Chuyên đề về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chương trình toán họcTHPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.
Chuyên đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC ĐỘ 9-10 ĐIỂM Dạng Định m để GTLN-GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Tìm m để max y f x m a ; a 0 Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm max f x K ; f x k K k ; ; m K mk m K mk K k max m K , m k � � 2 Kiểm tra m k a m a k � � K k max y a � � �� � m � a k ; a K �a ; m K a m a K � � TH1: Để K k a � m �� TH2: Cách 2: Xét trường hợp � �m K a Max m K � � �m K �m k TH1: � �m k a Max m k � � �m k �m K TH2: Dạng 2: Tìm m để y f x m a ; a 0 Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; f x k K k ; ; m K a m ak � m a K �m k a � � y a � � �� �� �� ; m �S1 �S2 m k m K m k m K � � � � Để Vậy Dạng 3: Tìm m để max y f x m ; không vượt giá trị M cho trước max f x K ; f x k K k ; Phương pháp: Trước tiên tìm ; �m k � M max y �M � � � M k �m �M K ; m K � M � Để Dạng 4: Tìm m để y f x m ; Phương pháp: Trước tiên tìm khơng vượt q giá trị a cho trước max f x K ; ; f x k K k ; Để m k �a �m K �a m �a k �m �a K � � y �a � � �� � m K m k � � �� � K m k ; m k �0 �m K �0 m �k � � �m � K Dang 5: Tìm m để max y f x m a ;b đạt Phương pháp: Trước tiên tìm Đề hỏi tìm max f x K ; f x k K k a ;b a ;b m�m K k K k max y � Đề hỏi tìm a;b giá trị y f x m Dạng 6: Tìm m để a ;b Phương pháp: Trước tiên tìm Đề hỏi tìm đạt max f x K ; f x k K k a ;b a ;b m � m K m k �0 � K �m �k Dạng 7: Cho hàm số y f x m Phương pháp: Trước tiên tìm Tìm m để Đề hỏi tìm max y �h.min y h a ;b a ;b max f x K ; y � a ;b giá trị Min max f x k K k a ;b a ;b K m �k m TH1: K m �h k m ������ � m �S1 K m cung dau k m k m �K m k m �h K m ������ � m �S K m cungdau k m TH2: m �S1 �S2 Vậy Dạng 8: Cho hàm số y f x m Phương pháp: Trước tiên tìm BT1: Tìm m để BT2: Tìm m để Câu max f x K ; a ;b f x k K k a ;b y max y � m K m k a ;b a ;b y *max y � m K * m k a ;b a ;b (Đề Tham Khảo 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn y x3 3x m 0; 2 Số phần tử S hàm số đoạn A B C D Lời giải Chọn D Xét hàm số f x x3 3x m , ta có f� x 3x Ta có bảng biến thiên f x : max f x m m TH : m � m Khi 0;2 m � m 1 (loại) �2 m � 2 m0 � m2 2m22 m TH : �m Khi : � max f x m m 0;2 m � m 1 (thỏa mãn) �m � 0 m2 � f x m m m m � max m 0;2 � TH : Khi : m � m (thỏa mãn) max f x m TH 4: m � m Khi 0;2 m � m (loại) Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị f x x 3x m 0;3 lớn hàm số đoạn 16 Tổng tất phần tử S là: A 16 B 16 C 12 D 2 Lời giải Chọn A = � x - = � x = �[ 0;3] [ 0;3] có u � Xét u = x - x + m đoạn � max u = max { u ( 0) , u ( 1) , u ( 3) } = max { m, m- 2, m+18} = m +18 � � [ 0;3] � � u = { u ( 0) , u ( 1) , u ( 3) } = { m, m- 2, m+18} = m - � � [ 0;3] Khi � � � �m +18 = 16 � � � � � � m =- �m +18 � m - M ax f ( x) = max { m - , m +18 } = 16 � � �� � [ 0;3] � �m - = 16 m =- 14 � � � � � � � �m - � m +18 � Suy Do tổng tất phần tử S - 16 Câu xm x ( m tham số thực) Gọi S tập hợp (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số max f x f x 0;1 tất giá trị m cho 0;1 Số phần tử S A B C D Lời giải Chọn B xm f x x liên tục 0;1 Do hàm số max f x f x 0;1 Khi m hàm số hàm nên 0;1 0;1 nên Khi m �1 hàm số đơn điệu đoạn f x + Khi max f x f x f f 1 m f ; f 1 0;1 0;1 dấu f x f ; f 1 + Khi trái dấu 0;1 , � m 1 � max f x max f ; f 1 max �m ; � 0;1 � m 1 m �1 � f f 1 �0 � m( m 1) �0 � � m �0 � TH1: Câu m 1 � m 1 � max f x f x � m 2� 0;1 0;1 � m (thoả mãn) � f f 1 � m( m 1) � 1 m TH2: m �2 �m � � � max f x f x � �m �� m 5 0;1 0;1 2 � � m3 � �2 (không thoả mãn) S Số phần tử (THPT Đơng Sơn - Thanh Hóa 2019) Tìm m để giá trị lớn hàm số y x3 3x 2m 0; 2 nhỏ Giá trị m thuộc khoảng nào? đoạn �3 � �2 � � ; 1� � ;2� 0;1 1;0 � � A B �3 � C D Lời giải Chọn D Xét hàm số y f x x3 x 2m đoạn 0; 2 � x 1� 0; 2 f ' x 3x � � x 1 � Ta có Ta có Suy f 2m f 1 2m f 2m , max f x max 2m ; 2m ; 2m max 2m ; 2m P 0;2 Trường hợp 1: Xét 2m �� �� 2m 1 4m m 1 Pmin � m P 2m �2 m �2 Khi , Suy Trường hợp 2: Xét 2m 2m � 4 4m � m m P 2m 2 Suy Pmin khơng tồn Khi , m Vậy Câu Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tính tổng tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm y x2 2x m số đoạn 1;2 A 1 B C 2 D Lời giải 2x y� x x m y� Ta có , � x max y 1 , y , y 1 Do yêu cầu toán tương đương � max m , m , m max m , m , m � m � m + Trường hợp m �1 , ta có max m , m , m � m � m 4 + Trường hợp m 1 ta có m Vậy tổng giá trị y x2 2x a (THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số ( a tham số ) Tìm a để giá trị 2;1 đạt giá trị nhỏ lớn hàm số đoạn A a B a C a D a Lời giải 2;1 Hàm số cho xác định liên tục đoạn y x x a x 1 a Ta có: t x 1 , x � 2;1 � a � 0; Đặt f t t a 5 t � 0; 4 Lúc hàm số trở thành: với max y max f t max f (0); f (4) max a ; a Nên x�� 2;1� � � t�� 0;4� � � t�� 0;4� � � t�� 0;4� � � a 1 a a 1 a � 2 2 a 1 a � a Đẳng thức xảy max f t 0;4 � � � Do giá trị nhỏ t�� a � Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị x mx m y 1;2 x 1 lớn hàm số Số phần tử tập S A B C D Lời giải Chọn D � x � 1;2 x2 2x x mx m f� x � � � f x y x 2 � 1; 2 � x 1 , x 1 Xét Ta có: Mà f 1 2m 3m �2m 3m � ,f � max y � ; � x� 1;2 3 � � m � 2m max y 2�� x� 1;2 � m � Trường hợp 1: • Với m 3m 17 � 2 (loại) 3m m � 2 • Với (thỏa mãn) � m � 3m � 3m max y 2�� �� x� 1;2 m 10 � � m � � Trường hợp 2: • Với • Với m 2m � 2 (thỏa mãn) m 10 2m 17 � 2 (loại) Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu f x x ax b (HSG Bắc Ninh 2019) Xét hàm số , với a , b tham số Gọi M giá trị 1;3 lớn hàm số Khi M nhận giá trị nhỏ được, tính a 2b A B C 4 D Lời giải f x x ax b 1;3 Xét hàm số Theo đề bài, M giá trị lớn hàm số �M a b �M �f 1 � � �M �f 3 ۳ �M 3a b � � �1 a b M�f 1 �M 4M a b 3a b a b Suy � �1 a b 3a b (1 a b) 4M M a b 3a b 1 a b Nếu M điều kiện cần a b , 3a b , �1 a b 3a b 1 a b �a 2 �� �� a b 3a b 1 a b 2 1 a b dấu � �b 1 a 2 � � f x x2 x 1;3 Ngược lại, �b 1 ta có, hàm số g x x2 2x 1 1;3 Xét hàm số xác định liên tục � � g x x g x � x 1� 1;3 ; � M max g 1 ; g 3 ; g 1 M giá trị lớn hàm số f x 1;3 a 2 � � Vậy �b 1 Ta có: a 2b 4 =2 Câu y x3 x m2 1 x 27 Cho hàm số nhỏ A 26 Giá trị lớn hàm số đoạn B 18 C 28 3; 1 có giá trị D 16 Lời giải Chọn B Xét u x3 x m 1 x 27 đoạn 3; 1 x x m2 0, x ta có: u� A max u u 1 26 m a u u 3 3m 3; 1 3;1 Do ; Do M max y max 26 m , 3m 3;1 4M �3 26 m2 3m2 �72 Vậy M �18 Dấu xảy 26 m 3m 18 � m �2 Câu 10 (Sở Quảng Nam - 2018) Có giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y x2 2x m 2;1 đoạn ? A B C D Lời giải f x x 2x m f� x 2x , f � x � x 1 Do có max x x m max m ; m ; m 2;1 max y m5 m 1 Ta thấy m m m với m ��, suy 2;1 �m � � max y m m �m � m 2;1 Nếu � � �m � max y m m �m � m 2;1 Nếu � m � 1; 5 Vậy Câu 11 (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị y x3 x x m 2; tham số m cho giá trị lớn hàm số đoạn 16 Số phần tử S A B C D Lời giải 2; 4 Xét hàm số đoạn x 1 � f� x � � x (thỏa mãn) f� 3x x ; � f 2 2 m; f 1 m; f 3 27 m; f 20 m f x x 3x x m � f x m 27; max f x m � max f x max m 27 ; m 2;4 +) Trường hợp 1: Nếu 2;4 m 27 �m * 2;4 m 11 � � max f x m � m 16 � � 2;4 m 21 Đối chiếu điều kiện * � m 11 � +) Trường hợp 1: Nếu m 27 m ** m 43 � � max f x m 27 � m 27 16 � � 2;4 m 11 (Không thỏa mãn điều kiện ** ) � S 11 � S Vậy có phần tử Câu 12 (Chuyên Hạ Long 2018) Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn 19 y x x 30 x m 20 0; 2 hàm số đoạn không vượt 20 Tổng phần tử S A 210 B 195 C 105 D 300 Lời giải Xét hàm số g x 19 x x 30 x m 20 0; 2 đoạn � x 5 � 0; 2 � g� x � �x � x � 0; 2 g� x x3 19 x 30 ; � Ta có Bảng biến thiên g m 20 g m ; � � �g �20 �m 20 �20 � � � max g x �20 g �20 � �m �20 ۣ 0; 2 m 14 � Để m � 0;1; 2; ;14 Mà m �� nên Vậy tổng phần tử S 105 Câu 13 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y sin x 2sin x m A Số phần tử S B B Lời giải D Chọn A Đặt sin x t t � 1;1 � y t 2t m Xét hàm số f t t 2t m có f ' t 2t � t 1� 1;1 max f x max m 3; m 1 m � � 1;1 � f x m 3; m 1 m � f 1 m 3, f 1 m 1;1 � Có Khi m � ۳m m TH1: m 2 l � � max f x m � � m 4 l � m m � m 1 TH1: � m l � max f x m � � m l � � Không tồn m thỏa mãn y Câu 14 x ax a x 1 , với a tham số thực Gọi M , m lần 1; 2 Có giá trị lượt giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho đoạn nguyên tham số a để M �2m ? A 10 B 14 C D 20 Lời giải Chọn B x ax a x4 y a x 1 x 1 Xét hàm số (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y� 3x x x 1 Ta có Bảng biến thiên � x � � y� 0� � x0 � � 16 � � 16 � M max �a ; a � m �a ; a � � � Dựa vào bảng biến thiên suy � 16 16 �M a a � �� 1 1 � m a a a �۳0 a � 2 � 2 Trường hợp 16 13 � 1� M+ �� 2m�+ a 2� a � a 3 � 2� Khi 13 �a � � có giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện Kết hợp điều kiện, ta có 16 a �� 16 a Trường hợp � 1 �M a a � � �m a 16 a 16 � 3 � 61 � 16 � M �� 2m�a ۳ � a � a 3� � 61 16 �a � Suy có giá trị nguyên a thỏa mãn Kết hợp điều kiện ta có � a 0 � 16 � � a � �a 16 � Trường hợp 16 16 35 a � a a � a 3 12 Nếu � M a � 67 � � 16 � + M +� 2m � a 2� a a � � 18 � 3� �m a 16 � 16 67 a � 18 Suy có giá trị nguyên a thỏa mãn điều kiện Kết hợp điều kiện, ta có 16 16 35 a ��a�۳ a a a 3 12 Nếu a 16 � M a � � ۳�� M 2m � �m a � a 16 1� � �a � a 2� � 19 19 �a Suy có giá trị nguyên a thỏa mãn điều kiện Kết hợp điều kiện, ta có Vậy có 14 giá trị nguyên a thỏa mãn điều kiện Câu 15 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên y x 14 x 48 x m 30 tham số thực m cho giá trị lớn hàm số đoạn 0; 2 không vượt 30 Tổng giá trị phần tử tập hợp S bao nhiêu? A 120 B 210 C 108 D 136 Lời giải Chọn D f ( x) x 14 x 48 x m 30 0; 2 Đặt hàm số xác định liên tục x � 0; 2 Với ta có f '( x) � x 28 x 48 � x max f ( x) max f (0) ; f (2) Suy 0;2 10 3 Vậy diện tích lớn hình thang ABCD Câu 14 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình 2018) Một người đàn ơng muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B phía hạ lưu bờ đối diện, nhanh tốt, bờ sơng thẳng rộng km (như hình vẽ) Anh chèo thuyền trực tiếp qua sơng để đến C sau chạy đến B , hay chèo trực tiếp đến B , chèo thuyền đến điểm D C B sau chạy đến B Biết anh chèo thuyền km/ h , chạy km/ h quãng đường BC km Biết tốc độ dòng nước không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền người đàn ơng Tính khoảng thời gian ngắn (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B A B 73 1 C D Lời giải ޣCách 1: Anh chèo thuyền trực tiếp qua sơng để đến C sau chạy đến B 0,5 Thời gian chèo thuyền quãng đường AC : (giờ) 1 Thời gian chạy quãng đường CB : (giờ) Tổng thời gian di chuyển từ A đến B 1,5 (giờ) ޣCách 2: chèo trực tiếp quãng đường AB 73 ޣCách 3: 2 73 h �1 26� 46 x km độ dài quãng đường BD ; độ dài quãng đường CD x2 Thời gian chèo thuyền quãng đường AD x là: (giờ) 8 x Thời gian chạy quãng đường DB là: (giờ) Gọi x km x2 x f x Tổng thời gian di chuyển từ A đến B x2 x f x khoảng 0; Xét hàm số x f� x f� x � x2 x � x x 9 ; Ta có Bảng biến thiên 1 h �1 20� Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn để di chuyển từ A đến B h 1 �1 20� Vậy khoảng thời gian ngắn để người đàn ông đến B Dạng Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Câu (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x �0, y �0, z �1 , a a x y z Biết giá trị lớn biểu thức P xyz b với a, b ��* b phân số tối giản Giá trị 2a b A B 43 C Lời giải Chọn D 2 �x y � �2 z � P xyz �� �.z � �.z z z z �2 � �2 � Ta có: D z z z3 1; 2 Xét hàm số � z (loai ) � � f z z 3z ; f z � � � z2 � Ta có: Bảng biến thiên: f z P� Dựa vào bảng biến thiên, ta có: �z � � 1 x y Pmax � � a 1; b � 2a b � Vậy Câu 2 2 (Chuyên Bắc Giang Nam 2019) Cho x xy y Giá trị nhỏ P x xy y bằng: 1 A B C D Lời giải Chọn A P x xy y x xy y 2 x xy y Xét 2 +nếu y x Do P x suy P 2 +nếu y �0 ta chia tử mẫu cho y ta P x xy y x xy y Đặt Xét t �x � �x � � � � � �y � �y � �x � �x � � � � � �y � �y � x P 1 t t2 y , t t 1 t t2 2t f t � f ' t 1 t t2 1 t t2 t 1 � f ' t � � t 1 � Bảng biến thiên 48 Khi Câu P P 3 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho x , y số thực thỏa mãn x y x y Gọi M , 2 m giá trị lớn nhỏ P x y x 1 y 1 x y Tính giá trị M m 42 B 41 C 43 D 44 A Lời giải Chọn C y �+ x+ x�1 2 y 3 x y x y P x y x 1 y 1 x y x y x y x y Đặt t x y , t � 1; 2 f t 4t 2 Ta có: f� t 4t 20t t 8t t 10t 8t 26 � t � 1; 2 � t2 � f� �� t 1 � 1; 2 t � �2 t t � � t 1 � 1; 2 � f 1 25; f 18 m f t f 18; M max f t f 1 25 1;2 1;2 Suy M m 43 Vậy Câu (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị -2019) Cho x , y thỏa mãn P x y đạt giá trị nhỏ Tính x y 153 A 100 Chọn A B 2313 C 1156 Lời giải x y 25 D 16 biểu thức 3 y x x, y suy 2 Từ Ta có: P x x � � � x � � � x x khoảng Xét hàm 4 P� x x 4x x y P� x � 4x � 3� 0; � � � �, ta có: � x x 4x � � � � � � x � x2 x x2 x 4x � � � 3� 0; � � P x �: � Bảng biến thiên P x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy � 3� 0; � � � 2� 25 x 6 y 10 Với 25 P x y 5, 10 Như 153 x2 y 100 Khi đó, x Câu 2 (Chuyên Hà Tĩnh - 2019) Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn x y xy hàm số �5 x y � Q f � � f t 2t 3t �x y � Tổng Gọi M , m tương ứng GTLN GTNN M m bằng: A 4 B 4 C 4 Lời giải D 4 2 Chọn C 5x y 2 t x xy y � x y x y x y Theo giả thiết, 4 Đặt � � cos x y � � x y cos � � � � � �x y 2sin sin x y � � nên ta đặt � �x cos sin � � �y cos sin � � 0 2 50 Khi đó, t cos 4sin � t sin 3.cos 2t 2sin 1 1 có nghiệm � t � 2t � 3t �0 � �t � Phương trình Q f t 2t 3t 1, t �� ; 2� � � Xét hàm số � t �� 2; 2� � � � f� t � � t �� 2; 2� f� t 6t 6t Cho � � � f f 1 f 5 ; ; ; �M max Q max f t f � 2; 2� � � � �� m Q f t f 5 � � 2; 2� � � � f 5 Vậy M m 4 Câu f x x ax bx cx (Sở Lào Cai - 2019) Cho hàm số Biết đồ thị hàm số y f x có giao điểm với trục hoành Bất đẳng thức sau đúng? 4 4 a b2 c a b2 c a b2 c � a2 b2 c2 � 3 C D A B Lời giải Chọn C x ax bx cx 1 Phương trình hồnh độ giao điểm Nhận xét x nghiệm Với x �0 phương trình trở thành 1� 1 � ax bx c � x �0 �x � � x� 2 �3 � 2 2 �x � ax bx c � a b c x x 1 � x� 2 �3 � � � �x � �x � x� � x � 2 � a b c �� x x x2 x2 t2 t 2t t �x�� t � f t , t f ' t x2 t 1 t 1 0, t Bảng biến thiên Câu 2 a b c � y f x Vậy để đồ thị hàm số có giao điểm với trục hồnh x, y (THPT Trần Nhân Tơng 2018) Cho hai số thực thỏa mãn: x3 y xy x xy P x3 y xy 3x 1 x y Tìm giá trị nhỏ 296 15 18 36 296 15 36 9 A B C Lời giải 4 18 D x y 3xy x xy Ta có � 27 x x xy 5 xy xy f t t 2t t � 0; � Xét hàm với f ' t 3t 0t � 0; � 0; � có nên hàm số liên tục đồng biến x và x 3xy Khi ta có 3x xy 5 l Với x với 3 x P x y xy 3x x y x3 y xy x 3 x y x3 y xy 3xy x y x3 y x y 3xy x y x y 2 x y 9x2 5 5 x y x 4x �2 x t� 3x 3x 3x Đặt t x y Mà 5 t� t � f t t 2t t 3t với Khi f � Xét với �4 � 36 296 15 f t �f � � � � � � Do 36 296 15 36 296 15 P� 9 Suy Vậy GTNN P Câu (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho x, y P x y đạt giá trị nhỏ Khi A x2 y 25 32 B x2 y2 17 16 x2 y C Lời giải 25 16 x y D cho biểu thức x2 y2 13 16 5 � y x P 4 x 4x Từ , nên P 0 x x x với Xét hàm số x y P� 4 x 4x ; P� � x2 x � � 5� x �� 0; � � 4� � �� � � 5� x �� 0; � � � � � Bảng biến thiên 52 y Như vậy: P x ; 17 x2 y2 16 Khi Câu (Xuân Trường - Nam Định -2018) Cho x, y hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 1 xy y �1 x y Tìm giá trị lớn biểu thức x y x 2y P x xy y x y ? 7 5 57 A 30 B 30 C 30 D 30 Lời giải xy 1 xy y �1 x y � y xy 1 � � xy y xy y �0 xy y � y xy 1 xy y ��0 � � xy y �0 � xy �y 1 �1 � � � y y �y � x 1 �0 � x y Dấu đạt y , x ۣ y x 2y t 1 t 2 x � 1� t � 0; t 2 � 6 x y x xy y y t t t 1 với � 4� � t 1 � 1� � 8t t � 0; � � 27 4� � t t Ta có với t 1 4t 1 20t 25t � 1� � 8t � t � 0; � � � 2 27 � � t t 729 t t Thật với t2 P � 8t f t 27 6t P x y f� t 16 5t 32 5t 16 27 0 54 t 1 � 1� t �� 0; � � � Khi với �1 � 10 5 t2 P � 8t f t �f � � x 30 , dấu đạt �4 � 27 6t 2, y2 Vậy Câu 10 x y 1 x y (THPT Lê Xoay - 2018) Cho số thực x , y thỏa mãn Giá trị x y 4 7 x y 2 M 3 x y 1 3 x y lớn biểu thức 9476 193 148 A 243 B 76 C D Lời giải Điều kiện x �2; y �3 x y 1 Vì x y � x y 1 x y x y x y �x y x y 1 nên từ (*) suy (*) �8 x y 1 � x y �7 x y �0 � �� x y 1 �4 x y 1 �x y �4 Vì x y �0 nên từ (*) suy x y 1 x y 1 � � �� �� x y �4 x y �3 � � 2 x y �2 x y y � y x � x � x Do nên , , suy Từ ta có x y 4 7x y 2 x y 4 7x y M 3 x y 1 x y �3 x y 1 6 x y Đặt t x y với t 1 �t �7 f 1 2188 243 f t t 1 6t Xét hàm số , ta có t 4 t t f� t ln t 1 ln t � f� t 3t 4 ln � t 1 ln � � �2 ln , t � 3;7 f� t đồng biến 3;7 , mà f � t liên tục 3;7 f � 3 f � nên phương Suy f� t có nghiệm t0 � 3;7 trình t 4 t 148 M 3x y 4 x y 1 27 x y x y � Đẳng thức xảy x , y Suy Câu 11 (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Tìm giá trị nhỏ hàm số 1 y sin x cos x tan x cot x sin x cos x C D 2 Lời giải 1 sin x cos x y sin x cos x tan x cot x sin x cos x sin x cos x sin x.cos x Ta có A 1 B 2 54 2 2� � �t �� ; � �\ 1 sin x.cos x t sin �x � � �, � 2 � , Đặt t sin x cos x y t Suy 1 t t 1 t t 1 g t t t 1 , � t 1 l t 1 � � g� t 2 t 1 t/m t � t 1 t 1 , g � � 2 Xét hàm số g 0, g 0, g 2 Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy Câu 12 ymin y 2 1 (Sở Phú Thọ - 2018) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z xy yz zx �1 1 � x3 y z � � �x y z �bằng: Giá trị nhỏ biểu thức A 20 Ta có: B 25 C 15 Lời giải �x y z �x y z � � � � �xy yz zx �xy z x y z z �z � x y �4 xy � Lại có: Và D 35 4z z2 z Dấu " " xảy x y x y z x y z x y z x y z 3xy x y � x3 y z 43 12 x y z xy x y 64 z z �1 1 � � P x3 y z � � z 12 z 15 z � � � �z z z � �x y z � Ta có: 50 �� z � 2 t 27 Đặt t z z z , với �4 � 50 f t � 3� �t �2 �t �, với 27 Do xét hàm số Ta có Do Câu 13 20 50 � � 0, t �� ; � 27 �nên hàm số f t liên tục nghịch biến t � f 25 đạt x y , z f� t Pmin (Sở Bắc Ninh - 2018) Gọi M , m giá lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y sin 2018 x cos 2018 x � Khi đó: A M , m 1008 B M , m 2018 x cos 2018 x sin x Ta có: y sin 1009 1009 C M , m Lời giải sin x D M , m 1008 1009 yt Đặt t sin x , �t �1 hàm số cho trở thành 1009 f t t1009 t 0;1 Xét hàm số đoạn 1008 f �t 1009.t 1008 1009 t Ta có: 1008 f� t � 1009t1008 1009 t 1009 1 t 1009 1008 1 t � � � � � � 1 t � t �t � t �1 � f � 1008 f 1 f � Mà , �2 � �1 � f t f � � 1008 max f t f f 1 0;1 �2 � Suy 0;1 , m 1008 Vậy M , Câu 14 x y x3 y 3 (Chuyên Long An - 2018) Cho số thực x , y thỏa mãn Tìm giá 2 P x y 15 xy trị nhỏ biểu thức P 80 P 91 A B C P 83 D P 63 Lời giải �x �3 � Điều kiện: �y �3 x y2 Ta có x y �4 � �� x y �0 � x y � x y x y x y �4 x y 1 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: x y x y �2 x y � x y �8 Từ 1 x y � 4;8 ta có 3 xy x 3�۳ y Ta lại có 2 3 x y 15 xy x y xy �4t 21t 63 P x y Đặt t x y suy f t 4t 21t 63 t � 4;8 Xét hàm số , với 56 21 � 4;8 f t f 83 Ta có Do 4;8 � �x �x y �� � x y x3 y 3 �y 3 Do P �83 suy P 83 � f� t 8t 21 � t Câu 15 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hai số thực x , y thỏa mãn: y3 y 2x x x y Tìm giá trị lớn biểu thức P x y A P 10 B P C P D P Lời giải 2 y y 2x x x y � y y y y 1 x x x x � y 1 y 1 1 x f t 2t t x 1 0; � Xét hàm số f� t 6t với t �0 � f t đồng biến 0; � Ta có: 1 � y x � y x Vậy � P x y x x với x �1 �;1 1 x 1 g� x 1 x � x 1 x 1 x g� Ta có: g x Bảng biến thiên : Xét hàm số g x x 1 x max g x suy giá trị lớn P là: �;1 Câu 16 (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2018) Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện: �x xy � �2 x y 14 �0 Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y xy x3 x A B C 12 D Từ bảng biến thiên hàm số g x Lời giải x 3 x xy � y x Theo giả thiết ta có 5x2 x 2x � 3y 14 0 ۣ �1 x x Từ bất phương trình �x xy �x x y 3x �� � xy x �xy x y y � Mặt khác ta có �x � 3 � � x 5x x P y x � � x Thay vào ta �9� 1; � f x 5x � � � x Xét hàm số đoạn �9 � �9� max f � � f f� 1; � � 9� x �0, x �� � 9� �5 � 1; � 1; � � � x 5 � � � � Ta có � � Suy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Câu 17 (Sở Nam Định - 2018) Biết m x x �2 x x x x với a, b �Z Tính giá trị T a b A T B T bất có nghiệm C T phương trình m � �; a b � � D T Lời giải Điều kiện: 1 �x �1 m x x �2 x x x x �m x x �2 x x x x � �t � � t x2 x2 � � �2 x x t Khi đó, bất phương trình trở thành: Đặt t2 t 1 m t + �+ 1 t t m t (vì t � 1; 2 nên t ) t2 t 1 f t � 1; � t � � Xét hàm số t 2t f� 0, t �� 1; � t � 1; � � � t 1 suy hàm số đồng biến � � max f t f 1 2 f t f 1 � 1; � 1; � 2; � � � � � Bất phương trình cho có nghiệm bất phương trình t2 t 1 m max f t m ۣ 2 m� t �� 1; � � 1; � � � � � t có nghiệm � a , b 1 � a b Câu 18 (THPT Nguyễn Ta có 2 x y 2 2018) Cho x, y thực dương thỏa mãn �x y � �x y � P � � � � x y xy x y xy x � �y x � �y Giá trị nhỏ biểu thức 25 23 A B C D 13 Huệ số Lời giải xy x y xy � x y 2 xy 2 2a b Đặt a x y ; b xy ta được: �8b a 2b � 4a 4ab 15b �0 58 x2 y2 x y a � �t � y x b Suy ra: xy Ta có: �x y � �x y � P � � � � 3 x � �y x � t 3t t 4t 9t 12t 18 f t �y Khảo sát hàm số f t 23 t� f t � ta Vậy chọn C với Câu 19 (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho số thực dương x , y thỏa mãn P x 4y trị nhỏ Pmin biểu thức Pmin 34 t� với Pmin 2x y 65 P P 5 C không tồn D Lời giải 5 5 y 2x 2x � x 0 x y Do Từ giả thiết ta có Vì nên 2 10 15 x P x �5 � x x 8 x x � 2x � 0 x � � Ta có với A P� B 15 8 x x 16 x 10 15 x 8 x2 5x Tìm giá 120 x 75 x 160 x 240 x 50 75 x 8 x 5x � � 5� x �� 0; � � � 8� � P� � 120 x 160 x 50 � 120 x 160 x 50 � � 5� P� x �� 0; � � 8 x x Có � � � Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin 60 ... , b tham số Gọi M giá trị 1;3 lớn hàm số Khi M nhận giá trị nhỏ được, tính a 2b A B C 4 D Lời giải f x x ax b 1;3 Xét hàm số Theo đề bài, M giá trị lớn hàm số �M... Từ suy giá trị lớn hàm số Câu [- 1; 2] f ( 1) f� x Đồ thị hàm số y f � x cho có đạo hàm hàm f f 3 f f y f x hình vẽ Biết Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 0;5... tham số thực Gọi M , m lần 1; 2 Có giá trị lượt giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho đoạn nguyên tham số a để M �2m ? A 10 B 14 C D 20 Lời giải Chọn B x ax a x4 y a x 1 x 1 Xét hàm