Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng d y px q : = + cắt đồ thị hàm số 3 2 ( ) : C y ax bx cx d = + + + tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện) Phương pháp giải: Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C là: 3 2 ax bx cx d px q + + + = + Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt o x x = để chia Hoocner được: 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) 0 o o x x x x ax b x c g x ax b x c = − + + = = + + = Bước 2. Để d cắt ( ) C tại ba điểm phân biệt phương trình g x( ) 0 = có 2 nghiệm phân biệt khác ( ) 0 ( ) 0 g x o o x g x Giải hệ này, tìm được giá trị 1 m D . Bước 3. Gọi 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ), ( ; ) A x px q B x px q C x px q o o + + + với 1 2 x x , là hai nghiệm của g x( ) 0. = Theo Viét, ta có: 1 2 b x x a + = − và 1 2 c x x a = (1) Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của 1 2 x x , (2) Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá trị 2 m D . Kết luận: 1 2 m D D .
Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7+8+9 ĐIỂM Dạng Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc (CHỨA THAM SỐ) Bài tốn tổng qt: Tìm giá trị tham số m để để đường thẳng d : y = px + q cắt đồ thị hàm số (C ) : y = ax3 + bx + cx + d điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện) Phương pháp giải: Bước Lập phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: ax3 + bx + cx + d = px + q Đưa phương trình bậc ba nhẩm nghiệm đặc biệt x = xo để chia Hoocner được: x = xo ( x − xo ) (ax + bx + c) = g ( x ) = ax + b x + c = Bước Để d cắt (C ) ba điểm phân biệt phương trình g ( x) = có nghiệm phân biệt khác g ( x ) xo Giải hệ này, tìm giá trị m D1 g ( xo ) Bước Gọi A( xo ; pxo + q), B( x1; px1 + q), C ( x2 ; px2 + q) với x1 , x2 hai nghiệm g ( x) = c b x1 x2 = (1) a a Bước Biến đổi điều kiện K dạng tổng tích x1 , x2 (2) Theo Viét, ta có: x1 + x2 = − Thế (1) vào (2) thu phương trình bất phương trình với biến m Giải chúng tìm giá trị m D2 Kết luận: m D1 D2 Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax + bx + cx + d = Khi đó: ax + bx + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) , đồng hệ số ta x2 = − b 3a b vào phương trình ax + bx + cx + d = ta điều kiện ràng buộc tham số giá trị 3a tham số Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt Thế x2 = − O N T H I N E T Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax + bx + cx + d = U d a d vào phương trình ax + bx + cx + d = ta điều kiện ràng buộc tham số giá trị a T Thế x2 = − A IL IE Khi đó: ax + bx + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) , đồng hệ số ta x2 = − Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group tham số Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt Câu (Sở Ninh Bình 2020) Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2m Có giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng? A B C D Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm: x - 3mx + 2m = (*) Phương trình ax + bx + cx + d = có ba nghiệm lập thnh cp s cng ắ ắđ phng trỡnh cú mt nghiệm x = - b 3a Suy phương trình (*) có nghiệm x = m ém = ± ëm = Thay x = m vào phương trình (*), ta m - 3m m + 2m = Û - 2m + 2m = « êê Thử lại: Với Do Với m = 1, m= ta éx = - ê x - 3x + = « êêx = ê êëx = + 3 thỏa mãn m = - 1, ta éx = - + ê x + x - = « êêx = - ê êëx = - - 3 Do m = - thỏa mãn Với m = , ta x = Û x = Do m = khơng thỏa mãn Vậy m = ± hai giá trị cần tìm (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + (C )cắt đường D m = - (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng D có phương trình y = x + cắt đồ thị hàm số IL IE Câu U O N T H I N x3 - 3x + = m( x - 1) (1) Phương trình (1) Û x3 - 3x - mx + + m = Û ( x - 1)( x - x - m - 2) = éx - = éx = ê Û ê Û êf ( x) = x - x - m - = êf ( x) = x - x - m - = (2) ë ë Phương trình (1) ln có nghiệm x = , để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác ìï D ' = + m + > ìïï m > - Û ïí Û í Û m> - ïïỵ f (1) ¹ ïïỵ m ¹ - Vậy m> - thỏa mãn yêu cầu toán T thẳng d : y = m( x - 1) ba điểm phân biệt x1 , x2 , x3 A m> - B m = - C m> - Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C )và d E Câu T A y = x3 - x + hai điểm A B với tọa độ kí hiệu A(xA ; y A )và B (xB ; yB ) xB < xA Tìm xB + yB ? Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B xB + yB = - A xB + yB = - D xB + yB = C xB + yB = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm D y = x3 - x + : éx = - Þ y = - x3 - x + = x + Û x3 - 3x + = Û ê êëx = Þ y = Vậy A(1;3); B(- 2; - 3) Þ xB + yB = - Câu (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y = x3 + 3mx − m3 có đồ thị ( Cm ) đường thẳng d : y = m2 x + 2m3 Biết m1 , m2 ( m1 m2 ) hai giá trị thực m để đường thẳng d cắt đồ thị ( Cm ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x14 + x2 + x34 = 83 Phát biểu sau quan hệ hai giá trị m1 , m2 ? A m1 + m2 = B m12 + 2m2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm d ( Cm ) D m1 − m2 = C m2 + 2m1 Lời giải x3 + 3mx − m3 = m2 x + 2m3 x3 + 3mx − m x − 3m3 = ( x − m x ) + ( 3mx − 3m3 ) = x ( x − m ) + 3m ( x − m ) = ( x + 3m ) ( x − m ) = x = −3m x = m x = −m Để đường thẳng d cắt đồ thị ( Cm ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 m Khi đó, x14 + x2 + x34 = 83 m4 + ( −m ) + ( −3m ) = 83 4 83m4 = 83 m = 1 Vậy m1 = 1, m2 = −1 hay m1 + m2 = (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x cắt đường thẳng y = m ba điểm phân biệt A m ( −; −4 ) B m ( −4;0 ) D m ( −; −4) ( 0; + ) C m ( 0; + ) Lời giải Chọn B T x = Ta có y = x3 − 3x y = 3x − x; y = x = − + I N + H + 0 N T y − + −4 A − IL IE U y O x E Bảng biến thiên: T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = x3 − 3x cắt đường thẳng y = m ba điểm phân biệt −4 m (Mã 123 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = mx − m +1 cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + x + ba điểm A , B, C phân biệt AB = BC A m − ; + C m ¡ B m ( −2; + ) D m ( −; ) 4; + ) Lời giải Chọn B Ta có phương trình hồnh độ giao điểm là: x − 3x + x + = mx − m + x − 3x + x − mx + m + = ( 1) x = ( x − 1) x − x − m − = Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số ba x − 2x − m − = ( ) điểm phân biệt phương trình x2 − 2x − m − = có hai nghiệm phân biệt khác Hay 1 + m + m −2 m −2 Với m −2 phương trình ( 1) có ba nghiệm phân 1 − − m − m −2 x + x2 biệt 1, x1 , x2 ( x1 , x2 nghiệm x2 − 2x − m − = ) Mà = suy điểm có hồnh độ x=1 ln trung điểm hai điểm cịn lại Nên ln có điểm A,B,C thoả mãn AB = BC Vậy m −2 Câu (Sở Cần Thơ - 2019) Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + ( m2 − ) x + 2m2 + cắt trục tọa độ Ox , Oy A, B cho diện tích tam giác OAB A m = 2 B m = 1 C m = Lời giải D m = Chọn D Giao điểm đồ thị hàm số cho với trục tung B ( 0; 2m + ) Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị cho với trục hoành là: x = −2 x + ( m − ) x + 2m + = ( x + ) ( x − x + m + ) = 2 ( x − 1) + m + = ( ) Giao điểm đồ thị cho với trục hoành A ( −2;0) 1 Diện tích tam giác ABC là: S = OA.OB = ( 2m + ) = m = 2 Câu (Mã 110 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = − mx cắt đồ thị C m (1: + ) D m ( −;3) H Lời giải E B m ( − : + ) I N A m ( −; −1) T hàm số y = x3 − 3x − m + ba điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC O N T Chọn D Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình T A IL IE U x = x3 − 3x − m + = −mx ( x − 1) ( x − x + m − ) = x − 2x + m − = Đặt nghiệm x2 = Từ giải thiết toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm lập thành cấp số cộng Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi phương trình x − x + m − = phải có nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng x1 + x3 = = x2 ) Vậy ta cần = − ( m − 2) m Câu (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x3 + 3x − = m có ba nghiệm phân biệt A m ( 2; + B m ( −; −2 C m ( −2; ) D m −2;2 Lời giải 2 Xét hàm số y = x + 3x − , y = 3x + x Lập bảng biến thiên Số nghiệm phương trình x3 + 3x2 − = m (*) số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 3x − đường thẳng y = m Dựa vào bảng biến thiên suy PT (*) có nghiệm phân biệt −2 m Câu 10 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng có phương trình y = x + cắt đồ thị hàm số y = x3 − x + hai điểm A B với tọa độ kí hiệu A ( xA ; y A ) B ( xB ; yB ) xB xA Tìm xB + yB ? A xB + yB = −5 B xB + yB = −2 D xB + yB = C xB + yB = Lời giải Chọn C Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: x3 − x + = x + x = Giải phương trình ta x = Vì xB xA Vậy xB = 1; yB = xB + yB = U IL IE A Số nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị: ( C ) : y = x − 3x d : y = 2m + O N T H I N E T (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để phương trình x3 − 3x = 2m + có hai nghiệm phân biệt Tổng phần tử S 1 A − B − C − D 2 2 Lời giải Xét hàm số: y = x3 − 3x y = x − x y = x = x = Bảng biến thiên: T Câu 11 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình cho có hai nghiệm phân m = −1 2m + = −1 1 S = −1; − biệt m = − 2 2m + = −3 Vậy tổng phần tử S −1 + − = 2 Câu 12 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = − x + cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx + 3(m − 1) x + điểm phân biệt m m 1 m 1 A C D m m m m2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm chung là: x3 + 2mx + 3(m − 1) x + = − x + x = x3 + 2mx + (3m − 2) x = x + 2mx + 3m − = (1) m B m m2 Đường thẳng y = − x + cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx + 3(m − 1) x + điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác m 2 m = m − 3m + m 1 m 3m − m2 m Câu 13 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị ( C ) hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y = x − Biết phương trình f ( x ) = có ba nghiệm C −2 D − E T x1 x2 x3 Giá trị x1 x3 A −3 B − I N Lời giải Trang https://TaiLieuOnThi.Net N T O U IL IE A T f ( x ) = a ( x + 1)( x −1)( x − 3) + x − ; f ( 0) = a = H x = −1 +Ta có: f ( x ) = x − x = x = f ( x ) hàm bậc ba nên f ( x ) − ( x −1) = a ( x + 1)( x − 1)( x − 3) Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f ( x ) = ( x + 1)( x −1)( x − 3) + x − x = = x2 + f ( x) = x + x − + = ( )( ) ( ) x1 , x3 nghiệm ( 2) nên ta có x1 x3 = −2 thẳng y = Câu 14 nên từ đồ thị ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt (Chun Lê Thánh Tơng 2019) Có giá trị nguyên tham số m −2018;2019 để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + đường thẳng y = 3x + có điểm chung? A B 2019 C 4038 D 2018 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 3x + x3 − 3mx + = 3x + x3 − 3x + = 3mx 3m = (1) x x3 − 3x + 2 2 x3 − 2 Xét hàm f ( x ) = ; f ( x) = x = = x − + ; f ( x ) = 2x − = x x x x2 Bảng biến thiên x − + f ( x) + − − f ( x) + + − + Khi u cầu tốn m Mà m nguyên m −2018;2019 nên có 2018 giá trị thỏa mãn Câu 15 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình x3 − 6mx + = 5m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m = B m = −1 m = C m = D m Lời giải Phương trình cho tương đương: x3 − 6mx + − 5m2 = Đặt y = f ( x ) = x3 − 6mx + − 5m2 có f ( x ) = 3x − 6m ; f ( x ) = x PT cho có nghiệm phân biệt Hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt f ( x ) = có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn f ( x1 ) f ( x2 ) nghiệm lập thành cấp số cộng nên x2 − x1 = x3 − x2 Suy ra, x2 hoành độ tâm đối xứng nghiệm f ( x ) = Cho f ( x ) = x = x = Với x = ta có: − 5m2 = m = 1 Thử lại: N T H I N E T x = Với m = ta có x3 − x + = x ( x − ) = x = Với m = −1 ta có: x3 + x + = x ( x + ) = x = U O Câu 16 Tính tổng tất giá trị m biết đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + đường thẳng A B C T với I (1;3) A IL IE y = x + cắt ba điểm phân biệt A ( 0;4) , B , C cho diện tích tam giác IBC D Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Lời giải Chọn C +) Gọi đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + ( Cm ) đồ thị hàm số y = x + ( d ) +) Phương trình hồnh độ giao điểm ( Cm ) ( d ) x = x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + = x + x3 + 2mx2 + ( m + 2) x = () x + 2mx + m + = +) Gọi g ( x ) = x + 2mx + m + +) ( d ) cắt ( Cm ) ba điểm phân biệt phương trình ( ) có ba nghiệm phân biệt phương trình g ( x ) = có hai nghiệm phân biệt khác m −1 m2 − m − g m ( a ) m + g (0) m −2 +) x = hoành độ điểm A , hoành độ điểm B , C hai nghiệm x1 , x2 phương trình g ( x) = +) BC = ( x2 − x1 ) + ( x2 + ) − ( x1 + ) = ( x2 − x1 ) (do B , C thuộc đường thẳng ( d ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = m − m − +) Viết phương trình đường thẳng ( d ) dạng x − y + = , ta có 2 ( d ( I , ( d )) = 1− + +) SIBC = ) = 2 1 BC.d ( I , ( d ) ) = BC d ( I , ( d ) ) = 128 ( m − m − ) = 128 + 137 m = (thỏa điều kiện ( a ) ) m − m − 34 = − 137 m = +) Vậy tổng tất giá trị m Câu 17 Có giá trị nguyên tham số m −2018;2019 để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + đường thẳng y = 3x + có điểm chung? A B 2019 C 4038 D 2018 Lời giải Chọn D + Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 3mx + = 3x + 3mx = x3 − x + (1) T A IL IE U O N T H I N E T + Dễ thấy x = không thỏa + (1) 3m = x − + = f ( x ) x 2 x3 − = x = + f ( x) = 2x − = x x2 + Bảng biến thiên: Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 + Đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + đường thẳng y = 3x + có điểm chung 3m m + Do m m −2018;2019 nên có 2018 giá trị Câu 18 Đường thẳng d có phương trình y = x + cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx + (m + 3) x + điểm phân biệt A(0; 4) , B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M (1;3) Tìm tất giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán A m = B m = m = C m = −2 m = −3 D m = −2 m = Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình x = x3 + 2mx + (m + 3) x + = x + x3 + 2mx + (m + 2) x = x + 2mx + (m − 2) = (*) Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân m −1 m − m − biệt khác m m + m −2 Giả sử B ( x1; x1 + 4) ; C ( x2 ; x2 + 4) với x1 ; x2 nghiệm phương trình (*) BC = 2( x1 − x2 )2 = 2( x1 + x2 )2 − 8x1.x2 = 8m2 − 8m −16 1− + 1 SMBC = BC.d (M , d ) = BC = BC = 2 m = −2 Ta có m2 − m − = m = Đối chiếu điều kiện ta có m = (THPT Minh Khai - lần 1) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = − x + cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + ( m − 1) x + ba điểm phân biệt m C m m Lời giải E T m D m I N m A m m B m m N T H Chọn C Ta có phương trình hồnh độ giao điểm x3 + 2mx2 + ( m −1) x + = − x + A IL IE U O x = x3 + 2mx + ( 3m − ) x = x + mx + m − = ( ) Yêu cầu tốn tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, khác T Câu 19 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group m m 0 + 2m.0 + 3m − 3 m2 m = m − 3m + m m Câu 20 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để phương trình x3 − 3x = 2m + có hai nghiệm phân biệt Tổng phần tử S 1 A − B − C − D 2 2 Lời giải Chọn B Xét hàm số: y = x3 − 3x y = x − x y = x = x = Bảng biến thiên: Số nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị: ( C ) : y = x − 3x d : y = 2m + Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình cho có hai nghiệm phân m = −1 1 2m + = −1 S = −1; − biệt m = − 2 2m + = −3 Vậy tổng phần tử S −1 + − = 2 Câu 21 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Giá trị lớn m để đường thẳng ( d ) : y = x − m + cắt đồ thị hàm số y = x3 + ( m − 2) x2 + (8 − 5m) x + m − điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 = 20 A C B D − Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm đường thẳng ( d ) đồ thị hàm số nghiệm phương trình x3 + ( m − 2) x2 + (8 − 5m) x + m − = x − m + T A N T O U IL IE m −1 = ( m − 1)2 + ( m − 3) m −1 biệt x1 ; x2 khác (2) m m + m − 2 − m + ( ) m −1 x + x = − ( 2m − ) Khi đó, x1 x2 = −m + H I N E T x3 = ( x − ) x + ( 2m − ) x − m + 3 = x + m − x − m + = ( ) ( ) Đường thẳng ( d ) cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Khi A(x1; - 3x1 + m), B (x2 ; - 3x2 + m), với x1 x2 nghiệm phương trình (*) đồng thời thoả mãn x1 + x2 = m+ æm + m Gọi G l trng tõm ca OAB , ta cú G ỗỗ ; ỗố 1ử ữ ữ ữ ứ m+ m- 11 Suy - - 2= 0Þ m= Vậy a + 2b = 21 Mà G Ỵ nên ìïï a = 11 í ïïỵ b = 3x + , (C) đường thẳng d : y = ax + 2b - Đường thẳng d cắt ( C ) A, x+ B đối xứng qua gốc tọa độ O, T = a + b A T = B T = C T = D T = 2 Lời giải Chọn D 3x + = ax + 2b - 4; x ¹ - Xét phương trình hồnh độ: x+ Û ax2 + (2a + 2b - 7)x - 10 = 0(*) Đường thẳng d cắt ( C) hai điểm phân biệt A, B phương trình (*) có hai nghiệm phân ìï a ¹ ïï biệt Û ïí (2a + 2b - 7) - 4a (4b - 10)> (2*) ùù ùù ợ Gọi A(x1; ax1 + 2b - 4); B (x2 ; ax2 + 2b - 4) Câu 11 Cho hàm số y = ìï x1 + x2 = ìïï x1 + x2 = Û í Do A, B đối xứng qua gốc O nên ïí ïïỵ 4b - = ïïỵ b = - 2a - 2b Theo Viét phương trình (*) ta có x1 + x2 = a - 2a - 2b Þ = Û - 2a - 2b = Þ a = a ìï ïa= Thay ïí vào điều kiện (2*) tháy thỏa mãn ïï ïỵ b = Vậy a + b = 2x + x- hai điểm phân biệt A , B cho trọng tâm D OAB thuộc đường thẳng D : x - y - = , với O gốc tọa độ 11 A m = B m = - C m = D m = - 5 Lời giải Chọn A 2x + Hoành độ hai điểm A , B nghiệm phương trình - x + m = x- Û (- 3x + m)(x - 1)= x + ( x = khơng phải nghiệm phương trình) T Û 3x2 - (m + 1)x + m + = (*) A IL IE U O N T H I N E T Câu 12 Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y = - 3x + m cắt đồ thị hàm số y = Trang 23 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group ém < - Điều kiện: D > Û (m + 1) - 4.3(m + 1)> Û (m + 1)(m - 11)> Û ê êëm > 11 m+ Khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x A , xB thỏa mãn x A + xB = Gọi A(xA ; - 3xA + m), B (xB ; - 3xB + m) trọng tâm tam giác ỉx + x - 3(xA + xB )+ 2m ÷ ỉm + m B ữ G ỗỗỗ A ; hay G ỗỗ ; ữ ỗố ữ ỗố 3 ø m+ m- 11 - - 2= Û m= GỴ D Û OAB 1ư ÷ ÷ ÷ ø 2x có đồ thị ( C ) Tìm tập hợp tất giá trị a để qua điểm M ( 0; a ) x −1 kẻ đường thẳng cắt ( C ) hai điểm phân biệt đối xứng qua điểm M Câu 13 Cho hàm số y = A ( −;0) ( 2; + ) C ( −;0 ) B ( 3; + ) D ( −; −1 3; + ) Lời giải Chọn A Đường thẳng có hệ số góc k qua điểm M ( 0; a ) có dạng y = kx + a Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị ( C ) đường thẳng y = kx + a là: x 2x x = kx + a x −1 2 x = kx − kx + ax − a kx + ( a − k − ) x − a = (*) Ta cần tìm điều kiện a để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác thỏa mãn x1 + x2 = x1 + x2 = k k a − k − ) + 4ka ( a − k − + ka ( ) −2 Điều kiện tương đương với k + ( a − k − ) − a k + − a = x + x = k k a − k = a − k = a − a ( −;0) ( 2; + ) 4 a − a a −;0 2; + ) ) ( ) ( ( (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Có số nguyên dương m cho đường thẳng 2x −1 hai điểm phân biệt M , N cho MN 10 y = x + m cắt đồ thị hàm số y = x +1 A B C D Lời giải Chọn D Điều kiện xác định hàm số: x −1 I N E T Câu 14 O N T H x + ( m − 1) x + m + = 2x −1 = x+m Phương trình hồnh độ giao điểm: x +1 x −1 U 2x −1 hai điểm phân biệt M , N x +1 phương trình x2 + ( m − 1) x + m + = có hai nghiệm phân biệt khác -1 T A IL IE Đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = Trang 24 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 m − m − 6m − (*) x −1 3 m + Gọi M ( x1 ; x1 + m) , N ( x2 ; x2 + m ) tọa độ giao điểm đường thẳng y = x + m đồ thị hàm số 2x −1 y= x +1 Theo cho MN 10 ( x2 − x1 ) 10 ( x1 + x2 ) − x1 x2 50 2 x1 + x2 = − m Áp dụng định lí Viét cho phương trình x2 + ( m − 1) x + m + = ta có: x1.x2 = m + Ta có MN 10 ( x1 + x2 ) − x1 x2 50 m − 6m − 53 − 62 m + 62 ( ) ( ) Kết hợp với (*) m − 62 ;3 − + ;3 + 62 Các số nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu toán m = 7,8,9,10 Câu 15 Cho đồ thị hàm số y = 2x + Tìm k để đường thẳng d : y = kx + 2k + cắt hai điểm x +1 phân biệt A,B cho khoảng cách từ A đến trục hoành khoảng cách từ B đến trục hoành A B C −3 D −2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x −1(ld) 2x + = kx + 2k + kx + k − x + k = x +1 ( ) ( ) Ycbt tương đương có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 cho kx1 + 2k + = kx2 + 2k + k k = k − 6k + k2 − 6k + k = −3 k x + x + 4k + = 1 − 3k + 4k + = k = −3 ( 2) (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm điều kiện m để đường thẳng y = mx + cắt đồ x −3 thị hàm số y = hai điểm phân biệt x +1 A ( −;0 16; + ) B (16;+ ) C ( −;0 ) D ( −;0) (16; + ) Lời giải Chọn D x−3 = mx + x +1 mx + mx + = (*) x − = ( mx + 1)( x + 1) x −1 x −1 E I N H x −3 hai điểm phân biệt phương trình x +1 N T Để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số y = T Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: m2 − 16m có hai nghiệm phân biệt khác −1 hay m ( −1) + m ( −1) + 4 m ( −;0) (16; + ) A IL IE U O (*) T Câu 16 Trang 25 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 17 x−2 x 2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : y = x + nhỏ Tính ( 4a + ) + ( 2b − ) (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Gọi M ( a ; b ) điểm đồ thị hàm số y = A 162 C 18 Lời giải B D x−2 x Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) đường thẳng d là: Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = x = −2 x−2 = x + x + 5x + = ( x ) x = −1 x Suy đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt M ( −2; ) , M − ;5 Ta có d ( M ; d ) 0, M d ( M ; d ) = M d M ( −2; ) Mà M ( C ) M = d ( C ) M − ;5 Với M ( −2;2 ) a = −2, b = ( 4a + ) + ( 2b − ) = 18 2 2 Với M − ;5 a = − , b = ( 4a + ) + ( 2b − ) = 18 Câu 18 x cắt 1- x đường thẳng y = x - m hai điểm phân biệt A, B cho góc hai đường thẳng OA OB (Tốn Học Tuổi Trẻ 2019) Có giá trị m để đồ thị hàm số y = 600 ( với O gốc tọa độ)? A B C Lời giải D ìï x ¹ ïí ïï x - mx + m = (*) ỵ Để có hia điểm phân biệt A, B phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác ìï 1- m + m ¹ ém > ïí Û ê êëm < ïïỵ m2 - 4m > Khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biết x1 , x2 thỏa mãn: Xét phương trình hồnh độ giao điểm x = x- m Û 1- x ìïï x1 + x2 = m í ïïỵ x1 x2 = m Giả sử A(x1; x1 - m), B (x2 ; x2 - m), suy ra: OA(x1; x1 - m), OB (x2 ; x2 - m) E I N H N T U O IL IE 2 x12 x22 + (x1 x2 - mx2 ) + x12 (x1 x2 - m) + éë(x1 - m)(x2 - m)ù û = T A Û x1 x2 - m (x1 + x2 )+ m2 T Theo giả thiết góc hai đường thẳng OA OB 600 suy ra: x1 x2 + (x1 - m)(x2 - m) cos (OA; OB)= cos 600 Û = 2 x12 + (x1 - m) x22 + (x2 - m) Trang 26 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Û Û Û 2m - m + m 2 2 m2 + (m - mx2 ) + (m - mx1 ) + éêëx1 x2 - m (x1 + x2 )+ m ù ú û 2m = 2 2 m2 + (m - mx2 ) + (m - mx1 ) + éêëm - m + m ù ú û = 2 2 + (1- x ) + (1- x ) 2 = Û + (1- x2 ) + (1- x1 ) = 16 Û (x1 + x2 ) - x1 x2 - (x1 + x2 ) = 12 ém = Û m2 - 4m - 12 = Û ê êëm = - Câu 19 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Để đường thẳng d : y = x − m + cắt đồ thị hàm số 2x y= ( C ) hai điểm phân biệt A x −1 B cho độ dài AB ngắn giá trị m thuộc khoảng nào? A m ( −4; −2) B m ( 2;4) C m ( −2;0 ) D m ( 0;2) Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) : 2x = x − m + x − ( m + 1) x + m − = (*) (vì x = khơng phải nghiệm) x −1 Đường thẳng d cắt ( C ) hai điểm phân biệt: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 = ( m + 1) − ( m − ) = ( m − 1) + 0, m 2 x1 + x2 = m + Theo định lý Vi-et ta có: x1.x2 = m − Khi A ( x1; x1 − m + 2) , B ( x2 ; x2 − m + 2) AB = ( x2 − x1 ) + ( x2 − m + − x1 + m − 2) = ( m −1) 2 = ( x2 − x1 ) = 2 ( x2 + x1 ) − x1x2 +8 AB nhỏ AB = m = (THPT Lương Tài Số 2019) Biết đường thẳng y = x + 2m cắt đồ thị hàm số x2 + hai điểm phân biệt A, B với giá trị tham số m Tìm hồnh độ trung điểm x +1 AB? A m + B −m −1 C −2m − D −2m +1 Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d là: O N T H I N E T y= A IL IE U x2 + = x + 2m x2 + (1 + m) x + 2m − = (1) , ( x −1 ) x +1 Đường thẳng d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A , B Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác T Câu 20 Trang 27 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group m2 + 0, m = (1 + m ) − ( 2m − 3) − − + + m − + m − ( )( ) ( ) Khi đó, gọi A ( x1;2 x1 + 2m ) ; B ( x2 ;2 x2 + 2m ) Hoành độ trung điểm AB xI = Câu 21 x1 + x2 + 2m =− = −m − 2 2x + Điểm M ( x0 ; y0 ) x +1 có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất, với x0 x0 + y0 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi ( H ) đồ thị hàm số y = thuộc ( H ) A −1 TXĐ: D = B −2 C Lời giải \ −1 D Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d1 : x = −1 tiệm cận ngang d : y = 2x + Do M ( H ) M x0 ; x0 + Xét d ( M , d1 ) + d ( M , d ) = x0 + + x0 + − = x0 + + x0 + x0 + x =0 x0 + x0 = −2 Theo đề bài, ta có x0 nên nhận x0 = −2 y0 = Đẳng thức xảy x0 + = Vậy x0 + y0 = −1 Câu 22 (Chuyên Bến Tre - 2020) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để đường - 2x + thẳng d : y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A, B cho x+ AB £ 2 Tổng giá trị phần tử S A −6 B −27 C D Lời giải Chọn A - 2x + Phương trình hồnh độ giao điểm: = - x + m (1) x+ Điều kiện: x ¹ - - 2x + Phương trình (1) Þ = - x+ m x+ Û - x + = (- x + m)(x + 1) - 2x + hai điểm phân biệt A, B x+ ìï D > Û m2 + 6m - > phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác - Û ïí ùùợ - ) (3) O ) ( U ( m ẻ - Ơ ; - - È - + 3; + ¥ N T H I N E Để đường thẳng d : y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = T Û - x2 + (m + 1)x + m - = (2) Trang 28 https://TaiLieuOnThi.Net A (xB - xA ) + (xB - xA ) £ 2 T AB £ 2 Û IL IE Gọi A(xA ; - xA + m), B (xB ; - xB + m) tọa độ giao điểm: Theo đề ta có: Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Û (xB - x A ) = Û x - xA xB + x - £ B A Û (xA + xB ) - xA xB - £ Û (m + 1) - (1- m)- < Û m2 + 6m - < Û m Ỵ (- 7;1) (4) Từ (3) (4) ta có m Ỵ (- 7; - - 2 )È (- + 2;1) Vì m ẻ Â ị m ẻ {- 6;0} Chn A Cõu 23 x − m2 có đồ thị ( Cm ) , m x +1 hai điểm A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) với xA xB ; (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y = tham số thực Đường thẳng d : y = m − x cắt ( Cm ) đường thẳng d ' : y = − m − x cắt ( Cm ) hai điểm C ( xC ; yC ) , D ( xD ; yD ) với xC xD Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để xA xD = −3 Số phần tử tập S A B C D Lời giải Chọn B Hoành độ điểm A B nghiệm phương trình: x − m2 = ( x + 1)( m − x ) x2 + ( − m) x − m2 − m = suy xA xB = −m − m; x A + xB = m − Hoành độ điểm C D nghiệm phương trình: x − m2 = ( x + 1)( − m − x ) x2 + ( m + 1) x − m2 + m − = suy xC xD = −m + m − 2; xC + xD = −m − xA = −3 Mặc khác x A xD nghiệm phương trình: x − x + = Suy xD = m = m2 + 6m + = 5m2 − 2m + m = Dạng Bài toán tương giao đường thẳng với hàm số trùng phương (CHỨA THAM SỐ) Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d : y = cắt đồ thị (C ) : y = f ( x; m) = ax + bx + c n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp giải: Bước Lập phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: ax + bx + c − = (1) Đặt t = x (1) at + bt + c − = (2) Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m D1 Cụ thể: • Để d (C ) = n = điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt E T (2) có nghiệm t1 , t2 thỏa điều kiện: t1 t2 S m D1 P I N • Để d (C ) = n = điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt IL IE U O N T H c − = m D1 (2) có nghiệm t1 , t2 thỏa điều kiện: = t1 t2 b a T A • Để d (C ) = n = điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt Trang 29 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group ac (2) có nghiệm trái dấu có nghiệm kép dương = m D1 S • Để d (C ) = n = điểm phân biệt (1) có nghiệm c − = t1 = b m D1 (2) có nghiệm kép = c − = t2 = a Bước Biến đổi điều kiện K dạng có chứa tổng tích t1 , t2 (3) Thế biểu thức tổng, tích vào (3) thu phương trình bất phương trình với biến số m Giải tìm m D2 Kết luận: m D1 D2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Ta có: ax + bx + c = (1) , đặt t = x , có: at + bt + c = (2) Để (1) có nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là: t1 + t2 t t 1 Khi (1) có nghiệm phân biệt − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng khi: t1 + t2 = − t2 − t1 = t1 − ( − t1 ) t2 = t1 t2 = 9t1 Theo định lý Vi – et b a suy b c 9b ; t2 = − , kết hợp t1.t2 = nên có: 9ab2 = 100a 2c 10a a 10a Tóm lại: Hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng, t1 = − b2 − 4ac − b a điều kiện cần đủ là: c a 9ab2 = 100a 2c Câu Tập tất giá trị tham số m để phương trình x - x + + m = có nghiệm phân biệt A (- 1;3) B (- 3;1) C (2; 4) D (- 3;0) T A IL IE U O N T H I N E T Lời giải Chọn B Ta có: x - x + + m = Û - x + x - = m Xét hàm số y = - x + x - , đó: éx = ± y ¢= - x + x; y ¢= Û êê x = ë Suy yCD = 1; yCT = - Trang 30 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy để phương trình cho có nghiệm phân biệt thì: - < m < ị m ẻ (- 3;1) Cõu Tp tt giá trị tham số m để phương trình x − 2mx + (2m − 1) = có nghiệm thực phân biệt 1 1 A ; + \ 1 B (1; + ) C ; + D 2 2 Lời giải Chọn A Xét phương trình: x − 2mx + (2m − 1) = Đặt x = t (t 0) Phương trình cho trở thành t − 2mt + (2m − 1) = (*) Để phương trình ban đầu có bốn nghiệm thực phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương m ' m − 2m + 1 m S 2m m0 hay m ; + \ 1 2 P 2m − m 1 m Câu (THPT Lương Thế Vinh - Hn - 2018) Cho hàm số y = x − 3x − Tìm số thực dương m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt A , B cho tam giác OAB vuông O , O gốc tọa độ A m = B m = C m = D m = Lời giải Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số nghiệm phương trình: x − x − = m x − 3x − − m = (1) Vì m −2 − m hay phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: + 4m + 17 + 4m + 17 + 4m + 17 x1 = x2 = − 2 Khi đó: A ( x1; m ) , B ( x2 ; m) x2 = E T Ta có tam giác OAB vng O , O gốc tọa độ OAOB = x1.x2 + m2 = H N T O U A IL IE Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x điểm phân biệt 1 A − m B m C m D m − 4 Lời giải T Câu I N 2m − + 4m + 17 m 0 =m ⎯⎯⎯ →m = m2 −3 2 4m − 12m − 4m − = Vậy m = giá trị cần tìm Trang 31 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Chọn A Hàm số y = x − x có tập xác định D = y ' = x − x x = y ' = 4x − 2x = x = Bảng biến thiên: x y' y 2 ∞ + +∞ 0 +∞ + +∞ -1 -1 4 Dựa vào bảng biến thiên đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x điểm phân biệt − m Câu (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 điểm phân biệt có hồnh độ 0, 1, m, n Tính S = m2 + n2 A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn C Tọa độ giao điểm A ( 0; 0) , B (1; −1) , C m; m4 − 2m2 , D n; n4 − 2n2 ( ) ( ) Đường thẳng qua điểm A, B,C, D có phương trình: y = − x x = Xét phương trình hoành độ giao điểm: x4 − 2x2 = − x x4 − 2x2 + x = x = x2 + x − = * () Vậy m, n nghiệm phương trình ( * ) Khi đó: S = m2 + n2 = ( m + n) − 2mn = Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = x4 − x3 + ( m − 2) x2 + 8x + cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ lớn A B C D Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm x4 − 4x3 + ( m − 2) x2 + 8x + = T Câu I N E Đồ thị hàm số y = x4 − x3 + ( m − 2) x2 + 8x + cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ lớn y = − m song song với trục hoành Trang 32 https://TaiLieuOnThi.Net N T + ( x 1) với đường thẳng x x2 A Đây phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) : y = x − x + IL IE U O + x x2 T − m = x2 − 4x + H có hai nghiệm lớn (*) x4 − 4x3 + 8x + = ( − m) x2 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 + ( x 1) x x2 8 x − x3 − x − y = x − − − = x x x2 x = − ( lo¹i ) Cho y = x = + ( nhËn) Bảng biến thiên Xét hàm số y = x − x + Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt − m −7 m Vì m nguyên nên m−6, − 5, ,1 Vậy có giá trị nguyên m thỏa toán Câu (Sở Hà Nam - 2019) Cho hàm số f ( x ) = −4 x4 + 8x2 − Có giá trị nguyên dương m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm phân biệt? A B C Lời giải D Chọn D x = f ( x ) = −16 x + 16 x = x = x = −1 Bảng biến thiên Phương trình f ( x ) = m phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số f ( x ) = −4 x4 + 8x2 − ( C ) đường thẳng y = m Phương trình cho có nghiệm phân biệt Đường thẳng y = m cắt đồ thị ( C ) hai điểm IL IE , a , b phân số tối giản) Khi đó, 15ab nhận giá trị sau đây? B 63 C 95 D −95 Lời giải A (với a, b A −63 U O N T H (Sở Thanh Hóa 2018) Cho hàm số y = x + 2mx + m (với m tham số thực) Tập tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng y = −3 bốn điểm phân biệt, có điểm có hồnh độ lớn cịn ba điểm có hồnh độ nhỏ , khoảng ( a; b ) T Câu I N E T m = phân biệt m −1 Vậy có giá trị nguyên dương m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm phân biệt Trang 33 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Xét phương trình hồnh độ giao điểm x + 2mx + m = −3 Đặt x = t , t Khi phương trình trở thành t + 2mt + m + = (1) đặt f ( t ) = t + 2mt + m + Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −3 điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn t1 t2 hồnh độ bốn giao điểm − t2 − t1 t1 t2 t2 Do đó, từ điều kiện toán suy hay t1 t2 t1 f (0) m + 19 Điều xảy f (1) 3m + −3 m − 9m + 19 f ( ) 19 Vậy a = −3 , b = − nên 15ab = 95 Câu (Chuyên Hà Tĩnh 2018) Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x − 10 hai điểm phân biệt A , B cho tam giác OAB vuông ( O gốc tọa độ) Mệnh đề sau đúng? A m2 ( 5;7 ) B m2 ( 3;5) C m2 (1;3) D m2 ( 0;1) Lời giải x = y = x − x = x ( x − 1) ; y = x = Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = m2 ln phía trục hồnh Nên ln cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A , B Gọi A a ; m B − a ; m2 giao điểm hai đồ thị cho, với a ( ) ( ) Ta có A ( C ) a2 − a − 10 = m2 (1) ( 2) Tam giác OAB cân O nên tam giác OAB vuông O OAOB = m4 = a Từ (1) ( 2) ta có m8 − m4 − m2 − 10 = t − t − t − 10 = , với t = m ( t − ) ( t + 2t + 3t + ) = t = m2 = (1;3) (Sở Bình Phước 2018) Cho hàm số y = x − x − có đồ thị hình vẽ bên Với giá trị m phương trình x − x − = 2m − có nghiệm phân biệt T A IL IE U O N T H I N E T Câu 10 Trang 34 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 m A m = B m m = D m C m Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình x − x − = 2m − có hai nghiệm phân biệt m = 2m − = −4 2m − −3 m Câu 11 (THPT Bình Giang - Hải Dương - 2018) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình − x + x + + 2m = có nghiệm phân biệt 3 A −2 m − B − m C −2 m − D m 2 Lời giải - Ta có: − x + x + + 2m = x − x − = 2m - Lập bảng biến thiên hàm số y = x − x − x −1 − y 0 + − − −3 + y 4 + + + −4 −4 - Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = x − x − đường thẳng y = 2m - Từ BBT ta thấy phương trình cho có nghiệm phân biệt −4 2m −3 −2 m − (THPT Vân Nội - Hà Nội - 2018) Tất giá trị thực tham số m , để đồ thị hàm số y = x4 − ( − m) x2 + m2 − 2m − khơng cắt trục hồnh C m + Đặt t = x Phương trình (1) trở thành t − ( − m) t + m − 2m − = 2 (1) ( 2) E Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm x − ( − m) x2 + m2 − 2m − = T D m I N B m H A m + A IL IE U O N T Đồ thị hàm số khơng cắt trục hồnh (1) vô nghiệm ( 2) vô nghiệm có nghiệm âm T Câu 12 Trang 35 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group m = −2m + m m = − m + m + Hay 2 − m + m m m − m − m 1+ m − Câu 13 (Sở Nam Định - 2018) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = ( m + 1) x4 − ( 2m − 3) x2 + 6m + cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x , x , x thỏa mãn x1 x x3 x −5 A m −1; B m ( −3; −1) D m ( −4; −1) C m ( −3;1) Lời giải C1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số trục hoành ( m + 1) x4 − ( 2m − 3) x2 + 6m + = (1) Đặt t = x pt trở thành ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = ( 2) g ( t ) = ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + Để pt (1) có nghiệm phân biệt pt (2) phải có nghiệm dương phân biệt m −1 m −1 m + −23 − 561 m −23 + 561 m − − m + m + ( ) ( )( ) 4 6m + Hay ( *) 0 t1.t2 m +1 m −1 m − t1 + t2 2m − 0 m +1 m −1 m Để pt (1) có nghiệm thỏa mãn x1 x x3 x pt (2) phải có nghiệm thỏa t1 t t − 1 ( t1 − 1)( t2 − 1) t1t2 − ( t1 + t2 ) + t2 − 6m + ( m − ) 3m + 12 − +1 −4 m −1 m +1 m +1 m +1 Kết hợp với (*) ta có m ( −4; −1) thỏa u cầu tốn C2: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số trục hoành ( m + 1) x4 − ( 2m − 3) x2 + 6m + = (1) Đặt t = x pt trở thành ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = ( 2) I N E T Để pt (1) có nghiệm thỏa mãn x1 x x3 x https://TaiLieuOnThi.Net T A IL IE Xét hàm số f ( t ) = Trang 36 O −t − 6t − , với t ( 0; + ) t − 4t + Ta có f ( t ) liên tục ( 0; + ) có N T −t − 6t − (biểu thức t − 4t + 0, t ) t − 4t + U Phương trình (2) m = H pt (2) phải có nghiệm thỏa t1 t Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f ' (t ) = 10t − 2t − 56 (t − 4t + ) − 561 0 t = 10 f '(t ) = + 561 1 t = 10 Bảng biến thiên −t − 6t − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f ( t ) = hai t − 4t + giao điểm có hoàng độ thỏa t1 t −4 m −1 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y = x4 − ( 3m + 2) x + 3m có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường thẳng d : y = −1 cắt đồ thị (Cm ) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ 1 A − m m B − m m 1 1 C − m m D − m m 2 Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) đường thẳng d x4 − ( 3m + 2) x2 + 3m = −1 x4 − ( 3m + 2) x2 + 3m + = Đặt t = x , ( t 0) , phương trình trở thành t − ( 3m + 2) t + 3m + = ( 2) t = t = 3m + Đường thẳng d : y = −1 cắt đồ thị (Cm ) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình ( 2) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t thỏa mãn t1 t2 A IL IE U O N T H I N E T m 3m + 0 3m + − m T Câu 14 Trang 37 https://TaiLieuOnThi.Net ... + ) Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị cho với trục hoành là: x = −2 x + ( m − ) x + 2m + = ( x + ) ( x − x + m + ) = 2 ( x − 1) + m + = ( ) Giao điểm đồ thị cho với trục hoành A... 16 2 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = x3 − x + x có đồ thị ( C ) hàm số y = x + (8 − a) x − b ( với a, b ) có đồ thị ( P ) Biết đồ thị hàm số ( C ) cắt ( P ) ba điểm có hồnh độ nằm −1;5... Tài Liệu Ôn Thi Group Lời giải Chọn C +) Gọi đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + ( Cm ) đồ thị hàm số y = x + ( d ) +) Phương trình hoành độ giao điểm ( Cm ) ( d ) x = x3 + 2mx2 + ( m