Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề về cực trị của hàm số chương trình THPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về cực trị của hàm số 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.
Chuyên đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng Tìm m để hàm số đạt cực trị x = x0 y ' ( x0 ) , y '' ( x0 ) Bước Tính y ' ( x0 ) = ⇒ m ? Bước Giải phương trình y '' > → x0 = CT y '' < → x = CD y '' ( x0 ) Bước Thế m vào giá trị Dạng 1.1 Hàm số bậc Câu (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực tham số m để hàm số cực đại x = A m = −1 B m = −7 C m = Lời giải Chọn C y′ = x − 2mx + ( m2 − ) y ′′ = x − 2m Ta có ; y= x − mx + ( m − ) x + 3 đạt D m = 1 y = x − mx + ( m − ) x + 3 Hàm số đạt cực đại x = khi: m = 1( L ) 9 − 6m + m − = m − 6m + = ⇔ ⇔ ⇔ m = ( TM ) 6 − m < m > m > y′ ( 3) = y′′ ( 3) < Vậy m = giá trị cần tìm Câu (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số y = x − 2mx + mx + đạt cực tiểu x = m ∈ { 1;2} A không tồn m B m = ±1 C m = D Lời giải m = y ′ ( 1) = ⇔ 3 − 4m + m = ⇔ ⇔ m = ⇔ − m > m < y ′′ ( 1) > Để x = điểm cực tiểu hàm số 2 Thử lại với m = 1, ta có y = x − x + x + ; y ′ = 3x − x + x = y′ = ⇔ 3x − x + = ⇔ x = Bảng biến thiên: Quan sát bảng biến thiên ta thấy m = thỏa u cầu tốn Câu 3 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − x + mx + đạt cực tiểu x = A m = B m > C ≤ m < Lời giải D < m ≤ Chọn A y′ = x − x + m ; y′′ = x − y ′ ( ) = m = x=2⇔ ⇔ ⇔m=0 > ′′ y > ( ) Hàm số đạt cực tiểu Câu (THPT Đồn Thượng - Hải Dương 2019) Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x − mx + ( m − ) x + 3 đạt cực đại x = A m = 1, m = B m = C m = D m = −1 Lời giải ¡ Tập xác định 2 Ta có y′ = x − 2mx + m − 4, y′′ = x − 2m Để hàm số y= x − mx + ( m − ) x + 3 đạt cực đại x = m = y′ ( 3) = m − 6m + = ⇔ ⇔ m = ⇔ m = y′′ ( 3) < 6 − 2m < 3 < m Câu (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Có bao y = x3 − mx + ( m − m + 1) x + đạt cực đại x = A B C Lời giải Chọn C y ' = x − mx + m − m + y '' = x − 2m nhiêu số thực m để hàm số D y ' ( 1) = m − 3m + = m = ∨ m = ⇔ ⇔ ⇔m=2 m > − m < y '' < ( ) Hàm số đạt cực đại x = nên ta có y '' = x − ⇒ y '' ( 1) = −2 < Thử lại với m = ta có Do Hàm số đạt cực đại x = Câu (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x − mx + ( m − ) x + 3 đạt cực đại x = A m = 1, m = B m = C m = Lời giải Chọn B Tập xác định ¡ 2 ′′ Ta có y′ = x − 2mx + m − 4, y = x − m Để hàm số y= x − mx + ( m2 − ) x + 3 đạt cực đại x = D m = −1 m = m − 6m + = y′ ( 3) = ⇔ ⇔ m = ⇔ m = y′′ ( 3) < 6 − m < 3 < m Câu (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần - 2019) Tìm tập hợp tất giá trị m để hàm số y = x3 + ( 3m − 1) x + m x − đạt cực tiểu x = −1 { 5;1} { 5} { 1} A B C ∅ D Lời giải Chọn B y′ = x + ( 3m − 1) x + m ⇒ y′′ = x + 6m − Ta có m = f ′ ( −1) = m − 6m + = m = x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m=5 6m − > m > f ′′ ( −1) > Hàm số đạt cực tiểu (THPT Kinh Mơn - 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − mx + ( m + 1) x − đạt cực đại x = −2 ? A m = B m = C Không tồn m D m = −1 Lời giải Chọn D Ta có y′ = x − 2mx + m + Câu Giả sử x = −2 điểm cực đại hàm số cho, y′ ( −2 ) = ⇔ ( −2 ) − 2m ( −2 ) + m + = ⇔ 5m + = ⇔ m = −1 y = x3 + x − Với m = −1 , ta có x = −2 y′ = ⇔ x + x = ⇔ y′ = x + x ; x = Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận m = −1 giá trị cần tìm Câu (Chuyên ĐHSPHN - Lần - 2019) Tập hợp số thực m để hàm số y = x − 3mx + ( m + 2) x − m đạt cực tiểu x = { 1} { −1} A B C ∅ D R Lời giải Chọn C y′ = x − 6mx + m + y ′′ = x − 6m y′(1) = −5m + = m = ⇔ ⇔ ′′ 6 − 6m > m < khơng có giá trị m Hàm số đạt cực tiểu x = y (1) > Dạng 1.2 Hàm số đa thức bậc cao, hàm thức … Câu 10 Câu 11 (Chuyên QH Huế - Lần - 2019) Xác định tham số m cho hàm số y = x + m x đạt cực trị x = A m = −2 B m = C m = −6 D m = Lời giải Chọn A m y′ = f ′ ( x ) = + , ( x > 0) x m f ′ ( 1) = ⇔ + = ⇔ m = −2 Để hàm số đạt cực trị x = Thử lại với m = −2 , hàm số y = x − x có cực tiểu x = , m = −2 thỏa mãn yêu cầu đề (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Tìm tất tham số thực m để hàm số y = ( m − 1) x − ( m − ) x + 2019 A m = đạt cực tiểu x = −1 B m = −2 C m = Lời giải D m = Chọn D Tập xác định: D = ¡ y ′ = ( m − 1) x − ( m − ) x Đạo hàm: m = ⇔ ⇒ y′ ( −1) = ⇔ −4 ( m − 1) + ( m − ) = m = Hàm số đạt cực tiểu x = −1 Với m = , hàm số trở thành y = − x + x + 2019 Dễ thấy hàm số đạt cực đại x = −1 Với m = , hàm số trở thành y = x − x + 2019 Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu x = −1 y = ( m − 1) x − ( m − ) x + 2019 Vậy m = hàm số đạt cực tiểu x = −1 Câu 12 y = f ( x) (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số đạo hàm ( f ' ( x ) = ( x − sin x ) ( x − m − 3) x − − m ) ∀x ∈ ¡ y = f ( x) nguyên m để hàm số đạt cực tiểu x = ? A B C Lời giải Điều kiện − m ≥ ⇔ −3 ≤ m ≤ TH 1: ≤ m < ta có BTT TH 2: −3 ≤ m < ta có BTT xác định tập số thực ¡ có ( m tham số) Có giá trị D TH 2: m = ta có BTT Từ suy −3 ≤ m < ⇒ có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 13 (Mã 101 - 2018) Có giá trị nguyên tham số m y = x8 + ( m − ) x5 − ( m − ) x + đạt cực tiểu x = ? A Vô số B C D Lời giải Chọn D y = x8 + ( m − ) x5 − ( m − ) x + ⇒ y ′ = x + ( m − ) x − ( m − ) x Ta có y′ = ⇔ x x + ( m − ) x − ( m − ) = ( để hàm số ) x = ⇔ g ( x ) = x + ( m − ) x − ( m − ) = g ( x ) = x + ( m − ) x − ( m2 − ) g ′ ( x ) = 32 x + ( m − ) Xét hàm số có g′ ( x) = g ( x) = Ta thấy có nghiệm nên có tối đa hai nghiệm g ( x) = + TH1: Nếu có nghiệm x = ⇒ m = m = −2 g ( x) Với m = x = nghiệm bội Khi x = nghiệm bội y′ y′ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = nên x = điểm cực tiểu hàm số Vậy m = thỏa ycbt x = g ( x ) = x − 20 x = ⇔ x = Với m = −2 Bảng biến thiên Dựa vào BBT x = không điểm cực tiểu hàm số Vậy m = −2 không thỏa ycbt g ( ) ≠ ⇔ m ≠ ±2 ⇔ g ( 0) > + TH2: Để hàm số đạt cực tiểu x = ⇔ m − < ⇔ −2 < m < m ∈ { −1;0;1} Do m ∈ ¢ nên Vậy hai trường hợp ta giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu 14 Quang Trung- Bình Phước 2019) Tất giá trị thực tham số m để hàm số mx +2 đạt cực đại x = là: B m < C Không tồn m D m > Lời giải Chọn D x mx f ( x) = +2 Đặt f ¢( x) = x - mx Ta có: ¢ f ( x) = x ³ " x Ỵ ¡ Khi m = , nên hàm số khơng có cực trị éx = Û ê 3 ê f ¢( x ) = Û x - mx = Û x ( x - m) = ëx = m Khi m ¹ , xét (Chuyên x5 y= A m Ỵ ¡ + Trường hợp m > ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x = + Trường hợp m < ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x = Như vậy, để hàm số đạt cực đại x = m > Câu 15 Có giá trị nguyên m thuộc khoảng m −1 m + y= x + x + m +5 đạt cực đại x = ? A 101 B 2016 C 100 Lời giải Chọn B m = ⇒ y = x + ⇒ y′ = 3x3 ⇒ y ′ = ⇒ x = Ta xét: Ta có, bảng xét dấu y′ = x ( −2019; 2019 ) D 10 để hàm số Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x = điểm cực tiểu Suy m = (loại) x1 = m ≠ ⇒ y′ = ( m − 1) x + ( m + ) x ⇒ y ' = ⇒ x2 = − m + m −1 Ta xét: x < x1 Trường hợp 1: xét m > , suy y′ = ( m − 1) x + ( m + ) x3 Ta có, bảng xét dấu Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x = điểm cực tiểu Suy m > (loại) x > x1 Trường hợp 2: −2 < m < , suy y′ = ( m − 1) x + ( m + ) x3 Ta có, bảng xét dấu Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x = điểm cực tiểu Suy −2 < m < (loại) x < x1 Trường hợp 3: m < −2 , suy y′ = ( m − 1) x + ( m + ) x3 Ta có, bảng xét dấu Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x = điểm cực đại Suy m < −2 (nhận) Vậy, tập hợp tất giá trị tham số m thỏa mãn đề m < −2 mà m thuộc khoảng ( −2019;2019 ) Suy ra, số giá trị nguyên m 2016 Câu 16 (Mã 104 - 2018) Có giá trị nguyên tham số m y = x8 + ( m − 3) x5 − ( m2 − ) x + đạt cực tiểu x = ? A B Vô số C D Lời giải Chọn A y = x8 + ( m − 3) x5 − ( m − ) x + ⇒ y′ = x + ( m − 3) x − ( m − ) x Ta có y ′ = ⇔ x x + ( m − 3) x − ( m − ) = ( ) x = ⇔ g ( x ) = x + ( m − 3) x − ( m − ) = g ( x ) = x + ( m − 3) x − ( m − ) g ′ ( x ) = 32 x3 + ( m − 3) Xét hàm số có ′ g ( x) = g ( x) = Ta thấy có nghiệm nên có tối đa hai nghiệm g ( x) = +) TH1: Nếu có nghiệm x = ⇒ m = m = −3 để hàm số g ( x) Với m = x = nghiệm bội Khi x = nghiệm bội y′ y′ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = nên x = điểm cực tiểu hàm số Vậy m = thỏa ycbt x = g ( x ) = x − 30 x = ⇔ x = 15 Với m = −3 Bảng biến thiên Dựa vào BBT x = không điểm cực tiểu hàm số Vậy m = −3 không thỏa ycbt g ( ) ≠ ⇔ m ≠ ±3 ⇔ g ( 0) > +) TH2: Để hàm số đạt cực tiểu x = ⇔ m − < ⇔ −3 < m < m ∈ { −2; −1;0;1; 2} Do m ∈ ¢ nên Vậy hai trường hợp ta giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu 17 (Mã 103 - 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 + ( m − ) x − ( m − 16 ) x + đạt cực tiểu x = A B Vô số C D Lời giải Chọn A y ' = x + ( m − ) x − ( m − 16 ) x3 = x 8 x + ( m − ) x − ( m − 16 ) = x g ( x ) Ta có g ( x ) = x + ( m − ) x − ( m − 16 ) Với g ( ) = ⇔ m = ±4 ● Trường hợp : Với m = ⇒ y ' = x Suy x = điểm cực tiểu hàm số m = −4 ⇒ y ' = x ( x − ) Suy x = không điểm cực trị hàm số g ( ) ≠ ⇔ m ≠ ±4 ● Trường hợp : x = Để hàm số đạt cực tiểu qua giá trị x = dấu y ' phải chuyển từ âm sang dương Với g ( ) > ⇔ −4 < m < Kết hợp hai trường hợp ta −4 < m ≤ m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −3; −2; −1;0;1; 2;3; 4} Do m Vậy có giá trị nguyên tham số thỏa mãn Câu 18 12 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x + ( m − 5) x + ( m − 25) x + đạt cực đại x = ? A B C Vô số D 10 Lời giải Chọn B 11 Ta có y ' = 12 x + 7(m − 5) x + 6( m − 25) x 11 TH1: m = ⇒ y ' = 12 x Khi y ' = ⇔ x = nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu y’ đổi từ âm sang dương, nên x = điểm cực tiểu hàm số,do khơng thỏa mãn, m = loại TH2: m = −5 ⇒ y ' = x (12 x − 70) = ⇒ x = nghiệm bội chẵn, y’ khơng đổi dấu qua x = , m = −5 loại m ≠ ±5 ⇒ y ' = x 12 x + 7(m − 5) x + 6(m − 25) = x g ( x) TH3: g ( x) Với g ( x) = 12 x + 7(m − 5) x + 6(m − 25) , ta thấy x = không nghiệm Để hàm số đạt cực đại x = y’ phải đổi dấu từ dương sang âm qua x = , xảy lim g ( x) < x → 0− ⇔ 6( m − 25) < ⇔ −5 < m < lim g ( x ) < + x→0 m = { −4; −3; ;3; 4} Vì m nguyên nên , có giá trị m thỏa mãn toán y = x + ( + m ) x + ( 16 − m ) x + Câu49 Cho hàm số Gọi S tập hợp gia trị m nguyên dương để hàm số cho đạt cực tiểu x = Tổng phần tử S A 10 B C D Lời giải Chọn C y′ = x + ( + m ) x + ( 16 − m ) x = x ( x + ( + m ) x + 16 − m ) Ta có x = y′ = ⇔ 2 6 x + ( + m ) x + 16 − m = ( *) ( *) có ∆ = ( + m ) ( 49m + ) ∆ > −5 ( + m ) ⇔ < m < : bảng xét dấu y′ sau: Lúc x = điểm cực tiểu ( *) có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 ( x1 < < x2 ) , ta có bảng Trường hợp 2: 16 − m < ⇔ m > : xét dấu y′ sau: Câu 19 Từ suy x = điểm cực đại (không thỏa mãn) ( *) có nghiệm nghiệm âm, lúc x = nghiệm bội Trường hợp 3: đạo hàm nên điểm cực trị Vậy có ba giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu toán 1, 2, Tổng phần tử S (Mã 102 - 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 1) x − (m2 − 1) x + đạt cực tiểu x = 0? A B C Vô số Lời giải D Chọn B ( ) = x x + ( m − 1) x − ( m2 − 1) Ta có: y ' = x + 5(m − 1) x − 4(m − 1) x + x = y' = ⇔ (1) 8 x + ( m − 1) x − m − = *Nếu m = y ' = x , suy hàm số đạt cực tiểu x = x = x = ⇔ x = y' = ⇔ , x = nghiệm bội chẵn nên 8 x − 10 x = *Nếu m = −1 khơng phải cực trị g ( x) = x + ( m − 1) x − m − *Nếu m ≠ ±1 : x = nghiệm bội lẻ Xét Để x = lim g ( x) = −4(m − 1) > ⇔ m − < ⇔ −1 < m < Vì m nguyên nên điểm cực tiểu x →0− có giá trị m = Vậy có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu x = m = m = ( ) ( ) Dạng Tìm m để hàm số có n cực trị g Hàm số có n cực trị Û y¢= có n nghiệm phân biệt g Xét hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d : ìï a ¹ ï í ïï b - 3ac > + Hàm số có hai điểm cực trị ïỵ + Hàm số khơng có cực trị y¢= vơ nghiệm có nghiệm kép g Xét hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c + Hàm số có ba cực trị ab < + Hàm số có cực trị ab ³ Câu Câu Biết hàm số A ab £ y = ( x + a ) +( x + b) - x B ab < có hai điểm cực trị Mệnh đề sau đúng? C ab > D ab ³ Lời giải Chọn C y = x + ( a + b ) x + 3( a + b ) x + a + b Ta có 2 ¢ y = x + ( a + b) x + 3( a + b ) ¢ Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt Û D ¢= 18ab > Û ab > (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y = mx − 2mx + ( m − 2) x + khơng có cực trị A m ∈ (−∞;6) ∪ (0; +∞) m ∈ [ −6;0] B m ∈ ( −6;0 ) Lời giải Chọn D Ta có y ' = 3mx − 4mx + (m − 2) + Nếu m = ⇒ y ' = −2 < (∀x ∈ ¡ ) Nên hàm số khơng có cực trị C m ∈ [ −6;0 ) D x = → y = y′ = x3 − x = ⇔ x = ±1 → y = Ta có Bảng biến thiên A ( 0; ) Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Nhận xét ∆ABC cân A Vì Câu S= , B ( −1;1) C ( 1;1) , 1 y A − yB xC − xB = 1.2 = 2 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Tìm m đề đồ thị hàm số y = x − 2mx + có ba điểm cực trị A ( 0; 1) , B, C thỏa mãn BC = 4? A m = B m = C m = ±4 D m = ± Lời giải D = ¡ Tập xác định: x = y ' = x3 − 4mx = ⇔ x = m Hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ m > A ( 0;1) , B m ; − m + , C − m ; − m + Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số: BC = ⇔ 4m = 16 ⇔ m = (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số ( Câu ) ( ) y = x + 2mx + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 1 m= m=− 9 A B m = C D m = −1 Lời giải Chọn D Hàm số y = x + 2mx + có tập xác định: D = ¡ x = y ' = x3 + 4mx ; y ' = ⇔ x3 + 4mx = ⇔ x ( x + m ) = ⇔ x = −m ( ∗) Ta có: ( ∗) có nghiệm phân biệt khác Hàm số có cực trị phương trình ⇔ −m > ⇔ m < A ( 0;1) ; B − − m ;1 − m ; C −m ;1 − m Vậy tọa độ điểm là: uuur uuur AB = − − m ; − m ; AC = − m ; − m Ta có uuur uuur A ⇒ AB AC = ⇔ − m + m2 m2 = ⇔ − m + m4 = ⇔ m + m = Vì ∆ABC vng cân ⇔ m = −1 ( m < ) Vậy với m = −1 hàm số có cực trị tạo thành tam giác vuông cân ( Câu ) ( ( ) ) ( ) y = x4 − 2mx2 (Mã 105 -2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A < m< B m> C < m< D m< Lời giải Chọn A Tập xác định D = ¡ − m m −m2 x = ′ y = ⇔ x − m x = ⇔ y′ = 4x3 − 4mx x = m Ta có Hàm số có ba điểm cực trị m> Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị O ( 0;0) , A ( m; −m2 ) , B( − m; −m2 ) 1 S∆OAB = OH AB = m2.2 m = m2 m < ⇔ < m< 2 Do Câu 2 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Cho hàm số y = x − 2mx − 2m + m có D ( 0; −3) đồ thị (C) Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD hình thoi với m Số thuộc khoảng sau đây? 1 9 m ∈ ; ÷ 2 5 A 9 m∈ ;2÷ 5 B 1 m ∈ −1; ÷ 2 C Lời giải D m ∈ ( 2;3 ) Chọn A Tập xác định: D = ¡ x = y ' = x − 4mx ⇒ y ' = ⇔ x = m Ta có Hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ m > A ( 0; −2m2 + m4 ) B ( ) m ; m − 3m ; Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: ; C − m ; m − 3m ⇒ I ( 0; m − 3m ) Gọi I trung điểm BC Vì A, D ∈ Oy , B C đối xứng qua Oy nên tứ giác ABCD hình thoi ⇔ I trung điểm AD ( ) ⇔ ( m − 3m ) = −2m + m − ⇔ m − 4m + = m2 = m = ±1 m = m >0 ⇔ ⇔ → m = m = m = ± Câu (THPT Lê Quy Đôn Đà Nẵng 2019) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị y = x − ( m + 1) x + m hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Số phần tử tập hợp S A B C D Lời giải 2 y = x − ( m + 1) x + m ⇒ y ' = x − ( m + 1) x = x ( x − m − 1) • • Hàm số có điểm cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ x − m − = có nghiệm phân biệt khác ⇔ −m − > ⇔ m < −1 x = − m +1 y ' = ⇔ x = x = m +1 Khi đó: • Giả sử A, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm số ( ) ( ) ⇒ A − m + 1; − 2m − , B ( 0; m ) , C m + 1; − 2m − uuur uuu r 2 ⇒ AB = m + 1; ( m + 1) , CB = − m + 1; ( m + 1) ( ) ( ) m = −1 ⇔ − ( m + 1) + ( m + 1) = ⇔ ⇒m=0 uuu r uuu r ∆ABC vuông B ⇔ AB.CB = m = Câu y = x − 2mx + ( 1) (THPT Đồn Thượng - Hải Phịng 2019) Cho hàm số Tổng lập phương ( 1) có ba điểm cực trị đường tròn qua điểm giá trị tham số m để đồ thị hàm số có bán kính R = 1+ 5− A B C + D −1 + Lời giải TXĐ: D = ¡ y ' = x − 4mx = x( x − m) Để đồ thị hs (1) có điểm cực trị ⇔ m > 2 Gọi A(0;1), B( m ; −m + 1), C (− m ; − m + 1) điểm cực trị đồ thị hs (1), I (0; − m + 1) trung điểm BC AB AC.BC AI AI BC = ⇔R= 4R AB AC Ta có AI = m , AB = AC = m + m Suy m = (l ) m = ( n) 2m ⇔ = ⇔ m − 2m + m = ⇔ m = −1 − (l ) m+m −1 + ( n) m = Câu (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + m + có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác đều? A { } m ∈ 0; 3; − B { m ∈ 0; 3; − } m∈ C Lời giải { } 3; − D { m ∈ − 3; } Chọn C Đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔ m ≠ A ( 0; m + ) B ( m ; − m4 + m + ) Khi đó, điểm cực trị đồ thị hàm số , , C ( − m ; − m + m + 4) ABC AB = AC nên tam giác ABC cân A , suy tam giác ABC Tam giác có m = ⇔ m + m = m ⇔ m + m = 4m ⇔ m = ± ⇔ AB = BC m ∈ − 3; Kết hợp điều kiện ta { Câu } 2 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + có điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân m ∈ { −1;1} m ∈ { −1;0;1} A m = B C D m ∈ ∅ Lời giải 2 y = x − 2m x + + Cách 1: Hàm số có cực trị ⇔ ab < ⇔ −2 m < ⇔ m ≠ y ′ = x3 − 4m2 x y ′ = ⇔ x − 4m x = ⇔ x ( x2 − m2 ) = y1 = x1 = ⇔ x2 = m ⇒ y2 = − m + y = −m + x3 = −m A ( 0;1) B ( m ; − m + 1) C ( −m ; − m + 1) Giả , , điểm cực trị đồ thị hàm số uuu r sử AB = ( m ; − m ) ⇒ AB = m + m uuur AC = ( − m ; − m ) ⇒ AC = m + m8 ∆ ABC ⇔ Yêu cầu tốn vng cân A m ∈ ¡ AB = AC r uuur ⇔ uuu ⇔ 2 AB AC = −m + m = ⇔ −m ( − m ) = m = (l ) ⇔ m = ( n) m = −1(n) m ∈ { −1;1} Vậy + Cách 2: (Áp dụng cơng thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương) −2m < m ≠ ab < m ≠ ⇔ −8 − 8a = ⇔ m = ⇔ m = (n) = b3 −2m m = −1(n ) ( ) ⇔ Yêu cầu toán m ∈ { −1;1} Vậy Câu 10 (Tốn Học T̉i Trẻ Số 5) Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số y = x + ( m + 1) x − 2m − có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có góc 120° 2 m = −1 − m = −1 − 3 , m = −1 A B m=− 3 C D m < −1 y′ = x + ( m + 1) x = x ( x + m + 1) Ta có Lời giải x = y′ = ⇔ 2 x = −m − Hàm số có ba điểm cực trị y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m + < ⇔ m < −1 Khi − m − ( m + 1) − m − ( m + 1) B− ;− − 2m − 1÷ C ;− − 2m − ÷ ÷ ÷ 4 A ( 0; − 2m − 1) , , điểm , cực trị đồ thị m + ( m + 1) AB = AC = − + 16 nên tam giác ABC cân A Ta thấy Từ giả thiết suy A = 120° m + 1) ( H 0; − − 2m − ÷ ÷ Gọi H trung điểm BC , ta có BH = AH tan 60° ⇔ ( m + 1) 3= − m +1 ( m + 1) m +1 =− ⇔ ( m + 1) = −8 ⇔ m = −1 − 16 ⇔ Câu 11 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham ( C ) hàm số y = x − 2m x + m4 + có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm số m để đồ thị cực trị với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp Tìm số phần tử S A B C D Lời giải Ta có y′ = x − 4m x Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ A ( 0; m + ) B ( m;5 ) C ( −m;5 ) Gọi , , ba điểm cực trị đồ thị hàm số Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ta có ba điểm A , I , O thẳng hàng Mặt khác hai điểm B C đối xứng unhau qua AO nên AO đường kính đường trịn uu r uuu r ngoại tiếp tứ giác ABOC ⇒ AB ⊥ OB ⇔ AB.OB = uuu r uuur ⇔m=± AB = ( m; −m ) OB = ( m;5 ) Trong , Ta có phương trình m − 5m = Câu 12 2 ( C ) Biết đồ thị (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho hàm số y = x − mx − 2m + m có đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A , B , C ABDC hình thoi D ( 0; −3) , A thuộc trục tung Khi m thuộc khoảng nào? 9 m ∈ ; 2÷ 5 A 1 m ∈ −1; ÷ 2 B m ∈ ( 2;3) C Lời giải 1 9 m ∈ ; ÷ 5 D x = ⇒ y′ = ⇔ y′ = x x − m x = m ; Ta có ( ) ( ) A ( 0; m − 2m ) B − m ; m − 3m Với điều kiện m > đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ; ; C m ; m − 3m Để ABDC hình thoi điều kiện BC ⊥ AD trung điểm I BC trùng với trung điểm J AD Do tính đối xứng ta ln có BC ⊥ AD nên cần I ≡ J với m − 2m − J 0; ÷ I ( 0; m − 3m ) , m = 1 9 ⇔ ⇔ m ∈ ; ÷ 4 m= 5 m − m − = m − m ⇔ m − m + = ĐK: ( Câu 13 ) ( Cm ) Tìm (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho hàm số y = − x + 2mx + có đồ thị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông 3 A m = B − m = C m = −1 D m = Lời giải Cách 1: y′ = −4 x3 + 4mx = −4 x ( x − m ) Ta có ⇔ −4 x ( x − m ) = ′ y = Để hàm số có ba cực trị phương trình có ba nghiệm phân biệt có ba ⇒ m > nghiệm phân biệt 2 A ( 0; ) B − m , m + C m , m + Gọi , , ba điểm cực trị uuu ru uurcủa đồ thị hàm số Vì ∆ABC cân A nên ∆ABC vng A ⇔ AB AC = uuur uuur AB = − m ; m AC = m ; m ⇒ −m + m = ⇔ m ( m3 − 1) = ⇒ m = Với , Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh: Ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c tạo ( ( ) ( ) ( ) ) 3 thành tam giác vuông 8a + b = ⇔ 8m − = ⇔ m = Câu 14 C điểm cực trị đồ thị hàm số (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Gọi A , B , y = x - x + Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC A B + éx = Þ A ( 0; 4) ê y ¢= x - x = Û ê êx =- Þ B ( - 1;3) ê ê ëx = Þ C ( 1;3) C - Lời giải D uuu r uuu r uuu r AB = ( - 1; - 1) Þ AB = AC = ( 1; - 1) Þ AC = BC = ( 2;0) Þ BC = ; ; AB + AC + BC S= =1 p = = +1 2 Ta có D ABC vng cân A có , S r= = = 2- p + Vậy ( ) Câu 15 y = x4 + ( m − 4) x2 + m + (C ) (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Cho hàm số có đồ thị m Tìm m để ( Cm ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm 17 17 m= m= B m = A m = C m = D Lời giải x = ′ y = ⇔ y′ = x + ( m − ) x x = − m Ta có ; (C ) Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ m < Khi điểm cực trị m A ( 0; m + ) B , ( − m; m + − ( m − 4) ) , C( − − m; m + − ( m − 4) ( m + 5) = ( m − ) Do O trọng tâm tam giác ABC nên 2 ) m = ⇔ m = 17 Do m < nên m = Câu 16 (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m < B < m < C < m < Lời giải D m > x = ′=0⇔ y x = m Hàm số y = x − 2mx có TXĐ : D = ¡ Ta có y′ = x − 4mx ; ( ) O ( 0;0 ) B − m ; − m m > Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Khi ba điểm cực trị , , 2 C m; − m I ( 0; −m ) Ta giác OBC cân O , với trung điểm BC 1 S ABC = OI BC = −m2 m < ⇔ < m < 2 Theo yêu cầu toán, ta có: ( Câu 17 ) (Liên Trường - Nghệ An -2018) Gọi m0 giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x + 2mx − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích Mệnh đề sau m ∈ ( −1;0] m ∈ ( −2; −1] m ∈ ( −∞; −2] m ∈ ( −1; ) A B C D Lời giải Ta có: y = x + 2mx − ⇒ y′ = x + 4mx x = ⇔ y′ = x = − m (1) 4 Để đồ thị hàm số y = x + 2mx − có ba điểm cực trị y′ = phải có ba nghiệm phân biệt tức m < x = ( 1) ⇔ 2 x = ± − m nên ta gọi A ( 0; −1) , B − − m ; − m − , C − m ; −m − Khi S ∆ABC = AH BC Tam giác ABC cân A nên với H trung điểm BC nên ( H ( 0; −m − 1) Câu 18 ( −m ) 2 (2 y = x − ( m + 1) x + m A m = = m2 −m ) ) = −m Nên: S ∆ABC = m −m 2 Ta có: theo giả thiết S ∆ABC = nên m −m = ⇔ m = −2 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số AH = BC = ) ( có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân B m = −1; m = C m = D m = 1; m = Lời giải Cách 1: Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương y = ax + bx + c có ba điểm cực trị ab < ⇔ m > −1 ⇒ loại B Khi ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân b3 + 8a = ⇔ −8 ( m + 1) + = ⇔ m = y′ = x x − m − Cách 2: Ta có x = y′ = ⇔ x = m + Để đồ thị số có ba điểm cực trị m > −1 ( *) Xét A 0; m , B m + 1; − 2m − , C − m + 1; − 2m − Tọa độ ba điểm cực trị H ( 0; − 2m − 1) Gọi H trung điểm đoạn thẳng BC ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ Khi ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân AH = BH ⇔ m = : T / m ( *) Câu 19 ( m + 1) = m +1 2 (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho hàm số: y = x + 2mx + m + m Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị lập thành tam giác có góc 120° −1 −1 m= m= m= m= 3 3 A B C D Lời giải y′ = x + 4mx = x ( x + m ) ⇔ y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m < Hàm số có ba điểm cực trị x = ⇔ x = ± −m Khi y′ = A ( 0; m + m ) B Ba điểm cực trị đồ thị hàm số , ( −m ; m ) , C( − −m ; m ) H ( 0; m ) Do ∆ABC cân A nên gọi trung điểm BC ∆AHC vng H · · · ∆ABC có góc 120° HAB = HAC = 60° ⇔ HB = AH tan HAB ⇔m=− ⇔ −m = m 3 Bỏ cặp ngoặc (THPT Thái Phiên - Hải Phòng - 2018) Đồ thị hàm số y = x − 2mx − m có ba điểm cực trị đường trịn qua ba điểm cực trị có bán kính giá trị m là: 1+ −1 + m = 1; m = m = 1; m = A B Câu 20 C m = −1; m = −1 + −1 − m = −1; m = 2 D Lời giải y = x − 2mx − m ⇒ y ′ = x − 4mx ( ) ( ) A ( 0; − m ) ; B − m ; −m − m ; C m ; −m − m m > Với ta có ba cực trị abc mAB S ABC = ⇔ m m2 = ⇔ 2m = m + m ⇔ m − 2m + m = 4R m = ( l ) m = 1( n ) ⇔ m = −1 + ( n ) m = −1 − ( l ) Dạng Tìm m để hàm số bậc bậc có cực trị thỏa mãn yêu cầu tốn (Tốn Học T̉i Trẻ Số 5) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm x2 + 2x + y= 2x +1 số A y = x + B y = x + C y = x + D y = − x Câu Lời giải 1 D = ¡ \ − 2 Tập xác định y′ = x2 + x − ( x + 1) x = 1( ⇒ y = ) ⇔ x = −2 ( ⇒ y = −1) , y′ = ⇔ x + x − = Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị M ( 1; ) N ( −2; −1) Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị M , N đồ thị hàm số cho là: y = x + Cách khác: y= u ( x) v ( x) Áp dụng tính chất: Nếu x0 điểm cực trị hàm số hữu tỷ giá trị cực trị tương u ( x0 ) u′ ( x0 ) y0 = = v ( x0 ) v′ ( x0 ) ứng hàm số Suy với tốn ta có phương trình đường thẳng x + x + 3) ′ ( y= = x +1 ′ ( x + 1) qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số Câu y= x − mx − x có cực đại cực tiểu (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện tham số m để hàm số A m < B m > −1 C m < D m > −2 Lời giải Chọn A Điều kiện x ≠ − x2 + x − m x − mx ⇒ y′ = y= 1− x) ( − x Ta có x − mx y= − x có cực đại cực tiểu ⇔ y′ = có hai nghiệm phân biệt đổi dấu Hàm số qua hai điểm ⇔ − x + x − m = có hai nghiệm phân biệt khác ∆′ > 1 − m > ⇔ ⇔ ⇔ m y ( x ) = h′ ( x2 ) = x + m ⇔ 2 g ′ ( x2 ) f ( −1) = −m− 1≠ ⇔ m> −1 ( 1) Khi khác −1 uuu r uuur A x1 ; x1 + m B x2 ; x2 + m OA = x1 ; x1 + m OB x2 ; x2 + m Suy , Suy , uuu r uuu r r OA, OB ≠ ( ) r uuu r uuu OA OB = x1.x2 + ( x1 + m ) ( x2 + m ) = ( 3) ∆OAB vuông O ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ⇔ m + x1.x2 + 2m ( x1 + x2 ) = Kết hợp với định lí Vi-et cho phương trình f ( x ) = m= 0( kh«ngtháam· n( 2) ) ⇔ m= 9( tháam· n( 1) ,( 2) ) ⇒ S = { 9} m2 − 5m− 4m= Vậy tổng tất phần tử S Câu x2 + 2x + m x−2 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Biết đồ thị (với m O ( 0; ) tham số thực) có hai điểm cực trị A, B Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng AB A B C D Lời giải Chọn A ( H) : y = (x y= + 2x + m) ( x − 2) / / ⇔ y = 2x + ⇔ 2x − y + = + Phương trình đường thẳng AB 2.0 − + 2 d ( O; AB ) = = 22 + ( −1) + Khoảng cách Câu ta (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để đồ x + mx + m y= x −1 thị hàm số có hai điểm cực trị A, B Khi ∠AOB = 90° tổng bình phương tất phần tử S bằng: 1 A 16 B C D 16 y′ = ( x + m ) ( x − 1) − x ( x − 1) − mx − m Lời giải x − x − ( m + m2 ) 2 = ( x − 1) Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B y′ = phải có hai nghiệm phân biệt khác ∆′ = + m + m > ⇔ −1 − m − m ≠ ⇔ ∀m ∈ ¡ Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu y A = x + m x − x − ( m + m2 ) x ; x x ; x A B A B A B Gọi hoành độ , nghiệm x x = −m − m Theo định lí Viet ta có x A + xB = ; A B y A = x A + m ; y B = xB + m ∠AOB = 90° ⇒ x A xB + y A yB = ⇔ x A xB + x A xB + 2m ( x A + xB ) + m = ⇔ − m − m + 4m + m = ⇔ −4m − m = ⇔ m = 0; m = − ( ) 1 +− ÷ = 16 Tổng bình phương tất phần tử S bằng: Câu y= x − mx x + có hai điểm cực trị A , (Chuyên KHTN - 2018) Với tham số m , đồ thị hàm số B AB = Mệnh đề đúng? A m > B < m < C < m < Lời giải x + 2x − m y′ = D = ¡ \ { −1} ( x + 1) Ta có có đạo hàm 1 + m > Để hàm số có hai điểm cực trị ta phải có 1 − − m ≠ ⇔ m > −1 D m < x1 + x2 = −2 x x = −m Gọi hai hoành độ cực trị x1 x2 ta có A ( x1 , x1 − m ) B ( x2 , x2 − m ) Khi điểm ⇔ + 4m = ⇔ m = AB = + 4m = y= Câu Câu (Cụm Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hàm số x2 − m x + x− m Biết đồ thị hàm số C ( 4; ) có hai điểm cực trị phân biệt A , B Tìm số giá trị m cho ba điểm A , B , phân biệt thẳng hàng A B C D Lời giải D = ¡ \{ m} Tập xác định x2 − m x + 4 y= = x+ x− m x− m Ta có x = + m y′ = − ⇔ ( x − m ) , ∀x ∈ D , y′ = x = −2 + m B ( + m ; + m ) A ( −2 + m ; −4 + m ) Tọa độ hai điểm cực trị , u u u r uuur AB = ( 4;8 ) AC = ( − m ;6 − m ) , 6 − m = k uuur uuu r AC = k AB ⇔ 6 − m = 8k ⇔ C 4; ( ) 6 − m ≠ 6 − m ≠ (vô nghiệm) Ba điểm A , B , phân biệt thẳng hàng Vậy giá trị m thỏa mãn (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Giá trị tham số m để hàm số cực đại điểm x0 = là: B m = −3 A m = −1 y ' = 1− ( x + m) ; y '' = ( x + m) C m = Lời giải y= D m = x + mx + x+m đạt =0 1 − + m ( ) ⇔ y ' = ( ) x + mx + A B −1 < m < C −2 < m < D m > Điều kiện: x ≠ m x − 2mx + 2m − m − y′ = 2 ( x − m) Đạo hàm Lời giải 2 Để hàm số có cực đại cực tiểu, y′ = ⇔ x − 2mx + 2m − m − = có hai nghiệm phân biệt khác m −1 < m < ∆′ = − m + m + > ⇔ m − 2m.m + 2m − m − ≠ m − m − ≠ ⇔ −1 < m < Ta có: Câu 10 (Chun Nguyễn Dình Triểu - Dồng Tháp - 2018) Để hàm số x = m thuộc khoảng nảo? ( 0;2) ( - 4;- 2) ( - 2;0) A B C D = ¡ \ { - m} TXĐ: x + 2mx + m − ′ y = , y′′ = ( x + m) ( x + m) y= x2 + mx + x +m đạt cực đại D ( 2;4) Lời giải m + 4m + =0 y′ ( ) = m + ( ) ⇔ ⇔ m = −3 y′′ ( ) <