Sự hội tụ của dãy lặp hai bước đến điểm bất động chung của hai ánh xạ g không giãn tiệm cận trong không gian banach với đồ thị

untitled Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13 22 13 SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HAI BƯỚC ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HAI ÁNH XẠ G KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ[.]

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HAI BƯỚC ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HAI ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ Cao Phạm Cẩm Tú1 Nguyễn Trung Hiếu2* Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: ngtrunghieu@dthu.edu.vn Lịch sử báo Ngày nhận: 21/02/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 30/3/2020; Ngày duyệt đăng: 23/4/2020 Tóm tắt Trong báo này, giới thiệu dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận khơng gian Banach với đồ thị Tiếp theo đó, chứng minh số kết hội tụ yếu hội tụ mạnh dãy lặp đến điểm bất động chung hai ánh xạ Gkhông giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị Các kết mở rộng số kết nghiên cứu Wattanawweekul (2018) Đồng thời, đưa ví dụ để minh họa cho hội tụ dãy giới thiệu chứng tỏ dãy lặp giới thiệu hội tụ đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh dãy lặp nghiên cứu báo Wattanaweekul Từ khóa: Ánh xạ G-khơng giãn tiệm cận, điểm bất động chung, không gian Banach với đồ thị - CONVERGENCE OF A TWO-STEP ITERATION PROCESS TO COMMON FIXED POINTS OF TWO ASYMPTOTICALLY G-NONEXPANSIVE MAPPINGS IN BANACH SPACES WITH GRAPHS Cao Pham Cam Tu1, and Nguyen Trung Hieu2* Student, Dong Thap University Dong Thap University *Corresponding author: ngtrunghieu@dthu.edu.vn Article history Received: 21/02/2020; Received in revised form: 30/3/2020; Accepted: 23/4/2020 Abstract In this paper, we introduce a new two-step iteration scheme for two asymptotically Gnonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs We then prove some weak and strong convergence results to common fixed points of two asymptotically Gnonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs These results are the extension of some major results reported by Wattanawweekul (2018) In addition, we give an example to illustrate for the convergence of the introduced iteration process and show that the convergence of this process to common fixed points of two asymptotically G-nonexpansive mappings is faster than those presented by Wattanawweekul (2018) Keywords: Asymptotically G-nonexpansive mapping, common fixed point, Banach spaces with graph 13 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Giới thiệu Trong lí thuyết điểm bất động, vấn đề xây dựng dãy lặp ứng dụng vào nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Bên cạnh đó, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn theo nhiều hướng tiếp cận khác Năm 1972, Goebel Kirk (1972) giới thiệu mở rộng ánh xạ không giãn gọi ánh xạ không giãn tiệm cận Sau đó, lớp ánh xạ khơng giãn tiệm cận nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo hướng thiết lập điều kiện tồn điểm bất động chứng minh hội tụ dãy lặp khác đến điểm bất động Ngoài ra, số tác giả sử dụng kĩ thuật khác để mở rộng khái niệm ánh xạ không giãn tiệm cận Năm 2018, sử dụng ý tưởng trình bày Jachymski báo Jachymski (2008) kết hợp lí thuyết điểm bất động lí thuyết đồ thị, Sangago cs (2018) giới thiệu lớp ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị, đồng thời số tính chất điểm bất động kết hội tụ cho lớp ánh xạ thiết lập Kể từ đó, việc thiết lập hội tụ dãy lặp khác đến điểm bất động chung ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị số tác giả quan tâm Năm 2018, sử dụng dãy lặp Ishikawa, Wattanataweekul (2018) giới thiệu dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ Gkhông giãn tiệm cận sau: u1 (1 un (1 n )un n )vn n g n un n f n (1.1) tập lồi với n , { n },{ n } [0,1], không gian Banach X f , g : hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận, đồng thời số kết hội tụ dãy lặp (1.1) thiết lập Đến đây, vấn đề tự nhiên 14 đặt tiếp tục xây dựng dãy lặp mà hội tụ đến điểm bất động chung nhanh dãy lặp (1.1) Do đó, báo này, chúng tơi đề xuất dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận chứng minh số kết hội tụ dãy lặp đề xuất đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng báo Cho không gian Banach thực X X không gian liên hợp X Khi đó, dãy {un } X gọi hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) đến u lim || un n u || X gọi hội tụ yếu đến Dãy {un } u X X lim || fun n fu || với f X Cho tập khác rỗng khơng gian Banach thực X Kí hiệu G (V (G ), E(G)) đồ thị định hướng với V (G ) tập hợp đỉnh đồ thị G cho V (G ) trùng với , E (G ) tập hợp cạnh G đồ thị G mà (u, u) E(G) với u khơng có cạnh song song Định nghĩa 1.1 (Suparatulatorn cs., 2018, Định nghĩa 4) Cho G (V (G ), E(G )) đồ thị định hướng Khi đó, G gọi có tính bắc cầu với u, v, w V (G ) cho (u, v),(v, w) E(G ) (u, w) E(G ) Định nghĩa 1.2 (Sangago cs., 2018, Định nghĩa 3.1) Cho X không gian Banach thực tập khác rỗng X, G (V (G ),E(G )) đồ thị định hướng cho V (G ) Khi đó, ánh xạ f : gọi G-không giãn tiệm cận (1) f bảo toàn cạnh G, tức với (u, v) E(G ) ta có (fu, fv) E (G ) Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 Tồn (2) dãy n lim cho || f u n n với (u,v) E(G ) n { n }, n n f v || n với (3) {un (k ) } {vn (k ) } dãy {un } || u v || cho {un (k ) } hội tụ yếu đến u, {vn (k ) } hội tụ yếu đến v Định nghĩa 1.3 (Sangago cs., 2018, Định nghĩa 1.3) Cho X không gian định chuẩn, tập khác rỗng X, G (V (G ), E (G )) đồ thị định hướng Khi đó, gọi có tính cho V (G ) chất G với {un } dãy cho E (G ) với n (un , un ) yếu đến u * {un } hội tụ tồn dãy {un (k ) } E (G ) với k {un } cho (un (k ), u) * Định nghĩa 1.4 (Suparatulatorn cs., 2018, Định nghĩa 6) Cho X khơng gian Banach Khi đó, X gọi thỏa mãn điều kiện Opial với {un } dãy X hội {un } lim sup || un X,u yếu u || lim sup|| un n v tụ đến u v || với n v Bổ đề 1.5 (Sangago cs., 2018, Định nghĩa 1.4) Cho X khơng gian Banach, có tính chất tập khác rỗng X, G, f : ánh xạ G-không giãn tiệm cận với dãy hệ số { n } cho ( n , {un } dãy hội tụ mạnh đến 1) n u , (un , un ) lim || fun n E (G ) un || Khi đó, fu u Bổ đề 1.6 (Suparatulatorn cs., 2018, Bổ đề 3) Giả sử (1) X không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial (2) {un } dãy X cho lim || un u || lim || un v || tồn với n u, v n X Khi đó, u v Định nghĩa 1.7 (Jachymski, 2018, Định nghĩa 2.3) Cho ánh xạ f : X X Khi đó, f gọi G-liên tục {un } dãy X cho un hội tụ mạnh đến u (un , un ) E (G ) fun fu Mệnh đề 1.8 (Wattanataweekul, 2018, Mệnh đề 3.2) Giả sử (1) X không gian Banach với đồ thị định hướng G, có tính chất G (2) f : tiệm cận ánh xạ G-không giãn Khi đó, f G-liên tục Định nghĩa 1.9 (Dung Hieu, 2020, Định nghĩa 3.1) Cho X không gian vectơ D tập khác rỗng X X Khi đó, D gọi lồi theo tọa độ với (p, u),(p, v),(u, p),(v, p) D t [0,1] ta có t(p, u) (1 t )(p, v) D t(u, p) (1 t )(v, p) D Định nghĩa 1.10 (Shahzad AlDubiban, 2006, tr 534) Cho ánh xạ f : Khi đó, f gọi G-nửa compact với {un } dãy với (un , un ) E (G ) lim || fun un || n tồn dãy {un (k ) } {un } cho {un (k ) } hội tụ mạnh đến q k Bổ đề 1.11 (Dung Hieu, 2018, Bổ đề 2.4) Cho X không gian Banach lồi r Khi đó, tồn hàm lồi, tăng ngặt liên tục :[0, ) [0, ) cho (0) || tu (1 t )v ||2 t || u ||2 (1 t) || v ||2 t(1 t) (|| u v ||) với t [0,1] u, v Br {u X : || u || r } 15 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Bổ đề 1.12 (Wattanataweekul, 2018, Bổ đề 2.11) Cho {an },{bn } { n } dãy số thực không âm thỏa mãn an (1 n )an với bn n (un , p),(vn , p),(p, un ),(p, v n ),(vn , un ),(un , un ) E(G ) với n * Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh n Khi đó, lim an tồn bn Kết Trong này, ta xét G (V (G ), E(G )) đồ thị định hướng, có , E(G ) tập tính chất bắc cầu với V (G ) lồi theo tọa độ giả sử f , g : hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận với hệ số tiệm cận cho , n n Fix(f ) Fix(g ) với Fix(f ), Fix(g ) tập điểm bất động hai ánh xạ f , g Đặt n mục max { n , n } Giả sử ( n 1) (uk 1, p) (1 un n (1 )un (vk , p) n )g n n Mệnh đề 2.1 Giả sử (1) X không gian định chuẩn (2) tập lồi, khác rỗng X (3) Với p Fix(f ) Fix(g), {un } dãy xác định (2.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) Khi đó, E(G ) k g k uk , p) )(uk , p) k k (g k uk , p) (2.3) (f k vk , p),(g k vk , p) E(G) Ta có ((1 k )g k vk k )(g k vk , p) k (1 f k vk , p ) (f k vk , p) k (2.4) Khi đó, từ (2.4), (g k vk , p),(f k vk , p) E(G ) E (G ) lồi theo tọa độ, ta có (uk 1, p) E (G ) Do theo nguyên lý quy nạp, ta có * (un , p) E (G ) với n Tiếp theo, g n bảo tồn n (g un , p) (vn , p) cạnh (un , p) E (G ) nên E(G ) Ta có ((1 (1 n )un )(un , p) n n g n un , p) (g n un , p) n (2.5) Kết hợp (2.5) với (un , p),(g nun , p) E(G ) E (G ) lồi theo tọa độ, ta có (vn , p) n 16 )uk hợp f k , g k bảo toàn cạnh với (vk , p) E(G ), ta (2.1) { n },{ n } [0,1] Trước hết, chứng minh số tính chất dãy lặp (2.1) k tọa độ nên từ (2.3), ta có (vk , p) E(G ) Kết (uk 1, p) f n , E (G ) Do (uk , p),(g k uk , p) E(G ) E (G ) lồi theo n g un ((1 (1 *, n (2.2) Vì f , g bảo tồn cạnh nên f k , g k bảo toàn cạnh Kết hợp g k bảo toàn cạnh (uk , p) E(G ), ta có (g k uk , p) E (G ) Ta lại có n với n Giả sử (2.2) với n k , tức (uk , p) E (G ) Ta cần chứng minh Bằng việc mở rộng dãy lặp (1.2) nghiên cứu Wattanataweekul (2018), giới thiệu dãy lặp {un } cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị sau: u1 * Theo giả thiết, ta có (u1, p) E(G ) Suy (2.2) với n n n E (G ) với n (un , p) n * E (G ) với Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 Lập luận tương tự trên, ta chứng * minh (p, un ),(p, ) E(G ) với n Vì (vn , p),(p, un ),(un , p),(p, un ) E(G) G có tính chất bắc cầu nên (vn , un ),(un , un ) E(G ) với n * Mệnh đề 2.2 Giả sử (1) X không gian Banach lồi (2) tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X (3) Với p Fix(f ) Fix(g ), {un } dãy xác định (2.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E(G ), Do g G-không giãn tiệm cận nên từ (2.6) ta có || p ||2 (1 n ) || un p ||2 [1 n ( n lim inf n lim inf n n lim sup n lim sup n n n n || un n n n [1 n un || lim || gun n (un , p),(vn , p),(vn , un ),(un , un ) tập bị chặn nên tồn r || u || r với u Vì un , {u Br E(G ) cho Khi Bổ đề 1.11, tồn hàm lồi, tăng ngặt, liên tục :[0, ) [0, ) cho (0) || || (1 (1 n )un n )|| un p ||2 n n g un n p || || g nun p ||2 n (1 n ) (|| g nun un ||) (2.6) n ) (|| g nun un ||) (2.7) p || ( n n (1 n (1 n ) (|| f nvn n p ||2 n n (1 n g nvn ||) ) (|| g nun un ||) g nvn ||) )]|| un p ||2 ) (|| f nvn n n p ||2 || g v ||) ) (|| f nvn n n 1)(1 n n n n (1 n 1)] || un n g ||) ) (|| f n p ||2 n n (1 n ) (|| g nun un ||) g nvn ||) ) || un p ||2 ) (|| f nvn n (1 n ) (|| g nun un ||) g nvn ||) (2.8) Vì { n },{ n } bị chặn nên tồn số M cho (1 n2 n ) || un p ||2 M với n Khi đó, từ (2.8), ta || un p ||2 p ||2 M ( || un n (1 n n 1) n ) (|| f nvn (1 n ) (|| g nun g nvn ||) un ||) (2.9) Từ (2.9), ta có || un Vì n || f n p ||2 || un p ||2 M( 1) với p || (1 ) (|| g nun un ||) n n p ||2 || n (1 n r } Do đó, theo :|| u || n ) (|| f n || un p ||2 ( n2 1)(1 un || Chứng minh (1) Lấy p Fix(f ) Fix(g), theo Mệnh đề 2.1, ta có ) (1 n n (3) lim || fun n || [1 ( (2) lim || f nvn g nvn || lim || g nun un || lim || f nun un || n n n (1 p ||2 ) || g n (1 (1 n p || tồn n n p ||2 n n (1) lim || un 1)]|| un p || (1 n Khi đó, || un p ||2 Lập luận tương tự trên, theo Bổ đề 1.11 f , g ánh xạ G-không giãn tiệm cận, kết hợp với (2.7) ta có n n n 2 n ( n 1) n( n nên ( n 1) n 1) n Theo n n Bổ đề 1.12, ta lim || un n p || tồn 17 Chuyên san Khoa học Tự nhiên (2) Từ (2.9), ta có || un p || n M( 1) n n (1 n ) (|| f g ||) n p ||2 Vì || un lim inf lim sup n lim (|| g nun số tự nhiên m n0 Từ (2.10) với Tiếp theo, từ || )un n (1 n || g un g n ||) n n0 p ||2 ( M n n0 n 1) || um p ||2 ( M n 1) n n0 m p || Vì n ( M (2.11) 1) n n0 ( n nên từ (2.11) ta 1) n un || n f n || || f n || f un n n0 m p ||2 un || (2.16) un || Theo Mệnh đề 2.1, ta có (vn , un ) Do m || un g nun , ta có (2.15) lim || m p ||2 || un n Từ (2.14) (2.15), ta n n0 m )un un || g n ||) ) (|| f n n g n un n n || un n n n n0 m || un (1 un || || (1 n (2.14) un || n = n0 , ta có m (|| f n Sử dụng tính un ||) lim || g n un 1) (2.10) 1, tồn số n n với n ) n M( số nguyên n cho (1 p ||2 Do chất , ta g n ||) n n thực n ) (|| f n un ||) n n0 n (1 || un (|| g n un n Do n m (2.13), ta p ||2 || un Lập luận tương tự chứng minh trên, từ || f un || g n g n || g n un || || g n un n n || E (G ) un || n g || || g nun un || || f un || (2.17) Từ (2.12), (2.14) (2.16), ta lim || f n un n un || n (2.18) m (|| f n g n ||) Suy (3) Vì (vn , un ) E(G ) nên n n0 m (|| f n g nvn ||) || un || (1 n n0 Do lim (|| f nvn g nvn ||) n Sử dụng tính chất , ta n n lim || f (2.12) g || n || un 18 ) (|| g n un n p ||2 || un p ||2 )g n || g nvn un || || g nvn g nun || n || n n || f un || || f nvn || g nun g nvn || un || || g n un un || n f n n || f nvn g nvn || un || n g || (2.19) Kết hợp (2.19) với (2.12), (2.14) (2.16), ta un ||) n n Tiếp theo, từ (2.9), ta có (1 n un || M( n 1) (2.13) lim || un n un || (2.20) Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 Định lí 2.3 Giả sử Vì (un , un ) E (G ) nên || un f n un || || un un || || un un || (1 || f n un n || un un un || || f nun n ) || un f n un || || || f nun un || n || f un un || un || (2.21) Kết hợp (2.21) với (2.18) (2.20), ta lim || un n f nun 1 || Ta có || un fun || un f n 1un || un f (2) tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X có tính chất G (3) {un } dãy xác định (2.1) thỏa n un || || fun || f n 1un 1 n || un f un 1 || mãn E(G ) p (u1, p),(p, u1 ) Fix (f ) Fix (g ), lim inf n n || (1) X không gian Banach lồi thỏa mãn điều kiện Opial n lim inf n n limsup n limsup n n với Khi đó, {un } hội tụ yếu đến điểm bất động chung f g || Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức n , ta lim || fun un || n Tương tự Chứng minh Vì X khơng gian Banach lồi nên X có tính chất phản xạ Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2, ta có lim || un p || tồn Vì {un } bị chặn n || un || un n g un || un n n || g un un || (1 n un || Do đó, tồn dãy hội tụ yếu {un } || n ) || un g un || || un un n un || 1 || || g un n || g un un || Giả sử {un (k ) },{vn (k ) } hai dãy {un } n un || hội tụ yếu đến u, v Theo Mệnh đề 2.2, ta có || g un un || (2.22) Kết hợp (2.22) với (2.14) (2.20), ta lim || un g n un || Ta có gun || un g n 1un || || un g n 1un || || || gun || un g n 1un 1 g nun 1 || n Tiếp theo, thiết lập chứng minh kết hội tụ yếu dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị lim || gun (k ) un (k ) || (2.23) Vì (un , un ) E (G ) G có tính chất bắc cầu nên (un (k ), un (k || Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức , ta lim || gun un || n un (k ) || k n || un lim || fun (k ) k 1) ) E (G ) (2.24) Từ (2.23) (2.24), theo Bổ đề 1.5, ta fu gu u hay u Fix (f ) Fix (g ) Tương tự trên, ta chứng minh v Fix (f ) Fix (g ) Vì u, v Fix (f ) Fix (g ) nên lim || un u || lim || un v || tồn Theo n n Bổ đề 1.6, ta u v Do {un } hội tụ yếu đến điểm bất động chung f g 19 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Tiếp theo, thiết lập chứng minh kết hội tụ mạnh dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị gq || un (k ) || || un (k ) Do lim || q gun (k ) || || gun (k ) gq || Suy fq || lim || q k gq || k Định lí 2.4 Giả sử fq gq q hay q Fix(f ) Fix(g) Theo Mệnh đề 2.2, ta có lim || un q || tồn nên (1) X không gian Banach lồi {un } hội tụ mạnh đến q n (2) tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X, có tính chất G (3) Một hai ánh xạ f , g G-nửa compact (4) {un } dãy xác định (2.1) thỏa mãn p Fix (f ) lim inf n || q || q (u1, p),(p, u1 ) E(G ) với Fix (g ), n lim inf n n limsup n limsup n n n Khi đó, {un } hội tụ mạnh đến điểm bất động chung f g Fix(g ) Cuối cùng, đưa ví dụ minh họa cho hội tụ dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-khơng giãn tiệm cận Đồng thời, ví dụ chứng tỏ dãy lặp (2.1) hội tụ đến điểm bất động chung nhanh dãy lặp báo Wattanataweekul (2018) khơng gian Ví dụ 2.5 Cho X Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, [0, 2],G (V (G), E(G )) đồ thị định (x, y) E(G ) hướng với V (G ) 0, 75 x y 1, 70 x y Xét hai ánh xạ f , g xác định arcsin( x 1) neá u x neá u x fx Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2, ta có lim || un fun || lim || un gun || Hơn nữa, n Fix(f ) 3, n (un , un ) E(G ) Kết hợp với giả thiết hai ánh xạ f , g G-nửa compact, suy tồn dãy {un (k ) } {un } dãy {un } cho {un (k ) } hội tụ mạnh đến C Do q lim || un(k ) k fun (k ) || lim || un (k ) gun (k ) || k Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.8, ta f g G-liên tục Kết hợp với (2.24), ta lim || fun (k ) k fq || lim || gun (k ) k gq || Ta có || q || q 20 fq || un (k ) || || un (k ) fun (k ) || || fun (k ) fq ||, gx x ln x neá u x 2 neá u x Với (x, y) E(G), ta có 0, 75 x, y 1, 70 Suy (fx, fy),(gx, gy) E(G) Suy f , g bảo toàn cạnh Hơn nữa, với (x, y) E(G ) n n || f x n || g x 1, 36 ta chứng minh f ny || n n g y || n || x y || || x y || Do f , g ánh xạ G-khơng giãn tiệm cận Ta có Fix(f ) Fix(g ) {1} Chọn u1 1, ta có (p, u1 ),(u1, p) E(G ) với p Fix (f ) Fix (g ) Chọn n n 5n , Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 n Khi đó, dãy lặp {un } xác 10n n định (2.1) có dạng hội tụ đến điểm bất động chung p 1, u1 un 9n n n un g un 10n 10n 4n n n n g f 5n 5n Tuy nhiên, với x v 1, ta tính | fx fy | |x 3, y y |, | gu (2.25) u gv | yn xn 9n x 10n n 4n y 5n n 1,1940112 1,0077474 1,130939 1,0003408 1,0886472 1,0000094 1,0601816 1,0000002 1,0409866 1, … … … 46 1, 1, 2, |u v | Do đó, f , g khơng ánh xạ khơng giãn tiệm cận Vì vậy, kết hội tụ đến điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn tiệm cận không áp dụng cho hai ánh xạ Hơn nữa, với cách chọn hai ánh xạ f , g dãy lặp {x n } giới thiệu nghiên cứu Wattanataweekul (2018) có dạng hội tụ đến điểm bất động chung p x1 Hình Dáng điệu hội tụ dãy lặp (2.25) (2.26) đến với n=50 Lời cảm ơn: Bài báo hỗ trợ Trường Đại học Đồng Tháp với Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên mã số SPD2019.02.15./ Tài liệu tham khảo 1, n n g xn 10n n n f yn 5n (2.26) Tuy nhiên, hội tụ dãy lặp (2.25) đến điểm bất động chung p nhanh hội tụ dãy lặp (2.26) minh họa bảng số liệu hình ảnh minh họa dáng điệu sau Bảng Số liệu hội tụ dãy lặp (2.25) (2.26) n x n (dãy 2.26) un (dãy 2.25) 1,4 1,4 1,2887079 1,1097846 N V Dung and N T Hieu (2020), “Convergence of a new three-step iteration process to common fixed points of three G-nonexpansive mappings in Banach spaces with directed graphs”, Rev R Acad Cienc Exacts Fis Nat Ser A Math RACSAM, 114: 140, pp 1-24 N V Dung and N T Hieu (2019), “A new hybrid projection algorithm for equilibrium problems and -nonexpansive asymptotically quasi mappings in Banach spaces”, Rev R Acad Cienc Exactas Fís Nat Ser A Math RACSAM, (3), pp 2017-2035 K Goebel and W A Kirk (1972), “A fixed point theorem for asymptotically 21 Chuyên san Khoa học Tự nhiên nonexpansive mappings”, Proc Amer Math Soc., (1), pp 171-174 J Jachymski (2008), “The contraction principle for mappings on a metric space with a graph”, Proc Amer Math Soc., (4), pp 1359-1373 M G Sangago, T W Hunde and H Z Hailu (2018), “Demiclodeness and fixed points of G-asymptotically nonexpansive mapping in Banach spaces with graph”, Fixed Point Theory, (3), pp 313-340 N Shahzad and R Al-Dubiban (2006), “Approximating common fixed points of 22 nonexpansive mappings in Banach spaces”, Georgian Math J., (3), pp 529-537 R Suparatulatorn, W Cholamjiak, S Suantai (2018), “A modified S-iteration process for G-nonexpansive mappings in Banach spaces with graphs”, Numer Algor, (2), pp 479-490 M Wattanataweekul (2018), “Approximating common fixed points for two Gasymptotically nonexpansive mappings with directed graphs”, Thai J Math., (3), pp 817-830  ... xuất dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ G -không giãn tiệm cận chứng minh số kết hội tụ dãy lặp đề xuất đến điểm bất động chung hai ánh xạ G -không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị Trước... f , g không ánh xạ không giãn tiệm cận Vì vậy, kết hội tụ đến điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn tiệm cận không áp dụng cho hai ánh xạ Hơn nữa, với cách chọn hai ánh xạ f , g dãy lặp {x... hội tụ yếu đến điểm bất động chung f g 19 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Tiếp theo, thiết lập chứng minh kết hội tụ mạnh dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ G -không giãn tiệm cận không