Tổng hợp 180 bài toán hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit lớp 11, 12 và để ôn thi THPQG.
180 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 30 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT 1 5 a3 a2 − a2 ÷ ÷ Câu 1: Cho số thực a > a ≠ Hãy rút gọn biểu thức P = 19 12 12 a a −a ÷ ÷ A P = 1+ a C P = a B P = D P = 1− a Câu 2: Cho số thực dương a, b với a ≠ loga b> Khẳng định sau đúng? 0 < a, b < A 0 < a < < b 0 < a, b < B 1< a, b 0 < b < < a C 1< a, b 0 < b, a < D 0 < b < < a Câu 3: Trong hàm số đây, hàm số nghịch biến tập số thực ¡ ? x π A y = ÷ 3 B y = log1 x ( ( ) C y = logπ 2x + x 2 D y = ÷ e ) x Câu 4: Cho hàm số y = ln e + m Với giá trị m y'( 1) = A m= e B m= −e C m= e D m= ± e Câu 5: Cho a, b, c số thực khác Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = ax, y = bx, y = cx Mệnh đề sau đúng? A a < b < c B c < b < a C a < c < b D c < a < b Câu 6: Mệnh đề sai? log1 x < log1 y ⇔ x > y > A log x < 1⇔ < x < 10 B C ln x ≥ ⇔ x ≥ D log4 x2 > log2 y ⇔ x > y > Câu 7: Rút gọn biểu thức: A P= x8 Câu 8: Rút gọn biểu thức: x9 P= x x B P= P= π π với x > x9 , x6.6 x D P = x2 C P = x x > x8 C P = x D P = x2 P= P= Câu 9: Cho a số thực dương khác Mệnh đề với số dương x, y A B A loga x = loga x + loga y y B loga x = loga(x − y) y C loga x = loga x − loga y y D loga x loga x = y loga y Câu 10: Cho số thực dương a Mệnh đề sau đúng? A log2 C log2 23 a 1 = 1+ log2 a − log2 b 3 b2 23 a 1 = 1+ log2 a + log2 b 3 b Câu 11: Rút gọn biểu thức A P = a2 P = a 3a B B log2 D log2 23 a b 23 a = 1+ log2 a + 3log2 b b2 = 1+ log2 a − 3log2 b với a > P = a2 C 11 P = a6 D P = a3 Câu 12: Cho a số thực dương Mệnh đề 3 A log2 a3 = 3log2 a B log2 a = log2 a C log2 a = loga D log2 a3 = 3loga Câu 13: Cho a số thực dương Viết biểu thức A = a2 a.3 a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? A A= a B A = a3 C 36 A= a D 17 A= a6 a3b2 ÷ kết là: Câu 14: Cho a, b số thực dương Rút gọn biểu thức P = A ab2 B a2b a12b6 C a2b2 D ab Câu 15: Biểu thức T = a3 a với a > Viết biểu thức T dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là: A B C 15 a a a Câu 16: Tìm mệnh đề mệnh đề sau: D 15 a A y = ax với < a < hàm số đồng biến ( −∞;+∞ ) B Đồ thị hàm số y = ax với < a ≠ đồng biến điểm ( a;1) C y = ax với a > hàm số nghịch biến ( −∞;+∞ ) x 1 D Đồ thị hàm số y = ax y = ÷ (với < a ≠ 1) đối xứng với qua trục Oy a Câu 17: Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữa tỷ biểu thức a54 a với a > A B C D a a a a Câu 18: Cho a, b, c số dương a, b khác Khẳng định sau sai? A loga c = loga b.logb c B loga c = logc a C loga b.logb a = D loga c = logb c logb a Câu 19: Cho số dương a,b thỏa mãn: A T = − a ≠ b;a ≠ loga b= Tính B T = C T = T = log a ab b D T = − Câu 20: Cho đồ thị ( C ) : y= 3x Tìm kết luận sai: A Đồ thị (C) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang B Đồ thị (C) nằm phía trục hoành C Đồ thị (C) qua điểm (0;1) D Đồ thị (C) nhận trục tung làm tiệm cận đứng Câu 21: Với a số thực dương bất kì, mệnh đề đúng? A log( 3a) = 3loga B loga = loga C loga3 = 3loga D log( 3a) = loga Câu 22: Cho a số thực dương khác Khi bằng: a3 B a A a C a2 D a Câu 23: Trong hình sau, hình dạng đồ thị hàm số y = ax,0 < a < 1? A (I) B (IV) C (III) D (II) Câu 24: Hàm số nghịch biến tập xác định nó? x e A y = ÷ 2 Câu 25: Rút gọn biểu thức A P = x x x B y = ÷ C y = ÷ − 5 3+ 2 P= x3 x B với x > x8 C x9 P= P= Câu 26: Hàm số sau đồng biến tập xác định nó? x 4 A ÷ 5 x π + 3 D y = ÷ 2π x 2e B ÷ 7 C log1 x D P = x2 D y= lnx a3 I = log ÷ Câu 27: Cho a số thực dương khác Tính a ÷ 64 4 A I = B I = C I = − D I = −3 11 a m m Câu 28: Rút gọn biểu thức A = a với a > 0, ta kết m, n∈ ¥ * n A= a , n −5 a a phân số tối giản Khẳng định sau ? A m2 − n2 = 312 B m2 − n2 = −312 C m2 + n2 = 543 D m2 + n2 = 409 Câu 29: Hàm số đồng biến tập xác định ? x π A y = ÷ 3 x π B y = ÷ 4 x e C y = ÷ π x e D y = ÷ 3 Câu 30: Hàm số sau gọi hàm số lũy thừa ? A y = ln x B y = 3− x C y = ex D x−3 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A 2-B 11-C 12-A 21-C 22-B Câu 1: Chọn A 3-D 13-D 23-D 4-D 14-D 24-D 5-B 15-C 25-A 6-D 16-D 26-D 7-C 17-A 27-A 8-C 18-B 28-A 9-C 19-D 29-A 10-D 20-D 30-D Phương pháp: Sử dụng công thức aα aβ = aα+β , pt : x2 − y2 = ( x − y) ( x + y) Cách giải: Ta có 1 5 2 a a −a ÷ 1 1 − 2 a a 1− a ÷ 1 + a3 ( ) ÷ ÷ 1− a2 a6 ( 1− a) ( 1+ a) P= = = = = 1+ a( a > 0, a ≠ 1) 10 1 19 7 19 + − a12 ( 1− a) a4 a12 − a12 ÷ a4.a12 1− a12 12 ÷ a4 12 ( 1− a) ÷ ÷ Câu 2: Chọn B Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất hàm logarit để giải Cách giải: 0 < a < 0 < b < 0 < a, b < ⇔ Ta có: loga b > ⇔ a > 1< a,b b > Câu 3: Chọn D Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm y = ax, y = loga x a > 1, a < Cách giải: Ta có hàm số y = ax,0 < a < hàm nghịch biến ¡ Hàm số y = ax, a > hàm đồng biến ¡ x x π π > hàm số y = ÷ đồng biến ¡ Với < a = < hàm y = ÷ nghịch biến e 3 e Áp dụng với ¡ Hàm y = log1 x xác định ¡ + = { x∈ ¡ : x > 0} nên nghịch biến ¡ ( ) y( −1) = y( 1) = logπ ( 3) Hàm số y = logπ 2x + có nên khơng thể nghịch biến ¡ 4 Câu 4: Chọn D Phương pháp: Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp hàm y = ln x để tính đạo hàm y' giải hệ y( 1) = để tìm giá trị m Cách giải: ex + m2 ) ' ( Ta có y' = = ex + m2 ex ex + m2 Khi y'( 1) = e1 ⇔ = ⇔ 2e = e+ m2 ⇔ m2 = e ⇔ m= ± e e1 + m2 Câu 5: Chọn B Phương pháp: Dùng tính đồng biết nghịch biến hàm y = dx tính chất hàm y = loga x kết hợp với phương pháp loại trừ để tìm đáp án Cách giải: Đồ thị hàm số y = ax, y = bx điểm x = đồ thị hàm số y = a x nằm đồ thị hàm số y = bx a = a1 > b1 = b Vậy ta có a > b lim y( x) = trường hợp c < Từ Quan sát đồ thị hàm số y = logc x ta thấy x→+∞ c < 1< b < a Vậy đáp án B Một cách khác: ý đáp án A,C,D ta có a < b nên đáp án sai Câu 6: Chọn D Phương pháp: a > x < y Tương tự cho bất đẳng thức lại So sánh logarit: loga x < loga y ⇔ 0 < a < x > y Cách giải: 10 > log x < 1= log10 ⇔ ⇒ < x < 10, mệnh đề A x < 10 1 y > e > ln x ≥ = ln1⇔ , mệnh đề C x ≥ 2 > x2 = log2 x > log2 y ⇔ , mệnh đề D sai x > y > log4 x2 = log Câu 7: Chọn C Phương pháp: m Sử dụng công thức sau để rút gọn: m n x x = xm+ n; xm : xn = x n Cách giải: Ta có: P= x x = 1 x x3 = 1 + x 3= x2 = x Câu 8: Chọn C Phương pháp: m Sử dụng công thức lũy thừa sau: m n n a a = am+ n; am = a n Cách giải: P= 1 x3 x = x3.x6 = 1 + x3 = x (với x > 0) Câu 9: Chọn C Phương pháp: Công thức logarit thương: loga x = loga x − logb y y Cách giải: Câu 10: Chọn D Phương pháp: Áp dụng công thức: loga x = loga x − loga y y loga ( xy) = loga x + loga y loga xb = bloga x Cách giải: log2 23 a b ( ) = log2 23 a − log2 b3 = log2 + log2 a − 3log2 b = 1+ log2 a − 3log2 b Câu 11: Chọn C Phương pháp: m Áp dụng công thức lũy thừa sau: m n n a a = am+ n; am = a n Cách giải: Ta có: 3 11 + 2 3 P = a a = a a = a = a6 Câu 12: Chọn A Phương pháp: Áp dụng công thức logarit: loga bn = nloga b( b > 0) Cách giải: Ta có: log2 a3 = 3log2 Câu 13: Chọn D Phương pháp: m Sử dụng công thức sau để rút gọn: m n n x x = xm+ n; xm = x n Cách giải: Ta có: A= a 1 2 3 a a = a a a 17 = a6 Câu 14: Chọn D Phương pháp: m Sử dụng công thức m x = xm, x = xm− n xn Cách giải: a3b2 ÷ a3b2 = ab P= = = ab 12 a b a b a12b6 ( ) Câu 15: Chọn C Phương pháp: m Sử dụng công thức lũy thừa sau: m n n a a = am+ n; am = a n Cách giải: Ta có: T= a a = a.a3 = a3 4 :5 = a3 = a15 Câu 16: Chọn D Phương pháp: Xét tính sai đáp án, sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số lũy thừa dạng đồ thị hàm số lũy thừa Cách giải: - Hàm số y = ax nghịch biến 0) Cách giải: 1 21 21 3 5+ Ta có: 54 a a = a5.a4 = a = a = a12 = a4 Câu 18: Chọn B Phương pháp: Sử dụng công thức đổi số loga b = logc b , đặc biệt loga b = logb a logc a Cách giải: 10 u − ϕ′ ( u ) + +∞ ϕ ( u) +∞ Từ BBT để (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;1) m > Câu Chọn A 2 2 Phương pháp: Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: ( ax + by ) ≤ ( a + b ) ( x + y ) Cách giải: Với a, b > 1;log a + log b = P2 = ( log a + log b ) =( log 2.log a + log 3.log b ) ≤ ( log + log 3) ( log a + log b ) ≤ ( log + log ) Vậy P ≤ log + log Câu 10 Chọn C Cách giải: Giả sử H ( x0 ;0 ) , x0 ≠ 1, x0 > Khi tọa độ điểm A ( x0 ;log a x0 ) , B ( x0 ;log b x0 ) 3HA = HB ⇔ log a x0 = log b x0 ⇔ 3log a x0 = −4 log b x0 (vì A B nằm khác phía so với Ox) ⇔ log a x0 4 = − ⇔ log a b = − ⇔ 3log a b = −4 ⇔ log a b3 = −4 ⇔ b3 = a −4 ⇔ a 4b = log b x0 3 Câu 11 Chọn D Phương pháp: Sử dụng công thức hàm logarit: log a b = b ;log a ( bc ) = log a b + log a c;log a ÷ = log a b − log a c;log a b n = n log a b log b a c 74 Cách giải: Ta có: log ab b = ⇔ log b ( ab ) = ⇔ ( log b a + log b b ) = ⇔ 3log b a + = ⇔ log b a = − ⇒ log a b = − ⇒ log = a = log ab ÷ b ab a − log ab b = log ab a − log ab b 2 − = − 12 = − 12 = −16 log a ab + log a b 1− Câu 12 Chọn A Phương pháp: Đặt log a c = x;log b c = y;log a b = z ( x, y, z > a, b, c > 1) ⇒ x = yz để tìm GTNN P⇒ m+n Cách giải: Đặt log a c = x;log b c = y;log a b = z ( x, y, z > a, b, c > 1) ⇒ x = yz P = log a ( bc ) + log b ( ac ) + log c ( ab ) = log a b + log a c + 1 + log b c + + ÷ log a b log a c log b c 4 1 4 Cosi = z + x + + y + + = z + ÷+ x + ÷+ y + ÷ ≥ + + = 10 z x y z x y Pmin z = m = 10 = 10 ⇔ x = ⇒ log b c = y = ⇒ ⇒ m + n = 12 n = y = Câu 13 Chọn B Phương pháp: Biến đổi giả thiết để sử dụng hàm đặc trưng Xét tính chất hàm đặc trưng từ tìm mối liên hệ a,b Biến đổi biểu thức T đánh giá T theo đẳng thức Cách giải: 4a + 2b + Ta có: log ÷ = a + 3b − ⇔ log ( 4a + 2b + ) − log ( a + b ) = a + 3b − a+b ⇔ log ( 4a + 2b + ) + ( 4a + 2b + ) = log ( a + b ) + 5a + 5b + ⇔ log ( 4a + 2b + ) + ( 4a + 2b + ) = log ( 5a + 5b ) + ( 5a + 5b ) Xét hàm f ( x ) = log x + x, x > ⇒ f ′ ( x ) = + > 0∀x > ⇒ f ( x ) hàm đồng biến tập xác định x ln Khi đó: f ( 4a + 2b + ) = f ( 5a + 5b ) ⇔ 4a + 2b + = 5a + 5b ⇔ a = −3b + 75 15 5 Xét T = a + b = ( −3a + b ) + b = 10b − 30b + 25 = 10b − ÷ + ≥ 10 2 Vậy Tmin 2 2 a = = ⇔ b = Câu 14 Chọn A Phương pháp: +) Biểu diễn tọa độ đỉnh A,B,C,D theo ẩn x +) Tính diện tích hình chữ nhật theo x sau tìm giá trị lớn diện tích cách dùng hàm số ( −x −x Cách giải: Gọi D ( x;0 ) ⇒ C ( x; e ) ; A ( − x;0 ) ; B − x; e Khi AB = e − x ; AD = x ⇒ S ABCD = x.e − x ) với x > −x −x −x −x Xét hàm số y = x.e , x > ⇒ y′ = 2.e − x.e = 2.e ( − x ) = ⇒ x = 2 2 2 BBT y = x.e − x , x > x y′ y + +∞ − Từ BBT suy max y = y x = ÷= e 2 Câu 15 Chọn D Phương pháp: +) Tìm TXĐ hàm số A xác định A ≥ 0, log a b xác định < a ≠ 1; b > +) Sử dụng điều kiện tính đồng biến nghịch biến hàm số Cách giải: x > x > ⇔ ⇔ x ≥ e nên TXD D = [ e; +∞ ) Ta có: y = log ( ln x ) có đk ln x > x ≥ e log ln x ≥ ) 2( 76 y′ = ( log ( ln x ) ) ′ 2 log ( ln x ) = x.ln x.ln log ( ln x ) > 0∀x > e nên hàm số đồng biến ( e; +∞ ) Câu 16 Chọn D Phương pháp: Dựa vào đánh giá bất đẳng thức log x < x∀x > 1, với hàm số logarit ( ( ( Cách giải: Ta có: A = log 2017 + log 2016 + log 2015 + log ( + log ( + log ) ) ))) > log ( 2017 + log 2016 ) > log ( 2017 + 3) = log 2020 ⇒ A > log 2020 Áp dụng bất đẳng thức log x < x∀x > 1, ta có ( ) 2015 + log 2014 + log ( + log ( + log ) ) < 2015 + 2014 + log ( + log ( + log ) ) < 2015 + 2014 + 2013 + + + = ( ( 2017.2014 Khi log 2016 + log 2015 + log ( + log ( + log ) ) ) ) < log 2016 + 2017.2014 ÷< → A ∈ ( log 2020;log 2021) Vậy A < log ( 2017 + ) = log 2021 Câu 17 Chọn B Phương pháp: - Giải phương trình f ( x ) = - Quanh sát đồ thị hàm số, đánh giá đồng biến, nghịch biến số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = 2x x x x x Cách giải: − 2.3 = ⇔ ( − ) = ⇔ = ⇔ x = log (3 x > 0∀x ) ⇒ Mệnh đề (1) Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: +) Bất phương trình f ( x ) ≥ −1 vô số nghiệm ⇒ Mệnh đề (2) sai +) Bất phương trình f ( x ) ≥ có tập nghiệm ( log 2; +∞ ) ⇒ Mệnh đề (3) sai +) Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số (C) điểm ( log 2;0 ) ⇒ Mệnh đề (4) sai Vây có tất mệnh đề Câu 18 Chọn A Phương pháp: Quy đồng, tính phân số để đưa tính số hạn Cách giải: 77 2017 1 Ta có: 2017! 1 + ÷ + ÷ 1 + ÷ 2017 3 = 2017!.21 ÷ 2 2017 2018 ÷ ÷ 2017 1 1 20182017 = 2017! = 20182017 = a b ⇒ ( a; b ) = ( 2018; 2017 ) 2016 2017 Câu 19 Chọn D Phương pháp: Chú ý quan trọng tốn giá trị ngoặc có tổng 1, từ xác định tổng hai giá trị có giá trị khơng đổi để tính tổng Cách giải: Ta có: f ( x ) = ⇒ f ( x) + f ( 1− x) = 4x 41− x ⇒ f − x = ( ) 4x + 41− x + 4x 41− x 4x 4x + = + = + =1 x 1− x x x x + + + 2.4 + 4 + 2 + 4x 2018 2017 Khi f ÷+ f ÷ = 1; f ÷+ f ÷ = …và f ( 1) = 2019 2019 2019 2019 Vậy S = f ÷+ 2019 f ÷+ + 2019 2018 3029 2018 f + = ÷+ f ( 1) = 2019 Câu 20 Chọn C Phương pháp: Tìm mối liên hệ biến giả thiết, đưa khảo sát hàm số với điều kiện ẩn Cách giải: Ta có: 2 log a = log ⇔ log a = log ⇔ a = ⇔ a = 2 b b b b Đặt t = 4a + b3 = b3 + 256 b3 b3 256 = + + ≥3 b6 2 b Khi P = f ( t ) = t − log t ⇒ f ′ ( t ) = − b3 b3 256 = 12 ⇒ t ∈ ( 12; +∞ ) ( 3) 2 b6 > 0∀t ≥ t.ln ⇒ f ( t ) hàm đồng biến ( 12; +∞ ) ⇒ f ( t ) ≥ f ( 12 ) Vậy giá trị nhỏ P Pmin = 12 − log 12 = 12 − 4.log ( 3.2 ) = ( − log 3) Câu 21 Chọn D Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính ước ngun số Giả sử A = a m bn A có số ước nguyên ( m + 1) ( n + 1) Cách giải: Ta có 6303268125 = 54.35.73.112 Suy 63032681252 có ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) = 720 ước số nguyên Câu 22 Chọn C Phương pháp: Dựa vào giả thiết, đánh giá đưa tổng bình phương, từ biểu thức P đưa hạng tử tổng bình phương áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn 78 2 Cách giải: Vì x + y > ⇒ y = log x2 + y2 f ( x ) hàm số đồng biến tập xác định 2 2 Khi đó: log x2 + y ( x + y ) ≥ log x + y ( x + y ) ⇔ x + y ≥ x + y 13 13 ⇔ x − x + y − y ≤ ⇔ ( x − x + 1) + y − y + ÷ ≤ ⇔ ( x − 1) + y − ÷ ≤ 4 2 2 7 Xét biểu thức P ta có: P = x + y = ( x − 1) + y − + ⇔ ( x − 1) + y − = P − 2 2 2 3 65 2 x − + y − ≤ + x − + y − ( ) ( ) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: ( ) ÷= − 65 Pmin = 65 − 65 + 65 ⇔ P− ÷ ≤ ⇔ ≤P≤ → 2 2 P = + 65 max 2 Câu 23 Chọn C Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, từ đánh giá giá trị lớn biểu thức Cách giải: log x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy ( 1) x + y + xy + 2 (x + y + xy + ) = x − 3x + y − y + xy ⇔ log ( x + y ) − log ⇔ log ( x + y ) + 3x + y = log ⇔ log ( x + y ) + + 3x + y = log ⇔ log ( 3x + y ) + 3x + y = log (x 3 (x Đặt f ( t ) = log t , t > ⇒ f ′ ( t ) = ( ) ⇔ f ( 3x + y ) = + y + xy + ) = x + y + xy (x 2 + y + xy + ) = x + y + xy + + y + xy + ) = x + y + xy + ( ) + > 0∀t > ⇒ f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) t ln f ( x + y + xy + ) ⇔ 3x + y = x + y + xy + ⇔ x + y + xy − 12 x − 12t + = ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = −3 ( y − 1) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ Khi P = 3x + y + 2x + y − 2 x + y − ≤ = 1+ ≤ x+ y+6 x+ y+6 x + y + > 2 x + y − = x = ⇔ Vậy Pmax = y −1 = y =1 79 Câu 24 Chọn C Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, từ đánh giá giá trị lớn biểu thức Cách giải: log x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy ( 1) x + y + xy + 2 (x + y + xy + ) = x − 3x + y − y + xy ⇔ log ( x + y ) − log ⇔ log ( x + y ) + 3x + y = log ⇔ log ( x + y ) + + 3x + y = log ⇔ log ( 3x + y ) + 3x + y = log (x 3 (x Đặt f ( t ) = log t , t > ⇒ f ′ ( t ) = ( ) ⇔ f ( 3x + y ) = + y + xy + ) = x + y + xy (x 2 + y + xy + ) = x + y + xy + + y + xy + ) = x + y + xy + ( ) + > 0∀t > ⇒ f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) t ln f ( x + y + xy + ) ⇔ 3x + y = x + y + xy + ⇔ x + y + xy − 12 x − 12t + = ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = −3 ( y − 1) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ Khi P = 3x + y + 2x + y − 2 x + y − ≤ = 1+ ≤ x+ y+6 x+ y+6 x + y + > 2 x + y − = x = ⇔ Vậy Pmax = y −1 = y =1 Câu 25 Chọn D Phương pháp: Chứng minh ( 3b − 1) ≤ b2 Biến đổi đặt t = log a b, đưa hàm số f ( t ) tìm GTNN hàm số Cách giải: ( 3b − ) ≥ ⇔ 9b − 12b + ≥ ⇔ ( 3b − 1) ≤ 9b ⇔ ⇒ log a ( 3b − 1) ≤ log a b = log a b 8log 2b = a ( 3b − 1) ≤ b2 log 2a b a = ( log a b − 1) Đặt t = log a b, ta có P ≤ 2t + ( t − 1) −1 = f ( t ) 80 TXD: D = ¡ \ { 1} Ta có: f ′ ( t ) = − f ( 3) = 2.3 + 16 = ⇔ ( t − 1) = ⇔ t = 3 ( t − 1) −1 = ⇒ f ( t ) ≤ ⇒ P ≤ 22 Câu 26 Chọn B Phương pháp: Biến đổi f ( − x ) theo f ( x ) Cách giải: ) ( f ( x ) = ( a + 1) ln 2017 x + x + + bx sin 2018 x + ) ( ⇒ f ( x ) − = ( a + 1) ln 2017 x + x + + bx sin 2018 x ( f ( − x ) − = ( a + 1) ln 2017 − x + ( ( −x) ) x + ) − bx sin ) + + bx sin 2018 ( − x ) 2017 = ( a + 1) ln 2017 − x + x + − bx sin 2018 x = ( a + 1) ln ( = − ( a + 1) ln 2017 x + 2018 x + x +1 − bx sin 2018 x x = − ( f ( x ) − 2) = − f ( x ) + ⇒ f ( − x ) = − f ( x ) + ⇒ f ( −5log ) = − f ( 5log ) + = − f ( log5 ) + = −6 + = −2 Câu 27 Chọn C b Phương pháp: Phân tích, sử dụng công thức log a ( bc ) = log a b + log a c; log a ÷ = log a b − log a c c ( < a ≠ 1; b, c > ) Cách giải: Xét hàm số f ( x ) [2;2018] ta có: x2 −1 f ( x ) = ln − ÷ = ln ÷ = ln ( x − 1) = ln ( x ) = ln ( x − 1) − ln x + ln ( x + 1) x x ⇒ f ( ) + f ( 3) + + f ( 2018 ) = ln1 − 2ln + ln + ln − 2ln + ln + + ln 2017 − ln 2018 + ln 2019 = ln1 − ln − ln 2018 + ln 2019 = − ln − ln − ln 2019 + ln + ln 673 = ln − ln + ln 6733 + ln1009 81 a = b = ⇒ ( tm ) ⇒ P = a + b + c + d = 1689 c = 673 d = 1009 Câu 28 Chọn A Phương pháp: Sử dụng công thức log a b = f ( x) = log a f ( x ) − log ( < a, b ≠ 1) , a + b = c , log a log b a g ( x) ( < a ≠ 1, f ( x ) , g ( x ) > ) Cách giải: log b + c a + log c −b a = log a ( c + b ) + log a ( c − b ) 1 + = log a ( c + b ) log a ( c − b ) log a ( c + b ) log a ( c − b ) Có a = c − b = ( c + b ) ( c − b ) ⇒ ( c − b ) = a2 c+b ⇔ log a ( c + b ) + log a ( c − b ) = log a ( c + b ) + log a ⇒ log c +b a + log c −b a = a2 = log a ( c + b ) + − log a ( c + b ) = c + b2 = log c+b a.log c −b a log a ( c + b ) log a ( c − b ) Câu 29 Chọn D Phương pháp: log a b − log a c = log a Sử dụng công thức log a b.log b c = log a c, log a b + log a c = log a ( bc ) , b (giả sử biểu thức cho có nghĩa) c Cách giải: xy = log 12.log12 24 = log 24 log ( 7.24a ) a.log 24 + log 24 a + log 7 log 54 168 = = = = log 24b.12c ( 7.24 a ) b c b c ( ) b.log 24 + c.log 12 log 24 + log 12 log ( 24 12 ) a = a = 7.24a = 168 a = ⇔ b c ⇔ 3b b c c ⇔ 3b + 2c = ⇔ b = −5 ( tm ) 24 12 = 54 3 = 2.3 b + c = c = ⇒ S = a + 2b + 3c = + ( −5 ) + 3.8 = 15 Câu 30 Chọn A Phương pháp: +) Tìm TXĐ hàm số +) Sử dụng công thức log a x + log a y = log a xy ( x, y > 0;0 < a ≠ 1) 82 Cách giải: Đk: 1− x > ⇔ −1 < x < 1+ x f ( a ) + f ( b ) = ln ( − a ) ( − b ) = ln − ( a + b ) + ab 1− a 1− b + ln = ln 1+ a 1+ b + ( a + b ) + ab ( 1+ a) ( 1+ b) a+b 1− a+b + ab = ln + ab − ( a + b ) f ÷ = ln a+b + ab + ( a + b ) + ab 1+ + ab a+b ⇒ f ( a) + f ( b) = f ÷∀a, b ∈ ( −1;1) + ab Câu 31 Chọn D x Phương pháp: log a b = x ⇔ a = b 5 Cách giải: log a b = ⇒ b = a ;log c d = ⇒ d = c 4 + 2 Do b, d số nguyên ⇒ đặt a = x , c = y ( x, y ∈ ¢ ) ⇒ a − c = ( x − y ) ( x + y ) = x = x = x − y = b = = 125 ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ b − d = 93 x + y = y = d = = 32 y = Câu 32 Chọn D Phương pháp: Từ phương trình ( x − 3) + ( y − 1) = x + y = x + y + vào P 2 Phân tích tử theo mẫu rút gọn Đặt ẩn phụ Sử dụng bất đẳng thức Buniacopxki để tìm điều kiện ẩn phụ sử dụng BĐT Cauchy để đánh giá GTNN P Cách giải: Từ giả thiết: x − x + + y − y + = ⇔ x + y = x + y + P= y + xy + x + y − y + xy + x + y + x + y − = x + y +1 x + y +1 P= x + y + xy + x + y + x ( x + y + 1) + y ( x + y + 1) + 4 = = x + 2y + x + y +1 x + y +1 x + y +1 Đặt y = x + y ⇒ P = t + t +1 2 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có ( x − 3) + ( y − 1) ≤ ( + ) ( x − 3) + ( y − 1) = 25 ⇒ −5 ≤ ( x − 3) + ( y − 1) ≤ ⇒ −5 ≤ x + y − ≤ ⇔ ≤ t ≤ 10 83 Áp dụng BĐT Cauchy ta có t + + 4 ≥ ⇔ P ≥ Dấu “=” xảy ⇔ t + = ⇔ t =1 t +1 t +1 x = y = x + y = ⇔ x = 17 Khi 2 ( x − 3) + ( y − 1) = 5 y = − Câu 33 Chọn A Cách giải: a + b = ab ⇔ a + 2ab + b = 9ab ⇔ ( a + b ) = 9ab ⇒ log ( a + b ) = log 9ab ⇔ log 2 ⇔ log ( a + b) = log a + log b a+b = log a + log b ( a, b > ) Câu 34 Chọn B Phương pháp: Khảo sát hàm số khoảng ( 0; +∞ ) tìm x0 để hàm số đạt giá trị lớn Tính giá trị biểu thức P = log e.x0 + log ( e + 1) x0 + Cách giải: y = ( 2e − x ) log x, ( x > ) ⇒ y ′ = − log x + 2e − x 2e − x − x log x ln10 = x ln10 x ln10 + Tìm nghiệm phương trình y ′ = y′ = ⇔ 2e − x − x log x ln10 = ⇔ 2e − x − x log x ln10 = ⇔ 2e − x − x ln x = ⇔ x + x ln x − 2e = ( *) x ln10 Xét f ( x ) = x + x ln x − 2e, x > ⇒ f ′ ( x ) = ln x, f ′ ( x ) = ⇔ x = Dễ dàng kiếm tra x = không nghiệm (*) + Trên khoảng ( 1; +∞ ) hàm số f ( x ) đồng biến ⇒ f ( x ) = có nhiều nghiệm Mà f ( e ) = 0, e ∈ ( 1; +∞ ) ⇒ x = e nghiệm (*) khoảng ( 1; +∞ ) + Trên khoảng (0;1), hàm sô f ( x ) nghịc biến f ( x ) = lim+ ( 2e − x − x ln x ) = −2e < 0, f ( 1) = − 2e < ⇒ f ( x ) ≠ 0∀x ∈ ( 0;1) Mà xlim →0+ x→0 Vậy (*) có nghiệm x = e BBT hàm số y = ( 2e − x ) log x, ( x > ) 84 x y′ y || +∞ e + − e log e Hàm số đạt GTLN x = x0 = e e.x0 e.e 2 + log ( e + 1) = log + log ( e + 1) = log e = x0 + e +1 3ln GT biểu thức P = log Câu 35 Chọn D Phương pháp: Sử dụng phương pháp hàm số Cách giải: log x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy ( 1) x + y + xy + 2 (x + y + xy + ) = x − 3x + y − y + xy ⇔ log ( x + y ) − log ⇔ log ( x + y ) + 3x + y = log ⇔ log ( x + y ) + + 3x + y = log ⇔ log ( 3x + y ) + 3x + y = log (x 3 (x Đặt f ( t ) = log t , t > ⇒ f ′ ( t ) = ( ) ⇔ f ( 3x + y ) = + y + xy + ) = x + y + xy (x 2 + y + xy + ) = x + y + xy + + y + xy + ) = x + y + xy + ( ) + > 0∀t > ⇒ f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) t ln f ( x + y + xy + ) ⇔ 3x + y = x + y + xy + ⇔ x + y + xy − 12 x − 12t + = ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = −3 ( y − 1) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ Khi P = 5x + y + 2x + y − 2 x + y − ≤ = 3+ ≤ x+ y +3 x+ y+3 x + y + > 2 x + y − = x = ⇔ Vậy Pmax = y −1 = y =1 Câu 36 Chọn D Phương pháp: Từ bất phương trình log x2 + y2 + ( x − y + ) ≥ tìm tập hợp điểm biểu diễn điểm ( x; y ) Từ phương trình x + y + x − y + − m = tìm tập hợp điểm biểu diễn điểm ( x; y ) Tìm điều kiện để hai đường trịn tiếp xúc 85 Cách giải: Ta có: x + y + ≥ > 1∀x, y ⇒ log x2 + y + ( x − y + ) ≥ ⇔ x − y + ≥ x + y + ⇔ x + y − x + y − ≤ ⇔ ( x − 1) + ( y + ) ≤ ( 1) 2 Giả sử M ( x; y ) thỏa mãn phương trình (1), tập hợp điểm M hình trịn (C1) tâm I ( 1; −2 ) bán kính R1 = x + y + x − y + − m = ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = m ( ) 2 Với m > (2) phương trình đường trịn tâm J ( −1;1) bán kính R2 = m Để tồn cặp (x;y) thỏa mãn (C1) (C2) tiếp xúc với m = 13 = m + IJ = R1 + R2 ⇔ ⇔ ⇔ 13 = m − JI = R1 − R2 m = ( ( ) 13 + 3) 13 − 2 Câu 37 Chọn A Phương pháp: Số n có k chữ số ⇔ 10k −1 ≤ n ≤ 10k Cách giải: Đặt n = 2017201820162017 Ta có: log n = log 2017201820162017 = 20162017 log 20172018 ⇒ n = 1020162017 log 20172018 ≈ 101472788480,5 ⇒ Có 147278481 chữ số Câu 38 Chọn B Phương pháp: Để hàm đồng biến (1;2) ⇒ y′ ≥ 0∀x ∈ ( 1; ) Cách giải: TXĐ: D = ¡ e3 x −( m −1) e x +1 Ta có: y ′ = ( 3e − ( m − 1) e ) ÷ 2018 3x x ln ÷= 2018 Để hàm đồng biến (1;2) ⇒ y′ ≥ 0∀x ∈ ( 1; ) e3 x −( m −1) e x +1 Ta có: ÷ 2018 > 0;ln ÷ < ⇒ y′ ≥ 0∀x ∈ ( 1; ) 2018 ⇔ 3e3 x − ( m − 1) e x ≤ 0∀x ∈ ( 1; ) ⇔ e x ( 3e x − m + 1) ≤ 0∀x ∈ ( 1; ) ⇔ 3e x − m + ≤ 0∀x ∈ ( 1; ) ⇔ 3e x + ≤ m∀x ∈ ( 1; ) ⇒ m ≥ max ( 3e x + 1) [ 1;2] 2x x f ( x ) = f ( ) = 3e + Xét hàm số f ( x ) = 3e + ⇒ f ′ ( x ) = 6e > 0∀x ∈ ( 1; ) ⇒ max [ 1;2] 86 Vậy m ≥ 3e + Câu 39 Chọn A ) ( 2017 Phương pháp: Đặt g ( x ) = f ( x ) − 2018 = a ln x + x + + bx Chứng minh g ( x ) hàm lẻ ) ( 2017 Cách giải: Đặt g ( x ) = f ( x ) − 2018 = a ln x + x + + bx ) ( ⇒ g ( − x ) = a ln − x + x + − bx 2017 ) ( 2017 = a.ln = −a ln x + x + − bx 2017 = − g ( x ) ÷− bx x + x +1 ⇒ f ( − x ) − 2018 = − ( f ( x ) − 2018 ) ⇔ f ( − x ) = − f ( x ) + 2036 log10 Ta có: f ( log ( ln10 ) ) = f log ÷÷ = f log ÷÷ = f ( − log ( log e ) ) log e log e = − f ( log ( log e ) ) + 4036 = −2019 + 4036 = 2017 Câu 40 Chọn A Cách giải: 20181− x x + 2019 20181− x x + 2019 20181− y x + 2019 = ⇔ = ⇔ = 2 2018 y y − y + 2020 2018 y 2018 x ( y − 1) + 2019 ( y − 1) + 2019 ( ) ⇔ 2018x ( x + 2019 ) = 20181− y ( − y ) + 2019 ( 1) t Xét hàm số y = f ( t ) = 2018 ( t + 2019 ) , t ∈ [ 0;1] y ′ = f ′ ( t ) = 2018t ln 2018 ( t + 2019 ) + 2t.2018t = 2018t ( t ln 2018 + 2t + 2019 ln 2018 ) > 0∀t ∈ [ 0;1] ⇒ Hàm đồng biến đoạn [0;1] Phương trình (1) trở thành: f ( x ) = f ( − y ) ⇔ x = − y ⇔ x + y = 2 2 3 Ta có: P = ( x + y ) ( y + x ) + 25 xy = 16 x y + 12 x + 12 y + xy + 25 xy ( ) = 16 x y + 12 ( x + y ) − xy ( x + y ) + 34 xy = 16 x y + 12 − 36 xy + 34 xy = 16 x y x − xy + 12 1 Với x, y ∈ ( 0;1) ; x + y = 1: ≤ xy ≤ Đặt xy = z , z ∈ 0; , ta có: 4 87 P = g ( z ) = 16 z − z + 12, g ′ ( z ) = 32 z − = ⇒ z = 16 25 191 391 191 25 ; g ÷= ⇒ M = ,m = ⇒ M +m = Mà g ( ) = 12; g ÷ = 16 16 16 16 88 ... gọi hàm số lũy thừa Cách giải: Hàm số lũy thừa hàm số có số mũ số thực 35 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ... Câu 11: Chọn D Phương pháp: D? ??a vào đối xứng hai đồ thị hàm số Cách giải: Đồ thị hàm số Hình xác định cách: +) Từ đồ thị Hình bỏ phần đồ thị bến trái trục Oy +) Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải... D? ?ng tính đồng biết nghịch biến hàm y = dx tính chất hàm y = loga x kết hợp với phương pháp loại trừ để tìm đáp án Cách giải: Đồ thị hàm số y = ax, y = bx điểm x = đồ thị hàm số y = a x nằm đồ