Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên m liên kết âm

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Sự hội tụ hầu chắn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m-liên kết âm 1.1 Biến ngẫu nhiên tính chất liên quan 1.2 Một số khái niệm hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.3 Một số khái niệm luật số lớn 1.4 Các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm kiến thức chuẩn bị 11 1.5 Sự hội tụ hầu chắn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m−liên kết âm 15 Sự hội tụ đầy đủ dãy biến ngẫu nhiên m−liên kết âm 23 2.1 Kiến thức chuẩn bị 23 2.2 Sự hội tụ đầy đủ dãy biến ngẫu nhiên m−liên kết âm 25 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 LỜI NÓI ĐẦU Luật số lớn ba định lí giới hạn quan trọng lí thuyết xác suất Luật số lớn Bernoulli công bố năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn Borel phát Kết Kolmogorov hoàn thiện năm 1926 Cho tới nay, định lí giới hạn vấn đề có tính thời lí thuyết xác suất Các định lí giới hạn cổ điển lí thuyết xác suất thường quan tâm đến biến ngẫu nhiên độc lập Do vậy, câu hỏi tự nhiên đặt đưới điều kiện định lí giới hạn biết điều kiện độc lập thay điều kiện phụ thuộc đôi một, Martingale, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, m-phụ thuộc Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu tham khảo mở rộng khái niệm độc lập nghiên cứu đề tài:"Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm" Luận văn gồm hai chương Chương Sự hội tụ hầu chắn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m-liên kết âm Chương bao gồm năm mục Mục 1.1 Trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên tính chất liên quan Mục 1.2, 1.3, 1.4 trình bày số khái niệm hội tụ, luật số lớn, khái niệm biến ngẫu nhiên m−liên kết âm tính chất liên quan Mục 1.5 trình bày kết luận văn, thiết lập hội tụ hầu chắn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m− liên kết âm Kết chương Định lí 1.5.1 Định lí 1.5.4 Định lí 1.5.1 mở rộng Định lí 2.1 [3] dãy biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Định lí 1.5.4 thiết lập luật mạnh số lớn Brunk - Chung dãy biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Chương Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m- liên kết âm Chương bao gồm hai mục Mục 2.1 trình bày số bất đẳng thức số kiến thức chuẩn bị Mục 2.2 thiết lập định lí hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Luận văn thực trường đại học Vinh hướng dẫn T.S Lê Văn Thành Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo T.S Lê Văn Thành, thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, người thầy tận tình hướng dẫn, động viên tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập làm đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học 18 XSTK Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm thầy giáo khoa Tốn, phòng Sau đại học Cảm ơn tập thể cao học 18 XSTK Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo bạn đọc Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN M -LIÊN KẾT ÂM 1.1 Biến ngẫu nhiên tính chất liên quan Trong tồn luận văn, ta ln giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất đầy đủ cố định, tất biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ), m số tự nhiên Kí hiệu C số dương, số không thiết phải giống lần xuất 1.1.1 Định nghĩa Cho không gian xác suất (Ω, F, P) Anh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên X ánh xạ đo được, tức ∀a ∈ R {ω ∈ Ω; X(ω) < a} ∈ F 1.1.2 Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R gọi hàm phân phối xác suất X Hàm phân phối X có tính chất sau Khơng giảm: Nếu x1 ≤ x2 F (x1 ) ≤ F (x2 ) Liên tục trái : ∀x0 ∈ R, F (x0 ) = lim− F (x) x→x0 lim F (x) = 0, lim F (x) = x→−∞ x→+∞ 1.1.3 Định nghĩa Họ hữu hạn biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập với ≤ k ≤ n với k số ≤ i1 ≤ ik ≤ n ta có P (Ai1 Ai2 Aik ) = P (Ai1 ) P (Aik ) Họ biến cố {Ai ; i ∈ I} gọi độc lập với họ hữu hạn độc lập Họ σ− đại số {Fi ; i ∈ I} gọi độc lập họ {Ai ; i ∈ I} với Ai ∈ Fi độc lập Họ biến ngẫu nhiên {Xi ; i ∈ I} gọi độc lập họ σ− đại số {σ(Xi ); i ∈ I} độc lập 1.1.4 Định nghĩa Kí hiệu L1 tập tất đại lượng ngẫu nhiên X : Ω → R khả tích Lebesgue, tức Ω |X|dP < ∞ Đặt X + = max(X, 0); X − = max(−X; 0) Khi X = X + − X − Nếu có X + ∈ L1 X − ∈ L1 , ta kí hiệu X − dP X + dP − EX = Ω Ω kì vọng X Các tính chất kì vọng Nếu C số EC = C Nếu a, b ∈ R X, Y ∈ L1 E(aX + bY ) = aEX + bEY Nếu X, Y ∈ L1 X ≤ Y h.c.c EX ≤ EY Nếu X ∈ L1 |EX| ≤ E|X| 5.Nếu |X| ≤ Y h.c.c Y ∈ L1 X ∈ L1 6.Nếu {Xn ; n ≥ 1} ⊂ L1 X ∈ L1 thỏa mãn ≤ Xn ↑ X EXn ↑ EX Nếu X Y độc lập X, Y ∈ L1 EXY = EXEY 1.1.5 Bổ đề Bổ đề Borel-Cantelli Giả sử (An , n ≥ 1) dãy biến cố Khi ∞ P (An ) < ∞ P (lim sup An ) = (i) Nếu n=1 ∞ P (An ) = ∞ (An , n ≥ 1) độc lập P (lim sup An ) = 1, (ii) Nếu n=1 ∞ ∞ lim sup An = Ak n=1 k=n ∞ n=1 P (An ) Chứng minh (i) Giả sử < ∞ Khi ∞ ∞ ∞ Ak ) = lim P ( P (lim sup An ) = P ( n→∞ n=1 k=n Ak ) k=n ∞ ≤ lim n→∞ P (Ak ) = k=n (ii) Trước hết, nhận xét ≤ x ≤ − x ≤ e−x Giả sử ∞ n=1 P (An ) = ∞ Khi đó, dãy (An , n ≥ 1) độc lập nên dãy (An , n ≥ 1) độc lập Do đó, với n = 1, 2, m > n, ta có m m − P( m Ak ) = P ( Ak ) = P ( k=n k=n Ak ) k=n m (1 − P (Ak )) ≤ e− = m k=n P (Ak ) k=n Suy ∞ ≤ − P( m Ak ) = lim (1 − P ( m→∞ k=n ≤ lim e− m→∞ Do P ( ∞ k=n )Ak m k=n P (Ak ) Ak )) k=n = = với n = 1, 2, Điều kéo theo ∞ P (lim sup An ) = lim P ( n→∞ Ak ) = k=n 1.1.6 Định nghĩa Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi đó, Covariance X Y kí hiệu Cov(X, Y ) định nghĩa bởi: Cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] Rõ ràng X Y độc lập Cov(X, Y ) = 1.2 Một số khái niệm hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) 1.2.1 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X(khi n → ∞) ∀ > ta có lim P (|Xn − X| > ) n→∞ P Khi đó, ta kí hiệu: Xn → X 1.2.2 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi hội tụ hẫu chắn đến biến ngẫu nhiên X(khi n → ∞) P (ω : lim Xn (ω) = X(ω)) = n→∞ Khi đó, ta kí hiệu: limn→∞ Xn = X h.c.c 1.2.3 Định lý Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X(khi n → ∞) ∀ > bất kì, lim P (sup |Xk − X| > ) = n→∞ 1.3 k≥n Một số khái niệm luật số lớn Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) Đặt Sn = X1 + X2 + + Xn 1.3.1 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật yếu số lớn Sn − ESn P → n Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật yếu số lớn tổng quát tồn hai dãy số {an , n ≥ 1}, {bn , n ≥ 1}, < bn ↑ ∞ cho S n − an P → bn 1.3.2 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn Sn − ESn → h.c.c n Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát tồn hai dãy số {an , n ≥ 1}, {bn , n ≥ 1}, < bn ↑ ∞ cho S n − an → h.c.c bn 1.3.3 Bổ đề Giả sử < p ≤ {ai ; ≤ i ≤ n} số thực Khi |a1 + a2 + + an |p ≤ |a1 |p + |a2 |p + + |an |p Chứng minh Thật vậy, trước hết a > 0, b > 0, < p ≤ (a + b)p ≤ ap + bp Ta thấy với p = hiển nhiên Với < p < 1, xét hàm số f (x) = (x + 1)p − xp + với x > 0, < p ≤ Khi f (x) = p((x + 1)p−1 − xp−1 ) Do < p < 1, nên f (x) < 0, ∀x > Suy (x + 1)p < xp + Chọn x = a b ta suy (a + b)p < ap + bp |a1 + a2 |p ≤ (|a1 | + |a2 |)p Sử dụng phương pháp quy nạp ta có điều phải chứng minh 1.3.4 Bổ đề Giả sử p ≥ {1 ≤ i ≤ n} số thực Khi đó, |a1 + a2 + + an |p ≤ np−1 (|a1 |p + |a2 |p + + |an |p ) Chứng minh Thật vậy, với p = hiển nhiên Trong trường hợp p > 1, xét hàm số f (x) = xp , x > Khi f hàm lồi nên n i=1 |ai | f( n n i=1 f (|ai |) )≤ n Do | n p i=1 | np ≤ ( n p i=1 |ai |) np ≤ n p i=1 |ai | n Từ Bổ đề 1.3.3 1.3.4 ta dễ dàng suy kết sau 1.3.5 Định lý Giả sử {Xi ; ≤ i ≤ n} họ biến ngẫu nhiên, < p ≤ E|Xi |p < ∞, i = 1, 2, , n Khi n n p E|X1 |p Xi | ≤ E| i=1 i=1 Chứng minh Do < p ≤ nên ta có n n p | |X1 |p Xi | ≤ i=1 i=1 Lấy kì vọng hai vế ta có điều phải chứng minh Định lí sau thiết lập nhờ Bổ đề Borel - Cantelli, kết dùng để thiết lập kết 1.3.6 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên p > Nếu ∞ E|Xn |p < ∞, n=1 Xn → h.c.c 10 Chứng minh Với > k ≥ ta có ∞ P (|Xn | > ) P (sup |Xn | > ) ≤ n≥k ≤ n=k ∞ E|Xn |p → 0, k → ∞ p n=k Điều kéo theo lim P (sup |Xn | > ) = k→∞ n≥k Định lí sau gọi Bổ đề Toeplitz 1.3.7 Định lý Cho ani ; ≤ i ≤ n, n ≥ xi , i ≥ số thực cho với i cố định limn→∞ ani = với n ta có ni=1 |ani | ≤ C < ∞ Khi n i) Nếu lim xn = 0, lim n→∞ n→∞ ani xn = i=1 n ii) Nếu lim n→∞ n ani = 1, lim xn = x, lim n→∞ i=1 n→∞ ani xi = x i=1 Chứng minh i) Nếu limn→∞ xn = với > tồn n cho |xn | < C −1 , ∀n ≥ n Do với n ≥ n ta có n −1 n | an i x i | ≤ i=1 n −1 n |ani xi | + i=1 |ani xi | ≤ i=n |ani xi | + i=1 Theo giả thiết ta suy limn→∞ ani = với i = 1, 2, , n − Điều kéo theo n lim n→∞ ani xi = i=1 19 Nếu p > chứng minh tương tự phần (1) Nếu < p ≤ ta có n |ESn (1)| ≤ n −η n η P (|bni Xi | > n ) + i=1 i=1 n n ≤ n−(1−p)η < Cn E|bni Xi |I(|bni Xi |≤nη ) E|bni Xi |p + n−(1−p)η i=1 −(1−p)η−δ |bni |p E|Xi |p i=1 →0 với η > Bây ta chứng minh Sn (1) − ESn (1) = o(1) h.c.c Nhận xét n Bn2 E[bni Xni (1) − E(bni Xni (1))]2 = i=1 n E(bni Xni (1))2 ≤ Cnn ≤ −(1−p)η−δ = o((log n)−1 ) i=1 Sau áp dụng bất đẳng thức cực đại phần (1) ta có Sn (1) = o(1) h.c.c Chứng minh Sn (l) = o(1) h.c.c l = 2, 3, chứng minh giống phần (1) Sau thiết lập luật mạnh số lớn Brunk - Chung cho dãy m− liên kết âm Trước hết trình bày số bổ đề chứng minh [6] 1.5.2 Bổ đề Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên, giả sử {bn , n ≥ 1} dãy số dương không giảm giả sử {kn , n ≥ 0} dãy số dương thỏa mãn bkn+1 bk > sup n+1 < ∞ n≥0 bkn n≥0 bkn inf (1.5) 20 Khi lim n→∞ bn n Xi = h.c.c (1.6) i=1 k lim ( n→∞ bkn+1 − bkn max kn ≤k≤kn+1 | Xi |) = h.c.c i=kn Chứng minh Đặt n Xi , n ≥ 1, Sn = i=1 k Mn = Zn = max kn ≤k 1) n≥0 bkn kn ≤k 1, ta thấy kết luận bổ đề suy từ Nếu < α ≤ 1, n1−α |EXi I(|Xi |≤nα ) | = n1−α |EXi I(|Xi |≥nα ) | (vì EX1 = 0) ≤ n1−α E|Xi |I(|Xi |≥nα ) ≤ E(|X1 | α I(|Xi |≥nα ) ) ≤ (E(|X1 |p I(|Xi |≥nα ) )) αp ( (vì αp ≥ 1) Vì E|X1 |p < ∞, nên ta có lim E(|X1 |p I(|X1 |>nα ) ) = n→∞ 2.2 Sự hội tụ đầy đủ dãy biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Định lí sau thiết lập hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Định lí 2.2.1 mở rộng kết Kuczmaszewska [7] 2.2.1 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m- liên kết âm, phân phối Giả sử α > 12 , ≤ p < 2, αp ≥ 1, EX1 = α ≤ Khi phát biểu sau tương đương (i) E|X1 |p < ∞ j ∞ n (ii) n=1 αp−2 ani Xi | > nα ) < ∞, P ( max | 1≤j≤n i=1 26 với > với mảng số {ani , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} thỏa mãn n a2ni = O(n) i=1 Chứng minh Trước hết ta chứng minh (i) kéo theo (ii) Ta kí hiệu − a+ ni = max{ani , 0} ani = max{−ani , 0} − ani = a+ ni − ani Do đó, ta cần chứng minh j ∞ n αp−2 α a+ ni Xi | > n ) < ∞, P ( max | 1≤j≤n n=1 i=1 j ∞ n αp−2 α a− ni Xi | > n ) < ∞ P ( max | n=1 1≤j≤n i=1 Như vậy, khơng tính tổng qt, ta giả sử ani ≥ với n ≥ 1, i ≥ 1.Với n ≥ 1, ta kí hiệu Xni = Xi I(|Xi |≤nα ) − nα I(Xi nα ) , j Yni = Xni − EXni , Snj = ani Yni i=1 Khi đó, với > 0, ta có 27 j ani Xi | > nα ) P ( max | 1≤j≤n i=1 j α ani Xni | > nα ) ≤ P ( max |Xj | > n ) + P ( max | 1≤j≤n 1≤j≤n i=1 j α α ≤ P ( max |Xj | > n ) + P ( max |Snj | > n − max | 1≤j≤n 1≤j≤n 1≤j≤n Mặt khác ta có ∞ nαp−2 P ( max |Xj | > nα ) 1≤j≤n n=1 ∞ n ≤ n αp−2 n=1 ∞ P (|Xj | > nα ) j=1 nαp−1 P (|Xj | > nα ) = n=1 ∞ iαp P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) ≤C i=1 ≤ CE|X1 |p < ∞ Với n ≥ 1, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có n n a2ni |ani |) ≤ n ( i=1 i=1 Từ suy n |ani | = O(n) i=1 Mặt khác E(ani Xi )|) i=1 28 j ≤ lim n −α n→∞ max | 1≤j≤n E(ani Xni )| i=1 j ≤ lim n −α n→∞ |E(ani Xni )| max 1≤j≤n i=1 n = lim n−α n→∞ |E(ani Xni )| = (theo bổ đề 2.1.2) i=1 Để thu (ii) ta cần chứng minh ∞ nαp−2 P ( max |Snj | > nα ) < ∞ 1≤j≤n n=1 Theo cách đặt, ta có dãy {ani Xni , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên m− liên kết âm Ta có ∞ nαp−2 P ( max |Snj | > nα ) 1≤j≤n n=1 ≤ ∞ nαp−2−2α E( max |Snj |)2 1≤j≤n n=1 (theo bổ đề 1.4.6) ∞ ≤C n n αp−2−2α n=1 ∞ i=1 n nαp−2−2α ≤C n=1 ∞ E(ani Xni )2 i=1 n nαp−2−2α ≤C n=1 := R1 + R2 , E(ani Xni − E(ani Xni ))2 a2ni E(Xni )2 i=1 29 ∞ n R1 = C n αp−2−2α a2ni )2 E(X12 I(|X1 |≤nα ) ) ( n=1 i=1 ∞ nαp−2−2α E(X12 I(|X1 |≤nα ) ) ≤C n=1 ∞ ∞ =C n αp−2−2α n=1 ∞ ∞ n=1 nαp−1−2α E(X12 I(i−1)α nα )) ( n=1 ∞ ∞ αp−1 n n=1 ∞ P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) i=n i nαp−1 P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) = i=1 n=1 ∞ αp i P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) ≤C i=1 ≤ CE|X1 |p < ∞ Như vậy, (ii) hoàn toàn chứng minh Để chứng minh (ii) kéo theo (i) ta 30 cần chọn ani = ứng dụng kết Kuczmaszewsaka [7] 31 KẾT LUẬN Kết đạt Đề tài nghiên cứu hội tụ dãy biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Đề tài thiết lập luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Kết mở rộng kết Bing-Yi Jing - HanYing Liang [3] Kết đạt Định lí 1.5.1 Đề tài thiết lập luật mạnh số lớn đối Brunk - Chung dãy biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Kết đạt Định lí 1.5.4 Đề tài thiết lập định lí hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu m−liên kết âm Kết đạt Định lí 2.2.1 Hướng phát triển luận văn Mở rộng kết Định lí 1.5.1, Định lí 1.5.4 Định lí 2.2.1 mảng hai chiều biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hàm lặp biến ngẫu nhiên m−liên kết âm 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội tiếng anh [3] Bing-Yi Jing - Han-Ying Liang , Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables, J.Theor Probab , 21, 2008, 890-909 [4] Tien-Chung Hu, Chen - Yu Chiang, Robert L.Taylor, On complete convergence for arrays of rowwise m-negatively associated random variables, Nonlinear Analysis , 71, 2009, e1075-e1081 [5] Qi-Man Shao , A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables, Journal of Theoretical Probability ,Vol 13, 2, 2000 [6] Le Van Thanh , On the Brunk - Chung type strong law of large numbers for sequences of blockwise m−dependent random variables, ESAIM: Probability and Statistics, 10, p.261-267, 2006 [7] Kuczmaszewska, A On complete convergence in Marcinkiewicz-Zymund type SLLN for large number for negative associated random variables, J.Korean Math Soc 43 (2006), no 6, 1325-1338 [8] Y.S Chow and H Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, 3rd ed Springer-Verlag, New York(1997) 33 [9] Qi-Man Shao, A Comparision theorem on moment inequalities beetween negatively associated and independent random variables, Journal of theoratical probability, Vol 13, 2, 2000 ... ni? ?m hội tụ, luật số lớn, khái ni? ?m biến ngẫu nhiên m? ? ?liên kết ? ?m tính chất liên quan M? ??c 1.5 trình bày kết luận văn, thiết lập hội tụ hầu chắn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m? ?? liên kết ? ?m Kết. .. 1.5.1 m? ?? rộng Định lí 2.1 [3] dãy biến ngẫu nhiên m? ? ?liên kết ? ?m Định lí 1.5.4 thiết lập luật m? ??nh số lớn Brunk - Chung dãy biến ngẫu nhiên m? ? ?liên kết ? ?m Chương Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến. .. có lim E(|X1 |p I(|X1 |>nα ) ) = n→∞ 2.2 Sự hội tụ đầy đủ dãy biến ngẫu nhiên m? ? ?liên kết ? ?m Định lí sau thiết lập hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên m? ? ?liên kết ? ?m Định lí 2.2.1 m? ?? rộng