Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số

Bài viết Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng đồ thị hàm số trình bày phương pháp tìm giới hạn của dãy số truy hồi dựa vào đồ thị các hàm số g(x) = x và f (x) là hàm số thu được từ công thức truy hồi của dãy. Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình f (x) = g (x) giao điểm của đồ thị hai hàm số f (x) và g (x). Mời các bạn cùng tham khảo!

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ngô Hùng Vương1 Email: vuongnh@tdmu.edu.vn TĨM TẮT Bài viết trình bày phương pháp tìm giới hạn dãy số truy hồi dựa vào đồ thị hàm số g ( x ) = x f ( x ) hàm số thu từ công thức truy hồi dãy Nếu dãy hội tụ giới hạn nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) (giao điểm đồ thị hai hàm số f ( x ) g ( x ) ) Từ khóa: Cơng thức truy hồi, đồ thị, giới hạn dãy số ĐẶT VẤN ĐỀ Dãy số tìm giới hạn dãy số kiến thức tảng mơn giải tích Tốn học bậc đại học, nhiên khái niệm tính hội tụ giới hạn dãy số trừu tượng khó hiểu Sinh viên, đặc sinh viên năm thứ gặp nhiều khó khăn giải tập có nội dung liên quan đến dãy số cho công thức truy hồi Các tập dạng thường giải theo phương pháp giải tích, nhiên phương pháp địi hỏi sinh viên ngồi hiểu rõ lý thuyết dãy số cần nắm kiến thức toán khác bất đẳng thức phương pháp quy nạp tốn học Do việc tìm phương pháp giải để khắc phục yếu tố cần thiết Bài tham luận trình bày cách giải khác số tốn tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi, gọi phương pháp đồ thị Thông qua đồ thị hàm số g ( x ) = x f ( x ) – hàm số nhận từ công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) , xác định số hạng x1 , x2 , , xn , dãy  x n  Từ biết dãy  x n  có hội tụ hay khơng, dãy hội tụ giới hạn dãy nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) (giao điểm đồ thị hai hàm số f ( x ) g ( x ) ) TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Một ánh xạ từ tập số tự nhiên số (Võ Khắc Thường, 2013) Ký hiệu: x1 , x2 , , xn , vào tập số thực gọi dãy hay viết gọn  x n  Trong ứng với giá trị n số xn gọi số hạng thứ n dãy 650 Ví dụ a) Dãy số  x n  cho cách liệt kê:  xn  = 3; 4; 27;16; 243; 64;  Số hạng thứ dãy x5 = 243 b) Dãy số  x n  cho công thức số hạng tổng quát: x n = thứ dãy x8 = ( − 1) 8 = ( − 1) n n Số hạng x = c) Dãy số  x n  cho công thức truy hồi:   x n +1 = x n − Ta tính được: x = x1 − =  − = x3 = x − =  − = x = x3 − =  − = 14 Định nghĩa Dãy  x n  gọi hội tụ tồn số l  cho     n0 = n0 ( )  n  n0 : x n − l   Khi ta nói dãy  x n  có giới hạn giới hạn l , ký hiệu: lim x n = l hay xn → l n →  (Архипов Г.И nnk., 2004) n→  Định nghĩa Dãy  x n  gọi phân kỳ với c  có hữu hạn phần tử dãy thỏa mãn xn  c Nói cách khác:  c   n0 = n0 ( c )  n  n : x n  c Khi ta nói dãy  x n  có giới hạn vơ ký hiệu sau: lim x n =  hay xn →  n →  (Архипов Г.И nnk., 2004) n→  Định lý (định lý Weierstrass) Dãy  x n  đơn điệu tăng bị chặn hội tụ lim x n = sup  a n  n→  Định lý Dãy  x n  đơn điệu giảm bị chặn hội tụ lim x n = inf  a n  Bạn n→ đọc xem chứng minh định lý tài liệu tham khảo [1] Mệnh đề Nếu dãy  x n  cho công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) hội tụ có giới hạn L L = f ( L ) , nói cách khác L nghiệm phương trình f ( x ) = x ) Chứng minh Dãy  x n  hội tụ có giới hạn L, lim xn +1 = lim xn = L  lim f ( x n ) = L  f ( L ) = L n → n → n → 651 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi đồ thị hàm số  x = c (c  ) Giả sử cần tìm giới hạn dãy truy hồi:   x n +1 = f ( x n ), n = 1, 2, 3, Ta có phương pháp giải toán đồ thị sau: Bước Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy vẽ đồ thị hàm số y = x y = f ( x ) , với f ( x ) hàm số thu từ công thức truy hồi xn +1 = f ( xn ) Bước Tìm giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = x cách giải phương trình f ( x ) = g ( x ) Bước (Xem hình 1) Trên đồ thị hàm số y = f ( x ) lấy điểm M ( x1 ; x2 ) , với x1 = c x2 = f ( x1 ) Từ M ( x1 ; x2 ) kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt đường thẳng y = x N ( x2 ; x2 ) Từ N1 ( x2 ; x2 ) kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) M ( x ; x3 ) Lập lại điểm M ( x2 ; x3 ) ta tìm điểm M ( x3 ; x4 ), M ( x4 ; x5 ), , M n ( xn ; xn +1 ), Bước Dựa vào đồ thị M n tiến gần đến giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = x dãy số cho hội tụ (ví dụ 1, hình 1), ngược lại dãy phân kỳ (ví dụ 2, hình 4) Nếu dãy hội tụ theo mệnh đề giới hạn hồnh độ tung độ giao điểm đồ thị y = f ( x ) y = x (nghiệm phương trình f ( x ) = x ) Vận dụng phương pháp vừa trình bày để giải số tốn sau 3.2 Một số toán minh họa Bài toán Chứng minh hội tụ tính giới hạn dãy số  x n  cho công thức truy hồi:  x1 = −   xn +  x n +1 =  Giải Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) = 652 x +1 g ( x ) = x Hình Sự hội tụ dãy  x n  Áp dụng phương pháp nêu ta xác định điểm M , M , M , M , M , Trên tiến dần tới điểm cố định L (1;1) giao đồ thị f ( x ) điểm M , M , M , M , M , điểm đồ thị hai hàm số g ( x ) f ( x ) , đồng thời phần tử x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , dãy tăng dần đến x L = Vậy dãy hội tụ lim x n = n→  Kiểm tra kết nhận cách giải lại toán phương pháp giải tích Sử dụng phương pháp quy nạp tốn học chứng minh xn  1,  n  Ta có x1 = −  Giả sử xn   xn +1 = xn + Mặt khác từ chứng minh suy xn +1 − xn =  xn + 1+1 = nên dãy bị chặn − xn = − xn  nên dãy  x n  tăng Vậy dãy cho tăng bị chặn nên hội tụ có giới hạn hữu hạn Giả sử lim xn + x +1 l +1 lim xn = l  lim xn +1 = l Vì xn +1 = n  lim x n +1 = n →  l=  l = Như n → n → n→ 2 giống với phương pháp đồ thị, phương pháp giải tích chứng minh lim x n = n→  Dựa vào đồ thị hình ta có lưu ý sau: − Nếu x1  ( −  ;1)  x n  tăng bị chặn x L = , nên dãy hội tụ − Nếu x1  (1;  )  x n  giảm bị chặn x L = , nên dãy hội tụ − Nếu x1 = phần tử dãy  x n  f (1) = 653 1+1 =1 Vậy dãy cho hội tụ x1  lim x n = n→  Qua tốn ta thấy phương pháp tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi đồ thị hàm số vừa chứng minh dãy số hội tụ (phân kỳ) vừa xác định với giá trị x1 dãy hội tụ (phân kỳ), mà phương pháp giải tích khơng tìm Bài toán Cho dãy số  x n  thỏa mãn x1  (0;1), xn +1 = xn (2 − xn ) Chứng minh  x n  hội tụ tìm giới hạn dãy Giải Trong mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) = x (2 − x ) g ( x ) = x Trên trục Ox lấy x1 tùy ý cho x1  (0 ;1) , từ tìm x2 , x3 , x4 , x5 , đồ thị f ( x ) điểm M , M , M , M , M , hình Dễ thấy tiến dần đến giao điểm L (1;1) hai đồ thị hàm số g ( x ) f ( x ) , đồng thời phần tử x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , dãy tăng dần đến x L = Vậy dãy hội tụ lim x n = n→  Hình Sự hội tụ dãy  x n  x1  ( 0;1) Mở rộng toán: Trường hợp x1  (1; ) theo hình ta thấy dãy số  x n  hội tụ lim x n = Tuy nhiên giải toán phương pháp giải tích gặp nhiều khó khăn n→  dãy số cho dãy tăng ( x1  x2 mà x2  x3 ) 654 Hình Sự hội tụ dãy  x n  x1  (1; ) Trường hợp x1 = hay x1 = dãy  x n  hội tụ lim x n = xn = 0,  n  n→ Trường hợp x1  ( − ; 0)  (2;  ) dãy  x n  phân kỳ lim x n = −  (hình 4) n→ Hình Sự phân kỳ dãy  x n  x1  ( − ; 0)  (2;  ) Qua toán ta thấy phương pháp giải đồ thị hàm số chứng minh dãy số không đơn điệu hội tụ hay phân kỳ Bài tập Tính A= + + + Giải Xét dãy  x n  cho công thức truy hồi   x1 =    x n +1 = + xn 655 Ta có x n = + + ( n dấu căn), suy A = lim xn Vậy thay tính A ta cần n → chứng minh dãy  x n  hội tụ tìm giới hạn Tương tự tập mặt phẳng Oxy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) = g ( x ) = x Từ điểm x1 trục Ox ta xác định điểm x2 , x3 , đồ thị f ( x ) điểm M , M , M , + x hình Dễ thấy tiến dần đến điểm cố định L ( 2; ) giao điểm hai đồ thị hàm số g ( x ) f ( x ) , đồng thời phần tử x1 , x2 , x3 , dãy tăng dần đến x L = Vậy dãy hội tụ A = lim x n = n→  Hình Sự hội tụ dãy  x n  x1  (1; ) Kết luận Bài tham luận trình bày phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi dựa vào đồ thị hàm số So với phương pháp giải tích, phương pháp đồ thị có số ưu điểm sau: − Lời giải trực quan, đơn giản − Có tính tồn cục Xác định miền hội tụ (phân kỳ) dãy số  x n  theo số hạng dãy x1 − Có tính tổng qt Chứng minh dãy truy hồi hội tụ phân kỳ mà khơng cần biết dãy có đơn điệu hay không TÀI LIỆU THAM KHẢO Архипов Г.И., Садовничиий В.А., В.Н Чубариков (2004) Лекции по математическому анализу Москва: издательство Дрофа Krainer, Thomas (2016) Recursive sequences in first-year calculus International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 47, 299–314 Võ Khắc Thường (2013) Toán cao cấp – Giải tích tốn học TPHCM: NXB ĐHQG TPHCM 656 ... 3.1 Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi đồ thị hàm số  x = c (c  ) Giả sử cần tìm giới hạn dãy truy hồi:   x n +1 = f ( x n ), n = 1, 2, 3, Ta có phương pháp giải tốn đồ thị. .. luận Bài tham luận trình bày phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi dựa vào đồ thị hàm số So với phương pháp giải tích, phương pháp đồ thị có số ưu điểm sau: − Lời giải... nên dãy hội tụ − Nếu x1 = phần tử dãy  x n  f (1) = 653 1+1 =1 Vậy dãy cho hội tụ x1  lim x n = n→  Qua toán ta thấy phương pháp tìm giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi đồ thị hàm số