Sự hội tụ đều của dãy hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LUYẾN SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA DÃY HÀM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Hà Nội, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LUYẾN SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA DÃY HÀM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng Hà Nội, 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô tổ Giải tích, Khoa Tốn, Trường Đại Học Sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt q trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Bằng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Luyến LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em suốt trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em quan tâm tạo điều kiện thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Trần Văn Bằng Trong q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết đề tài "Sự hội tụ dãy hàm" khơng có trùng lặp chép kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Luyến i Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Hàm liên tục Sự hội tụ dãy hàm 2.1 Giới hạn hàm 2.2 Sự hội tụ hội tụ theo điểm 2.3 Sự hội tụ tính liên tục 13 2.4 Metric hội tụ 15 2.5 Chuỗi hàm; dấu hiệu Weierstrass 17 2.6 Sự hội tụ phép lấy tích phân 20 2.7 Sự hội tụ đạo hàm 22 2.8 Xấp xỉ đa thức 25 Tài liệu tham khảo 34 ii Lời nói đầu Giải tích tốn học mơn học chương trình đào tạo cử nhân sư phạm Tốn học Nó đóng vai trò quan trọng việc học tập sinh viên ngành Tốn nói chung, sinh viên Sư phạm Tốn học nói riêng Về bản, môn học xây dựng dựa hàm số biến số thực (xem [2]) Tuy nhiên hầu hết nội dung Giải tích tốn học mở rộng hàm khơng gian metric (xem [3]) Để tìm hiểu vấn đề chọn thể qua chủ đề thú vị Giải tích tốn học hội tụ dãy hàm Với giới hạn dãy hàm, biết có 02 loại hội tụ chủ yếu, hội tụ điểm hội tụ Trong đó, hội tụ dãy hàm quan tâm bảo tồn tính chất liên tục, tính khả vi tính khả tích qua giới hạn, Nội dung khóa luận bao gồm chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị khơng gian metric hàm liên tục không gian metric Chương tìm hiểu hội tụ giới hạn dãy hàm không gian metric tính chất gắn với tụ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm kết không gian metric hàm liên tục khơng gian metric cần thiết cho việc trình bày kết Chương Nội dung Chương tham khảo từ [1] [3] 1.1 Khơng gian metric Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X= ∅ với ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y)≥ 0,d(x, y)=0 ⇔ x = y 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y)=d(y, x) 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Ánh xạ d gọi metric X, số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm; tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Không gian metric kí hiệu M = (X, d) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Ví dụ 1.1.1 Cho khơng gian Rn = {(x1 , x2 , , xn ) : x1 , , xn ∈ R}, n ≥ Ta định nghĩa metric Euclide (hay metric l2 ) dl2 : Rn × Rn → R bởi: dl2 ((x1 , , xn ), (y1 , , yn )) := (x1 − y1 )2 + + (xn − yn )2 n (xi − yi )2 ) =( i=1 Ví dụ, n = dl2 ((1, 6), (4, 2)) = √ 32 + 42 = Điều ứng với khoảng cách hai điểm (x1 , x2 , , xn ), (y1 , y2 , , yn ) đưa định lý Pythagore (Tuy nhiên, hình học đưa số ví dụ quan trọng khơng gian metric có khơng gian metric khơng lý giải rõ ràng hình học rõ ràng) Ta kiểm tra (Rn , d) khơng gian metric hình học (ví dụ, bất đẳng thức tam giác khẳng định độ dài cạnh tam giác nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại), kiểm tra đại số Ta gọi (Rn , dl2 ) khơng gian Euclide n chiều Ví dụ 1.1.2 Cho (X, d) metric bất kì, Y tập X Khi ta hạn chế hàm metric d : X × X → [0, +∞) để tạo hàm metric hạn chế d|Y ×Y : Y × Y → [0, +∞) X, gọi metric Y tạo metric d X Cặp (Y, d|Y ×Y ) gọi metric không gian (X, d) tạo Y Định nghĩa 1.2 (Sự hội tụ dãy không gian metric) Cho (X, d) không gian metric, (x(n) )∞ n=m dãy điểm X (Tức là, với số tự nhiên n ≥ m, ta giả sử x(n) phần tử Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến X) x điểm X Ta nói (x(n) )∞ n=m hội tụ tới x metric d giới hạn lim d(x(n) , x) tồn n→∞ Nói cách khác, (x(n) )∞ n=m hội tụ đến x với ε > 0, tồn N ≥ m cho d(x(n) , x) ≤ ε với n ≥ N Mệnh đề 1.1 (Tính giới hạn) Cho (X, d) không gian metric, (x(n) )∞ n=m dãy điểm X Giả sử có hai điểm x, x ∈ X cho (x(n) )∞ n=m hội tụ đến x metric d (x(n) )∞ n=m hội tụ đến x metric d Khi x = x Nếu (x(n) )∞ n=m hội tụ đến x X metric d ta viết d − lim x(n) = x đơn giản lim x(n) = x n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d), không gian M không gian compact tập X tập compact M 1.2 Hàm liên tục Định nghĩa 1.4 (Hàm liên tục) Cho (X, dX ) (Y, dY ) hai không gian metric f : X → Y hàm Nếu x0 ∈ X ta nói f liên tục điểm x0 với ∀ε > 0, tồn số δ > cho dY (f (x), f (x0 )) < ε dX (x, x0 ) < δ Chúng ta nói f liên tục liên tục điểm x ∈ X Mệnh đề 1.2 Cho (X, d) không gian metric compact, f : X → R hàm liên tục Khi f bị chặn f đạt giá trị lớn điểm xmax ∈ X đạt giá trị nhỏ điểm xmin ∈ X Định nghĩa 1.5 (Liên tục đều) Cho f : X → Y ánh xạ từ không gian metric (X, dX ) đến (Y, dY ) f liên tục với Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến ε > tồn δ > cho dY (f (x), f (x )) < ε với x, x ∈ X thỏa mãn dX (x, x ) < δ Mọi hàm liên tục liên tục hàm liên tục chưa liên tục Nếu X không gian compact hai định nghĩa tương đương Định lý 1.1 Cho (X, dX ), (Y, dY ) không gian metric giả sử (X, dX ) không gian compact Khi f : X → Y hàm liên tục f liên tục Định nghĩa 1.6 Cho (X, F) không gian topo, (x(n) )∞ n=m dãy nằm X x điểm thuộc X Ta nói (x(n) )∞ n=m hội tụ đến x (tức lim x(n) = x) với lân cận V n→∞ x, tồn N ≥ m cho x(n) ∈ V với n ≥ N Định nghĩa quán với khái niệm hội tụ khơng gian metric Vậy giới hạn có khơng? Câu trả lời có khơng gian topo bổ sung thành không gian Hausdorff - câu trả lời không cấu trúc khác Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Đặc biệt ta thấy 0≤ f ≤ 2ε(b − a) f− [a,b] [a,b] Vì điều với ε > nên ta [a,b] f= [a,b] f Lập luận cho ta thấy với ε > tồn N > cho f (n) − [a,b] f ≤ 2ε(b − a) [a,b] với n ≥ N Vì ε tùy ý, ta thấy [a,b] f (n) hội tụ đến [a,b] f mong muốn Định lý 2.4 phát biểu lại sau: ta đổi thứ tự lấy giới hạn tích phân (trên đoạn compact [a, b]), f (n) = lim n→∞ [a,b] lim f (n) , [a,b] n→∞ miễn hội tụ Điều tương phản với Ví dụ 2.2.3 Tương tự ta có định lý cho chuỗi: Hệ 2.2 (f (n) )∞ n=1 dãy hàm khả tích Riemann [a, b] cho chuỗi ∞ (n) n=1 f hội tụ Khi ta có ∞ ∞ f n=1 (n) f (n) = [a,b] n=1 [a,b] Hệ hoạt động đặc biệt tốt kết hợp với tiêu chuẩn Weierstrass (Định lý 2.3): 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Ví dụ 2.6.1 Ta có cơng thức tính tổng cấp số nhân (lùi vô hạn) ∞ xn = n=1 x 1−x với x ∈ (−1, 1), hội tụ (theo tiêu chuẩn Weierstrass) [−r, r] với < r < Bằng cách thêm vào hai vế, ta ∞ xn = n=0 1−x hội tụ Do ta lấy tích phân [0, r] sử dụng Hệ 2.2 ta được: ∞ xn dx = n=0 [0,r] dx − x [0,r] Do đó, ta có cơng thức: ∞ n=0 rn−1 = − log(1 − r) n+1 với < r < 2.7 Sự hội tụ đạo hàm Ta thấy hội tụ tương tác tốt với tính liên tục, giới hạn tích phân Bây ta xem xét tương tác tốt với đạo hàm Câu hỏi là: Nếu fn hội tụ đến f, hàm fn hàm khả vi, liệu hàm f có khả vi khơng? fn có hội tụ đến f khơng? 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai không Thật vậy, xét hàm fn : [0, 2π] → R với fn (x) := sin(nx) √ , n f : [0, 2π] → R với f (x) := Khi đó, hàm sin nhận giá trị đoạn [−1, 1], ta có d∞ (fn , f ) ≤ √1 , n metric d∞ (f, g) := supx∈[0,2π] |f (x) − g(x)| nêu Định nghĩa 2.5 Vì √1n hội tụ đến nên fn hội tụ đến f Mặt khác, √ √ fn (x) = n cos(nx), đặc biệt |fn (0) − f (0)| = n Vì fn khơng hội tụ điểm đến f , khơng hội tụ Đặc biệt, ta có: d d lim fn (x) = lim fn (x) n→∞ dx dx n→∞ Câu trả lời cho câu hỏi không Thật vậy, xét dãy hàm fn : [−1, 1] → R với fn (x) = n2 + x2 Các hàm khả vi, ngồi ta dễ dàng kiểm tra |x| ≤ fn (x) ≤ |x| + n với x ∈ [−1, 1] nên fn hội tụ tới hàm f (x) := |x| Nhưng hàm không khả vi Như vậy, giới hạn hàm khả vi khơng khả vi Vì vậy, hội hàm fn khơng đảm bảo hội tụ fn Tuy nhiên, điều ngược lại miễn fn hội tụ điểm Định lý 2.5 Cho fn : [a, b] → R hàm khả vi có đạo hàm fn : [a, b] → R liên tục với n ≥ Giả sử fn hội tụ tới hàm g : [a, b] → R tồn điểm x0 cho giới hạn lim fn (x0 ) tồn n→∞ Khi hàm fn hội tụ tới hàm khả vi f, đạo hàm 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến f g Một cách nôm na, định lý nói fn hội tụ fn (x0 ) hội tụ x0 , fn hội tụ d lim fn (x) dx n→∞ d fn (x) dx n→∞ = lim Chú ý 2.11 Định lý 2.5 hàm fn không liên tục, việc chứng minh khó khăn Kết hợp định lý với tiêu chuẩn Weierstrass, ta được: Hệ 2.3 Cho fn : [a, b] → R hàm khả vi có đạo hàm f : [a, b] → R liên tục với n ≥ Giả sử chuỗi ∞ n=1 ||fn ||∞ hội tụ tuyệt đối, đó: ||fn ||∞ := sup |f (x)| x∈[a,b] chuẩn sup fn Giả sử chuỗi [a, b] Khi chuỗi ∞ n=1 fn d dx ∞ n=1 fn (x0 ) hội tụ x0 ∈ hội tụ [a, b] đến hàm khả vi, ∞ ∞ fn (x) = n=1 n=1 d fn (x) dx với x ∈ [a, b] Bây ta đưa ví dụ hàm số liên tục điểm không khả vi điểm (ví dụ Weierstrass) Ví dụ 2.7.1 Cho hàm f : R → R xác định ∞ 4−n cos(32n πx) f (x) := n=1 Lưu ý chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Weierstrass Vì hàm 4−n cos(32n πx) liên tục nên f liên tục, nhiên khơng khả vi 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.8 Nguyễn Thị Luyến Xấp xỉ đa thức Như ta thấy, hàm liên tục có dáng điệu kì dị, chẳng hạn chúng khơng khả vi khắp nơi (Ví dụ 2.7.1) Mặt khác, hàm đa thức có dáng điệu tốt, chúng ln khả vi May mắn hầu hết hàm liên tục khơng có dáng điệu tốt đa thức chúng ln xấp xỉ đa thức Kết quan trọng gọi định lý xấp xỉ Weierstrass nội dung phần Định nghĩa 2.8 Đa thức [a, b] hàm số f : [a, b] → R có dạng f (x) := n j j=0 cj x , với n ≥ số nguyên c0 , , cn số thực Nếu cn = 0, n gọi bậc f Ví dụ 2.8.1 Hàm số f : [1, 2] → R với f (x) := 3x4 + 2x3 − 4x + đa thức [1, 2] với bậc Định lý 2.6 (Định lý xấp xỉ Weierstrass) Nếu f : [a, b] → R hàm liên tục ε > tồn đa thức P [a, b] cho d∞ (P, f ) ≤ ε(Tức |P (x) − f (x)| ≤ ε với x ∈ [a, b]) Nói cách khác, ta biết C([a, b] → R) không gian hàm liên tục từ [a, b] vào R, với metric d∞ Gọi P ([a, b] → R) không gian tất đa thức [a, b], không C([a, b] → R), đa thức liên tục Định lý xấp xỉ Weierstrass khẳng định hàm liên tục điểm dính P ([a, b] → R), nói cách khác bao đóng khơng gian đa thức không gian hàm liên tục: P ([a, b] → R) = C([a, b] → R) 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Đặc biệt, hàm liên tục [a, b] giới hạn dãy đa thức Hay không gian đa thức trù mật không gian hàm liên tục theo topo Chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass phức tạp thực qua bước Trước tiên ta cần khái niệm xấp xỉ đồng Định nghĩa 2.9 (Hàm với giá compact) Một hàm f : R → R gọi có giá compact [a, b] f (x) = với x ∈ / [a, b] Ta nói f hàm có giá compact có giá đoạn [a, b] Nếu f liên tục có giá [a, b], ta định nghĩa tích phân suy rộng +∞ −∞ f +∞ −∞ f là: = [a,b] f Lưu ý hàm có giá nhiều đoạn, ví dụ hàm có giá [3, 4] có giá [2, 5] Về nguyên tắc, điều có nghĩa định nghĩa +∞ −∞ f không xác định tốt, nhiên bổ đề cho ta câu trả lời: Bổ đề 2.1 Nếu f : R → R liên tục, có giá [a, b], có giá [c, d] [a,b] f = [c,d] f Định nghĩa 2.10 (Xấp xỉ đơn vị) Cho ε > < δ < 1, hàm f : R → R gọi (ε, δ)-xấp xỉ đơn vị thỏa mãn ba điều kiện sau: (i) f có giá [−1, 1] f (x) ≥ với −1 ≤ x ≤ (ii) f liên tục +∞ −∞ f = (iii) |f (x)| ≤ ε với δ ≤ |x| ≤ 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Xấp xỉ đơn vị cách xấp xỉ phiếm hàm delta Dirac δ (hàm không liên tục) hàm liên tục Tuy nhiên ta không đề cập tới định nghĩa phiếm hàm delta Dirac Chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass dựa ba ý chính, đa thức xấp xỉ đơn vị Bổ đề 2.2 (Đa thức xấp xỉ đơn vị) Với ε > < δ < 1, tồn (ε, δ) - xấp xỉ đơn vị đa thức P [−1, 1] Chúng ta sử dụng xấp xỉ đa thức đơn vị để xấp xỉ hàm liên tục đa thức Ta cần khái niệm quan trọng sau tích chập Định nghĩa 2.11 (Tích chập) Cho f : R → R g : R → R hàm liên tục có giá compact Ta định nghĩa tích chập f∗ g : R → R f g hàm: +∞ f (y)g(x − y)dy (f∗ g)(x) = −∞ Lưu ý f g liên tục có giá compact với x, hàm f (y)g(x − y) (được coi hàm y) liên tục có giá compact, định nghĩa có nghĩa Chú ý 2.12 Tích chập đóng vai trò quan trọng giải tích Fourier phương trình đạo hàm riêng (PDE) số tính chất tích chập vật lý, kĩ thuật xử lý tín hiệu Ở ta nêu vắn tắt số tính chất tích chập 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Mệnh đề 2.6 (Tích chất tích chập) Giả sử f : R → R, g : R → R h : R → R hàm liên tục có giá compact Khi phát biểu sau (i) Tích chập f ∗ g liên tục có giá compact (ii) (Tích chập giao hốn) Ta có f ∗ g = g ∗ f hay +∞ f ∗ g(x) = +∞ f (y)g(x − y)dx = −∞ g(y)f (x − y)dy = g ∗ f (x) −∞ (iii) (Tích chập tuyến tính) Ta có f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h Cũng với số thực c, ta có f ∗ (cg) = (cf ) ∗ g = c(f ∗ g) Chú ý 2.13 Có nhiều tính chất quan trọng khác tích chập, ví dụ tính chất kết hợp (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) giao hốn với đạo hàm (f ∗ g) = f ∗ g = f ∗ g f g khả vi Phiếm hàm delta Dirac nhắc đến trước phần tử đơn vị tích chập: f ∗ δ = δ ∗ f = f Như đề cập trên, chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass dựa ba ý Ý thứ hai tích chập với đa thức cho ta đa thức khác Bổ đề 2.3 Giả sử f : R → R hàm liên tục có giá [0, 1], g : R → R hàm liên tục có giá [−1, 1] đa thức [−1, 1] Khi f ∗ g đa thức [0, 1] (Tuy nhiên khơng đa thức ngồi đoạn [0, 1]) Chứng minh Vì g đa thức [−1, 1] nên ta lấy số 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến nguyên n ≥ số thực c0 , c1 , , cn cho n cj xj với x ∈ [−1, 1] g(x) = j=1 Mặt khác, với x ∈ [0, 1], ta có +∞ f ∗ g(x) = f (y)g(x − y)dy = −∞ f (y)g(x − y)dy [0,1] f có giá [0, 1] Do x ∈ [0, 1] biến lấy tích phân y thuộc đoạn [0, 1] nên x − y ∈ [−1, 1] Do ta thay biểu thức g để có n f ∗ g(x) = cj (x − y)j dy f (y) [0,1] j=0 Theo công thức nhị thức, ta có j n f ∗ g(x) = f (y) [0,1] cj j=0 k=0 j! xk (−y)j−k dy k!(j − k)! Đổi thứ tự hai dấu tổng để có n f ∗ g(x) = n f (y) [0,1] cj k=0 j=k j! xk (−y)j−k dy k!(j − k)! Bây ta đổi thứ tự tổng theo k với tích phân để ý xk độc lập với y, ta n f ∗ g(x) = n x k=0 k f (y) [0,1] cj j=k 29 j! xk (−y)j−k dy k!(j − k)! Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Nếu đặt n Ck := cj f (y) [0,1] j=k j! (−y)j−k dy (j − k)! với k = 0, , n Ck số độc lập với x ta có n ck x k f ∗ g(x) = k=0 với x ∈ [0, 1] Do f ∗ g đa thức [0, 1] Ý quan trọng thứ ba ta tích chập hàm liên tục với xấp xỉ đơn vị, ta hàm gần với hàm ban đầu (điều lý giải cho tên xấp xỉ đơn vị) Bổ đề 2.4 Giả sử f : R → R hàm liên tục có giá [0, 1], bị chặn số M > (Tức |f (x)| ≤ M với x ∈ R) cho ε > 0, < δ < cho |f (x) − f (y)| < ε, với x, y ∈ R |x − y| < δ Giả sử g (ε, δ)- xấp xỉ đơn vị Khi ta có |f ∗ g(x) − f (x)| ≤ (1 + 4M )ε với ε ∈ [0, 1] Kết hợp điều với ta phiên sở định lý xấp xỉ Weierstrass: Hệ 2.4 (Định lý xấp xỉ Weierstrass I) Giả sử f : R → R hàm liên tục có giá [0, 1] Khi với ε > 0, tồn hàm f : R → R hàm đa thức [0, 1] thỏa mãn |P (x) − f (x)| ≤ ε với ε ∈ [0, 1] 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Bây ta thực loạt điều chỉnh để chuyển Hệ 2.4 thành định lý xấp xỉ Weierstrass Trước tiên ta cần bổ đề đơn giản Bổ đề 2.5 Giả sử f : [0, 1] → R hàm liên tục hai đầu mút, tức f (0) = f (1) = Cho F : R → R hàm xác định F (x) := f (x) với x ∈ [0, 1] F (x) := với x ∈ [0, 1] Khi F liên tục Chú ý 2.14 Hàm số F thu Bổ đề 2.5 gọi thác triển f Từ Hệ 2.4 Bổ đề 2.5 ta có Hệ 2.5 (Định lý xấp xỉ Weierstrass II) Giả sử f : [0, 1] → R hàm liên tục có giá [0, 1] cho f (0) = f (1) = Khi với ε > tồn đa thức P : [0, 1] → R cho |P (x)−f (x)| ≤ ε với x ∈ [0, 1] Bây ta làm mạnh Hệ 2.5 cách bỏ giả thiết f (0) = f (1) = Hệ 2.6 (Định lý xấp xỉ Weierstrass III) Giả sử f : [0, 1] → R hàm liên tục có giá [0, 1] Khi với ε > tồn đa thức P : [0, 1] → R cho |P (x) − f (x)| ≤ ε với x ∈ [0, 1] Chứng minh Đặt F : [0, 1] → R F (x) := f (x) − f (0) − x(f (1) − f (0)) Ta thấy F liên tục F (0) = F (1) = The Hệ 2.5, có đa thức Q : [0, 1] → R thỏa mãn |Q(x) − F (x)| ≤ ε với x ∈ [0, 1] 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến Nhưng Q(x) − F (x) = Q(x) + f (0) + x(f (1) − f (0)) − f (x), nên ta có điều phải chứng minh với đa thức P (x) := Q(x) + f (x) + x(f (1) − f (0)) Cuối ta chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass Chứng minh Định lý 2.6 Giả sử f : [a, b] → R hàm liên tục [a, b] Đặt g : [0, 1] → R g(x) := f (a + (b − a)x) với x ∈ [0, 1] Khi f (y) = g( y−a ) với y ∈ [a, b] b−a Hàm g liên tục [0, 1] nên theo Hệ 2.6 tồn đa thức Q : [0, 1] → R cho |Q(x) − g(x)| ≤ ε với x ∈ [0, 1] Đặc biệt, với y ∈ [a, b] ta có |Q( y−a y−a ) − g( )| ≤ ε b−a b−a Do đó, ta đặt P (y) := Q( y−a b−a ) P đa thức |P (y) − f (y)| ≤ ε với y ∈ [a, b] mong muốn Chú ý 2.15 Định lý xấp xỉ Weierstrass dùng đoạn bị chặn [a, b], hàm liên tục R xấp xỉ đa thức Chẳng hạn, hàm mũ f : R → R, f (x) := ex khơng thể xấp xỉ đa thức hàm mũ tăng nhanh đa thức ta khơng có cách khiến cho metric sup 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến f đa thức hữu hạn Chú ý 2.16 Có phiên tổng quát định lý xấp xỉ Weierstrass cho khơng gian có số chiều cao hơn: Nếu K tập compact Rn (với metric Euclide dl2 ) f : K → R liên tục ε > tồn đa thức P : K → R n biến x1 , , xn cho d∞ (f, P ) < ε Định lý tổng quát chứng minh cách điều chỉnh lập luận khơng đơn giản 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Luyến KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận "Sự hội tụ dãy hàm" Trong khóa luận em nghiên cứu số nội dung sau Nghiên cứu hội tụ mối liên hệ hội tụ với: Sự hội tụ theo điểm, tính liên tục, phép lấy tích phân đạo hàm Ngồi khóa luận trình bày về: Giới hạn hàm, metric hội tụ đều, chuỗi hàm xấp xỉ đa thức Do thời gian vốn kiến thức hạn chế nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Em mong thầy cô, bạn sinh viên góp ý nhận xét để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 34 Tài liệu tham khảo [1] Trần Đức Long-Nguyễn Đình Sang- Hồng Ngọc Tồn, Giáo trình giải tích tập 2, NXB ĐHQG Hà Nội, 2002 [2] Nguyễn Xuân Liêm, Topo đại cương độ đo tích phân, NXB giáo dục, 1994 [3] Terence Tao, Analysis II, Third Edition, Springer, 2015 35 ... hội tụ điểm (hoặc hội tụ đều) tới hàm f : X → Y, hàm hạn chế f (n) |E : E → Y f (n) tập E X hội tụ điểm (hoặc hội tụ đều) đến f |Y 2.3 Sự hội tụ tính liên tục Bây đưa chứng minh hội tụ tốt hội. .. liên tục Sự hội tụ dãy hàm 2.1 Giới hạn hàm 2.2 Sự hội tụ hội tụ theo điểm 2.3 Sự hội tụ tính liên tục 13 2.4 Metric hội tụ ... −trong kí hiệu 2.2 Sự hội tụ hội tụ theo điểm Khái niệm rõ ràng hội tụ hàm hội tụ theo điểm hay hội tụ điểm miền xác định Định nghĩa 2.2 (Sự hội tụ theo điểm) Giả sử (f (n) )∞ n=1 dãy hàm từ không