Chuyên đề về tương giao đồ thị hàm số chương trình toán họcTHPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về tương giao đồ thị của hàm số lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.
Chuyên đề TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác) Câu (Mã 101 2019) (Mã đề 001) Cho hai hàm số ( m tham số thực) có đồ thị ( C1 ) y= x − x − x −1 x + + + x − x −1 x x + y = x + − x + m ( C2 ) Tập hợp tất giá trị ( C2 ) cắt bốn điểm phân biệt [ 2; +∞ ) ( −∞; ) ( 2; +∞ ) A B C Lời giải Chọn A x − x − x −1 x + + + = x+2 −x+m x x +1 Xét phương trình x − x − ⇔ m để ( C1 ) D ( −∞; 2] x − x − x −1 x + + + − x+2 + x =m x − x −1 x x +1 (1) Hàm số x −3 x − + x − x − x −1 x p ( x) = + + + − x+2 + x = x − x −1 x x +1 x −3 + x − x−2 + x −1 x−2 + x −1 x −1 + x x −1 + x x −2 x ≥ −2 x +1 x + x + x < −2 x +1 1 + + 2+ > 0, ∀x ∈ ( −2; +∞ ) \ { −1; 0;1; 2} 2 ( x − 1) x ( x + 1) ( x − 2) p′ ( x ) = 1 + + 2+ + > 0, ∀x < −2 2 ( x − 2) x x − x + ( ) ( ) Ta có nên hàm số y = p ( x) Mặt khác ta có ( −∞; −1) , ( −1;0 ) , ( 0;1) , ( 1; ) , ( 2; +∞ ) đồng biến khoảng lim p ( x ) = x →+∞ Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) lim p ( x ) = −∞ x →−∞ : Do để ( C1 ) ( C2 ) cắt bốn điểm phân biệt phương trình (1) phải có y = p ( x) nghiệm phân biệt Điều xảy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt ⇔ m ≥ Câu (Mã 103 2019) Cho hai hàm số y= x −1 x x +1 x + + + + x x + x + x + y = x + − x − m ( m tham ( C ) , ( C2 ) Tập hợp tất giá trị m để ( C1 ) ( C2 ) cắt số thực) có đồ thị bốn điểm phân biệt ( −2; + ∞ ) ( −∞; − 2] ( −∞; − ) [ −2; + ∞ ) A B C D Lời giải Chọn B Xét phương trình hồnh độ giao điểm x −1 x x +1 x + x −1 x x +1 x + + + + = x+2 − x−m ⇔ + + + − x + + x = −m ( 1) x x +1 x + x + x x +1 x + x + x −1 x x +1 x + f ( x) = + + + − x + + x, x ∈ D = ¡ \ { −3; − 2; − 1; 0} x x +1 x + x + Xét x x +1 x + x −1 x + x + + x + + x + − 2, x ∈ ( −2; + ∞ ) ∪ D = D1 f ( x) = x − + x + x + + x + + x + 2, x ∈ ( −∞; − ) ∪ D = D x +1 x + x + x Ta có 1 1 + + , ∀x ∈ D1 2 x2 + x + x + x + ( ) ( ) ( ) f ′( x) = 1 1 + + + + 2, ∀x ∈ D2 2 2 x ( x + 1) x + x + ( ) ( ) Có Dễ thấy f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ D1 ∪ D2 , ta có bảng biến thiên Hai đồ thị cắt điểm phân biện phương trình phân biệt, từ bảng biến thiên ta có: −m ≥ ⇔ m ≤ −2 Câu (Mã 102 2019) Cho hai hàm số y= số thực) có đồ thị ( ) điểm phân biệt ( −∞;3] ( −∞ ;3) A B C ( 1) có nghiệm x x +1 x + x + + + + x + x + x + x + y = x + − x + m ( m tham ( C2 ) Tập hợp tất giá trị m để ( C1 ) ( C2 ) cắt [ 3; +∞ ) C Lời giải D ( 3; +∞ ) Chọn C Điều kiện x ≠ −1; x ≠ −2; x ≠ −3 x ≠ −4 Ta có phương trình hồnh độ giao điểm x x +1 x + x + + + + = x +1 − x + m x +1 x + x + x + 1 − ÷+ − ÷+ − ÷+ 1 − ÷= x −1 − x + m x +1 x + x + x + 1 ⇔ x − x +1 + − + + + ÷= m x +1 x + x + x + Đặt tập D1 = ( −1; +∞ ) D2 = (−∞; −4) ∪ ( −4; −3) ∪ (−3; −2) ∪ ( −2; −1) 1 1 x ∈ D1 − x + + x + + x + + x + ÷ = m, ⇔ 1 + + + 2 x + − ÷ = m, x ∈ D2 x +1 x + x + x + 1 1 x ∈ D1 3 − x + + x + + x + + x + ÷, f ( x) = 2 x + − + + + , x ∈ D ÷ x +1 x + x + x + Đặt 1 1 + + + x ∈ D1 ÷ > 0, 2 2 ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ÷ ⇒ f ′( x) = 1 1 + + + ÷>0, x ∈ D2 + 2 2 ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ÷ ( x + 1) Vậy hàm số đồng biến khoảng xác định lim f ( x ) = lim f ( x ) = −∞ x →+∞ x →−∞ nên ta có bảng biến thiên ; Do để phương trình có nghiệm phân biệt Câu (Mã 104 2019) Cho hai hàm số y= m ≥ ⇒ m ∈ [ 3; +∞ ) x − x −1 x x +1 + + + x −1 x x + x + y = x + − x − m ( m tham (C ) (C ) (C ) (C ) số thực) có đồ thị Tập hợp tất giá trị m để cắt bốn điểm phân biệt −3; +∞ ) ( −∞; −3) ( −∞; −3] ( −3; +∞ ) A B [ C D Lời giải Chọn B Xét phương trình hồnh độ x − x −1 x x +1 x − x −1 x x +1 + + + = x +1 − x − m ⇔ + + + − x + + x = −m x −1 x x +1 x + x −1 x x +1 x + (1) Số nghiệm (1) số giao điểm x−2 x − + x − x −1 x x +1 F ( x) = + + + − x +1 + x = x −1 x x +1 x + x−2 + x − x −1 + x x −1 + x x + x +1 x + x +1 x +1 −1 ,x > − x+2 x +1 + x + 1, x < −1 x+2 1 + 2+ + , x ∈ ( −1; +∞ ) \ { 0;1} 2 x x − x + x + ( ) ( ) ( ) F ′( x) = + + + + 2, x ∈ ( −∞; −1) \ { −2} 2 2 ( x − 1) x ( x + 1) x + 2) ( Ta có lim F ( x ) = +∞; lim F ( x ) = x →−∞ Mặt khác x →+∞ lim+ F ( x ) = +∞; lim− F ( x ) = −∞; lim+ F ( x ) = −∞; lim− F ( x ) = +∞ x →−2 x →−2 x →−1 x →−1 lim F ( x ) = −∞; lim− F ( x ) = +∞; lim+ F ( x ) = −∞; lim− F ( x ) = +∞ x → 0+ x →0 x →1 x →1 Bảng biến thiên Để phương trình có nghiệm −m ≤ ⇔ m ≥ −3 Câu x2 −1 x2 − x x2 − 4x + x2 − 6x + + + + y = x+2 −x+m m x x −1 x−2 x −3 Cho hai hàm số ( tham số thực) có đồ thị (C1 ) (C2 ) Tính tổng tất giá trị nguyên thuộc khoảng (−15 ; 20) y= tham số m để (C1 ) (C2 ) cắt nhiều hai điểm phân biệt A 210 B 85 C 119 D 105 Lời giải Chọn B x2 −1 x2 − x x2 − 4x + x2 − 6x + + + + = x+2 −x+m x −1 x−2 x−3 Xét phương trình hoành độ giao điểm x x2 −1 x2 − x x2 − 4x + x2 − 6x + ⇔ + + + − x+2 + x = m x x −1 x−2 x −3 (1) Đặt Ta có sau x2 − x2 − x x2 − x + x2 − x + + + + − x−2 + x x x −1 x−2 x −3 x − − ( x − 2) 1 1 g ′( x) = + + + + + >0 2 x ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) x−2 g ( x) = ( −∞ ; ) , ( ;1) , ( 1; ) , ( ; 3) ( ; + ∞ ) lim g ( x) = −∞ x →−∞ nên hàm số y = g ( x) đồng biến khoảng lim g ( x) = +∞ x →+∞ với x thuộc khoảng Mặt khác ta có Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) năm điểm phân biệt nên (C1 ) (C2 ) cắt năm điểm phân biệt với giá trị m Kết hợp m ∈ { −14; −13; ;18;19} điều kiện m nguyên thuộc (−15; 20) nên Khi tổng tất giá trị m S = 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85 Câu x x +1 x + + + x x −1 x x + y = e + 2020 + 3m ( m tham số thực) có đồ thị lần Cho hai hàm số lượt (C1 ) (C2 ) Có số nguyên m thuộc (−2019; 2020) để (C1 ) (C2 ) cắt y= điểm phân biệt? A 2692 B 2691 C 2690 Lời giải D 2693 Chọn A x x +1 x + + + = e x + 2020 + 3m x x +1 Xét phương trình hồnh độ giao điểm x − x x +1 x + x ⇔ + + − e − 2020 = 3m x −1 x x +1 (1) Đặt g ( x) = x x +1 x + x + + − e − 2020 x −1 x x +1 g ′( x) = − Ta có ( 0;1) 1 − 2− − ex < ( x − 1) x ( x + 1) ( 1; +∞ ) ( −∞; −1) , ( −1;0 ) , với x thuộc khoảng sau nên hàm số y = g ( x) nghịch biến khoảng lim g ( x) = −2017 lim g ( x ) = −∞ x →−∞ x→+∞ Mặt khác ta có Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Do để (C1 ) (C2 ) cắt ba điểm phân biệt phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt Điều xảy đường thẳng y = 3m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) ba điểm phân biệt 3m ≥ −2017 ⇔ m ≥ − Do m nguyên thuộc (−2019; 2020) nên thỏa mãn Câu 2017 ≈ −672,3 m ∈ { −672; −671; ; 2019} Vậy có tất 2692 giá trị m y = ( x + 1) m Tìm tập hợp tất giá trị tham số để đồ thị hai hàm số y= A 11 − + 11 + m 3x − − x cắt điểm phân biệt? ( −∞;0 ) B ( −∞;1] C Lời giải ( −∞;1) D x −1 ( −∞; 2] Chọn C ( 2x + 1) x − = Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x −1 ≥ x ≥ 4 ⇔ x ≠ x ≠ 3 x ≠ x ≠ Điều kiện: Ta có: 11 ( *) ⇔ ( x + 1) x − − 3x − + − x − 11 = m 11 − + 11 + m 3x − − x ( *) 11 [ 1; + ∞ ) \ ; 2 + − 11 3 3x − − x Xét hàm số 4 1; ÷, ; ÷, ( 2; +∞ ) f ( x) Nhận thấy, hàm số liên tục khoảng f ( x ) = ( x + 1) x − − 11 ′ f ′( x) = ( x + 1) x − − + − 11÷ 3x − − x Ta có, = x x − + ( x + 1) 10 x − x + 33 1 33 = + + >0 + + 2 2 x − ( 3x − ) x −1 ( − x) ( 3x − ) ( − x ) 4 ∀x ∈ [ 1; + ∞ ) \ ; 3 Suy ra, hàm số Bảng biến thiên f ( x) đồng biến [ 1; + ∞ ) \ ; 2 3 với Từ bảng biến thiên ta suy đồ thị hai hàm số y = ( x + 1) x −1 y= 11 − + 11 + m 3x − − x m ∈ ( −∞;1] cắt điểm phân biệt Câu y= x −1 x x +1 x + + + + 1− x x x + x + x + y = + 2m ( m tham số thực) có đồ thị lần Cho hai hàm số lượt (C1 ) (C2 ) Tập hợp tất giá trị m để (C1 ) (C2 ) cắt năm điểm phân biệt ( 2; +∞ ) ( −∞; 2] ( −∞; ) ( −∞; ) A B C D Lời giải Chọn C x −1 x x +1 x + + + + = 21− x + 2m x +1 x + x + Xét phương trình hồnh độ giao điểm x ⇔ Đặt x x + x + x + 1− x + + + − = 2m x +1 x + x + x + g ( x) = x x + x + x + 1− x + + + −2 x +1 x + x + x + g ′( x) = Ta có 1 1 + + + + 21− x ln > 2 2 x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( −∞; −3) , ( −3; −2 ) ( −2; −1) , ( −1;0 ) ( 0; +∞ ) nên hàm số với x thuộc khoảng sau y = g ( x) đồng biến khoảng lim g ( x) = x →+∞ và Mặt khác ta có Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) lim g ( x) = −∞ x →−∞ Do để ( C1 ) ( C2 ) cắt năm điểm phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt Điều xảy đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y = g ( x ) điểm phân biệt 2m < ⇔ m < Câu Cho hai hàm số y= x x −1 x−2 + + x − x − x x − x + y = x − x + + m ( m tham số thực) có đồ ( −20; 20 ) để (C1 ) (C2 ) cắt thị (C1 ) (C2 ) Số giá trị m nguyên thuộc khoảng năm điểm phân biệt A 22 B 39 C 21 D 20 Lời giải Chọn C x x −1 x−2 + + = x − x +1 + m Xét phương trình hoành độ giao điểm x − x − x x − x + x x −1 x−2 + + − x + x +1 = m x −1 x − 2x x − 4x + (1) x x −1 x−2 g ( x) = + + − x + x +1 x − x − x x − 4x + Đặt ⇔ g ′( x) = − x2 −1 + − x2 + 2x − + − x2 + x − −1 + ( x − 1) ( x − x ) ( x − x + 3) Ta có − x − − ( x − 1)2 − − ( x − 2)2 − x + − x + = + + + ⇔ x + x + b ≥ 0, ∀x ∈ R ∆ = − 4b ≤ b ≥ Trường hợp 1: Trường hợp 2: phương trình x + x + b = có hai nghiệm x = x = a 2 Ta thay x = vào phương trình x + x + b = có + + b = ⇒ b = −2 Với b = −2 có phương x =1 x2 + x + b = ⇔ x2 + x − = ⇔ x = −2 trình Vì x = a nghiệm phương trình nên a = −2 a = 1 1 ⇒ ab ≥ ab = b ≥ 4 Trong trường hợp 1: suy tích ab nhỏ 1 a = 1, b = ab = , tích bất phương trình cho tương đương với Và với 1 ( x − 1) ( x − 1) x + x + ÷ ≥ ⇔ ( x − 1) x + ÷ ≥ 4 2 thỏa mãn với x ∈ ¡ (nhận) ab = > Trong trường hợp 2: Tích Vậy tích ab nhỏ ab = y = x − − x − 2m m Câu 13 Cho hàm số y = x + x + x + 3m − ( tham số thực) có đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) Tập hợp tất giá trị A m ∈ ¡ B m ∈ ( 2; +∞ ) m để ( C1 ) cắt ( C2 ) m ∈ ( −∞; ) m ∈ [ 2; +∞ ) C D A B C Lời giải D Chọn B BBT hàm số y = f ( x) BBT hàm số BBT hàm số y = f(x) y = f(x) Suy phương trình Câu 54 f (x) =m có nhiều nghiệm (Thanh Tường Nghệ An 2019) Cho hàm số bên phần đồ thị hai hàm số: y = f ( x) y = f ( x) hàm đa thức với hệ số thực Hình vẽ y = f ′( x) f ( x ) = me x 0; 2] Tập giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt [ nửa khoảng A −0.81 [ a; b ) Tổng a + b Nhận xét: Đồ thị hàm y = f ( x) y = f ′( x) gần với giá trị sau đây? B −0.54 C −0.27 Lời giải y = f ′( x) D 0.27 cắt trục hồnh điểm x0 x0 điểm cực trị hàm Dựa vào hai đồ thị đề cho, ( C1 ) đồ thị hàm y = f ( x) ( C2 ) đồ thị hàm Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) f ( x) ⇔ m = f ( x ) = me ex x f ( x) e x ta có: Đặt f ′( x) − f ( x) g′( x ) = ex g ( x) = x = g′( x) = ⇔ f ′( x) = f ( x) ⇔ x = x = x ∈ ( −1;0 ) Dựa vào đồ thị hai hàm số: y = f ( x) y = f ′( x) ta được: x y = me ta có: f ( 2) ≤m ⇔ ∫ −3 f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > ⇔ ∫ g ′ ( x ) dx > ⇔g ( 1) − g ( −3) > ⇒ g ( −3) < g ( 1) − = −3 Xét hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) ; y = x + 1; x = 1; x = có diện tích S < 3 1 ⇔ ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx < ⇔ ∫ g ′ ( x ) dx < ⇔ − g ( 3) + g ( 1) < ⇒ g ( ) > g ( 1) − = y = g ( x) Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên hàm Từ bảng biến thiên suy phương trình Câu 59 g ( x) = (Chuyên Sơn La - Lần - 2019) Cho hàm số vẽ 4m + m Các giá trị tham số m để phương trình A 37 m= B m=± 3 [ −3;3] có nghiệm thuộc đoạn y = f ( x) f ( x) + m=± C Lời giải 2f ( x) + = f ( x) + có ba nghiệm phân biệt 37 D m= = f ( x ) + ⇔ 4m + m = ( f ( x ) + ) f ( x ) + ⇔ ( 2m ) + 2m = ( f ( x ) + ) f ( x ) + + f ( x ) + Xét hàm số f ( t ) = t + t , ∀t ∈ ¡ ⇒ f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ f ( 2m ) = f ( ) f ( x ) + ⇔ 2m = f ( x ) + m > m > ⇔ 4m − ⇔ 4m − f x = ( ) f ( x) = ± 2 4m − Với từ đồ thị ta thấy có nghiệm Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt phương trình f ( x) = − f ( x) = 4m − ⇔ phải có hai nghiệm [ −3;3] liên tục ¡ có đồ thị hình Chọn A 4m3 + m 4m − 37 =4⇔m= , ( m > 0) 2 Câu 60 (THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - 2019) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ f f ( x) ) = m sau Hỏi có giá trị nguyên tham số thực m để phương trình ( có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2] ? A B Chọn D g ( x) = f ( f ( x) ) Đặt g′ ( x) = f ′ ( f ( x) ) f ′ ( x ) C Lời giải f ′( x) = ⇔ g′( x) = ⇔ f ′( f ( x ) ) f ′ ( x ) = f ′ ( f ( x ) ) = Cho x = f ′( x) = ⇔ x = −1 ( hoành độ điểm cực trị ) + f ( x) = f ′( f ( x) ) = ⇔ f ( x ) = −1 + Dựa vào đồ thị, ta có: f ( x ) = ⇔ x = x = a ∈ ( −2; − 1) x = b ∈ ( 1; ) + Khi ; ; f ( x ) = −1 ⇔ x = x = −2 + Khi ; Bảng biến thiên f f ( x) ) = m [ −1; 2] Phương trình ( có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ⇔ −1 < m < m ∈ { 0;1; 2} Mà m số nguyên nên Vậy có giá trị m thỏa đề D Câu 61 (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2019) Cho hàm số số nguyên m để phương trình A g ( g ( x ) + 3) − m = g ( x ) + B g ( x ) = x3 + x − x Có có nghiệm thực phân biệt D 25 C 24 Lời giải Chọn D Đặt t = g ( x ) + ⇒ t = x3 + x − x + ⇒ t ′ = x + x − x=− t′ = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên 289 t ∈ −2; ÷ 27 có tương ứng giá trị x Từ bảng biến thiên suy giá trị t ≥ − ⇔ g ( t ) − m = ( t + 3) + ⇔ g ( t ) − m = ( 2t + 1) g ( g ( x ) + 3) − m = g ( x ) + 1 t ≥ − t ≥ − ⇔ ⇔ 2 m = 2t + t − 8t − 4t − 4t − m = 2t − 3t − 12t − ( 1) Phương trình cho có nghiệm thực phân biệt phương trình 289 t ∈ − ; ÷ 27 phân biệt 289 t ∈ − ; ÷ f ( t ) = 2t − 3t − 12t − 27 Xét hàm số với t = −1 ⇒ f ′( t ) = ⇔ f ′ ( t ) = 6t − 6t − 12 t = Ta có bảng biến thiên ( 1) có nghiệm Từ bảng biến thiên, phương trình cho có nghiệm thực phân biệt Mà Câu 62 m ∈ ( −21; 4] m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −20; −19; −18; ; 4} ⇒ có 25 số nguyên thỏa mãn (THPT Hà Nam - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x2 − x + Có giá trị nguyên tham f ( x ) − ( m − 6) f ( x ) − m + = số m để phương trình có nghiệm thực phân biệt? A B C D Lời giải Chọn D Hàm số f ( x ) = x2 − 4x + Hàm số y= f ( x) Đặt có bảng biến thiên có bảng biến thiên t = f ( x ) ≥ −1( *) Nhận xét: ( ) ( ) t < −1 → x ∈∅ + với t0 = −1; t0 > → nghiệm + với * * ( ) ( *) t0 = → nghiệm + với t0 ∈ ( −1;3) → nghiệm * + với t = −1 ⇔ t − ( m − 6) t − m + = t = m − Phương trình trở thành Yêu cầu tốn suy Câu 63 m∈¢ −1 < m − < ⇔ < m < → m ∈ { 5;6;7} (Sở GD Bạc Liêu - 2019) Cho hàm số f ( x) = x + x −8 x + Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để phương trình phân biệt Tổng phần tử S B −66 A 25 f ( f ( x) − 3) + m = f ( x) − C 105 Lời giải có nghiệm thực D 91 Chọn D Đặt t = f ( x) − * t = f ( x) − ⇔ t = x + x −8 x + (1) x = ⇒ y = −1 g ( x ) = x + x −8 x + ; g ′( x ) = x + x − ; g ′( x) = ⇔ x = − ⇒ y = 316 27 Đặt Bảng biến thiên 2 Số nghiệm hàm phương trình (1) số giao điểm đồ thị số y = g ( x) y = t Dựa vào biến thiên bảng ta có t < −1 + t> 316 27 phương trình (1) có nghiệm t= 316 27 phương trình (1) có nghiệm + t = −1 316 −1 < t < 27 phương trình (1) có nghiệm phân biệt + * Ta có f ( f ( x) − 3) + m = f ( x) − ⇔ f (t ) + m = 2t + (2) t≥− Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm (2) ⇔ f (t ) + m = 4t + 4t + ⇔ m = 4t + 4t + − f (t ) ⇔ m = −2t + 3t + 12t − t = −1 h(t ) = −2t + 3t +12t − ; h′(t) = −6t + 6t + 12 ; h (t ) = ⇔ t = Đặt Bảng biến thiên Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị hàm số y = h(t ) y = m Dựa vào bảng biến thiên ta có + m > 14 phương trình (2) vô nghiệm + m = 14 m < −11 phương trình (2) có nghiệm + −11 ≤ m < 14 phương trình (1) có nghiệm phân biệt Phương trình f ( f ( x) − 3) + m = f ( x) − có nghiệm thực phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt Vậy phương f ( f ( x) − 3) + m = f ( x) − nghiệm phân biệt − có nghiệm thực phân biệt phương trình (2) có hai 316 ≤t< 27 Dựa vào bảng biến thiên ta kết −11 ≤ m < 14 Suy Tổng phần tử S = + + 11 + 12 + 13 = 91 Câu 64 (Quang Trung - Bình Phước - 2019) Cho hàm số thị hình vẽ: Bất phương trình m > f ( 0) − A f ( 2sin x ) − 2sin x < m B m > f ( 1) − f ( x) với f ′( x) liên tục ¡ Hàm số có đồ x ∈ ( 0; π ) m ≥ f ( 1) − C Lời giải S = { 1; 2; ;13} D m ≥ f ( 0) − Chọn B x ∈ ( 0; π ) t ∈ ( 0; ) Đặt 2sin x = t Vì nên t2 t2 f ( t) − < m g ( t) = f ( t) − 2 với t ∈ ( 0; ) Bất phương trình trở thành Đặt max g ( t ) < m t ∈ ( 0; ) Bất phương trình với ( 0;2) g′( t ) = f ′ ( t ) − t Ta có g′( t ) = ⇔ f ′( t ) = t ( 0; ) hoành độ giao điểm đồ Nghiệm phương trình khoảng y = f ′( t ) t ∈ ( 0; ) thị đường thẳng y = t với Dựa vào đồ thị ta nghiệm t = 1∈ ( 0; ) Cũng dựa vào đồ thị ta thấy t ∈ ( 0;1) f ′( t ) > t ⇒ g′ ( t ) > , t ∈ ( 1; ) f ′( t ) < t ⇒ g′ ( t ) < Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max g ( t ) = g ( 1) = f ( 1) − ( 0;2 ) x ∈ ( 0;π ) Vậy bất phương trình cho với Câu 65 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2019) Cho hàm số nguyên tham số m để phương trình A 15 B 16 f ( Đặt f ( x) + m ⇒ t3 = f ( x) + m m > f ( 1) − f ( x ) = x + x − 4m ) C 17 Lời giải t = f ( x ) + m ⇒ f ( x ) + x3 = f ( t ) + t x = f ( t) + m Ta có hệ f ( x ) + m = x3 − m Chọn B t= 2 Có giá trị có nghiệm thuộc D 18 [ 1; 2] ? Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x , x ∈ [ 1; 2] ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 3x > ∀x ∈ [ 1; 2] Xét hàm số h ( x ) = x + x3 , x ∈ [ 1; 2] ⇒ h′ ( x ) = x + x > ∀x ∈ [ 1; ] ⇒ Hàm số g ( x ) đồng biến đoạn [ 1; 2] g ( x ) = g ( t ) ⇔ x = t ⇒ f ( x ) = x3 − m Vì ⇔ x + 3x − 4m = x3 − m ⇒ 3m = x5 + x3 ( 1) ( 1) có nghiệm ⇔ h ( 1) ≤ 3m ≤ h ( ) ⇔ ≤ 3m ≤ 48 ⇔ ≤ m ≤ 16 Phương trình m ∈ Z ⇒ m ∈ { 1; 2;3;4; ;16} Do Vậy có 16 giá trị nguyên tham số m ... Câu 19 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai hàm số , Tổng tất các giá trị nguyên tham số m để đồ thị hai hàm số cắt điểm A 506 B 101 1 C 2020 D 101 0 y = ln Lời giải Chọn A + Phương trình hồnh độ điểm. .. x , - 2, 0, Cũng từ đồ thị thấy nghiệm đôi khác g ¢( x) = Vậy có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt Câu 11 Biết đồ thị hàm số y = f ( x) cho hình vẽ sau Số giao điểm đồ thị hàm số A B ¢ ù ¢¢ y =é... nghiệm Vậy số giao điểm đồ thị hàm số ¢ ù ¢¢ y =é ëf ( x) û - f ( x ) f ( x ) trục Ox Câu 12 y = f ( x) (Chuyên Lam Sơn 20 19) Cho hàm số Phương trình f ( f ( x ) − 1) = A liên tục R có đồ thị hình