Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số

1 Lời giới thiệu Nội dung hàm số ứng dụng hàm số để giải toán chiếm phần lớn có vị trí vơ quan trọng nội dung chương trình Tốn trường Trung học phổ thông kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia, Học sinh giỏi cấp tỉnh Bài toán đồ thị hàm số nằm lớp toán hàm số Bài toán đồ thị hàm số rèn luyện tư sáng tạo, trí thơng minh mà cịn đem lại niềm say mê u thích mơn Tốn cho người học Khó khăn mà học sinh thường gặp hệ thống tập liên quan đến đồ thị hàm số đa dạng phong phú nội dung chưa đề cập cách liên tục có hệ thống sách giáo khoa phổ thông Mặt khác kì thi trung học Phổ thơng Quốc gia, từ năm 2017 mơn Tốn lại hình thức trắc nghiệm, học sinh thiếu tài liệu chuyên sâu chủ đề Vì để giúp em học sinh phổ thơng q trình học tập, hình thành cho học sinh kiến thức kỹ định việc giải toán nâng cao đồ thị hàm số Dưới góp ý đồng nghiệp trải qua nhận xét rút từ trình giảng dạy, tơi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán nâng cao đồ thị hàm số” Với nội dung chính: - Phân dạng hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán nâng cao đồ thị hàm số - Giới thiệu với học sinh số toán nâng cao đồ thị hàm số hình thức trắc nghiệm Tên sáng kiến “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán nâng cao đồ thị hàm số” Tác giả sáng kiến - Họ tên: Nguyễn Thị Phương Dịu - Chức vụ: Chủ tịch Cơng đồn skkn - Địa chỉ: Trường Trung học Phổ thông Lê Xoay, Khu 2, thị trấn Vĩnh Tường, huyện Vĩnh Tường, tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0936 383 666 - E-mail: diu.nf@hotmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến Trường THPT Lê Xoay- huyện Vĩnh Tường- tỉnh Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Giảng dạy bồi dưỡng kỹ giải tập tốn giải tích cho học sinh THPT Ngày sáng kiến áp dụng thử Từ tháng 8/2018 Mô tả chất sáng kiến 7.1 Các bước thực sáng kiến 7.1.1 Nghiên cứu tài liệu Thu thập tài liệu liên quan đến chủ đề nghiên cứu: Giáo trình phương pháp dạy học Tốn, tạp chí khoa học giáo dục, sách giáo khoa sách tham khảo, trang web toán học 7.1.2 Điều tra sư phạm Nghiên cứu, tìm hiểu chất lượng học sinh, thăm dị ý kiến học sinh khó khăn giải tập toán đồ thị hàm số em 7.1.3 Quan sát sư phạm Ghi nhật kí chi tiết, xác theo trình tự thời gian nhằm tìm ưu khuyết điểm trình giảng dạy 7.1.4 Thực nghiệm sư phạm Nhằm tìm hiệu việc “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán nâng cao đồ thị hàm số” cho học sinh Trung học phổ thông lập kế hoạch thực nghiệm cho việc nghiên cứu đề tài chia làm giai đoạn: Thử áp dụng đề tài cho học sinh lớp 12 hai năm học 2018-2019; 2019-2020 So sánh kết thực nghiệm trước dạy sau dạy để tìm hiệu thực nghiệm skkn 7.2 Nội dung sáng kiến 7.2.1 Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu Khi giải toán nâng cao đồ thị hàm số vấn đề học sinh phải nắm dạng đồ thị hàm số thường gặp, phép biến đổi đồ thị hàm số để từ có linh hoạt vận dụng giải tập 7.2.2 Thực trạng vấn đề mà nội dung đề tài đề cập đến Trong chương trình Tốn Trung học phổ thơng, đồ thị hàm số đề cập đến từ lớp 10 học sinh học hàm số bậc hàm số bậc hai Đến lớp 12 đồ thị hàm số tiếp tục đề cập đến học sinh học chương I - Khảo sát vẽ đồ thị hàm số, chương trình Giải tích Đây kiến thức cần cho thi THPT Quốc gia thi học sinh giỏi Trong viết này, Tôi xin đưa cách phân dạng, hướng dẫn Học sinh giải số tập nâng cao đồ thị hàm số số tập trắc nghiệm đồ thị hàm số để minh hoạ cho Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán nâng cao đồ thị hàm số” 7.2.3 Chuẩn bị thực đề tài - Hướng dẫn học sinh sử dụng tài liệu tham khảo giới thiệu sách hay có liên quan để học sinh tìm đọc - Chọn lọc, biên soạn theo hệ thống dạy - Nghiên cứu đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi, trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp 7.2.4 Những biện pháp, giải pháp đặt đề tài 7.2.4.1 Hình thành thái độ học tập mơn Tốn cho học sinh Học sinh cấp Trung học phổ thông có ý thức tương đối tốt việc học hành Nắm bắt phát triển tâm lý này, giáo viên cần khơi gợi say mê, tìm tịi; kích thích hứng thú học tập học sinh trình học mơn Tốn 7.2.4.2 Phân loại u cầu đối tượng skkn - Giới thiệu tính chất, hướng chứng minh - Đưa ví dụ minh hoạ, tập áp dụng tính chất 7.2.4.3 Rèn luyện kỹ giải tập nâng cao đồ thị hàm số cho học sinh 7.2.4.3.1– Kiến thức bản: Để giải tập đồ thị hàm số ta thường sử dụng kiến thức sau:  Sách giáo khoa Đại số 10 –NXB Giáo dục nêu khái niệm đồ thị hàm số sau: “Đồ thị hàm số y  f ( x) xác định tập D tập hợp tất điểm M  x; f ( x)  mặt phẳng toạ độ với x  D ”  Sách giáo khoa Giải tích 12 –NXB Giáo dục nêu nhận xét: “Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm y  f ( x) xác định K Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải; Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải”  Cách vẽ đồ thị số hàm đặc biệt Đồ thị Cách vẽ y  f (  x) Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f ( x) qua trục Oy y   f ( x) Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f ( x) qua trục Ox y  f ( x) - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f ( x) phía trục Ox gọi phần  C1  ; skkn - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f ( x) phía trục Ox qua Ox gọi phần  C2  Đồ thị cần vẽ hợp  C1   C2  y  f (x) - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f ( x) phía bên phải trục Oy gọi phần  C1  ; - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f ( x) phía bên phải Oy qua Oy gọi phần  C2  Đồ thị cần vẽ hợp  C1   C2  y  f ( x)  p với p  Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo vectơ u  0;p  ( lên phía p đơn vị) y  f ( x)  p với p  Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo vectơ u  0;  p  ( xuống phía p đơn vị) Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo y  f ( x  q) với q  vectơ u   q;0  ( sang bên trái q đơn vị) y  f ( x  q) với q  Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo vectơ u  q;0  ( sang bên phải q đơn vị) Co đồ thị hàm số y  f ( x) theo chiều y  f ( px) với p  ngang hệ số p Giãn đồ thị hàm số y  f ( x) theo chiều y  f ( px) với  p  ngang hệ số 1/p skkn y  qf ( x) với q  Giãn đồ thị hàm số y  f ( x) theo chiều dọc hệ số q y  qf ( x) với  q  Co đồ thị hàm số y  f ( x) theo chiều dọc hệ số 1/q y  f ( x)  a Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) trước, sau tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) lên xuống tuỳ thuộc dấu a Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x ) trước, sau y  f ( xb) tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) sang trái sang phải tuỳ thuộc dấu b 7.2.4.3.2 – Các dạng toán thường gặp: 7.2.4.3.2.1 – Dạng 1: Liên hệ đồ thị hàm số nghiệm phương trình 7.2.4.3.2.1.1 –Bài tốn : Bài tốn : Biết đồ thị hàm số y  f ( x ) Tìm số nghiệm phương trình af ( x)  b,  a, b  , a   Cách giải: + Đưa phương trình af ( x)  b dạng f ( x)  b a + Số nghiệm phương trình af ( x)  b,  a, b  , a   số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x ) đường thẳng y  b b (đường thẳng y  song a a song với trục hoành) skkn Bài Cho hàm số bậc ba y  f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f ( x)   C B A D Hướng dẫn 2 + Phương trình f ( x)    f ( x)  + Số nghiệm phương trình f ( x)   số giao điểm đồ thị hàm 2 số y  f ( x ) đường thẳng y  Từ hình vẽ nhận xét đường thẳng y  2 song song với trục hoành nên có số giao điểm Vậy chọn đáp án A Bài (Đề thi THPT QG - Mã đề 102 - 2018) Cho hàm số f ( x)  ax  bx  c,  a, b, c   , a  có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f ( x)   A B C D skkn Hướng dẫn + Phương trình f ( x)    f ( x)  + Số nghiệm phương trình f ( x)   số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x ) đường thẳng y  Từ hình vẽ nhận xét đường thẳng y  song song với trục hồnh nên có số giao điểm Vậy chọn đáp án A Bài Cho hàm số y  f ( x ) liên tục đoạn  2;2 có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f ( x)   đoạn  2; 1 A B C D Hướng dẫn + Phương trình f ( x)    f ( x)  + Số nghiệm phương trình f ( x)   đoạn  2; 1 số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x ) đường thẳng y  đoạn  2; 1 skkn Từ hình vẽ nhận xét đường thẳng y  giao điểm Vậy chọn đáp án A song song với trục hồnh nên có số Bài Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục đoạn  2;2 có đồ thị đường cong hình vẽ sau Tất giá trị thực tham số m để phương trình f  x   m có nghiệm phân biệt đoạn  2;2 A m  2;   B m  2;2 C m  2;3 D m  2;2  Hướng dẫn Chọn D Số nghiệm phương trình f  x   m số điểm chung đồ thị hàm số y  f  x  (hình vẽ) đường thẳng y  m đoạn  2;2 Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có nghiệm phân biệt m  2;2  Vậy chọn đáp án D skkn 7.2.4.3.2.1.2 – Bài toán : Bài toán : Biết đồ thị hàm số y  f ( x ) Xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f  x   g  m  , f  u  x    g  m  , f  x   f  m  , f u  x   f  m Cách giải: Xét trường hợp f  u  x    g  m  ta làm sau: + Chặn giá trị x, u  x  , f  u  x   + Đặt t  u  x  , phương trình trở thành f  t   g  m  + Từ đồ thị suy điều kiện g  m  , từ suy điều kiện m Bài Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình m2  f  x    có hai nghiệm phân biệt ? A B C D Hướng dẫn Chọn A m2  x f    1 Phương trình cho tương đương với   m2  x Đặt t   Điều kiện t  (1) trở thành f  t    2 Vì với nghiệm t  phương trình (2) cho nghiệm x  log t phương trình (1) nên (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có 10 skkn Bài 10 Cho hàm số f  x   ax3  bx  cx  d  a, b, c, d   có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m đề phương trình f  x   m  có nghiệm thực phân biệt A 3  m  B 1  m  C 2  m  D 6  m  Hướng dẫn Chọn D Ta có: f  x   m   f  x   m f  x  hàm chẵn nên đồ thị hình sau: Từ đồ thị ta có phương trình f  x   m  có nghiệm thực phân biệt khi: 1 m    6 m  Vậy 6  m  28 skkn Bài 11 Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ bên Số giá trị nguyên m để phương trình f  x    m có nghiệm đoạn  1,5 A B Hướng dẫn C D Chọn C Ta có 1  x   3  x     x   Do x   1;5 ,  x   Đặt t  x  với t  0;3 Xét hàm số y  f  t  liên tục  0;3 Dựa vào đồ thị ta thấy max f (t )  , f (t )  0;3 0;3      max f ( x  )  5,min f ( x 2)  1;5 1;5   Suy phương trình f  x    m có nghiệm đoạn  1,5  m  7.2.4.3.2.2– Dạng 2: Liên hệ đồ thị hàm số y  f '  x  nghiệm phương trình Bài tốn: Biết đồ thị hàm số y  f   x  , xét nghiệm phương trình có dạng f  x   0; f  u  x    0; f  x   g  x  ; f  u  x    g  v  x   Cách giải: Từ đồ thị hàm số y  f   x  rút nhận xét bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x  làm tương tự toán Bài Cho hàm số y= f  x   a.x  b.x  c.x  d với a, b, c, d  , có đồ thị y= f '  x  hình 29 skkn Biết f  0  Khi số nghiệm phương trình f  x  x   A B Hướng dẫn C D Chọn B *Cách 1: Từ đồ thị ta có BBT sau: x  Từ BBT ta có f  x     x  a   x  x  1 Do f  x  x      x  x  a   x  Ta có (1)   x  (2)  x  x  a  , có    4a  0,a  nên (2) ln có nghiệm phân biệt khác Vậy phương trình f  x  x   có nghiệm phân biệt x  *Cách 2: Từ đồ thị ta có f '  x     x  Đặt g  x   f  x  x  Ta có g'  x    f  x  x '   x  1 f '  x  x  2 x     g'  x      x  1;0; ;1;  2    f '  x  x   BBT: 30 skkn Từ BBT ta thấy phương trình g  x   f  x  x   có nghiệm phân biệt *Cách 3: Từ giả thiết ta có f '  x   3ax  2bx  c Từ đồ thị ta có f '  0   c  ; f '  2   12a  4b  c   3a  b  (1) Lại có f ' 1  1 nên 3a  2b   (2) Từ (1), (2) ta có a  ; b  1 x3 Do f '  x   x  x  f  x     x  x dx   x  C 3 x Lại có f  0   C  nên f  x    x 3 x  x Mặt khác f  x     x    x  2  x  0; x   x2  x  Khi f  x  x     có nghiệm   x   13 x  x    2 Vậy phương trình f  x  x   có nghiệm Bài Cho hàm số y= f  x  xác định hình Hàm số y= f '  x  có đồ thị Số nghiệm nhiều phương trình f  x   m ( m tham số thực) là? A B C D Hướng dẫn Chọn C 31 skkn Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ta có bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x  sau: Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f  x   m có tối đa hai nghiệm dương, phương trình f  x   m có tối đa nghiệm Bài Cho hàm số f ( x)  ax5  bx  cx3  dx  ex  m với a, b, c, d , e, m a  Hàm số y  f ( x) có đồ thị hình vẽ (đồ thị y  f ( x) cắt Ox điểm có hồnh độ 3;  1; 0,5 ) Hỏi phương trình f ( x)  m có nghiệm phân biệt A B C D Hướng dẫn Chọn C Từ đồ thị ta có f '( x)  a  x  3 x  1 x  1 x    a x  3x3  12 x  x    2   f ( x)   a  x  3x3  12 x  x   dx  a  x5  x  x  x  x   m 5  Giải phương trình : x  f ( x)  m  x  x  x  x  x    3  x  x  x  x   (1) 4 5 Ta thấy phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt 32 skkn Bài Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục , f  3  đồ thị hàm số y  f ( x) cho hình vẽ bên Phương trình f  x   có nghiệm? A B C D Hướng dẫn Chọn A Từ đồ thị hàm số cho, ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  : Qua BBT f  3  ta thấy phương trình f  x   vơ nghiệm Bài Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị y  f ( x) hình vẽ, biết f  a   Phương trình f  x   có nghiệm? A B Hướng dẫn C D Chọn B 33 skkn Xét b S1   f   x  dx  f  x  ba  f  b   f  a  a c S2    f   x  dx   f  x  bc  f  b   f  c  b Vì S1  S2  f  b   f  a   f  b   f  c   f  a   f  c  Dựa vào đồ thị hàm số f   x  , ta có bảng biến thiên hàm f  x  sau: a x c b f  x 0     f b f a f  x f c Vì f  a   từ bảng biến thiên ta có phương trình f  x   có nghiệm 7.2.4.3.3 – Bài tập tự giải Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f  x  x    3m  có nghiệm thuộc khoảng  0;1 A 0;4 B  1;0 C  0;1   D   ;1   34 skkn Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ Phương trình f  f  x    3 có tất nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ y 2 -2 -1 O x -2 y = f(x) Phương trình f  f  x    có nghiệm? A B C D Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  hình vẽ Phương trình f  x  1  A 3 có nghiệm âm phân biệt? B C D Câu Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Tìm điều kiện m để phương trình f ( x)  m có nghiệm x 2;6 ? 35 skkn y 3 2 1 O x 2 B f  2   m  f  5 A f  2   m  f   C f  5  m  f   D f  0  m  f  2 Câu Cho y  f  x  hàm số đa thức bậc 5, có f 1  đồ thị hàm số y  f   x  đối xứng qua đường thẳng x  hình Biết phương trình f  x  1  m có nghiệm x 1;1 m  a; b Khi a  b A  B C D Câu Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  e với (a, b, c, d , e ) Biết hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ đây, đạt cực trị điểm O  0;0  cắt truc hồnh A  3;0  Có giá trị nguyên m  5;5 để phương trình f   x  x  m   e có bốn nghiệm phân biệt y O A B x C D 36 skkn Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Phương trình f  x    m2  3m  có nghiệm phân biệt tham số m thỏa mãn điều kiện đây? A  m    17    17  ;1   2; C m    2     Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục B  m    17  17  ; D m    2   có đồ thị hình vẽ  3x  x   Tìm tất giá trị m để phương trình f    m có 2 x    nghiệm A 4  m  2 B m  4 C  m  D  m  Câu 10 Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên m phương trình f  sin x   3sin x  m có nghiệm thuộc khoảng  0;  Tổng phần tử S : A - B - C -10 D -6 37 skkn 7.2.4.4 - Về khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng cho đối tượng học sinh sau học xong chương trình học kì lớp 12 Học sinh ôn thi Trung học Phổ thông Quốc gia học sinh ôn thi Học sinh giỏi Trung học phổ thông - Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến + Hướng dẫn học sinh sử dụng tài liệu tham khảo giới thiệu sách hay có liên quan để học sinh tìm đọc + Chọn lọc, biên soạn theo hệ thống dạy + Nghiên cứu đề thi học sinh giỏi trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp - Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm theo ý kiến tác giả  Khi áp dụng đề tài vào thực tế dạy học đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi thu kết quả: + Học sinh phát triển tư kỹ liên hệ vấn đề Toán học Học sinh hình thành lời giải cách nhanh nhẹn, sáng tạo + Qua em không rèn luyện củng cố kiến thức đồ thị hàm số mà em biết vận dụng để giải tập nâng cao, khó phương trình Các em học sinh giỏi trang bị thêm phương pháp tiếp cận tập nâng cao, khó đề thi học sinh giỏi + Giáo viên nâng cao trình độ chun mơn nâng cao lực sư phạm q trình giảng dạy ơn thi Trung học Phổ thông Quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi  Trước sau thực đề tài tiến hành khảo sát khả phân dạng giải toán liên quan đến đồ thị hàm số học sinh lớp 12 ( có đội tuyển tốn) trường Trung học phổ thông Lê Xoay hai năm học 2018-2019; 2019-2020 (Số học sinh khảo sát năm học 120) thu kết sau: 38 skkn 2018-2019 Giỏi Khá Yếu Trung bình Tổng số % Tổng số % Tổng số % Tổng số % Trước áp dụng đề tài 15 12,5 36 30 47 39,2 22 18,3 Sau áp dụng đề tài 27 22,5 55 45,8 36 30 1,7 2019-2020 Giỏi Khá Yếu Trung bình Tổng số % Tổng số % Tổng số % Tổng số % Trước áp dụng đề tài 14 11,7 37 30,8 49 40,8 20 16,7 Sau áp dụng đề tài 28 23,3 68 56,7 24 20 0 11 Danh sách tổ chức cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu Số thứ Tên tổ chức, cá nhân Địa tự Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Giảng dạy bồi dưỡng kỹ giải trường THPT Lê Xoay tập tốn giải tích cho học sinh Trung học phổ thông Nguyễn Thị Phương Dịu Giáo viên Toán- 39 skkn Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Vĩnh Tường, ngày tháng năm Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Thị Phương Dịu 40 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 – NXB Giáo Dục Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Các toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số - NXB Giáo Dục Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp – NXB ĐHQG Phương pháp để giải đề thi tuyển sinh môn Toán – NXB Giáo Dục Sai lầm phổ biến giải toán – NXB Giáo Dục Giới thiệu dạng toán luyện thi Đại học 10-11-12 – NXB Hà Nội Cơng phá tốn 1, 2, - NXB ĐHQG Một số tài liệu trang http://boxtailieu.net, http://dethi.violet.vn, http://toanmath.com, 41 skkn 42 skkn ... Trung học phổ thông, đồ thị hàm số đề cập đến từ lớp 10 học sinh học hàm số bậc hàm số bậc hai Đến lớp 12 đồ thị hàm số tiếp tục đề cập đến học sinh học chương I - Khảo sát vẽ đồ thị hàm số, chương... trắc nghiệm đồ thị hàm số để minh hoạ cho Sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán nâng cao đồ thị hàm số? ?? 7.2.3 Chuẩn bị thực đề tài - Hướng dẫn học sinh sử dụng tài liệu... skkn A  0;2 B  0;1 C  0;2  D  0;1 Hướng dẫn Chọn C Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ (đồ thị nét liền) Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy đồ thị