Chuyên đề về tương giao đồ thị hàm số chương trình toán họcTHPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về tương giao đồ thị của hàm số lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.
TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chuyên đề DẠNG TỐN DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Bài tốn tương giao đồ thị thơng qua đồ thị, bảng biến thiên Nghiệm phương trình thị hàm số Câu af x b số giao điểm đường thẳng y b a với đồ y f x f x (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số có bảng biến thiên sau � x � 0 f� ( x) � f ( x) � Số nghiệm phương trình f ( x) A B C Lời giải D Chọn C Ta có f ( x) � f ( x) x f� ( x) f ( x) � � � � Căn vào bảng biến thiên phương trinh biệt Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba bên Số nghiệm thực phương trình f ( x) � f ( x) y f x f x 1 là: y 3 có nghiệm phân có đồ thị đường cong hình A Chọn D A Số nghiệm thực phương trình y f x C Lời giải B f x 1 số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng y 1 Từ hình vẽ suy nghiệm Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba bên Số nghiệm thực phương trình A Chọn B B y f x f x có đồ thị đường cong hình C Lời giải D y f x Ta thấy đường thẳng y cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt nên phương trình Câu f x có nghiệm y f x (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình A B C f x D Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số ta có số nghiệm thực phương trình Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba vẽ bên Số nghiệm thực phương trình A B f x y f x f x có đồ thị đường cong hình là: C D Lời giải Chọn B Ta có số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số thẳng y Dựa vào đồ thị ta có phương trình có ba nghiệm phân biệt Câu (Mã 101 2019) Cho hàm số f x Số nghiệm thực phương trình có bảng biến thiên sau: f x y f x với đường A B D C Lời giải Chọn C Ta có f x � f x Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số thẳng Câu y y f x Dựa vào bảng biến thiên f x (Mã 101 2018) Cho hàm số f x ax3 bx cx d a , b , c , d �� y f x A đường ta có số giao điểm đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f x C Lời giải B Đồ thị hàm số D Chọn D � f x f x * Ta có: * phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy Câu * (Mã 102 2018) Cho hàm số y f x hình vẽ bên có nghiệm f x ax bx c a, b, c �� Đồ thị hàm số f x Số nghiệm phương trình A B C Lời giải D Chọn C f x � f x Ta có Đường thẳng y cắt đồ thị hàm số y f x điểm phân biệt nên phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu (Mã 103 2019) Cho hàm số f ( x ) bảng biến thiên sau: Số nghiệm thực phương trình f ( x) A B C Lời giải Chọn A f ( x ) � f ( x) (1) Ta có D Số nghiệm thực phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y f ( x) với đường thẳng y Từ bảng biến thiên cho hàm số f ( x) , ta thấy đường thẳng số y f ( x) ba điểm phân biệt y cắt đồ thị hàm Do phương trình (1) có ba nghiệm thực phân biệt Câu 10 (Mã 103 2018) Cho hàm số y f x Số nghiệm thực phương trình liên tục f x B A 2; 2 đoạn có đồ thị hình vẽ bên 2; 2 C Lời giải D Chọn B Ta có f x � f x 4 cắt y f x điểm phân biệt nên Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng phương trình cho có nghiệm phân biệt y Câu 11 (Mã 102 x - Cho hàm -2 _ f'(x) f(x) 2019) số f x + _ biến thiên + + + -1 -1 Số nghiệm thực phương trình A B bảng + có f x C Lời giải D sau Chọn B Bảng biến thiên x _ f'(x) f(x) -2 - + + _ 0 + + y=3/2 -1 -1 Xét phương trình + f x � f x Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số d:y đường thẳng bốn điểm phân biệt Câu 12 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng d cắt đồ thị C (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số thị hình vẽ y f x liên tục � có đồ f x Số nghiệm phương trình A B C Lời giải *Đồ thị C : y f x D y f x - Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y f x nằm phía Ox y f x - Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía Ox qua trục hồn y f x - Bước 3: Xóa phần đồ thị nằm phía trục hồnh Số nghiệm phương trình y f x f x số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng y Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy có giao điểm *Cách giải khác: �f ( x) f x � � �f ( x) 2 , dựa vào đồ thị suy phương trình cho có nghiệm Câu 13 (Mã 104 2019) Cho hàm số f x Số nghiệm thực phương trình A B có bảng biến thiên sau: f x C Lời giải D Chọn D f x � f x Ta có Nhìn bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm Câu 14 (Mã 110 2017) Đường cong hình bên đồ thị hàm số y ax bx c , với a, b, c số thực Mệnh đề đúng? vô nghiệm tập số thực A Phương trình y� có nghiệm thực B Phương trình y� có hai nghiệm thực phân biệt C Phương trình y� có ba nghiệm thực phân biệt D Phương trình y� Lời giải Chọn D Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số y ax bx c ta thấy đồ thị hàm số có ba nghiệm thực phân bậc bốn trùng phương có điểm cực trị nên phương trình y� biệt Câu 15 2; 4 có đồ thị hình vẽ (Mã 104 2018) Cho hàm số y f ( x) liên tục đoạn 2; 4 bên Số nghiệm thực phương trình f ( x) đoạn A C Lời giải B D Chọn D Ta có f ( x) � f ( x) Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng biệt thuộc đoạn y cắt đồ thị hàm số y f ( x) ba điểm phân 2; 4 Do phương trình f ( x) có ba nghiệm thực Câu 16 (THPT Cù Huy Cận 2019) Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f ( x) A B C Lời giải D 7 y Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y f x Ta có: điểm phân biệt nên suy phương trình cho có nghiệm f ( x) � f ( x) Câu 17 (TRƯỜNG Thpt Lương Tài Số 2019) Cho hàm số y f ( x) ax bx c có đồ thị hình vẽ Phương trình f ( x) có tất nghiệm? A C Vô nghiệm B D Lời giải Chọn A �y f x C � f ( x ) 1 � f x � � �y d � Xét phương trình: Số giao điểm đường thẳng trình biệt Câu 18 1 Theo hình vẽ ta có d đường cong C giao điểm phương trình 1 có nghiệm phân (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Cho hàm số Hỏi phương trình A ứng với số nghiệm phương f x B y f x có nghiệm thực? C Lời giải có bảng biến thiên sau D x 1 � � f x x 1 � � x 1 � x3 � +Ta có: f x f x x 1 a x 1 x 1 x 3 hàm bậc ba nên � f x a x 1 x 1 x 3 x f � a ; � f x x 1 x 1 x 3 x x x2 � f x � � x 1 x 3 � + x1 , x3 nên ta có x1 x3 2 nghiệm y nên từ đồ thị ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt thẳng Câu 14 (Chun Lê Thánh Tơng 2019) Có giá trị nguyên tham số m � 2018; 2019 để đồ thị hàm số y x 3mx đường thẳng y 3x có điểm chung? A B 2019 C 4038 D 2018 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 3x � m x3 3mx 3x � x 3x 3mx x (1) f x Xét hàm Bảng biến thiên x3 3x 2 2 x3 x2 f� x 2x f� x � x x x; x x ; m � 2018; 2019 Khi u cầu tốn � m Mà m nguyên nên có 2018 giá trị thỏa mãn Câu 15 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình x 6mx 5m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m B m 1 �m C m D m �� Lời giải x mx 5m Phương trình cho tương đương: Đặt y f x x3 6mx 5m2 có f� x 3x 6m ; � f� x 6x y f x PT cho có nghiệm phân biệt � Hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt � f� x có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn f x1 f x2 nghiệm lập thành cấp số cộng nên x2 x1 x3 x2 � f� x Suy ra, x2 hoành độ tâm đối xứng nghiệm � f� x � 6x � x Cho Với x ta có: 5m � m �1 Thử lại: x0 � x3 x � x x � � x�6 � Với m ta có x3 x � x x � x Với m 1 ta có: y x 2mx m 3 x Câu 16 Tính tổng tất giá trị m biết đồ thị hàm số A 0; B C đường thẳng y x cắt ba điểm phân biệt , , cho diện tích I 1;3 tam giác IBC với A B C D Lời giải Chọn C y x3 2mx m 3 x C +) Gọi đồ thị hàm số m đồ thị hàm số y x d Cm d +) Phương trình hồnh độ giao điểm x0 � � �2 3 x 2mx m 3 x x � x 2mx m x x 2mx m � g x x 2mx m +) Gọi d cắt Cm ba điểm phân biệt � phương trình có ba nghiệm phân biệt +) � phương trình g x có hai nghiệm phân biệt khác � m 1 � � � � � � g 0 m m � �� m a � �� �� � m �0 m �2 �g �0 � � +) x hoành độ điểm A , hoành độ điểm B , C hai nghiệm x1 , x2 phương g x trình BC x2 x1 � x2 x1 � � � x2 x1 (do B , C thuộc đường thẳng +) d 2 2 2� �x2 x1 x1 x2 � � m m d dạng x y , ta có +) Viết phương trình đường thẳng 1 d I, d 2 1 � � BC.d I , d � BC � d I , d � � 128 +) S IBC � m2 m 128 � 137 m � 2 � m m 34 � � � 137 m � a ) � (thỏa điều kiện +) Vậy tổng tất giá trị m m � 2018; 2019 Câu 17 Có giá trị nguyên tham số để đồ thị hàm số y x3 3mx đường thẳng y x có điểm chung? A B 2019 C 4038 Lời giải D 2018 Chọn D 3 1 + Phương trình hồnh độ giao điểm: x 3mx x � 3mx x x + Dễ thấy x không thỏa 1 � 3m x f x x + 2 x3 � x 1 x2 x2 + + Bảng biến thiên: f� x 2x + Đồ thị hàm số y x 3mx đường thẳng y x có điểm chung � 3m � m m � 2018; 2019 + Do m �� nên có 2018 giá trị Câu 18 Đường thẳng d có phương trình y x cắt đồ thị hàm số y x 2mx ( m 3) x điểm phân biệt A(0; 4) , B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M (1;3) Tìm tất giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán A m B m m C m 2 m 3 D m 2 m Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình x0 � x 2mx (m 3) x x � x 2mx (m 2) x � �2 x 2mx ( m 2) (*) � Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt phương trình (*) có hai � m 1 � � m2 m � �� � �� m2 � m � � � m �2 � nghiệm phân biệt khác Giả sử B ( x1; x1 4) ; C ( x2 ; x2 4) với x1 ; x2 nghiệm phương trình (*) BC 2( x1 x2 ) 2( x1 x2 ) x1.x2 8m 8m 16 1 1 BC.d ( M , d ) BC � BC 2 2 m 2 � m2 m � � m3 � Ta có Đối chiếu điều kiện ta có m S MBC Câu 19 (THPT Minh Khai - lần 1) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y x 2mx m 1 x ba điểm phân biệt � � � � m� m� � � � � 3 � � � � � � m �1 m 1 m 1 m �1 � � � � � � � � � � m �2 m2 m m �2 A � B � C � D � Lời giải Chọn C x3 2mx m 1 x x Ta có phương trình hồnh độ giao điểm x0 � � x 2mx 3m x � �2 x 2mx 3m 1 � 1 có hai nghiệm phân biệt, khác u cầu tốn tương đương phương trình � � � m� m� � � � � 2m.0 3m �0 � � � � �� � � � � m2 m 1 � � � m 3m � �� � � � m 1 m2 �� � Câu 20 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để phương trình x x 2m có hai nghiệm phân biệt Tổng phần tử S A B C Lời giải Chọn B x x � y� � x �x Xét hàm số: y x x � y� Bảng biến thiên: D Số nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị: C : y x 3x � � �d : y 2m Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt m 1 � 2m 1 � � �� � 1� � 1; � � 2m m �S � � � � � � 3 1 � � � 2� Vậy tổng phần tử S Câu 21 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Giá trị lớn m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y x3 m x2 5m x m điểm 2 phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x1 x2 x3 20 A B C Lời giải D Chọn A d đồ thị hàm số nghiệm phương trình Hồnh độ giao điểm đường thẳng x m x 5m x m x m x3 � � �2 � x 2 � x m x m 3� x 2m x m 1 � � � d cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt � phương trình 1 có hai Đường thẳng �� m 1 � � � � m 1 m 3 � �m � m 1 � � �� �� � 2m m �0 m �1 m2 � � � nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác (2) �x1 x2 2m � x x m Khi đó, �1 2 2 x1 x2 x3 20 � x1 x2 x1 x2 x3 20 Theo giả thiết m3 � � 2m 3m � � � m � 2m m 3 20 � (thỏa mãn (2)) Vậy giá trị lớn m thỏa mãn yêu cầu toán y 2 x 3m x m3 2m x Câu 22 Có giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ ba số hạng liên tiếp cấp số nhân? A B C D Lời giải Chọn C Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành nghiệm phương trình 2x3 3m2x2 m3 2m x * x, x , x Giả sử đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Khi ta có y 2 x x1 x x2 x x3 2x3 2 x1 x2 x3 x2 2 x1x2 x2x3 x3x1 x 2x1x2x3 Đồng thức ta � 3m2 x x x 1 �1 � 2 x1 x2 x3 3m2 � � m3 2m � � x x x x x x m m � x x x x x x 2 � 2 3 1 �1 2 3 � � 2x1x2x3 � �x1x2x3 3 � � x x x22 x, x , x 4 Vì lập thành cấp số nhân nên m � � m � m 2 3 : x2 Thay vào phương trình * rút � � Từ * : 2x3 � x (không thỏa mãn) Với m � phương trình � � x1 2 � 2x3 3x2 3x � � x2 � � x3 * � (thỏa mãn) Với m 1� phương trình : � 7 45 x1 � � x3 6x2 6x 1 � � x2 � 7 45 � x3 � * � Với m � phương trình : (thỏa mãn) Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 23 C y x3 3x đường (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Tìm m để đồ thị A 1; B C thẳng y mx m cắt điểm phân biệt , , cho OBC có diện tích 64 A m 14 B m 15 C m 16 Lời giải Chọn C D m 17 d O, BC m m2 xB xC BC m yb yc 2 1 xB xC 1 � m 1 4m xB xC xB xC � � � � S OBC d O, BC BC m m 64 � m 16 Cách 2: Phương trình hồnh độ giao điểm: m 2 x 1 � x3 x mx m � x 1 x x m � � x m � C điểm phân biệt phương trình có nghiệm phân biệt khác Để d cắt m0 � 1 � � m �9 � � x m � B m ;3m m m � � � x m � C m ;3m m m � uuur uuur OB m ;3m m m , OC m ;3m m m r uuur uuu � SOBC � OB , OC � � m m 64 � m 16 2� Câu 24 C hàm số (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y x x x có đồ thị y x (8 a) x b ( với a, b ��) có đồ thị P Biết đồ thị hàm số C cắt P ba 1;5 Khi a đạt giá trị nhỏ tích ab điểm có hồnh độ nằm A 729 B 375 C 225 D 384 Lời giải Chọn B Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm x3 x x x (8 a ) x b � x3 x ax b (1) �m n p � �mn np pm a �mnp b Gọi m, n, p nghiệm phương trình (1) ta có � C cắt P ba điểm có hồnh độ nằm 1;5 nên Do (m 1)( n 1)( p 1) �0 mnp ( mn np pm) ( m n p) �0 � � �� � (5 m)(5 n)(5 p) �0 mnp 5(mn np pm) 25( m n p ) 125 �0 � � Cộng vế theo vế hệ phương trình ta có 6(mn � np�� pm) 24( m n p) 124 mn np pm 15 a 15 mnp �25 � � mnp 25 � b 25 � mnp �25 Dấu xảy � Vậy tích ab 375 Cách 2: Phương trình hồnh độ giao điểm x3 x x x (8 a ) x b � x3 x ax b (1) 1;5 Khi phương trình (1) có nghiệm nằm 2 Đặt f ( x ) x x ax b suy f '( x) 3x 18 x a Để phương trình (1) có 1;5 f '( x) 3x 18x a có hai nghiệm phân biệt thuộc nghiệm nằm 1;5 � a 3x 18 x có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;5 Xét hàm số g ( x) 3 x 18 x suy g '( x) 6 x 18 , ta có g '( x) � x Bảng biến thiên y g ( x ) Từ BBT ta có 15 �a 27 suy giá trị nhỏ a 15 x , b 25 Vậy tích ab 375 Câu 25 (Sở Quảng Trị 2019) Có giá trị nguyên tham số m để đường thẳng y mx m cắt đồ thị hàm số y x3 mx2 m điểm phân biêt có hoành độ x1, x2, x3 A thỏa mãn 1 x1 x2 x3 ? B C Lời giải D Chọn C d y mx m, C y x3 mx2 m d C : x3 mx2 mx 1 Phương trình hồnh độ giao điểm � x � �2 x mx m 2 � 2 , x3 Gọi x1, x2 nghiệm phương trình 1 có nghiệm phân biệt � 2 có nghiệm x1, x2 phân biệt khác � 0, m2 4m �� � m� �;0 � 4; � m�0 � 1 có 3nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa 1 x1 x2 x3 3, với x1 x2 m, x3 � 1 m � 3 m 1, mà m� �;0 � 4; � , m�� � m� 2; 1 Vậy có giá trị m Câu 26 (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số y x3 2mx m 3 x Cm Tất d : y x cắt Cm ba điểm phân biệt giá trị tham số m để đường thẳng A 0; B C K 1;3 , , cho tam giác KBC có diện tích với điểm là: 137 �1 137 � 137 137 m m m m 2 2 A B C D Lời giải Chọn C C d là: Phương trình hồnh độ giao điểm m x3 2mx m 3 x x 1 � x3 2mx m x � x � x 2mx m � � � x 0� y 4 � � �2 x 2mx m � d C cắt m ba điểm phân biệt � 1 có ba nghiệm phân biệt � 2 có hai nghiệm phân biệt khác m2 �� m2 � � 0 � � m2 m �� � � �2 �� � �� m 1 � � m 1 � 2m.0 m �0 m �0 � � � � � m �2 �m �2 � � có hai nghiệm phân biệt x1 x2 tương ứng hoành độ B C Khi đó, � B x1 ; x1 C x2 ; x2 uuur uuur � KB x1 1; x2 1 KC x2 1; x2 1 x1 1 x2 1 x2 1 x1 1 � S KBC x1 x2 S � x1 x2 � x1 x2 128 � S P 128 Theo đề bài: KBC � 137 � 2m m 128 � m (nhận) Vậy tất giá trị m thỏa đề Câu 27 m � 137 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi T tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình x x m3 3m có ba nghiệm phân biệt Tổng tất phần tử T A B C D Lời giải Chọn A 3 3 Cách 1: Ta có x x m 3m � x 3x m 3m � f ( x) f (m) (1) Xét hàm số f ( x ) x 3x x0 � f '( x) � � x 2 f '( x) 3x x, � x0 � f ( x) � � x 3 � x2 � f ( x ) 4 � � x 1 � Dựa vào bảng biến thiên, suy (1) có ba nghiệm phân biệt � 4 f (m) 1 m � � m �0 � � m �2 � T 1 Suy Vậy tổng tất phần tử T x x m3 3m � x3 m3 x m Cách 2: Ta có � x m � x m 3 x m 3m � � � xm � � �2 x m 3 x m2 3m * � � * Phương trình cho có nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt, khác m � m 3 m 3m � � m 3 3m 3 � �� � � m m 3 m m 3m �0 � 3m 6m �0 � � 1 m � � ۹�� m m � m �2 � (vì m ��) T 1 Suy Vậy tổng tất phần tử T Câu 28 f x x bx cx d (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho đồ thị hàm số cắt trục hoành x1 , x2 , x3 điểm phân biệt có hồnh độ Tính giá trị biểu thức 1 P f� x1 f � x2 f � x3 A P 2b c B P C P b c d Lời giải D P 1 2b c Chọn B x ,x ,x Vì ba nghiệm phương trình bậc ba f x � f x x x1 x x2 x x3 Ta có f� x x x1 x x2 x x2 x x3 x x1 x x3 �f � x1 x1 x2 x1 x3 � x2 x2 x3 x2 x1 �f � �� f x x3 x1 x3 x2 Khi đó: � 1 P x1 x2 x1 x3 x2 x3 x2 x1 x3 x1 x3 x2 Suy x x x1 x3 x1 x2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 Câu 29 y f x (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số bậc ba có đồ thị qua điểm A 1;1 , B 2; , C 3;9 Các đường thẳng AB, AC , BC lại cắt đồ thị điểm M , N , P ( M khác A B , N khác A C , P khác B C Biết tổng f 0 hoành độ M , N , P 5, giá trị A 6 B 18 C 18 D Lời giải Chọn B f x a x 1 x x 3 x a �0 Từ giả thuyết toán ta giả sử ( ) AB : y x AC : y x BC : y x Ta có: , , Khi đó: M Hồnh độ a xM 1 xM xM 3 xM xM nghiệm phương trình: � x M � a xM 1 xM xM 3 xM 1 xM � a xM 3 a a xN 1 xN x N 3 xN Hoành độ N nghiệm phương trình: xN � a xN 1 xN xN 3 xN 1 xN 3 � a xN � xN a a xP 1 xP xP 3 xP Hồnh độ P nghiệm phương trình: xP � a xP 1 xP xP 3 xP xP 3 � a xP 1 � xP a xM xN xP � Từ giả thuyết ta có; f x x 1 x x 3 x Do đó: f 18 5� a3 a Câu 30 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3 x cắt đường thẳng d : y m x 1 ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 x22 x22 A m �3 B m �2 C m 3 Lời giải D m 2 Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 x m x 1 � x3 x mx m x1 � �� � x 1 x x m g x x x m * � * phải có hai nghiệm Để hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt phương trình � 0 � � m 3 12 m � �� �� �� � m 3 g 1 �0 � m �3 m �0 � � phân biệt khác * Gọi x2 , x3 hai nghiệm phương trình �x2 x3 � x x m Theo định lý Viét ta có �2 2 2 x x2 x3 � x2 x32 � x22 x32 Theo ta có � x2 x3 x2 x3 � m � m 2 So sánh với điều kiện suy m 2 Kết luận: m 2 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 31 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi S tập tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x 3x x 2m trục Ox có hai điểm chung phân biệt Tính tổng T phần tử thuộc tập S A T 10 B T 10 C T 12 D T 12 Lời giải Chọn C Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y x 3x x 2m trục Ox nghiệm 3 phương trình : x 3x x 2m � x 3x x 2m f x x3 3x x Xét hàm số D � Tập xác định: x 1 � f� x 3x x 9, f � x � 3 x x � � x 3 � Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số y x 3x x 2m cắt trục Ox hai điểm phân biệt f x x 3x x y m đường thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt m m � � �� � S 14; 2 � 2m 27 m 14 � Từ bảng biến thiên suy : � Tổng phần tử thuộc tập S : T 14 12 Dạng Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số biến (CHỨA THAM SỐ) Bài toán tổng quát ax b y cx d có đồ thị C Tìm tham số m để đường thẳng d : y x cắt C Cho hàm số hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K? Phương pháp giải Bước (Bước giống toán tương giao hàm biến) ax b C : cx d x Lập phương trình hồnh độ giao điểm d d � g x cx c d a x d b 0, x � c C - Để d cắt � g x hai điểm phân biệt có nghiệm nghiệm phân biệt c �0; � � � ��d � �g � c ��0 i �� � Giải hệ này, ta tìm m �D1 d c g x với x1 , x2 nghiệm Theo Viét: c d a d b S x1 x2 ; P x1 x2 c c ii Bước iii -Biến đổi điều kiện K cho trước dạng có chứa tổng tích x1 , x2 ii vào iii thu phương trình bất phương trình với biến số m Giải tìm -Thế m �D2 i , � m � D1 �D2 kết luận giá trị m cần tìm -Từ Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao đường thẳng ax b y y kx p đồ thị hàm số cx d -Gọi A x1 ; x1 , B x2 ; y2 � ax b y d : y kx p cx d điểm phân biệt M , N Giả sử cắt đồ thị hàm số ax b kx p cx d cho ta phương trình có dạng: Ax Bx C thỏa điều kiện cx d �0 , có Với B AC Khi đó: uuuu r M ( x1; kx1 p ), N ( x2 ; kx2 p ) � MN ( x2 x1; k ( x2 x1 )) � MN (k 1) 1) A Chú ý: MN tồn , k const 2 2 2 2) OM ON ( k 1)( x1 x2 ) ( x1 x2 )2kp p uuuu r uuur 2 3) OM ON ( x1 x2 )(1 k ) ( x1 x2 )kp p 4) OM ON � ( x1 x2 )(1 k ) 2kp Câu 2020; 2020 (Sở Ninh Bình 2020) Có tất giá trị nguyên thuộc đoạn 2x y x hai điểm phân tham số m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số biệt? A 4036 B 4040 C 4038 D 4034 Lời giải Chọn A Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng y x m đường cong 2x y x 1 2x xm � x m x 1 x x �1 x 1 � x mx x m x � x m 3 x m * m 3 m 3 m 6m 4m 12 m 2m Ta có 2x y y x m x hai điểm phân biệt Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số * có hai nghiệm phân biệt khác phương trình 0 � � m 2m m 1 � � � � �2 �� �� m 3 m �0 m3 �0 lđ � � � m 1 2020 �m 1 � � � � m nên � m �2020 Theo giả thiết: 2020 �m �2020 � 2 2020 2019 Vì m �� 2020 �m 1 , suy có giá trị nguyên m 2020 2017 Vì m �� m �2020 , suy có giá trị nguyên m Tóm lại có tất 2019 2017 4036 giá trị nguyên tham số m Câu x3 y y x m x hai (ĐHQG TPHCM 2019) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt m �1 � m 1 m 3 � � � � � m �3 m3 m 1 A � B � C � D 3 m Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số cho � x 2m x 1 x x 3 � � x 2m �x �1 � x 2mx 2m * (vì x 1 x 1 phương trình trở thành 4 vơ lí) Để đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt phương trình * phải m 1 � � m 2m � � � 0 m3 � có hai nghiệm phân biệt Khi m phải thoả mãn * m 1 � � m3 Vậy tập hợp giá trị tham số m � Câu (Gia Lai 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = x + m x +3 y= x +1 hai điểm phân biệt cắt đồ thị hàm số m �m �( - 1; +�) m �( � ; +�) ( 2; 4) A B C D m �( � ; - 2) Lời giải Chọn A x +3 = x + m (*), Phương trình hồnh độ giao điểm: x +1 với điều kiện xác định x �- Biến đổi (*) thành: x + ( m +1) x + m - = (**) Theo u cầu đề bài, phương trình (**) cần có hai nghiệm phân biệt khác - , tức là: � D = ( m +1) - 4.2.( m - 3) > � � m - 6m + 25 > � � � � 2.( - 1) +( m +1) ( - 1) + m - �0 � � ( � ; +�) � � - �0 � m �� Câu y x x Khi Gọi A B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số độ dài đoạn AB ngắn A B C 2 D 2 Lời giải Chọn B ... 102 - 2020 Lần 1) Số giao điểm đồ thị hàm số y = x - x đồ thị hàm số y =- x + x A B C Lời giải D Chọn B 2 Số giao điểm đồ thị hàm số y = x - x đồ thị hàm số y =- x + x số � x =0 x - x =-... 28 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Số giao điểm đồ thị hàm số y x x đồ thị hàm số y x2 5x A B C D Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm: Vậy số giao điểm đồ thị Câu 29 x0 � x3 x ... trình hồnh dộ giao điểm Vậy có giao điểm (Mã 101 – 2020 Lần 2) Số giao điểm đồ thị hàm số y x x với trục hoành A B C D Lời giải Chọn B Ta có hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y x