Để thấy điều sử dụng bất đẳng thức sin    , nghĩa là: sin    Sử dụng (10’) số phép tính đơn giản, ta nhận đƣợc:     k n ()d  1 d sin(N  )       (N  )   sin  d  Tích phân cuối này, dễ thấy lớn const.lgN Nhƣ điều kiện (4) không thoả mãn, theo hệ 3.1.1, với hàm f, chuỗi Fourier f phân kì  = Bài tập Chỉ tồn hàm tuần hoàn liên tục mà chuỗi Fourier phân kì n điểm tuỳ ý 48 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền 3.3 Cầu phương xấp xỉ Một công thức cầu phƣơng xấp xỉ xấp xỉ tích phân hàm liên tục f [-1;1] Lấy N điểm tj [-1;1] gọi điểm nút N số wj gọi trọng, định nghĩa q(f) bởi: N q(f )   w j f (t j ) (11) 1 Chúng ta quan tâm tới q nhƣ xấp xỉ tới  f (t)dt (11’) 1 Định lí 3.3.1 Giả sử qN dãy công thức cầu phương có dạng (11) thoả mãn điều kiện sau: i) Với số nguyên không âm k, lim qN (t )   t dt k k N  ii) (12) 1 Với N, N  w (N)  C , (13) j C số Khi đó: lim qN (f )   t dt , k N  (14) 1 với hàm liên tục f Ngược lại, (14) với f liên tục (12), (13) thoả mãn 49 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Chứng minh Từ (12) suy (14) với đa thức f Bất đẳng thức (13) khẳng định phiếm hàm tuyến tính qN C[-1;1] có chuẩn bị chặn Vì đa thức trù mật C[-1;1] nên ta có (14) với hàm liên tục f Điều ngƣợc lại đƣợc suy từ định lí 2.2.3 Bài tập Chứng minh trọng số wj dƣơng từ (12) suy (13) 3.4 Tính giải tích yếu giải tích mạnh hàm giá trị vectơ Giả sử f hàm đƣợc xác định miền G mặt phẳng phức  , mà giá trị nằm không gian Banach phức X Định nghĩa 3.4.1 f(C) giải tích mạnh G giới hạn: f (  h)  f () h0 h lim tồn theo tô pô chuẩn điểm G Định nghĩa 3.4.2 f(  ) giải tích yếu G phiếm hàm tuyến tính bị chặn l l(f(  )) hàm giải tích  theo nghĩa cổ điển N Dunford chứng minh đƣợc kết sau: Định lí 3.4.1 Một hàm giải tích yếu giải tích mạnh 50 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Chứng minh Nếu l(f(  )) giải tích G, thay tổng tích phân Cauchy: l(f ()) d , C  l(f ())   d  (15) d 2i  C đƣợc điều chỉnh xung quanh  Tƣơng tự tổng  thay đổi thành  +h  +k, h k đủ nhỏ Giả sử k  0, h  0, h  k; biểu thị tỷ sai phân tỷ sai phân nhƣ sau:  l(f (  h))  l(f ()) l(f (  k))  l(f ())     h k  h k    l(f ()) C d (    h)(    k)(  ) (16) Cho l cố định h , k đủ nhỏ, vế phải (16) bị chặn số M không phụ thuộc vào h k Chúng ta viết lại vế trái l(xh,k) đó: x h,k   f (  h)  f () f (  k)  f ()     h k  h k  Nhƣ giải tích yếu có nghĩa với l h, k đủ nhỏ: l(x h,k )  M(l) 51 (17) Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Chúng ta sử dụng nguyên lí bị chặn đều, định lí 2.2.4 ta có x h,k  C, h, k đủ nhỏ Từ định nghĩa (17) xh,k điều có nghĩa chuẩn tƣơng đƣơng: f (  h)  f () f (  k)  f ()   C h  k h k (18) Vì X đầy đủ suy tỷ sai phân f(  ) hội tụ tới giới hạn theo nghĩa mạnh, hay f(  ) giải tích mạnh G 3.5 Sự tồn nghiệm phương trình đạo hàm riêng Chúng ta kí hiệu L toán vi phân tử cấp có dạng sau, đƣợc hình thành hàm giá trị vectơ: m L  A j  B, (19) j 1 Aj B hàm giá trị ma trận vuông biến số độc lập sj, Aj(s) khả vi, B(s) liên tục và: j   sj Để đơn giản giả sử Aj B giống nhƣ hàm mà L tác động đến, tuần hoàn với biến s chúng hàm giá trị thực Thông thƣờng ta kí hiệu toán tử liên hợp L L*: L*    j A Tj  BT , (19’) AT, BT kí hiệu ma trận chuyển vị Phép lấy tích phân phần cho thấy với cặp hàm tuần hoàn giá trị vectơ với u v C1, 52 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền (v,Lu) =(L*v,u) , (20) dấu ngoặc biểu thị tích vô hƣớng L2 hình lập phƣơng chu kì Giả sử Aj đối xứng: AjT = Aj Khi so sánh (19) (19’) đƣợc: L*  L   A j,j  B  BT , Aj,j biểu thị phần đạo hàm riêng Aj theo sj Thay vào (20) chọn v = u, ta có: 2(u,Lu) =((L+L*)u,u) = (  A j,j  B  BT  u,u ) (20’) Sử dụng ngôn ngữ phân bố, ta phát biểu: Định lí 3.5.1 Giả sử vế phải (20’) xác định dương:  A j,j  B  BT  k.I , k>0 (21) Khi hàm bình phương khả tích tuần hoàn f phương trình: Ly = f, (22) có nghiệm y theo nghĩa phân bố hàm bình phương khả tích tuần hoàn Chứng minh Từ (20’) (21) C1 hàm tuần hoàn thoả mãn bất đẳng thức: (u.Lu)  k u , 53 (21’) Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền u kí hiệu chuẩn L2(F) Kí hiệu không gian Hilbert L2(F) H Giả sử Y không gian hữu hạn chiều H gồm C1 hàm tuần hoàn Kí hiệu phần bù trực giao Y H Y  Xét phƣơng trình: Ly = f Y  , (22N) với y  Y Đây phƣơng trình n tuyến tính với y  Y , N = dimY Theo đại số tuyến tính, hệ phƣơng trình tuyến tính có nghiệm với f tƣơng đƣơng phƣơng trình nhất: Lz  Y, z  Y, (23) xảy z = Lấy tích vô hƣớng (23) với z sử dụng (21), ta có:  (z.Lz)  k z , điều suy z = Vì (22N) có nghiệm y Lấy tích vô hƣớng (22N) với y; sử dụng (21’) bất đẳng thức Schwarz, ta có: k y  (y,Ly)  (y,f )  y f Điều có nghĩa là: y  f k (24) Bây giả sử YN dãy tăng không gian C1 hàm mà hợp chúng trù mật H Kí hiệu yN nghiệm (22N) Theo (24) y N dãy bị chặn Bởi vậy, từ H không gian phản xạ, theo định lí 2.3.1, ta có dãy {yN}, đƣợc kí hiệu {yN}, hội tụ yếu tới y: 54 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền W – limyN = y Giả sử v YN ; YN bao gồm hàm khả vi nên v khả vi, giả sử thuộc YM Cho y N  YN , LyN – f  YN Lấy tích vô hƣớng với v; với N > M ta có: (v,LyN) – (v,f) = Vì v khả vi, nên viết lại (20) dƣới dạng: (L*v, yN) – (v, f) = Do dãy yN hội tụ yếu tới y, kết luận với v YN , (L*v, y) – (v, f) = (25) Ta chọn không gian YN cho hợp chúng không trù mật H mà trù mật H1, không gian tất L2 hàm tuần hoàn mà có đạo hàm bậc thuộc L2 Điều có nghĩa cho v thuộc C1 hàm tuần hoàn, có dãy {vk} hàm thuộc YN thoả mãn vk hội tụ tới v không gian định chuẩn L2, đạo hàm bậc vk hội tụ tới đạo hàm bậc v không gian định chuẩn L2 Từ L* toán tử cấp 1, từ L*vk hội tụ tới L*v không gian định chuẩn L2 Đặt v = vk (25), ta chuyển qua giới hạn kết luận (25) v  C1 Một hàm y thoả mãn (25) với C1 hàm v đƣợc gọi thoả mãn phƣơng trình vi phân (22) theo nghĩa yếu Rõ ràng, với v nghiệm (22) theo nghĩa phân bố tức (25) với C0 hàm v 55 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Friedrichs cho thấy nghiệm yếu (22) nghiệm mạnh theo nghĩa sau đây: Có dãy C1 hàm zn hội tụ tới y theo nghĩa L đồng thời L zn hội tụ tới f theo nghĩa L2 Điều dễ thấy, sử dụng (21’) phƣơng trình (22) có nghiệm mạnh Theo không dãy mà tất dãy yN hội tụ Phƣơng pháp đƣợc mô tả mục thu đƣợc nghiệm y phƣơng trình (22) nhƣ giới hạn yếu ngiệm yN phƣơng trình (22N) đƣợc gọi phƣơng pháp Galerkin’s Nó công cụ mang tính lí thuyết dùng để chứng minh tồn nghiệm phƣơng trình (22) Đây phƣơng pháp thực hành để xác định 3.6 Sự biểu diễn hàm giải tích với phần thực dương Giả sử f(  ) hàm giải tích hình tròn đơn vị  < Có phần thực dƣơng: h(  ) = Ref(  )  ,  < Với hàm giải tích định nghĩa bên hình tròn liên tục đến biên đƣợc biểu thị phần ảo số dƣới dạng phần thực biên tích phân Poisson Trên hình tròn bán kính R < Ta có: Cho  < R, 2R f ( )   R  .e i  h(R.ei  )d  iC  i R-.e (26) Đặt  = Ta thấy: 2R h(0)   h(R.ei  )d 56 (26’) Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Giả sử R  thông qua dãy Rn  Hàm h(Rnei ) hàm không âm  có tích phân toàn vòng tròn xác định (26’), h(0) Ta kết hợp với Rn phiếm hàm tuyến tính: 2R l n (u)   h(Rn ei  )u()d (27) Trên không gian  hàm liên tục u đƣờng tròn S1 Từ h  (26’), ta có: l n  h(0) Vì  (S1 ) tách đƣợc, ta sử dụng định lí Helly’s, định lí 2.4.2 kết luận dãy của{ l n } hội tụ yếu* theo giới hạn tới l nếu: liml n (u)  l(u) , n (28) với hàm liên tục u Từ (28) tính bị chặn l n suy với dãy un hội tụ mạnh tới u, ta có: liml n (un )  l(u) n Ta áp dụng điều với: un  Rn  .e i   .e i ; u  Rn  .e i   .e i  số phức với  < 1, sử dụng (26), (27), (28), ta có:  .e i f ()  l( )  .e i 57 (28’) Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Các phiếm hàm ln định nghĩa (27) rõ ràng không âm, giới hạn chúng hội tụ yếu* tới l Theo hệ định lí Riesz định lí 1.2.9, với phiếm hàm không âm  (S1 ) đƣợc biểu diễn nhƣ tích phân với độ đo dƣơng m Nhƣ ta chứng minh đƣợc phần Định lí 3.6.1 (Herglotz –Riesz) Mọi hàm giải tích f hình cầu đơn vị  < có phần thực dương biểu diễn dạng:  .e i f ()   dm  iC ,  .e i (29) m độ đo dương, C số thực Ngược lại với hàm f biểu diễn hàm giải tích hình cầu đơn vị có phần thực dương biểu diễn (29) Chứng minh (29) biểu diễn hàm giải tích với phần thực dƣơng hình cầu đơn vị với độ đo dƣơng m hiển nhiên ta có công thức (30) bên dƣới Dễ thấy biểu diễn ta ý tới phần thực (29) là:  r2 h()   dm,   r.ei   2r.cos(  )  r (30) Lấy hàm liên tục u(  ), nhân (30) với u(  ) lấy tích phân theo  S1 Sau hoán vị thứ tự phép lấy tích phân vế phải, ta có: i  h(r.e )u()d   ur ()dm , 58 (31) Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền đó:  r2 ur ()   u()d  2r.cos(  )  r Ta thấy h(  )đƣợc biểu diễn công thức (30) độ đo khác m m’ Giả sử r  (31); từ định lí 3.1.1, suy ur  u theo chuẩn max Từ vế trái (31) không phụ thuộc vào độ đo biểu diễn, theo đó:  u()dm   u ()dm' , với hàm liên tục u Ta sử dụng tính đo đƣợc biểu diễn định lí Riesz ta có kết luận m  m’ Điều dẫn tới định lí 3.6.1 đƣợc chứng minh Từ sự đo đƣợc m mà giới hạn (28) không tồn với dãy mà với dãy  59 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền KẾT LUẬN Nhƣ nói phần mở đầu, mục đích khóa luận nghiên cứu, tìm hiểu sâu hội tụ yếu ứng dụng hội tụ yếu không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert bao hàm nhiều tính chất đặc trƣng, tổng quát giải tích hàm Để hoàn thành đƣợc khóa luận phải đọc tìm hiểu kĩ lƣỡng kiến thức sở kiến thức có liên quan khác Thành công khoá luận cung cấp có tính hệ thống hội tụ yếu ứng dụng hội tụ yếu, nghiên cứu tính chất chúng số không gian biết Qua việc thực đề tài này, mở rộng tầm hiểu biết giải tích hàm làm quen với nghiên cứu khoa học Đối với vấn đề đƣợc lựa chọn cho khoá luận hy vọng vấn đề giúp cho việc nghiên cứu đối tƣợng khác giải tích hàm, nhƣ ngành khác Toán học lý thuyết Toán học ứng dụng Mặc dù có nhiều cố gắng song khuôn khổ đề tài, thời gian có hạn, vấn đề thân nên số vấn đề đặt khoá luận chƣa đƣợc giải triệt để Vì vậy, em mong ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để khóa luận đƣợc hoàn chỉnh Trƣớc kết thúc khóa luận, lần em xin đƣợc bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc trƣờng ĐHSP Hà Nội thầy cô 60 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền trƣờng, đặc biệt thầy TS Trần Văn Bằng cho em hƣớng nghiên cứu phù hợp hƣớng dẫn nhiệt tình hiệu để em hoàn thành khoá luận 61 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật [2] Nguyễn Phụ Hy (2006), Hàm số biến số phức, Nxb Khoa học kĩ thuật [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tô pô đại cương độ đo tích phân, Nxb Giáo dục [4] Vũ Tuấn, Phan Đức Thành (1981), Ngô Xuân Sơn, Giải tích toán học tập 2, Nxb Giáo dục [5] Peter D Lax (2002), Functional Analysis, Nxb John Wiley and Sons, Inc 62 [...]... ra:  (y,x n ) hội tụ  lim (y,x n ) = 0 2 j 1 2 n Nên lim(y,x n )  0, y  l 2 n Do đó {xn} hội tụ yếu tới phần tử θ Nhƣng hiển nhiên dãy {xn} không hội tụ mạnh tới θ , vì: 2 x n  x m  2,(m  n) Vậy {xn} hội tụ yếu tới θ nhƣng không hội tụ mạnh tới θ Ví dụ 2.1.2 H là không gian Hilbert bất kì, {xn} là một họ trực chuẩn, họ này hội tụ yếu nhƣng không hội tụ mạnh tới  Chứng minh Theo bất... toàn bộ độ đo bằng 1 khi đó f p là một hàm tăng dần của p, do đó  đối ngẫu của l1 là l Theo sự quan sát của Schur: Nếu một dãy {xn } trong l1 hội tụ yếu thì hội tụ mạnh Bài tập 2 Chứng minh sự phát biểu trên 2.2 Tính bị chặn đều của dãy hội tụ yếu Kết quả sau sử dụng hữu ích trong việc chứng minh sự hội tụ yếu Định lí 2.2.1 Giả sử một dãy điểm {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn 32 Khóa luận... ,y) hội tụ  lim (x n ,y)  0 2 2 n n1 Nên suy ra lim(x n ,y)  0 (5’) n hay l(xn) = (xn,y)  0 khi n   Từ sự biểu diễn của định lí Riesz, tất cả phiếm hàm tuyến tính dạng (5’) hội tụ yếu tới  Từ x n  1,x n nên {xn} không hội tụ mạnh tới  Ví dụ 2.1.3 X = C[0,1]   nt   x n (t)  2  nt    0  1 n 1 2 ; t n n 2 ;  t 1 n ;0  t  Chứng minh {xn }hội tụ yếu tới 0 nhƣng không hội. .. † x hoặc (1”) w - limx n = x n Khái niệm này khác với khái niệm về hội tụ theo nghĩa thông thƣờng lim y n  y = 0 (2) n Trong trƣờng hợp này chúng ta nói dãy {yn} hội tụ mạnh tới y, và kí hiệu là: yn  y (2’) S – limy n = y (2”) hoặc n Rõ ràng, một dãy hội tụ mạnh tới x thì cũng hội tụ yếu tới x Thật vậy: Nếu dãy (xn)  X hội tụ mạnh tới x  X, nghĩa là: lim x n  x = 0 n 27 Khóa luận tốt nghiệp... Nguyễn Thị Thanh Tuyền Ta có l(x n )  l(x)  l(x n  x)  Cl x n  x Vì lim x n  x = 0 suy ra lim l(x n )  l(x)  0, l Nghĩa là dãy điểm (xn) hội tụ n n yếu tới x  X Nhƣng một dãy hội tụ yếu tới x thì chƣa chắc hội tụ mạnh tới x Dƣới đây là một vài ví dụ: Ví dụ 2.1.1 X = l2, mỗi điểm là vectơ: x = (a1,a2,…) (3) với các thành phần thoả mãn:  2 x   aj   2 (3’) j 1 Khi đó l2 là một không... của R Một điểm z của X thuộc vào bao lồi đóng M* của M; đối với mọi l thuộc X: l(z)  SM (l) 1.3 Kiến thức liên quan khác Công thức Poisson: R2  y u(y)  nw nR trong đó: BR là hình cầu bán kính R 26 2  BR uds xy n Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền CHƢƠNG 2 SỰ HỘI TỤ YẾU 2.1 Định nghĩa Một dãy {xn} trong không gian tuyến tính định chuẩn X đƣợc gọi là hội tụ yếu tới x nếu: liml(x n ) =... yk =  x nk (t)  4 , (7) 1 có nghĩa là y k  4,  k Từ (6) suy ra: k l(yk) =  l(x nk )  k. 1 Do thoả mãn với mọi k và do yk  4,  k , dẫn đến mâu thuẫn với tính bị chặn của l suy ra xn hội tụ yếu tới 0 Từ x n  max x n (t)  1 Do đó {xn} không hội tụ mạnh tới 0 Bài tập 1 Chứng minh bất đẳng thức(7) (Vẽ một đồ thị của xn(t)) Với n = 3 ta có:   3t   x 3 (t)  2  3t    0  1 3 1 2 ; t... Dãy {uk} các hàm trong C0 hội tụ tới u nếu giá tất cả uk chứa trong tập compact K và với mỗi đa chỉ số   12  n , Duk  D11 Dn n uk hội tụ đều tới Du , trong đó Di là đạo hàm riêng theo biến xi Định nghĩa 1.1.47 ( Phân bố) Phân bố (hàm suy rộng) là một phần tử thuộc không gian đối ngẫu của C0 , tức là một phiếm hàm tuyến tính giá trị phức l trên C0 (sự liên tục ở đây đƣợc hiểu là l(uk)... 2C z  x  (x,x n  x m )  2C     4C 2 Từ đó suy ra, với mỗi z  X dãy số (xn, z) (n = 1,2 …) là dãy số cơ bản nên dãy đó phải hội tụ Suy ra dãy {xn } hội tụ yếu, hay: w – limxn = x Dễ thấy định lí 2.1.1 vẫn đúng trong không gian Banach Từ điều này, chúng ta sử dụng nguyên lí bị chặn đều của không gian metric đầy S: Nếu một họ {fv} các hàm giá trị thực fv trên S bị chặn từng điểm với mỗi x trong... j 1  a j bj ,  bj   (4) Ta gọi xn nhƣ là vectơ đơn vị thứ n, nghĩa là vectơ có thành phần thứ n là , 0 , , 1, tất cả các thành phần khác là 0: xn = (0   1, 0, ) n Dãy {xn} hội tụ yếu tới 0 nhƣng không hội tụ mạnh Thật vậy: Vì l2 là không gian Hilbert, theo định lí Riesz tất cả các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên l2 đều có dạng: 28 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền  l(x) ... quan sát Schur: Nếu dãy {xn } l1 hội tụ yếu hội tụ mạnh Bài tập Chứng minh phát biểu 2.2 Tính bị chặn dãy hội tụ yếu Kết sau sử dụng hữu ích việc chứng minh hội tụ yếu Định lí 2.2.1 Giả sử dãy điểm... Chương 2: Sự hội tụ yếu …………………………………………… 22 2.1 Định nghĩa ……………………………………………… 22 2.2 Tính bị chặn dãy hội tụ yếu …………………… 27 2.3 Tính liên tục compact yếu ……………………………… 33 2.4 Sự hội tụ yếu* …………………………………………... liên tục O, nên mn không hội tụ yếu Định lí 2.4.1 Một dãy điểm hội tụ yếu* {un } không gian Banach U = X’ bị chặn 42 Khóa luận tốt nghiệp Sv Nguyễn Thị Thanh Tuyền Chứng minh Sự hội tụ yếu* suy