Câu 1. (Mã 101 2019) Cho hai hàm số 3 2 1 2 1 1 x x x x y x x x x − − − = + + + − − + và y x x m = + − + 2 ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. 2;+). B. (−;2) . C. (2;+) . D. (−;2. Câu 2. (Mã 103 2019) Cho hai hàm số 1 1 2 1 2 3 x x x x y x x x x − + + = + + + + + + và y x x m = + − − 2 ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là (C C 1 2 ),( ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. (− + 2; ). B. (− −; 2. C. − + 2; ). D. (− −; 2).
Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chuyên đề DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác) (Mã 101 2019) Cho hai hàm số y = x − x − x −1 x y = x + − x + m ( m tham + + + x − x −1 x x +1 số thực) có đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Tập hợp tất giá trị m để ( C1 ) ( C2 ) cắt bốn điểm phân biệt A 2; + ) B ( −;2) D ( −; 2 C ( 2;+ ) Lời giải Chọn A Xét phương trình x − x − x −1 x + + + = x+2 −x+m x − x −1 x x +1 x − x − x −1 x + + + − x + + x = m (1) x − x −1 x x +1 Hàm số x −3 x − + x − x − x −1 x p ( x) = + + + − x+2 + x = x − x −1 x x +1 x −3 + x − x−2 + x −1 x−2 + x −1 x −1 + x x −1 + x x −2 x −2 x +1 x + x + x −2 x +1 1 + + 2+ 0, x ( −2; + ) \ −1;0;1; 2 2 x ( x + 1)2 ( x − ) ( x − 1) Ta có p ( x ) = 1 + + 2+ + 0, x −2 2 ( x − ) ( x − 1) x x + ( ) nên hàm số y = p ( x ) đồng biến khoảng ( −; −1) , ( −1;0 ) , ( 0;1) , (1;2 ) , ( 2;+ ) Mặt khác ta có lim p ( x ) = lim p ( x ) = − x →+ x→− A IL IE U O N T H I N E T Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) : T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Do để ( C1 ) ( C2 ) cắt bốn điểm phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt Điều xảy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = p ( x ) điểm phân biệt m Câu (Mã 103 2019) Cho hai hàm số y = x −1 x x +1 x + y = x + − x − m ( m tham + + + x x +1 x + x + số thực) có đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) Tập hợp tất giá trị m để ( C1 ) ( C2 ) cắt bốn điểm phân biệt C −2; + ) B ( −; − 2 A ( −2; + ) D ( −; − ) Lời giải Chọn B Xét phương trình hồnh độ giao điểm x −1 x x +1 x + x −1 x x +1 x + + + + = x+2 −x−m + + + − x + + x = − m (1) x x +1 x + x + x x +1 x + x + x −1 x x +1 x + Xét f ( x ) = + + + − x + + x, x D = \ −3; − 2; − 1;0 x x +1 x + x + x x +1 x + x −1 x + x + + x + + x + − 2, x ( −2; + ) D = D1 Ta có f ( x ) = x − + x + x + + x + + x + 2, x ( −; − ) D = D x x +1 x + x + 1 1 + + , x D1 2 x2 + x + x + x + ( ) ( ) ( ) Có f ( x ) = 1 1 + + + + 2, x D2 2 x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3)2 Dễ thấy f ( x ) 0, x D1 D2 , ta có bảng biến thiên - x + + f'(x) -2 -3 + + + + + + + + f(x) - - - - - Hai đồ thị cắt điểm phân biện phương trình (1) có nghiệm phân biệt, từ bảng biến thiên ta có: −m m −2 x x +1 x + x + + + + y = x + − x + m ( m tham x +1 x + x + x + ( C2 ) Tập hợp tất giá trị m để ( C1 ) ( C2 ) cắt A ( −;3 E I N B ( − ;3) C 3;+ ) D ( 3; + ) Trang https://TaiLieuOnThi.Net IL IE A T Ta có phương trình hồnh độ giao điểm U Lời giải Chọn C Điều kiện x −1; x −2; x −3 x −4 H điểm phân biệt N T số thực) có đồ thị ( C1 ) T (Mã 102 2019) Cho hai hàm số y = O Câu Tài Liệu Ôn Thi Group x x +1 x + x + + + + = x +1 − x + m x +1 x + x + x + 1 − + 1 − + 1 − + 1 − = x −1 − x + m x +1 x + x + x + TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 x − x +1 + − + + + =m x +1 x + x + x + Đặt tập D1 = ( −1; + ) D2 = (−; −4) ( −4; −3) (−3; −2) ( −2; −1) 1 1 x D1 3 − x + + x + + x + + x + = m, 1 + + + 2 x + − = m, x D2 x +1 x + x + x + 1 1 x D1 3 − x + + x + + x + + x + , Đặt f ( x ) = 1 1 2 x + − + + + , x D2 x +1 x + x + x + 1 1 + + + x D1 0, 2 2 ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) f ( x) = 1 1 + + + >0, x D2 2 + 2 2 ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Vậy hàm số đồng biến khoảng xác định lim f ( x ) = lim f ( x ) = − x →+ ; x→− nên ta có bảng biến thiên Do để phương trình có nghiệm phân biệt m m 3; + ) x − x −1 x x +1 + + + y = x + − x − m ( m tham x −1 x x +1 x + ( C2 ) Tập hợp tất giá trị m để ( C1 ) ( C2 ) cắt E I N bốn điểm phân biệt A ( −; −3) B −3; + ) C ( −; −3 D ( −3; + ) H số thực) có đồ thị ( C1 ) T (Mã 104 2019) Cho hai hàm số y = N T Lời giải A IL IE U O Chọn B Xét phương trình hồnh độ x − x −1 x x +1 x − x −1 x x +1 + + + = x +1 − x − m + + + − x + + x = − m (1) x −1 x x +1 x + x −1 x x +1 x + Số nghiệm (1) số giao điểm T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x−2 x − + x − x −1 x x +1 F ( x) = + + + − x +1 + x = x −1 x x +1 x + x−2 + x − x −1 + x x −1 + x x + x +1 x + x +1 x +1 −1 ,x −1 x+2 x +1 + x + 1, x −1 x+2 1 + 2+ + , x ( −1; + ) \ 0;1 2 x x − x + x + ( ) ( ) ( ) Ta có F ( x ) = 1 1 + + + + 2, x ( −; −1) \ −2 ( x − 1)2 x ( x + 1)2 ( x + )2 Mặt khác lim F ( x ) = +; lim F ( x ) = x →+ x →− lim F ( x ) = +; lim− F ( x ) = −; lim+ F ( x ) = −; lim− F ( x ) = + x →−2+ x →−2 x →−1 x →−1 lim+ F ( x ) = −; lim− F ( x ) = +; lim+ F ( x ) = −; lim− F ( x ) = + x →0 x →0 x →1 x →1 Bảng biến thiên Để phương trình có nghiệm −m m −3 Câu x2 −1 x2 − 2x x2 − 4x + x2 − 6x + + + + Cho hai hàm số y = y = x + − x + m ( m tham số x x −1 x−2 x −3 thực) có đồ thị (C1 ) (C2 ) Tính tổng tất giá trị nguyên thuộc khoảng (−15 ; 20) tham số m để (C1 ) (C2 ) cắt nhiều hai điểm phân biệt A 210 B 85 C 119 Lời giải D 105 Chọn B Xét phương trình hồnh độ giao điểm T x2 −1 x2 − 2x x2 − 4x + x2 − 6x + + + + − x + + x = m (1) x x −1 x−2 x −3 E x2 −1 x2 − x x2 − x + x2 − x + + + + = x+2 −x+m x x −1 x−2 x −3 I N x2 − x2 − x x2 − x + x2 − x + + + + − x−2 + x x x −1 x−2 x −3 x − − ( x − 2) 1 1 + + + với x thuộc khoảng Ta có g ( x) = + + x ( x − 1)2 ( x − 2)2 ( x − 3)2 x−2 IL IE U O N T H Đặt g ( x) = x →− x →+ Trang https://TaiLieuOnThi.Net T Mặt khác ta có lim g ( x) = − lim g ( x) = + A sau ( − ; 0) , ( ;1) , (1; 2) , ( ; 3) ( ; + ) nên hàm số y = g ( x) đồng biến khoảng Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) năm điểm phân biệt nên (C1 ) (C2 ) cắt năm điểm phân biệt với giá trị m Kết hợp điều kiện m nguyên thuộc (−15; 20) nên m−14; −13; ;18;19 Khi tổng tất giá trị m điểm phân biệt? A 2692 B 2691 D 2693 C 2690 Lời giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm x x +1 x + + + = e x + 2020 + 3m x −1 x x +1 x x +1 x + x + + − e − 2020 = 3m (1) x −1 x x +1 x x +1 x + x + + − e − 2020 Đặt g ( x) = x −1 x x +1 1 Ta có g ( x) = − − 2− − e x với x thuộc khoảng sau ( −; −1) , 2 ( x − 1) x ( x + 1) ( −1;0) , ( 0;1) (1;+ ) nên hàm số y = g ( x) nghịch biến khoảng Mặt khác ta có lim g ( x) = −2017 lim g ( x) = − x →− x →+ Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) Do để (C1 ) (C2 ) cắt ba điểm phân biệt phương trình (1) phải có ba H 2017 −672,3 N T ba điểm phân biệt 3m −2017 m − I N E T nghiệm phân biệt Điều xảy đường thẳng y = 3m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) O Do m nguyên thuộc (−2019; 2020) nên m−672; −671; ;2019 Vậy có tất 2692 giá trị m A IL IE U thỏa mãn T Câu S = 15 +16 +17 +18 +19 = 85 x x +1 x + + + Cho hai hàm số y = y = e x + 2020 + 3m ( m tham số thực) có đồ thị lần x −1 x x +1 lượt (C1 ) (C2 ) Có số nguyên m thuộc (−2019; 2020) để (C1 ) (C2 ) cắt Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Câu Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hai hàm số y = ( x + 1) x − y= 11 − + 11 + m cắt điểm phân biệt? 3x − − x A ( −;0 ) C ( −;1 B ( −;1) D ( −; 2 Lời giải Chọn C Xét phương trình hồnh độ giao điểm: ( x + 1) x − = 11 − + 11 + m 3x − − x ( *) x −1 x 4 Điều kiện: x x 3 x x Ta có: (*) ( x + 1) 11 + − 11 = m 3x − − x 11 4 Xét hàm số f ( x) = ( x + 1) x − − + − 11 1; + ) \ ; 3x − − x 3 x −1 − 4 4 Nhận thấy, hàm số f ( x ) liên tục khoảng 1; , ; , ( 2; + ) 3 3 11 Ta có, f ( x) = ( x + 1) x − − + − 11 3x − − x = x x − + ( x + 1) 10 x − x + 33 1 33 = + + với + + 2 2 x − ( 3x − ) ( − x ) x −1 ( 3x − ) ( − x ) 4 x 1; + ) \ ; 3 H N T O T A IL IE cắt điểm phân biệt m ( −;1 11 − + 11 + m 3x − − x U Từ bảng biến thiên ta suy đồ thị hai hàm số y = ( x + 1) x − y = I N E T 4 Suy ra, hàm số f ( x ) đồng biến 1; + ) \ ; 3 Bảng biến thiên Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu x −1 x x +1 x + Cho hai hàm số y = y = 21− x + 2m ( m tham số thực) có đồ thị lần + + + x x +1 x + x + lượt (C1 ) (C2 ) Tập hợp tất giá trị m để (C1 ) (C2 ) cắt năm điểm phân biệt B ( −; 2 A ( 2; + ) D ( −; ) C ( −; ) Lời giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm x −1 x x +1 x + + + + = 21− x + 2m x x +1 x + x + x x + x + x + 1− x + + + − = 2m x +1 x + x + x + x x + x + x + 1− x + + + −2 Đặt g ( x) = x +1 x + x + x + 1 1 Ta có g ( x) = + + + + 21− x ln 2 x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3)2 với x thuộc khoảng sau ( −; −3) , ( −3; −2 ) ( −2; −1) , ( −1;0 ) ( 0; + ) nên hàm số y = g ( x) đồng biến khoảng Mặt khác ta có lim g ( x) = và lim g ( x) = − x →+ x →− Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) Do để ( C1 ) ( C2 ) cắt năm điểm phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt Điều xảy đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) điểm phân biệt 2m m Cho hai hàm số y = x x −1 x−2 y = x − x + + m ( m tham số thực) có đồ + + x −1 x − 2x x − 4x + thị (C1 ) (C2 ) Số giá trị m nguyên thuộc khoảng ( −20;20 ) để (C1 ) (C2 ) cắt năm điểm phân biệt A 22 B 39 C 21 Lời giải D 20 H x x −1 x−2 + + − x + x + = m (1) x −1 x − 2x x − 4x + x x −1 x−2 + + − x + x +1 Đặt g ( x) = x −1 x − 2x x − 4x + − x2 − (x − 1) + − x2 + 2x − (x − 2x) + O U − x2 + 4x − (x − x + 3) −1 + x +1 x +1 IL IE Ta có g ( x) = N T A E x x −1 x−2 + + = x − x +1 + m x −1 x − 2x x − 4x + I N Xét phương trình hồnh độ giao điểm T Chọn C T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group = − x2 −1 (x − 1) + −( x − 1) − (x − 2x ) + −( x − 2) − (x − x + 3) + x +1− x +1 0 x +1 với x thuộc khoảng sau ( −; −1) , ( −1;0 ) , ( 0;1) , (1;2 ) , ( 2;3) ( 3; + ) nên hàm số y = g ( x) nghịch biến khoảng Mặt khác ta có lim g ( x) = + và lim g ( x) = x →+ x →− Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) Do để (C1 ) (C2 ) cắt năm điểm phân biệt phương trình (1) phải có năm nghiệm phân biệt Điều xảy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) năm điểm phân biệt m , m nguyên thuộc (−20; 20) nên m−19; −18; ;0;1 Vậy có tất 21 giá trị m thỏa mãn Câu 10 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình m2 x − ( m + ) x3 + x + ( m − 1) x nghiệm với x Số phần tử tập S A B C Lời giải D Chọn D Đặt f ( x ) = m x − ( m + ) x + x + ( m − 1) x Ta có f ( x ) = m2 x − ( m + ) x3 + x + ( m2 − 1) x = x m2 x3 − ( m + ) x + x + ( m2 − 1) Giả sử x = khơng phải nghiệm phương trình g ( x ) = m x3 − ( m + ) x + x + ( m − 1) = hàm số f ( x ) = m x − ( m + ) x + x + ( m − 1) x đổi dấu qua điểm x = , nghĩa m2 x − ( m + ) x3 + x + ( m − 1) x nghiệm với x Do đó, để u cầu tốn thỏa mãn điều kiện cần g ( x ) = m x3 − ( m + ) x + x + ( m − 1) = phải có nghiệm x = , suy m2 − = m = 1 Điều kiện đủ: Với m = 1, f ( x ) = x − 3x + x = x ( x − 3x + 1) f (1) = −1 không thỏa mãn điều kiện m2 x − ( m + ) x3 + x + ( m − 1) x nghiệm với x (loại) I N E T Với m = 1, f ( x ) = x − x + x = x ( x − x + 1) , x N T H Vậy S = −1 Trang https://TaiLieuOnThi.Net IL IE C Lời giải D A B T với x A U O Câu 11 Có cặp số thực (a; b) để bất phương trình ( x − 1)( x + ) ( ax + bx + ) nghiệm Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C Đặt f ( x ) = ( x − 1)( x + ) ( ax + bx + ) Giả sử x = nghiệm phương trình g ( x ) = ( x + ) ( ax + bx + ) = hàm số f ( x ) = ( x − 1)( x + ) ( ax + bx + ) đổi dấu qua điểm x = , nghĩa ( x − 1)( x + ) ( ax + bx + ) khơng có nghiệm với x Do đó, để u cầu tốn thỏa mãn điều kiện cần g ( x ) = ( x + ) ( ax + bx + ) = có nghiệm x = suy a + b + = (1) Lí luận tương tự có h ( x ) = ( x − 1) ( ax + bx + ) = phải nhận x = −2 nghiệm, suy 4a − 2b + = (2) a + b + = a = −1 Từ (1) (2) ta có hệ 4a − 2b + = b = −1 Điều kiện đủ: a = −1 2 Với có f ( x ) = ( x − 1)( x + 2) − x − x + = − ( x − 1) ( x + 2) , x b = −1 ( ) Vậy không tồn cặp số thực (a; b) thỏa mãn yêu cầu toán Câu 12 Trong số cặp số thực ( a; b ) để bất phương trình ( x − 1)( x − a ) ( x + x + b ) nghiệm với x , tích ab nhỏ A − B −1 Lời giải D C Chọn C Đặt f ( x ) = ( x − 1)( x − a ) ( x + x + b ) g ( x ) = ( x − a ) ( x + x + b ) Giả sử x = nghiệm phương trình g ( x ) = ( x − a ) ( x + x + b ) = hàm số f ( x ) = ( x − 1)( x − a ) ( x + x + b ) đổi dấu qua điểm x = , nghĩa ( x − 1)( x − a ) ( x + x + b ) khơng có nghiệm với x Do yêu cầu tốn thỏa mãn điều kiện cần g ( x ) = ( x − a ) ( x + x + b ) = có a = nghiệm x = suy x + x + b 0, x nghiệm x = x = a phương trình x + x + b = có hai E T a = a = a = Trường hợp 1: 1 b x + x + b 0, x R = − 4b I N Trường hợp 2: phương trình x + x + b = có hai nghiệm x = x = a IL IE U O N T H Ta thay x = vào phương trình x + x + b = có 12 + + b = b = −2 Với b = −2 có phương x = trình x + x + b = x + x − = x = −2 T A Vì x = a nghiệm phương trình nên a = −2 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group a = 1 Trong trường hợp 1: ab suy tích ab nhỏ ab = 4 b 1 Và với a = 1, b = , tích ab = bất phương trình cho tương đương với 4 ( x − 1)( x − 1) x + x + 1 1 2 ( x − 1) x + thỏa mãn với x 4 2 Trong trường hợp 2: Tích ab = Vậy tích ab nhỏ ab = (nhận) Câu 13 Cho hàm số y = x7 + x5 + x3 + 3m − y = x − − x − 2m ( m tham số thực) có đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) Tập hợp tất giá trị m để ( C1 ) cắt ( C2 ) A m C m ( −;2 ) B m ( 2; + ) D m 2; + ) Lời giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x7 + x5 + x3 + 3m − = x − − x − 2m x7 + x5 + x3 − x − + x = −5m + (1) Xét hàm số f ( x) = x7 + x5 + x3 − x − + x x 2; + ) x + x + x + Ta có f ( x) = x + x + x + 2x − x ( −; ) x ( 2; + ) 7 x + x + x f ( x) = 7 x + x + 3x + x ( −; ) lim f ( x ) = − ; lim f ( x ) = + x →+ x →− Bảng biến thiên: ∞ x + f '(x) +∞ + +∞ f(x) ∞ E I N m T Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) ln có nghiệm với m Vậy để ( C1 ) cắt ( C2 ) ( ) ( N T H Câu 14 Có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn −2019;2019 để phương trình ) T Lời giải Chọn B Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net U D 4033 IL IE C 4039 B 4032 A A 2019 O + x + x − m + − x − x + 2m = − x − x + có nghiệm thực? Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt khác, theo bảng biến thiên hàm số t ( x ) , với t0 ( 0;1) đường thẳng y = t0 cắt đồ thị hàm số y = t ( x ) điểm phân biệt nên phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f ) x − x = có nghiệm (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( x3 − 3x ) = A 10 B C Lời giải D Chọn C Xét phương trình f ( x3 − 3x ) = (1) Đặt t = x3 − 3x , ta có bảng biến thiên hàm số t = g ( x ) = x3 − 3x sau: I N E T Từ bảng biến thiên, ta thấy + Với t0 t0 −2 , phương trình t0 = x3 − x có nghiệm; N T H + Với −2 t0 , phương trình t0 = x3 − x có nghiệm A IL IE U O f (t ) = Khi đó, (1) trở thành f ( t ) = f ( t ) = −1 T Câu 26 ( Trang 41 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group t = t1 ( −2;0 ) * TH 1: f ( t ) = t = t2 ( 0; ) t = t 2; + ( ) + Với t = t1 ( −2;0) Phương trình t1 = x3 − 3x có nghiệm; + Với t = t2 ( 0;2) Phương trình t2 = x3 − x có nghiệm; + Với t = t3 ( 2; + ) Phương trình t3 = x − x có nghiệm; t = t4 ( −; −2 ) * TH 2: f ( t ) = −1 t = t5 ( 2; + ) + Với t = t4 ( −; −2) Phương trình t4 = x3 − x có nghiệm; + Với t = t5 ( 2; + ) Phương trình t5 = x − x có nghiệm Mặt khác, nghiệm phân biệt Vậy phương trình f ( x3 − 3x ) = có nghiệm phân biệt Câu 27 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hình bên Phương trình f f ( cos x ) − 1 = có nghiệm thuộc đoạn 0; 2 ? A B C Lời giải D N T H I N E T Chọn C Trang 42 https://TaiLieuOnThi.Net U IL IE A T f ( cos x ) − = a ( −2; −1) f f ( cos x ) − 1 = f ( cos x ) − = b ( −1;0 ) f cos x − = c 1; ) ( ) ( O Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f ( cos x ) = a + 1 ( −1;0 ) f ( cos x ) = b + 1 ( 0;1) f cos x = c + 1 2;3 ) ( ) ( cos x = 1 −1 • Xét phương trình f ( cos x ) = a + cos x = ( −1;0 ) cos x = (1) ( 2) ( 3) Vì cos x −1;1 nên phương trình (1) , ( 3) vơ nghiệm phương trình ( 2) có nghiệm thuộc đoạn 0; 2 cos x = 1 −1 • Xét phương trình f ( cos x ) = b + cos x = ( −1;0 ) cos x = ( 4) (5) ( 6) Vì cos x −1;1 nên phương trình ( 4) , ( 6) vơ nghiệm phương trình ( 5) có nghiệm thuộc đoạn 0; 2 • Xét phương trình f ( cos x ) = c + cos x = t (vô nghiệm) Nhận xét hai nghiệm phương trình ( 5) khơng trùng với nghiệm phương trình ( 2) nên phương trình f f ( cos x ) − 1 = có nghiệm phận biệt (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx2 + bx + c có đồ thị C Lời giải N T O D IL IE B A A U − Số nghiệm nằm ;3 phương trình f ( cos x + 1) = cos x + H I N E T hình vẽ: Chọn C T Câu 28 Trang 43 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x = a ( −;0 ) Từ đồ thị ta có f ( x ) = x x = b ( 0;1) x = cos x + = a ( −;0 ) cos x = a − = t1 ( −; −1) (VN ) Do f ( cos x + 1) = cos x + cos x + = b ( 0;1) cos x = b − = t2 ( −1;0 ) (1) cos x + = cos x = (2) − Dựa vào đường trịn lượng giác, phương trình (1) có nghiệm nằm ;3 − Phương trình (2) có nghiệm nằm ;3 − Vậy phương trình ban đầu có tất nghiệm nằm ;3 Câu 29 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục có bảng A B C Trang 44 https://TaiLieuOnThi.Net A T Số nghiệm thuộc khoảng ( − ;ln ) phương trình 2019 f (1 − e x ) − 2021 = IL IE U O N T H I N E T biến thiên sau: D Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Đặt t = − e x ; x ( −;ln 2) t ( −1;1) Nhận xét: x = ln (1 − t ) với giá trị t ( −1;1) ta giá trị x ( − ;ln 2) Phương trình tương đương: f ( t ) = 2021 2019 Sử dụng bảng biến thiên f ( x ) cho f ( t ) sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = 2021 có nghiệm t1 , t2 ( −1;1) 2019 Vậy phương trình 2019 f (1 − e x ) − 2021 = có nghiệm x ( −;ln 2) (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho y = f ( x ) hàm số đa thức bậc có đồ thị hình vẽ bên Hỏi phương trình f ( f ( cos x ) − 1) = có nghiệm thuộc đoạn 0;3 ? A B C Lời giải D A IL IE U O N T H I N E T Chọn D T Câu 30 Trang 45 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Đặt t = cos x , với x 0;3 t −1;1 Với t = 1, phương trình t = cos x có hai nghiệm x 0;3 Với t = −1 , phương trình t = cos x có hai nghiệm x 0;3 Với −1 t 1, phương trình t = cos x có ba nghiệm x 0;3 Thay t = cos x vào phương trình f ( f ( cos x ) − 1) = , ta phương trình: f ( t ) = a + 1 ( −1;0 ) (1) f ( t ) − = a ( −2; −1) f ( f ( t ) − 1) = f ( t ) − = b ( −1;0 ) f ( t ) = b + 1 ( 0;1) ( ) f t = c + 1 2;3 f t − = c 1; ( ) ( 3) ( ) ( ) ( ) Từ đồ thị ta có: +) Phương trình (1) có nghiệm t ( −1;0) , suy phương trình cho có nghiệm +) Phương trình (2) có nghiệm t ( −1;0) , suy phương trình cho có nghiệm +) Phương trình (3) có nghiệm t , suy phương trình cho vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 31 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có bảng biến thiên hình vẽ Phương trình f ( 3x + 1) − = có nghiệm? D T C Lời giải E B I N A T A N T O U IL IE f ( 3x + 1) − = f ( 3x + 1) = (1) Ta có f ( 3x + 1) − = f ( 3x + 1) − = −5 f ( 3x + 1) = −3 ( ) Dựa vào bảng biến thiên, a −1 + Phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x + = a x = 3 H Chọn A Trang 46 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group + Phương trình ( 2) TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 , x2 mãn x = 3x1 + = 3 x + = b − b − x = − 3 Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 32 (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: sin x − cos x 5 5 Số nghiệm thuộc đoạn − ; phương trình f − = là: 4 A B C D Lời giải Chọn C sin x − cos x = sin x − 4 3 5 5 x − ; x − − ; sin x − −1;1 4 4 sin x − = a (−1; 0) sin x − cos x 3f − = f sin x − = sin x − = b (0;1) 4 sin x − = a (−1;0) có nghiệm 4 sin x − = b (0;1) có nghiệm 4 Vậy phương trình có nghiệm (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm có đồ thị đường A IL IE U O N T H I N E T cong hình vẽ bên Đặt g ( x ) = f f ( x ) Tìm số nghiệm phương trình g ( x ) = T Câu 33 Trang 47 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A C Lời giải B D Chọn A f ( x) = f ( x) = Ta có g '( x) = f ( x ) f f ( x ) = f ( x) = f f ( x ) = f x = m 1;3 ( ) ( ) Phương trình f ( x ) = có nghiệm Phương trình f ( x ) = có nghiệm Phương trình f ( x ) = m (1;3) có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm Câu 34 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) có bẳng biến thiên hình vẽ 9 Số nghiệm thuộc đoạn 0; phương trình f ( 2sin x + 1) = A B C Lời giải Chọn A D sin x = −1 (1) 2sin x + = −1 a −1 Ta có f ( 2sin x + 1) = 2sin x + = a (1;3) sin x = ( 0;1) (2) b −1 2sin x + = b ( 3; + ) sin x = (1; + ) (3) 9 (1) có nghiệm 0; 9 (2) có nghiệm 0; (3) vô nghiệm B I N E C O D T A A ) ) ) có đồ f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) − f (1) = U ( ( thị hình vẽ bên Số nghiệm phương trình f f N T H (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a, b, c, d IL IE Câu 35 T 9 Vậy phương trình cho có nghiệm 0; Trang 48 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Đặt t = f ( x) , t Ta có: f ( f ( t ) + t + 2t ) − f (1) = (*) Xét t = : (*) f ( 0) − f (1) = (khơng thỏa) Xét t : Ta có f ( t ) f ( t ) + t + 2t Theo đồ thị, hàm f ( u ) đồng biến ( 0; + ) Do đó, (*) f ( f ( t ) + t + 2t ) = f (1) f ( t ) + t + 2t = f ( t ) = − t − 2t f ( t ) = g ( t ) (**)(với g ( t ) = − t − 2t , t ) Vì hàm f ( t ) đồng biến g ( t ) nghịch biến ( 0; + ) nên phương trình (**) có nghiệm t = Theo đồ thị hàm f ( t ) , g ( t ) ta có ( 0;1) Khi đó, t = f ( x ) = , ( 0;1) (***) E T Vì đồ thị hàm f ( x ) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt nên phương trình (***) có H (Lý Nhân Tơng - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục A IL IE U O vẽ Phương trình f ( f ( x ) − 1) = có tất nghiệm thực phân biệt? N T có đồ thị hình T Câu 36 I N nghiệm phân biệt Trang 49 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A B C Lời giải D Chọn C x = a ( −2; −1) Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy f ( x ) = x = b ( −1;0 ) x = c 1;2 ( ) f ( x) = a + f ( x) −1 = a Suy f ( f ( x ) − 1) = f ( x ) − = b f ( x ) = b + f x = c +1 f x −1 = c ( ) ( ) + Do a ( −2; −1) a + 1 ( −1;0) Phương trình f ( x ) = a + có nghiệm phân biệt + Do b ( −1;0) b + 1 ( 0;1) Phương trình f ( x ) = b + có nghiệm phân biệt + Do c (1;2) c + 1 ( 2;3) Phương trình f ( x ) = c + có nghiệm Vậy phương trình f ( f ( x ) − 1) = có + + = nghiệm (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: T A IL IE U O N T H I N E T Câu 37 Trang 50 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Số nghiệm phương trình f ( x + 2019 ) − 2020 = 2021 A TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C Lời giải B D Chọn A Ta có : f ( x + 2019 ) − 2020 = −2021 f ( x + 2019 ) = −1 f ( x + 2019 ) − 2020 = 2021 f ( x + 2019 ) − 2020 = 2021 f ( x + 2019 ) = 4041 Từ bảng biến thiên suy ra: +) Phương trình: f ( x + 2019) = −1 có nghiệm +) Phương trình: f ( x + 2019) = 4041 có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − x − 3m − với m số thực Để g ( x ) 0, x − 5; điều kiện m B m f ( 5) T ) I N E ( 5) H ( f − −4 2 C m f ( ) − D m f 3 A m N T Lời giải U O Chọn D IL IE Ta có g ( x ) f ( x ) + x3 − x 3m + A Đặt h ( x ) = f ( x ) + 2x3 − 4x bất phương trình g ( x ) h ( x ) 3m + T Câu 38 Trang 51 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group ( ) h ' ( x ) = f ' ( x ) + 2.3x − = f ' ( x ) − ( −3x + ) Vẽ đồ thị hàm số y = −3x + hệ trục tọa độ với hàm số y = f ' ( x ) Ta thấy f ' ( x ) −3x2 + x − 5; nên h ' ( x ) 0, x − 5; Suy h ( x ) h ( ) , x − 5; hay max h ( x ) = h − 5; ( 5) = f ( 5) + Do h ( x ) 3m + 5, x − 5; max h ( x ) 3m + − 5; 2f Câu 39 ( 5) + 3m + m f ( 5) (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hình vẽ Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) − 1) Số nghiệm phương trình g ( x ) = A B 10 C Lời giải D T A IL IE U O N T H I N E T Chọn C Trang 52 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có g ( x ) = f ( x ) f ( f ( x ) −1) f ( x) = g ( x ) = f ( x ) f ( f ( x ) − 1) = f ( f ( x ) − 1) = x = a1 ( a1 ( −1;0 ) ) +) f ( x ) = x = x = a2 ( a2 (1; ) ) f ( x ) − = a1 f ( x ) = a1 + 1 ( 0;1) (1) +) f ( f ( x ) − 1) = f ( x ) − = f ( x ) = ( 2) f x −1 = a f x = a + 1 2;3 ( )( ) ( ) ( ) Từ đồ thị suy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b1 ( −2; −1) ; b2 ( 2;3) phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt c1 ( −2; b1 ) ; c2 ( b2 ;3) phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt d1 ( −2; c1 ) ; d2 ( c2 ;3) Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt có đồ thị hình vẽ bên A 7 Số nghiệm thuộc đoạn 0; phương trình f ( f (cos x)) = IL IE U O N T H I N E T (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = f ( x) liên tục T Câu 40 Trang 53 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group C B A D Lời giải Chọn B Đặt f (cos x) = t ta phương trình f (t ) = t = t1 (−2; −1) Quan sát đồ thị y = f ( x) ta suy f (t ) = t = t2 (0;1) t = t (1; 2) * Với t = t1 ta có f (cos x) = t1 Xét tương giao hai đồ thị y = f ( x) y = f ( x) y = t1 ( −2; −1) f (cos x) = t1 cos x = x1 −1 nên phương trình vơ nghiệm * Với t = t2 ta có f (cos x) = t2 Xét tương giao hai đồ thị cos x = x2 −1 y = t2 ( 0;1) f (cos x) = t2 cos x = x3 (0;1) cos x = x4 (1; 2) 7 Chỉ có cos x = x3 thỏa mãn Khi tồn giá trị x 0; tương ứng để cos x = x3 cos x = x5 −1 * Với t = t3 tương tự ta có cos x = x6 (−1;0) cos x = x7 7 Chỉ có cos x = x6 thỏa mãn Khi tồn giá trị x 0; tương ứng để cos x = x6 7 Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 0; Câu 41 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị nhưu hình vẽ bên Tìm số nghiệm thuộc đoạn 2017 ; 2020 phương trình f ( 2cos x ) = D T C Lời giải E B I N A T A IL IE U O N T H Chọn D Đặt t = 2cos x , ta có bảng biến thiên t sau Trang 54 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi f ( cos x ) = f ( t ) = Vẽ thêm đường thẳng y = đồ thị y = f ( x ) cho Xét đoạn −2;2 , đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số f ( t ) hai điểm t1 ( −2; − 1) t2 (1;2) Từ bảng biến thiên t , ứng với giá tị t1 , ta tìm nghiệm x thỏa 2cos x = t1 , tươngtự, ta tìm nghiệm x thỏa 2cos x = t2 T A IL IE U O N T H I N E T Vậy phương trình f ( 2cos x ) = có nghiệm x thuộc đoạn 2017 ; 2020 Trang 55 https://TaiLieuOnThi.Net ... ¢¢ Số giao điểm đồ thị hàm số y = éëf ¢(x)ù û - f (x) f (x) trục Ox là: A B C D Lời giải Chọn D Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 ¢¢ Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm... Số giá trị nguyên m −15;15 để đường thẳng (d ) cắt đồ thị (C ) bốn điểm phân biệt T A IL IE U O Chọn A Xét pt hoành độ giao điểm hai đồ thị: Trang 16 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi... x + 10 x + (1) A Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị ( C1 ) ( C2 ) : T Câu 20 Trang 15 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Để đồ thị ( C1 ) cắt ( C2 ) điểm phân biệt phương