Phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác suất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH VÕ SƠN PHÒNG PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2010 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp thầy Đậu Thế Cấp Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Học viên Võ Sơn Phòng MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN 1T T MỤC LỤC 1T T MỞ ĐẦU 1T T CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1T 1T 1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO 1T T 1.1.1 Không gian tôpô 1T 1T 1.1.2 Không gian mê tric 1T 1T 1.1.3 Định lí 1T T 1.1.4 Định lí 1T T 1.1.5 Không gian Banach thực 1T 1T CHƯƠNG : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 16 1T T 2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 16 1T 1T 2.2 CÁC DẠNG HỘI TỤ 26 1T 1T 2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 33 1T T 2.3.1 Kì vọng phần tử ngẫu nhiên 33 1T 1T CHƯƠNG : SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 41 1T T 3.1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON 41 1T T 3.1.1 Độ đo quy 41 1T 1T 3.1.6 Độ đo Radon 44 1T 1T 3.2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO 46 1T 1T 3.2.1 Hội tụ yếu 46 1T 3.3 1T 1T T π -HỆ THỐNG 51 T 1T KẾT LUẬN 53 1T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 1T 1T MỞ ĐẦU Lý thuyết độ đo không gian mêtric giữ vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích xác suất Đã có nhiều kết đặc sắc lĩnh vực định lý Prohorov, định lý Varadarajans, định lý Fernigue … Mục đích luận văn nghiên cứu phần tử ngẫu nhiên hội tụ yếu độ đo xác suất không gian mêtric vấn đề có liên quan Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh hướng dẫn khoa học PGS TS Đậu Thế Cấp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn tận tâm nhiệt tình Thầy tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO 1.1.1 Không gian tôpô Cho X tập Một họ τ tập X gọi tôpô X có tính chất sau: (i) ∅ ∈ τ , X ∈τ ; (ii) U i ∈τ , i ∈ I ∪i∈I U i ∈τ ; (iii) U ,V ∈τ U ∩ V ∈τ Nếu τ tôpô X cặp X = ( X ,τ ) gọi không gian tôpô Cho ( X ,τ ) không gian tôpô Khi tập U ∈τ gọi tập mở Phần bù tập mở gọi tập đóng Cho A tập không gian tôpô X Tập đóng bé X chứa A gọi bao đóng A , kí hiệu A Tập A ⊂ X gọi tập trù mật X A = X Không gian tôpô ( X ,τ ) gọi không gian khả li (hay tách được), có tập đếm trù mật Tập mở lớn chứa A gọi phần A , kí hiệu Một họ {Gα }α∈I int A tập mở X gọi phủ mở X ∪α∈I Gα = X Không gian tô pô X gọi không gian compăc từ phủ mở {Gα }α∈I X trích phủ hữu hạn Tập A ⊂ X gọi compăc compăc tôpô cảm sinh, tức tôpô τA = {U ∩ A : U ∈τ } A 1.1.2 Không gian mê tric Cho X ≠ ∅ Một ánh xạ d : X × X →  gọi mêtric (hay khoảng cách) X với x, y, z ∈ X có (i) d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = ⇔ x = y ; (ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) ; (iii) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) Nếu d mêtric cặp X = ( X , d ) gọi không gian mêtric Giả sử X không gian mêtric Với x ∈ X , ε > đặt B ( x, ε ) = { y ∈ X : d ( x, y ) < ε } gọi hình cầu tâm x bán kính ε Tập G X gọi mở x ∈ G tồn ε > cho B ( x, ε ) ⊂ G Họ tập mở X tôpô X , gọi tôpô sinh mê tric Không gian mêtric không gian tôpô với tô pô sinh mêtric Ta nói dãy ( xn ) ⊂ X hội tụ x ∈ X d ( xn , x ) → n → ∞ Kí hiệu xn → x (khi n → ∞ ) hay lim xn = x n→∞ 1.1.3 Định lí Tập F ⊂ X tập đóng với dãy ( xn ) ⊂ F , xn → x ∈ X x ∈ F Giả sử X không gian mêtric Dãy ( xn ) ⊂ X gọi dãy (hay dãy Cauchy) ∀ε > 0, ∃ N , ∀ m, n ≥ N : d ( xm , xn ) < ε Không gian mêtric X gọi không gian đầy đủ dãy hội tụ Trong không gian mê tric X , tập A ⊂ X tập compăc với dãy ( xn ) ⊂ A , ( ) tồn dãy xnk ⊂ ( xn ) cho xnk → x ∈ A Nếu X không gian mêtric compăc tập đóng tập compăc Tập F không gian tôpô gọi tập có tính chất Gδ F giao đếm tập mở 1.1.4 Định lí Trong không gian mê tric, tập đóng có tính chất Gδ Chứng minh Giả sử F đóng không gian mêtric ( X , d ) Đặt 1  Gn =  x ∈ X : d ( x, F ) <  n  Khi x ∈ Gn , ta có d ( x, F )= a < d ( y, F ) ≤ d ( x, y ) + d ( x, F ) < r + a= 1 Đặt r= − a r > n n , ∀y ∈ B ( x, r ) n ∞ nên B ( x, r ) ⊂ Gn Vậy Gn mở Ta chứng minh F =  Gn Thật vậy, với x ∈ F ta có n =1 d ( x, F )= < Do ∞ với n , nên x ∈ Gn với n hay x ∈  Gn n n =1 ∞ F ⊂  Gn n =1 ∞ Ngược lại, với x ∈  Gn ta có x ∈ Gn , ∀n , nên d ( x, F ) < n =1 yn ∈ F cho d ( x, yn ) < ∞ G n n =1 , ∀n Từ đó, với n có n nên lim d ( x, yn ) = , chứng tỏ yn → x Mà F đóng nên x ∈ F , n→∞ n ∞ ⊂ F Vậy F =  Gn Từ suy F có tính chất Gδ  n =1 1.1.5 Không gian Banach thực Không gian vectơ thực E gọi không gian định chuẩn (thực) tồn ánh xạ ⋅ : E →  thỏa mãn (i) x ≥ 0, x = ⇔ x = ; (ii) λ x = λ x ; (iii) x + y ≤ x + y với x, y ∈ E , λ ∈  Nếu đặt d ( x, y= ) x − y , với x, y ∈ E d mêtric E , gọi mêtric sinh chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach ∗ Cho E không gian định chuẩn Kí hiệu E không gian phiếm hàm tuyến tính E , E ′ không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Với f ∈ E ′ ta gọi chuẩn f { } = f sup f (= x ) inf k > : f ( x ) ≤ k x , ∀x ∈ E x ≤1 Không gian E ′ gọi không gian liên hợp (tôpô) E 1.1.6 Định lí (Định lí Hahn- Banach) Cho E không gian định chuẩn, F không gian E Khi với f F = f f ∈ F ′ , tồn f ∈ E ′ cho f = f 1.1.7 Hệ Cho E không gian định chuẩn Khi với x ∈ E , x ≠ , tồn f ∈ E cho f ( x ) = x f = 1.1.8 Hệ Giả sử E không gian định chuẩn Khi với x, y ∈ E , f ( x ) = f ( y ) với f ∈ E ′ x = y 1.1.9 Hệ Giả sử E không gian khả li Khi tồn dãy ( f n ) ⊂ E ′ cho = x sup f n ( x ) , ∀x ∈ E n Chứng minh Vì E khả li nên tồn dãy ( xn ) ⊂ E cho tồn dãy ( f n ) ⊂ E ′ cho { xn : n ∈ } trù mật E Vậy f n = f n ( xn ) = xn Giả sử x ∈ E Vì f n ( x ) ≤ ⋅ x , ∀n , nên x ≥ sup f n ( x ) Mặt khác, với ε > , n { xn : n ∈ } trù mật E nên tồn n : xn − x < x − xn < x − xn < ε ε hay xn > x − Khi ε Từ ta có f n ( x ) = xn − ( xn − f n ( x ) ) ≥ f n ( xn ) − xn − f n ( x ) = xn − f n ( xn ) − f n ( x ) =xn − f n ( xn − x ) ≥ xn − f n ⋅ xn − x = xn − xn − x ε ε  > x − − = x −ε 2  Do với ε > , tồn n cho f n ( x ) ≥ x − ε Vậy x = sup f n ( x )  n 1.1.10 Độ đo Cho Ω ≠ ∅ Họ tập F ⊂ 2Ω gọi đại số thỏa mãn điều kiện (i) ∅, Ω ∈ F ; (ii) Nếu A, B ∈ F A \ B ∈ F ; (iii) Nếu A, B ∈ F A ∪ B ∈ F Nếu thay điều kiện (iii) điều kiện (iii’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  ∞ A ∈F n F n =1 1.1.11 Định lí F đại số thỏa mãn (i) (iv) Nếu A∈ F thì= Ac X \ A ∈ F ; (v) Nếu A, B ∈ F A ∩ B ∈ F gọi σ - đại số 2 F σ - đại số (i), (ii) (v’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  ∞  A ∈F n n =1 Cặp ( Ω, F ), F hai không gian đo ( Ω, F σ - đại số tập Ω , gọi không gian đo Cho ) ( ϒ, G) Ánh xạ ϕ : Ω → ϒ gọi F/G -đo ϕ −1 ( B ) ∈ F với B ∈ G σ - đại số tập Ω Ánh xạ µ : F →  gọi độ đo Cho Ω ≠ ∅ F F thỏa mãn: (i) µ ( A ) ≥ 0, ∀A ∈ F ; (ii) µ ( ∅ ) =0 ;   ∞ A  n  = ∑ µ ( An )  n=1  n=1 ∅, i ≠ j µ  (iii) Nếu An ∈ F, ∀n Ai ∩ Aj = ∞ Nếu µ ( Ω ) < ∞ µ gọi độ đo hữu hạn Đặc biệt, µ ( Ω ) = µ gọi độ đo xác suất Bộ ba ( Ω, F , µ ) , F σ - đại số tập Ω , µ độ đo F , gọi không gian độ đo Không gian độ đo gọi đầy đủ A∈ F , µ ( A ) = tập B ⊂ A thuộc F Khi ta có µ ( B ) = Nếu p độ đo xác suất (Ω, F , p) gọi không gian xác suất 1.2 TẬP BOREL TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.2.1 Tập Borel Cho X không gian tô pô Khi σ - đại số bé chứa tập mở X gọi σ đại số Borel X , kí hiệu B ( X ) Tập A ∈ B ( X ) gọi tập Borel = K Kí hiệu {[ a, b ) , ( −∞, b ) ,[ a, +∞ ) : a, b ∈ } Mỗi tập dạng D = D1 ×  × Dn , D j ∈ K , j = 1,, n gọi khoảng  Kí hiệu M n n n tập hợp hợp hữu hạn khoảng rời  1.2.2 Định lí (i) M n đại số; ( ) (ii) σ ( M n ) = B  n Chứng minh ∅ [a, a ) × × [a, a) nên ∅ ∈ M n Ta chứng minh  n ∈ M n qui nạp (i) Vì= Với n = 1,  = ( −∞, a ) ∪ [a, +∞) ∈ M Giả sử với k ≤ n − 1,  k ∈ M k Khi )]  n−1 × ( −∞, a ) ∪  n−1 × [a, +∞) ∈ M n =  n  n−1 × [( −∞, a ) ∪ [a, +∞ = n−1 n−1  hợp hữu hạn khoảng rời  Ta chứng minh rằng, A, B ∈ M n A ∩ B ∈ M n Nếu A, B ∈ K A ∩ B ∈ K Giả n sử A, B khoảng  Khi A = D1 × × Dn , với D j ∈ K ; B = ∆1 × × ∆ n , Ta có A ∩= B ( D1 ∩ ∆1 ) × × ( Dn ∩ ∆ n ) với ∆ j ∈ K n nên A ∩ B khoảng  n n Bây giả sử A, B ∈ M n Khi A =  Ai với Ai khoảng  , i =1 n B =  B j , với B j khoảng  n Ta có j =1 p  p  A ∩= B   Ai  ∩= B  ( Ai ∩ B ) = i  i 1=    q  p q = B j  = ( Ai ∩ B j )   Ai ∩ =  =i  = = j i j     p nên A ∩ B ∈ M n Cuối ta chứng minh A, B ∈ M n A \ B ∈ M n Trước hết giả sử A, B n khoảng  , ta chứng minh A \ B ∈ M n phương pháp qui nạp Với n = , dễ thấy A \ B ∈ M Giả sử khẳng định đến k ≤ n − Ta có A =× A1 A2 , B =× B1 B2 với A1 , B1 khoảng  n−1 A2 , B2 khoảng  Khi A \ B = ( A1 × A2 ) \ ( B1 × B2 ) = ( A1 × ( A2 \ B2 ) ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 ) = ((( A ∩ B ) ∪ ( A \ B )) × ( A = ( ( A1 ∩ B1 ) × ( A2 \ B2 ) ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 ) 1 1 Vì A1 ∩ B1 khoảng  khoảng rời  n−1 n−1 ) \ B2 ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 ) , A2 \ B2 khoảng  , A1 \ B1 hợp hữu hạn A2 khoảng  nên A \ B hợp hữu hạn khoảng rời  Vậy A \ B ∈ M n n Xét trường hợp A, B ∈ M n Khi A = p A , i với Ai khoảng rời  ; B = n i =1 q B , j với j =1 B j khoảng rời  n Ta có p p q    p  = = A \ B = Ai  \ B  ( Ai \ B )   Ai \  B j   = =i = j  i =i   p q =  ( Ai \ B j ) =i =j A \ B ∈ M n Vậy M n σ - đại số ( ) ( ) (ii) Vì M n ⊂ B  n , σ ( M n ) σ - đại số nhỏ chứa M n , mà B  n σ -đại số ( ) nên σ ( M n ) ⊂ B  n n n Giả sử U tập mở  Vì khoảng mở lập thành hệ sở tôpô  , nên ∞ U = U k , k =1 (α1, β1 ) × × (α n × β n ) = Uk Vì ∞ (α = i , βi ) [α i + m =1 = U k ∞ [α + m =1 , βi ) nên m 1 , β1 ) × × [α n + , β n ) ∈ σ ( M n ) m m ( ) Từ U ∈ σ ( M n ) , mà B  n ( ) n σ - đại số sinh tập mở  nên B  n ⊂ σ ( M n ) Vậy σ ( M n ) = B (  n )  Cho E không gian không gian Banach Tập A ⊂ E gọi tập trụ tồn n ∈  ; ( ) ˆ B  n cho f1 , f , , f n ∈ E ′ ; A∈ { } A= x ∈ E : ( f1 ( x ) , , f n ( x ) ) ∈ Aˆ Kí hiệu tập tập trụ F (E) 1.2.3 Định lí (i) F ( E ) đại số (ii) Nếu E không gian Banach khả li σ ( FB( E ) ) = ( E ) với B ( E ) σ -đại số Borel E Chứng minh { } (i) Lấy f ∈ E ′ tùy ý, ta có E = x ∈ E : f ( x ) ∈ Bˆ =  E ∈ F ( E ) Nếu A∈ F ( E ) tồn ˆ B (  n ) , f , f , , f ∈ E ′ n ∈  , A∈ n cho { } A= x ∈ E : ( f1 ( x ) , , f n ( x ) ) ∈ Aˆ { } Ta có Ac = E \ A = x ∈ E : ( f1 ( x ) , , f n ( x ) ) ∈ Aˆ c =  n \ A ∈ F Nếu A1 , A2 ∈ F (E) g1 , g , , g n ∈ E ′ cho ( ) (E) ( ) tồn m, n ∈  , Aˆ1 ∈ B  m , Aˆ ∈ B  n , f1 , f , , f m ∈ E ′ , { } A = {x ∈ E : ( g ( x ) , , g ( x )) ∈ Aˆ } A1 = x ∈ E : ( f1 ( x ) , , f m ( x ) ) ∈ Aˆ1 ; ( Từ đó, Aˆ1 × Aˆ ∈ B  m+ n n ) nên { } A1 ∩ A2 = x ∈ E : ( f1 ( x ) , , f m ( x ) , g1 ( x), , g n ( x) ) ∈ Aˆ1 × Aˆ ∈ F (E) ( E ) đại số Vậy F (ii) Giả sử A ∈ F ( E ) Khi { } A= x ∈ E : ( f1 ( x ) , , f n ( x ) ) ∈ Aˆ f1 , f , , f n ∈ E ′ ( ) ˆ B n A∈    n = Đặt f ( f1 , , f n ) : E →  , x  f ( x ) = ( f1 ( x ) , , f n ( x ) ) Vì fi liên tục nên f liên   −1 n tục Do dó f BB( E ) / (  ) - đo được, tức f ( G ) ∈ B ( E ) với G ∈ B (  n ) Mặt { (  ) } ( ) ( ) ˆ B n khác A = x ∈ E : f ( x ) ∈ Aˆ = f −1 Aˆ , với A∈ FB( E ) ⊂ nên A ∈ B ( E ) Từ suy ( E ) σ ( FB( E ) ) = ( E ) Ngược lại, giả sử U mở E Do E không gian mêtric khả li nên E thỏa mãn tiên đề ∞ đếm thứ hai Do U =  B ( xn , rn ) Mặt khác E khả li nên theo Hệ 1.1.9 n =1 Định lí Hahn- Banach, tồn dãy ( f n ) ⊂ E ′, f n = cho x ∈ E ta có Khi B ( x, r ) = { y ∈ E : y − x ≤ r } { = y ∈ E : sup f n ( y − x ) = n } ∞  { y ∈ E : f ( y − x ) ≤ r} n n =1 = ∞ { y ∈ E : f ( y ) ∈[r − f ( x ) , r + f ( x )} ∈σ ( F n n =1 n n ( B) ) x = sup f n ( x ) { Hơn ta có B ( x, r ) = y ∈ E : y − x < r = ∞    y ∈ E : n = n0 = ∞  } 1 y−x [...]... (e) -đo được (tức là B ∈ B (e) thì X −1 ( B ) ∈ G ) Phần tử ngẫu nhiên F -đo được sẽ được gọi đơn giản là phần tử ngẫu nhiên Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong  còn gọi là đại lượng ngẫu nhiên Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → e gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạc nếu X ( Ω ) không quá đếm được Đặc biệt, nếu X ( Ω ) hữu hạn thì X gọi là phần tử ngẫu nghiên đơn giản, ở đây X ( Ω ) là kí hiệu lực lượng của. .. X là phần tử ngẫu nhiên  2.1.2 Định lí Ánh xạ X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G - đo được, tức là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc ( X n ) G - đo được sao cho lim sup X n (ω ) − X (ω ) = 0 n→∞ ω∈Ω Chứng minh Điều kiện đủ là Định lí 2.1.1 Điều kiện cần: Giả sử X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được và ( xn... U ∈ σ ( F ( E ) ) và suy ra BF( E ) ⊂ σ ( Vậy σ ( FB( E ) ) = (E)  (E)) CHƯƠNG 2 : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN Trong đo n này ta luôn kí hiệu (Ω, F , p) là một không gian xác suất đầy đủ, e là không gian Banach khả li, G là σ - đại số con của F , B (e) là σ - đại số Borel của e Ánh xạ X : Ω → e gọi là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nhận giá trị...  →X 2.1.1 Định lí Nếu ( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên và h c c X n  → X thì X là phần tử ngẫu h c c nhiên Đặc biệt, nếu ( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên G - đo được và X n  → X thì X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được Chứng minh Trước hết ta xét trường hợp ( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên G - đo được và X n → X Đặt L= { A ∈BG( E ) : X −1 ( A) ∈ } Khi đó, dễ dàng kiểm tra trực tiếp được rằng... Dãy phần tử ngẫu nhiên ( X n ) gọi là hội tụ đến ánh xạ X : Ω → e nếu X n (ω ) → X (ω ) (theo chuẩn) với mọi ω ∈ Ω , kí hiệu là X n → X Dãy phần tử ngẫu nhiên ( X n ) gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến ánh xạ X : Ω → e nếu p ( N ) 0, X n (ω ) → X (ω ) (theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω \ N Kí hiệu tồn tại tập N ∈ F , sao cho = h c c X n  →X 2.1.1 Định lí Nếu ( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên và. .. mà N ∈ F , p ( N ) = 0 và p là độ đo đủ nên suy ra {Yn ≠ X n } ∈ F Vì vậy với mọi B ∈ B ( E ) ta có Yn−1 ( B )= Yn−1 ( B ) ∩ {Yn = X n } ∪ Yn−1 ( B ) ∩ {Yn ≠ X n } =  X n−1 ( B ) ∩ {Yn= X n } ∪ N 0 ∈ F , trong đó = N 0 Yn−1 ( B ) ∩{Yn ≠ X n }  ⊂ {Yn ≠ X n } ⊂ N , N 0 ∈ F Vậy Yn là phần tử ngẫu nhiên Do đó theo trường hợp đã chứng minh thì Y là phần tử ngẫu nhiên Cuối cùng, vì {X ≠... X −1 ( F ) ∈ F chứng tỏ BL( E ) ⊂ Vậy LB= nên F ∈ L tức là L ( E ) Vì vậy với mọi X −1 ( B ) ∈ G Do đó X là phần tử ngẫu nhiên chứa tất cả các tập đóng Điều đó B ∈ B ( E ) thì B ∈ L G - đo được Bây giờ giả sử ( X n ) là phần tử ngẫu nhiên và X n  → X Khi đó tồn tại h c c ( N ) = 0 và với mọi ω ∈ Ω \ N ta có X n (ω ) − X (ω ) → 0 Đặt nên n ∈ F sao cho p  X (ω ) , khi ω ∈ Ω \ N Yn (ω ) =  n... (= Ω ) Tn ( X ( Ω ) ) ≤ Tn (e) = J Do J không quá đếm được nên X n ( Ω ) cũng không quá đếm được Ta sẽ chứng minh X n là phần tử ngẫu nhiên G - đo được Thật vậy, với mọi B ∈ B (e) ta có −1 X= n ( B) (Tn  X= ) ( B) −1 −1 X −1 (T= X −1 ( B ') ∈ G n ( B )) Vì vậy X n là phần tử ngẫu nhiên rời rạc Mặt khác, 2 X m (ω )= − X (ω ) Tn ( X (ω ) ) − X (ω ) < , ∀ω ∈ Ω Do đó n sup X n (ω ) − X (ω ) < ω 2 → 0... 2 , , f n ∈ E ′ ( ) ˆ B n và A∈    n = Đặt f ( f1 , , f n ) : E →  , x  f ( x ) = ( f1 ( x ) , , f n ( x ) ) Vì fi liên tục nên f liên   −1 n tục Do dó f là BB( E ) / (  ) - đo được, tức là f ( G ) ∈ B ( E ) với mọi G ∈ B (  n ) Mặt { (  ) } ( ) ( ) ˆ B n khác A = x ∈ E : f ( x ) ∈ Aˆ = f −1 Aˆ , với A∈ FB( E ) ⊂ nên A ∈ B ( E ) Từ đó suy ra ( E ) và σ ( FB( E ) ) = ( E ) Ngược... n ………………… 1  m−1  Lm = B  xm ,  \  Lk n  k =1  Khi đó với mọi i ≠ j , Li ∩ L j = ∅ , Lm ∈ B (e) và do ( xn ) trù mật trong e nên ∞ e =  Lm m =1 Kí hiệu = J {m : Lm ≠ ∅} Với mỗi m ∈ J chọn cố định ym ∈ Lm Ánh xạ Tn : e → e xác định bởi Tn = ∑ ym χ Lm m∈J Khi đó Tn là B (e)/ B (e’) đo được Thật vậy, với mọi B ∈ B (e) ta có −1 T= n ( B)  {i: yi ∈B} Li ∈ B (e) Đặt Tn X = X n Tn  X : Ω 