TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trang 1 DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9 10 ĐIỂM Dạng Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g khi biết bảng biến thiên hàm số f(x) Câu 1 (THPT Lương Văn Can.
Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chuyên đề DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Xác định tiệm cận đồ thị hàm số g biết bảng biến thiên hàm số f(x) Câu (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) = sau đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = B x = −2 A x = 3x − Khi đường thẳng x −1 ? f ( x) − C x = −1 D x = Lời giải f ( x) = Với y = 3x − = 3x − = 2x − x = −1 x −1 ta có lim + y = −; lim − y = + x →( −1) x →( −1) f ( x) − Vậy đồ thị hàm số y = Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ B C Lời giải D E A 2019 f ( x ) −1 T Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = H A trình f ( x ) = U 2019 số nghiệm phương f ( x ) −1 IL IE Do số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = O N T Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy tập xác định hàm số y = f ( x ) D = I N Chọn C T Câu có đường tiệm cận đứng x = −1 f ( x) − Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Qua đồ thị ta có: Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hàm số y = Câu 2019 có đường tiệm cận đứng f ( x ) −1 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục \ −1 có bảng biến thiên sau: Hỏi đồ thị hàm số y = ngang? A B có tất đường tiệm cận đứng tiệm cận f ( x) C Lời giải D Chọn A Ta có: lim f ( x ) = lim x →− x →− Suy đồ thị hàm số y = 1 1 =− = ; lim f ( x ) = −2 lim x →+ f ( x ) f ( x ) x→+ 1 có hai đường tiệm cận ngang y = y = − 2 f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: phương trình f ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 −1 x2 Khi đó: f ( x1 ) = f ( x2 ) = lim− f ( x ) = Ta có: x→ x1 lim− = + x → x1 f ( x ) − f ( x ) x → x1 T có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = x1 x = x2 f ( x) I N E Vậy đồ thị hàm số y = lim− f ( x ) = x → x2 lim− = + x → x2 f ( x ) − f ( x ) x → x2 H Do chọn A N T (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn lim f ( x ) = −1 lim f ( x ) = m x →− O U có tiệm cận f ( x) + A Có giá trị thực tham số m để hàm số y = x →+ IL IE Câu T ngang Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B A D Vô số C Lời giải Chọn C Ta có lim y = lim x →− x →− = Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = f ( x) + TH 1: Nếu m = −1 lim x →− 1 = lim = đồ thị hàm số có tiệm cận x →+ f ( x ) + f ( x) + TH 2: Nếu m −1 Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang lim x →+ khơng có giá trị hữu hạn f ( x) + m + = m = −2 Vậy m−2; −1 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Câu (Kim Liên - Hà Nội 2019) Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f (tan x) = cos4 x Tìm tất giá trị thực m để đồ thị hàm số g ( x) = 2019 có hai tiệm cận đứng f ( x) − m B m A m C m Lời giải D m Chọn B f (tan x) = cos x f (tan x) = Hàm số g ( x) = (1 + tan x ) 2019 g ( x) = f ( x) − m 2 f (t ) = (1 + t ) 2019 −m (1 + x ) Hàm số g ( x ) có hai tiện cận đứng phương trình phân biệt (1 + x ) = m m (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục có f ( x ) −1 H N T U D A Đặt h ( x ) = C Lời giải IL IE B A là: f ( x ) −1 O Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = I N E T bảng biến thiên hình bên dưới: T Câu − m = có hai nghiệm (1 + x )2 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group *) Tiệm cận ngang: = x →+ f ( x ) − Ta có: lim h ( x ) = lim x →+ = x →− f ( x ) − lim h ( x ) = lim x →− Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = *) Tiệm cận đứng: Xét phương trình: f ( x ) −1 = f ( x ) = Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt a, b, c thỏa mãn a 1 b c Đồng thời lim+ h ( x ) = lim− h ( x ) = lim+ h ( x ) = + nên đồ thị hàm số y = h ( x ) có ba đường tiệm x →a x →b x →c cận đứng x = a , x = b x = c Vậy tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = h ( x ) Câu (Bình Giang-Hải Dương -2019) Cho hàm số y = f ( x) liên tục \ 1 có bảng biến thiên sau: Đồ thị y = có đường tiệm cận đứng? f ( x) + A B C Lời giải D Chọn A Đặt y = g ( x ) = có tử số 0, x f ( x) + 3 (1) IL IE U O N T H I N E T Ta có f ( x ) + = f ( x ) = − T A Từ bảng biến thiên có phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 (− ;0), x2 (0;1) Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Do đồ thị hàm số y = Câu có đường tiệm cận đứng f ( x) + \ 1 có bảng biến (Chuyên Thoại Ngọc Hầu 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thiên sau: Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng? f ( x) − B A C D Lời giải Ta có: f ( x ) − = f ( x ) = giới hạn hàm số y = Mặt khác lim x →1 điểm x1 , x2 , x3 , x4 f ( x) − = nên x = tiệm cận đứng f ( x) − Vậy đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng f ( x) − (Chuyên Hưng Yên 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = B C D Lời giải Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = số nghiệm thực phương trình f ( x ) −1 f ( x ) −1 = f ( x ) = A IL IE U O N T H I N E T A f ( x ) −1 T Câu (1) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Mà số nghiệm thực phương trình f ( x ) = với đường thẳng y = số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = biệt Vậy đồ thị hàm số y = cắt đồ thị hàm số y = f ( x) điểm phân có tiệm cận đứng f ( x ) −1 = đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x → f ( x ) − Lại có lim Vậy tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = Câu 10 f ( x ) −1 (THPT Bạch Dằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số (x y= + x + 3) x + x x f ( x ) − f ( x ) B A có đường tiệm cận đứng? C D Lời giải T E N T x x2 + x : x −1 T A IL IE Điều kiện tồn ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) x f ( x ) f ( x ) − 2 I N x f ( x ) − f ( x ) = H + x + 3) x + x O U (x y= Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x = Xét phương trình x f ( x ) − f ( x ) = f ( x ) = f x =2 ( ) Với x = ta có lim+ x →0 ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) ( x + 1)( x + 3) x + = + = lim x →0 x f ( x ) f ( x ) − x f ( x ) f ( x ) − + Suy x = tiệm cận đứng Với f ( x ) = x = −3 (nghiệm bội 2) x = a (loại −1 a ) Ta có: lim+ x →−3 ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = − nên x f ( x ) f ( x ) − x = −3 tiệm cận đứng x = −1 Với f ( x ) = x = b ( −3 b −1) (nghiệm bội 1) Ta có: x = c c −3 ( ) ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) lim+ =0 x→−1 x f ( x ) f ( x ) − ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) nên x = −1 không tiệm cận lim =0 x →b+ x f ( x ) f ( x ) − ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) =0 xlim − →−1 x f ( x ) f ( x ) − đứng lim+ ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = + x f ( x ) f ( x ) − (do x → b + f ( x ) → 2+ ) nên x = b tiệm cận đứng lim+ ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = + x f ( x ) f ( x ) − (do x → c + f ( x ) → 2− ) nên x = c tiệm cận đứng x →b x →c Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng (Lý Nhân Tơng - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ B có tiệm cận đứng? T x f ( x ) − f ( x ) D C Lời giải E − 3x + ) x − H A I N bên Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) (x = x → x0 U x → x0 O N T Chọn C Nhận xét 1: Với x0 lim+ g ( x ) lim− g ( x ) có kết + − x = x0 tiệm ) ( x − 2) A ( Nhận xét 2: Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta có: f ( x ) = a x − x1 IL IE cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) T Câu 11 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x = Ta có x f ( x ) − f ( x ) = f ( x ) = f x =1 ( ) x = x1 , x1 f ( x) = x = x = f ( x ) = x = x2 ,1 x2 suy f ( x ) − = a ( x − 1) ( x − x2 )( x − x3 ) x = x , x 3 Khi ta có g ( x ) (x = − 3x + ) x − x f ( x ) − f ( x ) = ( x − 1)( x − ) x − x f ( x ) f ( x ) − 1 ( x − 1)( x − ) x − x −1 = x.a ( x − x1 ) ( x − ) a ( x − 1) ( x − x2 )( x − x3 ) a x ( x − x1 ) ( x − ) ( x − x2 )( x − x3 ) x = 0, x = x1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = g ( x ) không thỏa mãn điều kiện x0 Đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng là: x = 2, x = x2 , x = x3 g ( x) = Câu 12 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ sau Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = (x − 3x + ) x − ( x + 1) f ( x ) − f ( x ) A có tiệm cận đứng? C Lời giải B D Chọn D Ta có g ( x ) = ( x − 1)( x − ) x − ( x + 1) f ( x ) f ( x ) − 1 I N E T x Đkxđ: f ( x ) f ( x) H Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta có: Trang https://TaiLieuOnThi.Net O U IL IE A T x = f ( x ) = x = x2 với x2 (1;2) ; x3 x = x3 N T x = f ( x) = với x = nghiệm kép, x1 ( 0;1) x = x1 Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy g ( x ) = = ( x − 1)( x − 2) x − a ( x + 1)( x − ) ( x − x1 )( x − 1)( x − x2 )( x − x3 ) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x −1 a ( x + 1)( x − )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) Vậy đồ thị hàm số có TCĐ x = 2; x = x2 ; x = x3 (do x nên ta loại x = −1; x = x1 ) Câu 13 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = f ( x) hàm số đa thức có đồ hình vẽ đây, đặt g ( x ) = x2 − x Hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm f ( x) − f ( x) cận đứng? D C Lời giải B A Chọn C f Ta xét phương trình f ( x ) − f ( x ) = f x2 − x ax ( x − 1) ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = a ( x − 1)( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ; ( a 0) T g ( x) = x = x = x −1 ( x ) = x = Khi ( x ) = x = x2 x = x −1, x x 3 I N H N T (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục O có bảng biến A IL IE U thiên hình bên T Câu 14 E Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có đường tiệm cận đứng Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A B C Lời giải f ( x + x) + 3 D Chọn A Tính tiệm cận ngang x →+ Ta có x3 + x ⎯⎯⎯ → + lim x →+ x →− x3 + x ⎯⎯⎯ → − lim x →− =0 f ( x + x) + 3 =0 f ( x + x) + 3 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Tính tiệm cận đứng Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số số nghiệm phương trình f ( x3 + x ) + = Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( x3 + x ) + = f ( x + x ) = −3 x + x = x0 ; x0 ( − ;1 ) Vì hàm số y = x3 + x đồng biến Vậy đồ thị hàm số y = Câu 15 x3 + x = x0 ; x0 ( − ;1 ) có nghiệm có tiệm cần đứng f ( x + x) + 3 (THPT Minh Khai 2020) Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị bên Hỏi đồ thị hàm số y = A (x − 2x) − x ( x − 3) f ( x ) − f ( x ) B có đường tiệm cận đứng C Lời giải D H I N E T Chọn C Ta có y ( x ) = 3ax2 + 2bx + c Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net O U IL IE A T y ( 0) = d = a = b = −3 y ( ) = −3 c = 12 a + b = c = y = ( ) y = a + b = − d = ( ) N T Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt cực trị x = , x = Do đó, ta có hệ Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy y = f ( x ) = x − 3x + Khi y = (x Hàm số y = lim+ x →0 2 ( (x = ( x ) − f ( x ) ( x − 3) ( x − 2x) − x ( x − 3) f Ta có x2 ( x − 3) (x 2 (x − 2x) − x x ( x − 3) (x x → x1 ) = − 2x) − x x ( x − 3) ( x3 − 3x + 1) có tập xác định D = ( −;2 \ 0; x1; x2 − 3x + 1) − 2x) − x x ( x − 2) − x = lim+ x ( x − 3) ( x3 − 3x + 1) x →0 Suy x = đường tiệm cận đứng lim+ − 3x + 1)( x − 3x (x ) x ( x − 3) ( x − x + 1) − 2x ) − x x = x = x3 − 3x + = x = x1 ( −1;0 ) x = x ( 0;1) x = x3 ( 2;3) (x − 2x) − x x ( x − 3) ( x − 3x + 1) = + , lim+ x → x2 (x = lim+ − 2x) − x x →0 x ( x − 3) ( x − 3x + 1) ( x − 2) − x = − x ( x − 3) ( x3 − 3x + 1) = + Suy x = x1 x = x2 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số (Yên Phong - 2018) Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d , ( a 0) có đồ thị hình Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = A f ( x) ( x + 1) (x − x + 3) có đường tiệm cận đứng? C B D Vậy đồ thị hàm số g ( x ) = − x + 3) f ( x) ( x + 1) (x − x + 3) x →3 ( x + 1) (x I N E x →3 H (x − x + 3) N T 2 O ( x + 1) f ( x) = − U x →3 = + lim− g ( x ) = lim− IL IE x →3 f ( x) có đường tiệm cận đứng là: x = A Ta có lim+ g ( x ) = lim+ T Lời giải x f ( x) x −1 x Điều kiện xác định: x −1 x x x2 − 4x + x T Câu 16 Trang 11 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 17 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số trùng phương y = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y = A (x - 4)(x + x) éf (x )ù + f (x )- ë û B có tổng cộng tiệm cận đứng? C Lời giải D Chọn D (x - 4)(x + x) x (x + 2) (x - 2) y= = 2 éf (x )ù + f (x )- éf (x )ù + f (x )- ë û ë û éx = ê êx = ê éf (x) = ê ê Ta có: éëf (x)ù Û + f x = Û () êx = êf (x) = - û ê êë êx = ê êx = ë m (m < - 2) n (n > 2) - Dựa vào đồ thị ta thấy nghiệm x = 0; x = ± nghiệm kép (nghiệm bội 2) đa thức x (x + 2) (x - 2) éf (x)ù + f (x)- có bậc nên y = 2 ë û a x (x + 2) (x - 2) (x - m)(x - n) T A IL IE U O N T H I N E T Vậy hàm số có tiệm cận đứng x = 0; x = 2; x = m; x = n Trang 12 https://TaiLieuOnThi.Net ... hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = B C D Lời giải Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = số nghiệm thực phương trình f ( x ) −1 f ( x )... y = f ( x) điểm phân có tiệm cận đứng f ( x ) −1 = đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x → f ( x ) − Lại có lim Vậy tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = Câu 10 f ( x )... lim x →− =0 f ( x + x) + 3 =0 f ( x + x) + 3 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Tính tiệm cận đứng Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số số nghiệm phương trình f ( x3 + x ) + = Dựa vào