ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC SƯ PHAM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
TRAN THI NGOC ANH
SU HOI TU CUA DAY CAC BIEN NGAU NHIÊN
VA MOI LIEN HE GIUA CHUNG
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên nghành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
Trang 2LOI CAM ON
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, với sự cố gắng của bản thân cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luân này
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy giáo trong tổ Ứng dụng, các bạn sinh viên đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt, em xin
gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo
Nguyễn Trung Dũng-thầy đã giúp đỡ tận tình trong quá trình chuẩn bị và thực hiện khóa luận này
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên em không tránh khỏi
những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy
cô giáo và các bạn sinh viên, để khóa luận của em dược hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu do tôi thực hiện
Trang 4Mục lục MỞ ĐẦU| c2 S222 5
Chương I.|Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên| 6 L1 |Một số kiến thức liên quan| - - 6 I.1.1.|Không gian Zp| - c2 2S 2S nh 6 I.1.2.|Bất đẳng thức Chebyshev| 6 1.1.3.|Bất đẳng thức Markov| - -.- 7 1.1.4.|Bất đẳng thức C¡| - 722cc 22c 7 12 |Hội tụ hầu chắc chắn| -. - 7 13 |Hội tụ theo xác suất| -.-. -< + 14 1.4 |Hội tụ trung bình | 16 1.4.1.|Tính chất khả tích đều| -.- 16
1.4.2./H6i tu trung binh| 0 eee eee nee 18
1.5 |Hội tụ theo phân phối| - 20 Chương II.|Mối liên hệ giữa các dạng hội tu| - 21
I.1 Mối liên hệ giữa hội tụ hầu chắc chắn và hôi tụ theo xác suấtt
21
H.2 |Mối quan hệ giữa hội tụ theo xác suất và hội tụ theo phân phối
25
I3 |Mỗi liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo xác suat| 30
11.4 |Mối liên hệ giữa hội tụ theo trung bình và hội tụ hầu chắc chắn
Trang 5KẾT LUẬN .-.-. -<-ccccc<c<cccc<css
Trang 6
MO DAU
Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người bắt buộc phải tiếp xúc với các biến cố ngẫu nhiên khơng thể dự đốn trước được Một lĩnh vực của toán học có tên là : "Lí thuyết xác suất" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên
Ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm
vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn ứng dụng Một mặt Lí thuyết xác suất là
một ngành toán học có tầm lí thuyết ở trình độ cao, mặt khác nó được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật và cả khoa học xã hội và nhân văn Đặc biệt Lí thuyết xác suất gắn liền với khoa học thống kê, một khoa học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích dữ liệu, thông tin định lượng
Khóa luận này sẽ trình bày một phần trong Lí thuyết xác suất : "Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng"
Khóa luận đươc trình bày theo bố cục:
Chương l1 : Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
Trong chương này đã trình bày các mục sau: Hội tụ hầu chắc chắn, Hội tụ theo xác suất, Hội tụ theo trung bình, Hội tụ theo phân phối , các định nghĩa, định lí, các ví dụ về các dạng hội tụ
Chương 2 : Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ
Trong chương thứ 2 đã trình bày mối liên hệ giữa các dạng hội tụ, các định lí, các ví dụ và các phản ví dụ về các mối liên hệ
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo Nguyễn Trung Dũng dã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ em trong quá trình viết khóa luận
Trang 7Chương I
Sự hội tụ của dãy các biên
ngâu nhiên
II Một số kiến thức liên quan
I1.I Không gian ⁄, Với p > 0, ki higu Y, = %,(Q, F ,P) là tợp hợp các b.n.n X (xác định trên (O,.Z,P)) sao cho E |X |Ï< œ Khi X € ⁄„,p > 0 ta kí hiệu: pt IX|lp =(E|X |")? Nó được gọi là chuẩn bậc p của X 1.1.2 Bất đẳng thức Chebyshev
Gia st X € ZY va g: R —> R, 1a ham Borel khéng âm và không giảm trên [0,-+œ).Khi đó nếu g(X) > 0 thì
Trang 81.1.3 Bất đẳng thức Markov |x|? E P{@:|X(@) |>e}< EP ,Yp>0,Ve >0 Bất đẳng thức Markov là hệ quả của bất đẳng thức Chebyshev LI1.4 Bất đẳng thức C, Nếu X,A € Z, với r > 0 thì : E|X+A['<Œ.E|X|T+Œ.E|Al trong đó : 1 với <zr<1 C, = : 2-1) véir>1 1.2 Hội tụ hầu chắc chắn
Ta luôn giả thiết (O,.⁄, P) là không gian xác suất cơ bản, với P là đọ đo di Giả sử {X„,n > 1} là dãy đại lượng ngẫu nhiên , xác định trên cùng một không gian xác suất (O.,.Z,P)
Ta kí hiệu {X„ —} là tập những @ sao cho đối với nó, dãy {X„(@)} hội tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, ta có thể viết: {%,—}=f1U f1 (IXz„=X;I< 2) k=1n=1m=n+1 hay = ee 1 {Xn —} = (1 U {sup | Xn+v — Ấn |< —} + vel k k=ln=l °7
Vi vay, {X, >} € & va do dé cé thé ndi vé xdc suat của tập hội tụ (hay không hội tụ) của dãy những đại lượng ngẫu nhiên
Định nghĩa I.2.1 Dấy các đại lượng ngẫu nhiên {X„} được gọi là hội tụ hâu chắc chắn (hay với xác suất 1) đến đại lượng ngẫu nhiên X (và viết Xn heey) néu
P{@: lim X„(@) = X(@)} = I
Trang 9Giới hạn hầu chắc chắn (nếu tổn tại ) là duy nhất theo định nghĩa : nếu
X„ “Sx vax, 2S n thi P(X =n) =1
Vi du L1 Cho Q = (0,1], là ø đại số Borel của (0,1], P là độ đo Lebesgue thông thường của (0, 1] và với mỗi k € Ñ ta xác định k đại lượng ngẫu nhiên k) (6) ví () XI” trong đó X/)=1/j=1,k,VWk€NÑ Day sé trén la day sô dừng, có xác suất bằng 1, nên dãy sô trên hội tụ hầu chắc chắn Mệnh đề I.2.1 Để dãy đại lượng ngẫu nhiên {X„,n > 1} hội tụ hầu chắc chắn, cân và đủ là: lim P{sup | X„ — X„ |> £} = 0,Ve >0 n->œ m>n Chứng minh:
Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, X„ hội tụ hầu chắc chắn khi
và chỉ khi nó cơ bản với xác suất 1 Tức là biến cố sau đây có xác suất bằng 0 {X, }= U (1 {sup | X„ — X„ |> 2 k=1n=1 m>n Xác suất của biến cố ở về phải đẳng thức trên bằng 0 khi và chỉ khi: ^ 1 P(() sup | Xm —Xn |> D = 0,Vk n=) m2n
Hiển nhiên, điều này xảy ra khi và chỉ khi:
lim P{sup | X„ — X„ |> £} = 0,Ve >0
HỲ% m>n
Trang 11=>3dk>n = P{@ :| X¿(@) — X(@) |> e} =0,Ve >0 => P{@: sup | X¿(@) — X(@) |> e} =0,Ve >0 k>n => lim P{q@: sup | X,(@) —X(@) |> €} =0,Ve > 0 n—yœ k>n e Ta sẽ chứng minh (3) = (1) Giả sử : lim P(@ : sup | X¿(@) — X(@) |> £) =0,Ve >0 n->œ k>n Vì sup | X(@) —X(o) |>e k>n =]| X.(@) — X() |> £,Vk >n =| X,(@) — X(@) |> £,k = 1,2,3 Chọn n=k Do đó từ => lim P(@ : sup | X¿(@) — X(@) |> £) =0,Ve >0 noo k>n => lim P(@:| X,(@) —X(@) |> €) = 0,k = 1,2,3 n->y => lim P(@ :| X;(@) — X(@) |> £) = 0,Ve >0 n—>œ => lim P(@ :| Xz(@) — X(@) |< £) = 1,Ve >0 n—>œ => P(@ : lim X;(@) = X(@)) = 1 n—yœ h.c.c X, —> X
Ménh đề I.2.3 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ hầu chắc chắn)
Dấy {X;} hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy {X„} cơ bản theo nghĩa hấu chắc chắn
Trang 12Chứng minh:
o[=] Gia sit x, “S x
Khi do, do:
sup | X_—X) |< sup | X;—X | +sup | X;—X |
k,l>n k>n l>n
và giả thiết suy ra dãy {X„} cơ bản hầu chắc chắn
e[—] Nếu {X;} cơ bản hầu chắc chắn thì với xác suất 1, các dãy {X„(@)} cơ bản trong ïR, do đó hội tụ tới X(@) nào đó
Đặt
X(@) = X() tai @ ma gidi hạn tổn tại
Trang 14Mệnh đề I.2.5 Giả sử E, >o,n>1 va » <wœ n Khi đó nếu 3_P( Xn+1 —Xn |> En) <0 n thì dãy {X„} hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nào đó, hữu hạn hâu chắc chắn Chứng minh: Dat A, = (| Xn+1 —X), |> En) Từ giả thiét va B6 dé Borel-Cantelli | P(limsupA,) =0 n Néu @ Ở limsupA„ n thi ton tai N(@) sao cho w ¢ A, véin > N(@) hay: |Xny1 — Ấn |< E„„n > N(œ) Vậy, khi n o ¢ limsupA, thì chuỗi số 3| X„.i(@)— X„(@) | 1 có các số hạng bị trội bởi các số hạng tương ứng của chuỗi hội tụ 3e n
bat dau tir s6 hang N(@) Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn
X(ø) = limX, = Xi(@)+ Y (Xp (@) — X;(@)) n=1
với mỗi @ ý limsupA„
1
Trang 15L3 Hội tụ theo xác suất
Định nghia 1.3.1 Ta ndi rằng, đấy các đại lượng ngẫu nhiên {X„} hội tụ z 4 k x oA ` +4 P Á theo xác suất đên đại lượng ngâu nhiên X ( và viễt Xy —> X ) nêu: lim P(@ :| X;(@) — X(@) |> £) = 0,Ve >0 ñ-›s Từ nhận xét : € € {|X-—7 |> c}C {|Xa—X |> 2}0t| Xu—TỊ |> 2Ì Suy ra rằng, giới hạn theo xác suất (nêu tôn tại) là duy nhất theo định nghĩa: nếu X,— +X,X; => TỊ thì P(X=n)=1
Ví dụ L2 Nếu trung bình của n biển ngẫu nhiên Y¡,¡ = 1, n độc lập và phân phối đồng đều được cho bỏi:
1 n
Xn = -yy;
Hj=i
Thì khi n tiến tới vô cùng, X; sẽ hội tụ theo xác suất về một chung bình chung u của các biến ngẫu nhiên Y,
Vi du 1.3 Cho Q = (0,1], là Ø đại số Borel của (0,1], P là độ đo Lebesgue thông thường của (0, 1] và với mỗi k € Ñ ta xác định k đại lượng ngẫu nhiên k) x xk x! trong do: x = 1 néu* <a@<i
J 0 rong trường hợp ngược lại
Trang 16Chứng minh:
e Điều kiện cần suy ra từ nhận xét:
{[X,—X» |>e}C {|X,—X I> S}U{[Xu—X |> 2}
e Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử có (1) và chọn dãy {X¿} sao cho EK 4 0 và 3£ <0 k Tiếp theo chọn n(k) sao cho : P{| X„ — X„ |> &} < &,Wa,m > n(k) Ta đặt ny = max{n¿—i + L,n(R)},mị = n(T) và Ax = {| Xing —%X„ |> X;} By, = U Ax k=n Khi đó ta có P(C)=0 vì = li <li <li (=
P(C) = fim P(Bs) < jim YY PAL) < fim 9 ek = 0
Mat khac, Vo ¢ C, SNw sao cho @ ¢ Byg, tic la @ € Al, Vk > No Do đó k+v-I | Xn, (@) —Xn,(@) < ` | Xai —Xn, | j=k k+v—l < 3` £;|0,(k,y—>) j=k
Vay Yo ¢ C,{Xn,(@)} là day (s6) Cauchy Ti d6 suy ra tổn tại đại lượng
ngẫu nhiên X (@) sao cho Xn, nee
Cuối cùng, từ nhận xét :
€ €
{[X,—X |>e}€ {[X,—Xø, > 2}U{|X„ X |> 2}
Trang 18(Điều kiện 2 có nghĩa là : họ các độ đo tạ(A) = E | Xị | 1A liên tục tuyệt đối
đêu đối với P) Chứng minh : e Điều kiện cần Ta có : sup [| X;| dP = sup( | x; |aP+ | | X; | dP) 1 7A 1 JA{|Xi|<a} A{|X;|<a} < aP(A)+ sup [ |X; | dP IT“ {|X;>a} Vi vay, néu {X;,i € I} khả tích đều, thì Ve > 0, fae > 0 sao cho: £ sup | |X; |dP< = 1 /{|Xi|2ae} 2 Do đó với ổ = 2e, La CÓ : € supE |X; |<4e+2 < +00 I va € € sup [| X;| dP < ae> —+ 5 = €,VA € of P(A) < be 1 7A 2de 2 e Điều kiện đủ : Theo bất đẳng thức Chebyshev va diéu kién 1 ta c6 : 1 oii Sup PAIX: | 4} < BH sp 2E |X E0 Do đó Võ > 0,3øs > 0 sao cho Va > ag sup P{| X; |>a} <6 I
Từ đó và điều kiện 2, ta suy ra điều phải chứng minh
Trang 19Đặc biệt, nếu Ì < p < +œ và supE | X; |< œ n thì {X„} khả tích đều 1.4.2 Hội tụ trung bình Dinh nghia 1.4.2 Gid sw {X,} C L,,X € Lp va p € (0, +) v ‘ ‘ ‘ L ‘ Nói rằng, dãy {X„} hội tụ trung bình cắp p đến X va viet X, —s X néu: lim E|X,—X |?=0 n—> +0 Từ các bất đẳng thức : 1 P{|X,—X |> e}< anh |Xu—X|.Vp>0 (E |X, —X |")? <(E|X_—X |?)?,Wr € (0p) R L
Suy ra rang, néu X,, —> X thi X, OX vA Xn tr, X,Vr € (0,p)
Vi du I.5 Giả sử Z„ là độc lập ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau:
| 1
P{Zy = 1} = —,P{Zy = 2} = 1——
Ta thay: E |Z, —2 |= (1—2)?+ + (2—2)?(1—4) = 4 + Okhin= ©
Vậy Z„ hội tụ tới hằng sô 2 theo nghĩa bình phương trung bình
Trang 20với £ > 0 h.c.c Do d6 X, —5 X Chú ý rằng 1 2 1 E(|X,—X =|" ?dx= (| Xn ") > = 356 —— +0 khi n —> œ Do đó X, -2› X
Hội tụ trung bình cấp 1 và cấp 2 là những trường hợp quan trọng trong nhiều vấn đề của lý thuyết xác suất Mệnh đề 1.4.2 Để{X„} hội tụ trung bình cấp 1 đến X, cần và đủ là : lim sup LÍ X„aP— [ xaP|=0 "?®AcøZ VA A Chứng minh : Từ các bất đẳng thức : sup LÍ x,aP— | xaP\<é |X, —X | Acad “A A E|x,—X|<| [ (X-X)dP|+|j (X,—X)áP| {Xn SX} {Xn >X} < sup | [ (X,—X)dP | Ac#Z “A
suy ra điều phải chứng minh
Định lí I.4.2 (Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ trung bình)
Giả sử {X„} € Z⁄,,p € (0,+œ) Điêu kiện cần và đủ để {X„} hội tụ trung bình cắp p đến X € Z, là :
lim E|X,—Xm |?=0, (3)
m,n—>œ
Chứng minh :
e Điều kiện cần suy ra từ bất đẳng thức Œ„
e Giả sử có (3), tức là Ve > 0,23; sao cho Vm,n > Nẹ : £
E | Xn —Xm "< 36
Trang 21trong đó 1 0<p<l Cr =} ap 2 l<p<+e Do đó sup [ |X, |? dP <supCy([ | Xn, |? đP+ [ |X, n vA n A A — Xy, |? dP) € <Œ, | |Xy, |"4P+Š A Từ đó suy ra {| X; |”} khả tích đều Mặt khác, từ (3) suy ra lim P{| X„ — X„ |“> £} =0,Ve>0 m,n->œ Do đó 3X € Z9 sao cho X„ +, X L Vay X € LZ, va Xp —>X
1.5 Hội tụ theo phần phôi
Định nghĩa I.5.1 Nếu đấy các đại lượng ngẫu nhiên {X„} hội tụ theo phân phối đến X € Z\, nếu Fạ(x) —> F(x) tại các điểm liên tục của hàm F, kí
hiệu X„ —> X
Trang 22Chương II Mỗi liên hệ giữa các dạng hội tụ Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ được thể hiện ở giản đồ dưới đây: Hội tụ hầu chc chăn
Hội tụ theo „| Hội tụ theo
xác suất phân phôi
Hội tụ theo trung bình
Hinh II.1:
H.I Mối liên hệ giữa hội tụ hầu chắc chắn va
hôi tụ theo xác suất Định lí H.1.1 a, Nếu X„ ““S X thi X, 7+ X
Trang 23Chứng minh :
e Ý (a) là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề I.2 I
e Để chứng minh (b), ta giả sử X„ — > 0 và chọn 2 dãy số dương {€,}, {dn}
sao cho £„ | 0 và }"ổy < œ
Vi X,, + 0 nén ta chon được dãy {,} thỏa mãn điều kiện P{| Xn, |= &} < Ox Dat : Rj= LU {| Xn |> &},O= (}R; k=j j=l Ro rang Rj | @ Do đó P(Q) = lim P(R,) < lim 3` ð, =0 jJ Jo pj tức là P(Q) = 0 Bây giờ ta sẽ chỉ ra lim X„, (@) = 0,V@ £ Q n—yœ Thật vay, gia stt w ¢ Q Khi đó tổn tại jo sao cho @ £ R¿„, tức là | Xn, (@) I< &, Wk > J0 Vi €; | 0 nên suy ra lim X„„(@) = 0,V@ £ Q n->œ
e Lưu ý : X„ — > X thì không suy ra được X„ “$x
Trang 24=1-li jim TT (| Xn |< €) P(|X, €
œ 1
=1-lim 1—-)=1
tim TT ( n)
Điều đó có nghĩa dãy {X„} không hội tụ hầu chắc chắn
Mệnh dé IL1.1 Néu day {X,,} cơ bản theo xác suất thì có thể rút ra được một dãy con {X„,} hội tụ hâu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nào đó
Chứng minh :
Ta chọn dãy l = nọ < mị < nạ < < nụ < bằng quy nạp như sau : Đặt no = 1 Gia st chon duce nx Khi đó tìm được 1,41 > ng sao cho : Pl| Xing, —Xm, [> 2-*] <2-*,k = 1,2,3, Do đó có thể thực hiên được do dãy {X„} cơ bản theo xác suất Rõ ràng k+1 Y Pll Xn) —Xn, 12“) << Y2* < k k Theo Mệnh đề I.2.5, dãy {X„, } hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nào đó
Định lí I.1.2 Néu đấy biến ngẫu nhiên {X„,n > 1} là đơn điệu tăng (giảm)
và X„ -“> X khi n —> œ thiX, "SX khin
Chứng minh :
Không mắt tính tổng quát, ta có thể giả thiết X = 0,X„ > 0,X„ | và X„ yx
khi n —> œ
Giả sử {X„} không hội tụ hầu chắc chắn đến X
Trang 25h.c.c Định lí H.1.3 X; —> X khi và chỉ khi sup |X, —X |—> 0 k>n khi n —> œ Nghĩa là với £ > 0 cho trước thì P(sup |X¿ — X |> e) —> 0 k>n khi n —> œ Chứng minh : Có X„ *ÊŠ X khi và chỉ khi : sup | Xy — X | 0 k>n khi n — œ Hơn nữa, dãy sup |X, —X | k>n
Trang 26Theo giả thiết : 3` P[@:| X,— X |> e] <œ k=1 nén phan du Y" Plo :| X,—X |> €] 0 k=n khi n — œ Vay P({U [@ :| xX, —X |> e]] 0 k>n khi m — œ nghĩa là X„ “SẼ X khi ø — œ
H.2 Mối quan hệ giữa hội tụ theo xác suất và hội tụ theo phân phối
Định lí H.2.1 Néu đấy các đại lượng ngẫu nhiên {X,}; X xác định trên cùng một không gian xác suất và Xạ yx thi xX, => X
Chứng minh :
Trang 27với x < 1”, Vi khi x’ tx vax" | x, F(x’) va F(x”) hội tụ về F(x) nên từ (1) và (2) ta có F (x) = lim F,,(x),Vx € C(F) n—>œ Định lí được chứng minh
e Chú ý : Mệnh đề ngược lại nói chung không đúng
Ví dụ H.2 Giả sử Z là độc lập ngẫu nhiên rời rạc xác định bỏi: 1 1 P{Z=1}=-„~,P{Z=_-I}=~ (Z=1}=5,P(Z=-1}= 5 Dấy Zạ được xác định như sau: Véin chan Z, = Z Với n lẻ Z„ = —Z Khi đó hiển nhiên với mọi n, Z„ nhận hai giá trị +1 và 1 P{Z, = 1} =P[Z„= -1} = 5 Do đó limP{Z, = 1} = P{Z = 1} limP{Z„ = —1} = P{Z = —1}
Như vậy dãy Z„ hội tụ tới Z theo phân phối
Tuy nhiên Z„ không hội tụ tới Z theo xác suất Qủa vậy với n = 2m + l:
P{|Zz„‡¡ — Z |> 1} = P{| 2Z|> 1} = P{|Z|> 5} =1
Do đó
Jim P{|Z2„+ì =Z| 1} =1#0
eTuy nhiên trong trường hợp riêng, khi X là đại lượng ngẫu nhiên suy biến, tức là tồn tại hằng số c sao cho P{X = c} = 1 ta có kết luận sau đây :
Trang 28Với mọi £”: 0 < £ < £ ta có: P{|X,—c |> e}< I—F;(c+£)+F„(c—e+£) Khi ø — œ thì F„(c + £) —> 1,F;(c—£+£')—>0 Vi vay lim P{| X, —c |> £} =0 n-oo
Ví dụ I3 a, Giá sử Z¡,Z2, và Z là độc lập ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị © gỗm các điển cô lập của đường thẳng và Z„ hội tụ tới Z theo xác suất Khi đó Z„ hội tụ tới Z theo phân phối Điều ngược lại không đúng b, Giả sử Z là độc lập ngẫu nhiên hằng só P{Z = c} = 1
Khi đó nếu Z„ hội tụ theo phân phối tới Z thì Z„ hội tụ theo xác suất tới Z Giải:
a, Gọi c là một giá trị bắt kì trong tập giá trị của Z và e > 0 là số dương đủ nhỏ sao cho khoảng (c— £,c + £) không chứa giá trị nào của Z Kí hiệu A = {Z, =c},B = {| Z—Z, |< £} Biến có AB kéo theo biến cô e— & < Z < c+€ Thành thử P(AB) < P{c—€<Z<c+e}=P{Z=c} = 1—P(AB) > 1—P{Z=c} hay P(AUB) > 1—P{Z=c} = P(A) + P(B) > 1—P{Z=c} = P(B) > P(A) —P{Z=c} hay P{| Z—Z, |> €} > P{Z, =c}—P{Z=c} Tương tự ta cũng có: P{| Z—Z, |> €} > P{Z =c}—P{Z, =c} Vay | P{Z, =c}—P{Z=c} |< P{|Z—Z, |2 €}
Cho n —> s, về phải tiến tới 0 do đó về trái tiến tới 0 Ỏ ví dụ II.2 dã cho thấy điều ngược lại không đúng
b, Ta có với mọi £ > 0:
Trang 29= P{Z, <c—e€}+P{Z, >ct+e} =1-P{c-e<Z,<c+e}<1-P{Z, =c} Theo gid thiét: lim P{Z, =c} = P{Z=c}=1 noo suy ra lim P{|Z, —Z |>e}=0 n—›e Vậy Z„ hội tụ tới Z theo xác suát
Định lí H.2.3 G¡ả sử {X„,n > 1} là các biến ngẫu nhiên Nếu e là một hằng sé ma:
thi
và ngược lại Chứng minh:
Trang 30Chứng minh: Cho ƒ có giá trị thực tế, giới hạn và thống nhất liên tục @g(ƒ)= sup | f(x)— f(y) | jx-y|<6 Vi ƒ là thống nhất liên tục @s(f) + 0,6 +0 => Ef(Xn+&:) — Eƒ(X) Ta có: | Ef (Xn + Sn) — Ef(X) |<[ Eƒ(Xu + Sn) — Ef (Xn) | + | Ef (Xn) — Ef (X) | =E | Sf (Xn + En) — f (Xn) | lig,|<ãi + 2SuP | f (x) | PÍI En [> 6] +0(1) (Tit X, —> X) = 0(1) + @5(1) + (cøns)P[| ễ» |> 5]
Xác suất cuối cùng đến 0 theo giả thiết
Cho 6 — 0 và sử dụng ( ) ta có điề phải chứng minh
Định lí H.2.5 Giá sử rằng {X„„,X„,Ÿ„,X,n > 1,u > 1} là các biến ngẫu nhiên Như vậy mà cho mỗi n,Ÿ„,X„„,u > 1 được xác định trên một miễn chung
Giả sử cho mỗi u, với n —> œ
Xun => Xu
vdi —ỳ œ
Giả sử thêm rằng cho tắt cả e > 0
lim lim sup P[| Xun — Yn |> €] = 0
UFO NF 5 oo
Sau đó ta co Y, => X voin > Chitng minh:
Đối với bất kì giới hạn, chức năng thống nhất liên tục ƒ, chúng ta phải thấy
lim Eƒ(f,) = Eƒ(X)
noo
Trang 31Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử
sup | f(x) |<1
xe
Bây giờ viết
|Ef(%n)-ES(X)|SE | fUn)—f (Xun) | +E | f (Xun) — f(Xu) | +E | f(Xu) — F(X) |
dé
lim sup | Ef (Yn) —Ef(X) |S lim lim sup E | ƒ(f,) = f(Xun) | +0+0
Nn +00 So NF n+ 00
< lim lim sup UF 00 NF 5 65 E | f(Yn) — f(Xun) | Upy, —xynl<el
+ lim lim sup E | f(¥n) — f(Xun) | Lily, —Xun|>el Hi? S HT? ® n— ý co
<swp{| ƒ(đ) = #0) l:|x— y |Š £} + lim lim sup Pl] Yn — Xun |> €] i
FON ps 60 +0
với £ + 0
Ta có điều phải chứng minh
H.3 Mối liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ
theo xác suất
Trang 32Áp dụng bất đẳng thức Fatou và Mệnh đề I.4.1 ta có : E|X |< Hm,E | X„, |< supE | Xn |< +00 n Tức là X € Z1 Hơn nữa EIx,—X|< | 1X,~X|<§} |X, —X |dP + (x,-xI>$) |X, —X |aP £ <4 |x, |aP+ | |X |dP 3 JIIx,-xI>‡} (lX„—X|>$} Từ đó và từ Mênh để I.4.1 suy ra (1) = (2) e Ta chứng minh (2) > (1) Ta có X„ A, X suy ra Ä„ = x Mặt khác ta có : 1 lim sup P{| X, |> a} < lim sup —E | X, | aro sen a J |x, |aP< | |X, —X |dP+ |X |dP {|Xn|>a} {|Xn|>a} {lXa—=XI>a} <2sup | J (Xa—X)4P|+ |X |dP
Aca “A {IXa|>a}
Từ diều kiện (2) và từ Mệnh đề I.4.2 ta suy ra {X„} khả tích đều Định lí được chứng minh Tổng quát hơn ta có : Định lí H.3.2 ø, Néu đấy biến ngẫu nhiên {| X„ |”} khả tích đều với p > 0 L nào đó và X„ — + X thì X € Z„ và X„ —”> X , L b, Ngược lại nếu {X,} C Zp,X„ —> X thì X € L,,X, ++ X va {| X, |?} khả tích đêu Chứng minh :
a, Nếu X„ -F; xX thi theo Định lí II.1.1, tồn tại dãy con {X,
chắn đến X Theo bổ đề Fatou : ›„ } hội tụ hầu chắc
E|X \?=E(lim|X,, |?) < limE | Xn, |< supE | Xn, |? < ©
k
Trang 33Từ bất đẳng thite: E | X, —X |? I, < 2?(E |X, |I4 +E |X |? Ia)
và giả thiết trong a, suy ra (| X„ —X |?) kha tích đều
Mặt khác, do X„ — + X nên với moi € > 0,P[|X„ — X |> e] — 0
do đó tìm được ?ọ sao cho: E(|X,—X | Ï\x,_xỊsej) < £,Vn > nọ Khi đó : (| X„ — X |”) = E(X¿ =X |Ÿ y,_xị<z|) + E(|X, —X | Iyy,-xjse)) < £”+£,Vn > nọ x L Diéu nay chting minh X,, —> X k L b, Nếu X„ —> X thì X €.%, Do đó : supE |X; |Ï< 2? sup(E |X, —X |? +E | X |?) < +0 n n
Với e > 0 bat ki, ta tim dude no sao cho E | X, —X |?< £ với n > nọ
Tập hữu han các biến ngẫu nhién | X |”,| X1 |”, ,| Xn |? kha tich déu, ton tai 6 > 0 sao cho khiA € ¥ va P(A) < 6 tacé:
E([X |Ÿ14) < e, sup E | X; |” lẠ < £
k<ng
Khi đó
E|Xz|fU < 2f(E |X;—X |ŸU+E |X |ŸU) < 2?†!z
với mọi n = I, 2, Vậy {| X, |Ÿ} khả tích đều Theo bat dang thite Markov, Ve > 0
.ElX.-XỊ
P||X,—X |> e]< “1 —>0
khi n —> œ
Cho nên X„ yx
Trang 34Vi dụ I4 Giả sử Z„ là độc lập ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau:
1 1
P{Z, =0} = 1—-,P{Z, =n} = -
n n
Chứng minh rang Z„ hội tụ tới 0 theo xác suất, nhưng không hội tu tới 0 theo nghĩa bình phương trung bình
Giải:
Ta có P{| Za |> £} = P{Za = n} = } — 0 khi n —y S
Do đó Z„ hội tụ tới 0 theo xác suất Mặt khác: 1 1
E |2: =0(1 —-)+r-=n> ©
n n
Khin — ~, do do Z, không hội tụ tới 0 theo nghĩa bình phương trung bình
11.4 Môi liên hệ giữa hội tụ theo trung bình và
hội tụ hầu chắc chăn
Trang 35KẾT LUẬN
Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận "Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng" Nội dung chính của khóa luận này đề cập đến là :
1, Nêu các kiến thức bổ trợ, các khái niệm, tính chất về các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
2, Nêu lên mối liên hệ giữa các dạng hội tụ
Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo Nguyễn Trung Dũng và ý kiến đóng góp của các thầy cơ trong khoa tốn và các bạn sinh viên Khóa luận tốt nghiệp cơ bản đã đạt được mục
đích đề ra Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầu làm quen với
phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài cũng không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của ý kiến của thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn
Em xin chân thành cảm ơn