Luận văn sư phạm Các phương pháp tìm giới hạn dãy số

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thạc sỹ Phùng Đức Thắng trực tiếp hướng dẫn em hồn thành khóa luận Với lời dẫn, tận tình hướng dẫn thầy em giúp em vượt qua nhiều khó khăn q trình hoàn thành đề tài nghiên cứu Do hạn chế thời gian, kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong có đóng góp q báu thầy bạn đọc quan tâm để đề tài hoàn thiện Em xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cơ giáo tổ giải tích thầy khoa tốn quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành khóa luận này, suốt thời gian học tập nghiên cứu Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên em nhiều suốt trình học tập để em thực tốt khóa luận Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên thực Trương Thị Thu Dung Trương Thị Thu Dung K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Các phương pháp tìm giới hạn dãy số” cơng trình nghiên cứu tơi, kết không trùng với kết Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm kỷ luật khoa nhà trường đề Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên thực Trương Thị Thu Dung Trương Thị Thu Dung K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Phần Các kiến thức có liên quan Các khái niệm dãy số giới hạn dãy số Các định lý giới hạn dãy số 2.1 Các tính chất dãy hội tụ 2.2 Tính chất đại lượng vô lớn vô bé 11 2.3 Các nguyên lý tính đầy đủ  11 Giới hạn hàm số quy tắc Lopital 12 3.1 Một số định lý giới hạn hàm số 12 3.2 Quy tắc Lopital 12 Một số kiến thức khác có liên quan 13 4.1 Định nghĩa tích xác định 12 4.2 Một số tiêu chuẩn chuỗi hội tụ 12 Phần Các phương pháp tìm giới hạn dãy số 15 Chương Các phương pháp để tìm giới hạn dãy số 15 1.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa 15 1.2 Phương pháp dùng định lý giới hạn dãy số 19 1.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu bị chặn 19 1.2.2 Phương pháp sử dụng định lý giới hạn kẹp 24 1.2.3 Phương pháp sử dụng định lý phép toán dãy số hội tụ 28 Trương Thị Thu Dung K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.2.4 Phương pháp vận dụng tính chất đại lượng vơ bé vô lớn 31 1.2.5 Thiết lập giải phương trình với ẩn số giới hạn cần tìm 33 Chương Một số phương pháp khác tìm giới hạn dãy số 37 2.1 Chuyển giới hạn hàm số áp dụng quy tắc Lopital 37 2.2 Phương pháp sử dụng tích phân 39 2.3 Phương pháp sử dụng chuỗi 42 Chương Giới hạn số dãy số đặc biệt 44 3.1 Dãy số cho phương trình đặc trưng 44 3.2 Giới hạn dãy trung bình 46 3.3 Dạng sai phân hữu tỷ 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Trương Thị Thu Dung K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết giới hạn sở tốn giải tích Mọi khái niệm giải tích định nghĩa qua giới hạn Do nghiên cứu giải tích thường xun phải giải tốn tìm giới hạn, có giới hạn dãy số Trong kỳ thi HSG toán Quốc gia, thi Olympic toán Quốc tế cấp trường THPT thi Olympic toán hàng năm cho sinh viên trường Đại học Cao đẳng tốn có liên quan đến giới hạn thường xuyên có mặt xem dạng tốn khó, đa dạng, phức tạp, địi hỏi người làm tốn phải nắm vững, hiểu rõ chất khái niệm giới hạn nội dung định lý để vận dụng linh hoạt vào toán cụ thể Với mong muốn tích lũy thêm cho kỹ năng, kinh nghiệm tiếp cận với dạng toán giới hạn em nhận đề tài “ Các phương pháp tìm giới hạn dãy số” Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh số phương pháp để giải toán giới hạn dãy số từ đơn giản đến phức tạp Qua củng cố hệ thống lại kiến thức giới hạn dãy số giúp cho học sinh vận dụng lý thuyết biết vào làm tập có liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên học sinh THPT + Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức chương trình đại học, số kiến thức THPT Trương Thị Thu Dung K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nhiệm vụ nghiên cứu + Tóm tắt kiến thức dãy số giới hạn dãy số + Đưa số phương pháp tìm giới hạn dãy số ví dụ cụ thể tương ứng Nội dung nghiên cứu Đề tài chia làm hai phần: - Phần Các kiến thức có liên quan Các khái niệm dãy số giới hạn dãy số Các định lý giới hạn dãy số 3.Giới hạn hàm số quy tắc Lopital Một số kiến thức khác có liên quan - Phần Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương Một số phương pháp khác Chương Giới hạn số dãy số đặc biệt Trương Thị Thu Dung K35B-SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN Các khái niệm dãy số giới hạn dãy số Định nghĩa (Định nghĩa dãy số) Ta gọi ánh xạ a:฀ *  ฀ n  a (n)  an dãy số Ký hiệu: a1 , a2 , , an , (1) ;  an  ;(an )n1 ; an  ;… Trong dãy (1) an gọi phần tử thứ n dãy số Định nghĩa (Dãy số bị chặn) - Dãy  an  gọi bị chặn tồn số M cho an  M , n  ฀ - Dãy  an  gọi bị chặn tồn số M cho an  M , n  ฀ - Dãy  an  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn hay  an  bị chặn tồn số tự nhiên K  cho an  K , n ฀ Định nghĩa (Dãy số đơn điệu) - Dãy số  an  gọi giảm (tương ứng giảm nghiêm ngặt) an  an1, n ฀ (tương ứng an  an1 , n  ฀ ) - Dãy số  an  gọi tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) an  an1, n ฀ ( tương ứng an  an1 , n  ฀ ) Các dãy tăng giảm gọi chung dãy đơn điệu Trương Thị Thu Dung K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Định nghĩa (Giới hạn hữu hạn dãy số) Số a gọi giới hạn hữu hạn dãy số  an  với số dương  , nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên N cho với n  N ta có an  a   Ký hiệu lim a n  a n  ( Chú ý số N phụ thuộc vào  ) Ta định nghĩa giới hạn dãy số ký hiệu toán học sau: lim a n  a     0,  N  N ( )  ฀ * :  n  N  a n  a   n  Khi dãy  an  gọi hội tụ dãy không hội tụ gọi dãy phân kỳ Định nghĩa (Giới hạn vô hạn dãy số) Ta nói dãy số  an  có giới hạn  ( ký hiệu lim an   ) n  với số dương M tùy ý, tồn số N  N  M   ฀ * cho n  N ta có an  M Ta nói dãy số  an  có giới hạn   (ký hiệu lim an   ) n  với số dương M tùy ý, tồn số N  N  M   ฀ * cho n  N ta có an   M Định nghĩa (Dãy giới hạn riêng) Cho dãy  an   n k 1  n k   nk  ฀ k  ฀ Thì dãy  ak  với ( a k  a n k ) gọi dãy dãy  an  ký hiệu ( a n k ) Trương Thị Thu Dung K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chú ý i) Nếu dãy  an  có giới hạn a n   dãy ( a n k ) có giới hạn a ii) Mọi dãy số dãy iii) Nếu dãy ( amn ) dãy dãy  an  và dãy ( amn ) k dãy dãy ( amn ) dãy ( amn ) dãy dãy  an  k Định nghĩa (Dãy vô bé dãy vô lớn) - Dãy  an  gọi dãy vô bé lim an  , tức là: n    0,  N  N (  )  ฀ * :  n  N  a n   - Dãy  an  gọi dãy vô lớn n   M  cho trước lớn tùy ý, tồn số N  N  M   ฀ * cho n  N0 thì: an  M Ký hiệu lim an   hay an   n Nếu số dãy vơ lớn nhận giá trị dương ta viết lim an   hay an   n  Nếu nhận giá trị âm ta viết lim an   hay an   n  Nhận xét i) Mọi dãy vô lớn dãy không bị chặn ii) Không phải dãy không bị chặn dãy vô lớn Các định lý giới hạn dãy số 2.1 Các tính chất dãy hội tụ a) Giới hạn dãy số hội tụ b) lim a n  a  lim ( a n  a )  n  Trương Thị Thu Dung n  K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội c) lim a n   lim a n  n  n  d) lim a n  a  lim a n  a n  n  e) Mọi dãy hội tụ bị chặn f) lim a n  a , lim bn  b ,   ฀ Khi đó: n  n  lim ( a n  bn )  a  b n  lim ( a n  bn )  a  b n  lim ( a n bn )  a b n  lim ( a n )   a n  a  a lim  n   n b  n b (với b  ) g) Cho  an  ,  bn  dãy hội tụ số n0  ฀ Khi - Nếu an   , n  n0 lim a n   n  - Nếu lim an  a   tồn số n1  ฀ cho n  an   , n  n1 an   - Nếu an   , n  n0 lim n  - Nếu lim an  a   tồn số n1 ฀ cho n an   , n  n1 - Nếu   an   , n  n0   lim an   n  - Nếu   liman  a   n1  ฀ cho   an   , n  n1 n - Nếu an  bn , n  n0 lim a n  lim b n n  - Nếu an  cn  bn , n  n0 lim a  lim b  a n n n n Trương Thị Thu Dung 10 n  lim cn  a n K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội      n   n Ví dụ Tính lim 1   1   1    n    n   n   n   Giải      n   n Đặt Sn     1   1     n   n   n   n  1, 2, Khi ta có      n   ln Sn  ln 1   1   1    n  n   n   n   (1) Xét hàm số f ( x)  ln 1  n  đoạn  0,1 Ta thấy hàm f  x  liên tục đoạn  ,1  suy f(x) khả tích đoạn  0,1 Phân hoạch đoạn  0,1 thành n đoạn điểm chia xi  i n i  0,1, 2, , n Khi ta có  i  xi  xi 1 Chọn điểm  i    xi , xi 1  i n Khi ta lập tổng tích phân hàm f(x) với phép phân hoạch n  i 1 f (i ).i  i n  ln 1    n i 1  n   Pn Do theo định nghĩa tích phân xác định, ta có lim Pn  lim n  Trương Thị Thu Dung n  n n  i   ln   n  41 i 1 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội   ln 1  x  dx 1 x dx 1 x  x.ln 1  x     ln   ln  ln  Từ (1) ta có Pn  ln Sn  Sn  ePn Do lim Sn  lim e Pn n  n  l i m Pn  e n   e ln  Vậy lim Sn  e 2ln 21 Hay  n  n 1  2  lim             e ln 1 n n  n n    n  2.3 Sử dụng phương pháp chuỗi a) Phương pháp chung Vận dụng dấu hiệu hội tụ chuỗi số chứng minh chuỗi số với số hạng tổng quát số hạng tổng quát dãy số hội tụ từ suy giới hạn dãy số cần tìm b) Các ví dụ minh họa sin Ví dụ Chứng minh lim n   2n 0 Giải Đặt an  sin  2n Trương Thị Thu Dung 42 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Xét tụ chuỗi số Ta có    sin n 1 sin n  an1 2n1    lim n  a n   n sin n lim  Theo dấu hiệu D’alembert suy chuỗi số a n 1 n hội tụ an  Vậy theo điều kiện cần để chuỗi số hội tụ ta suy lim n  sin Hay lim n   2n arctg n Ví dụ Tính lim n   (đpcm) n 1 n2 n  1, 2, Giải Khi ta xét chuỗi số dương Ta có   n 1 n 1  an   arctg n n 1 n2 n 1   lim n an  lim  arctg  n  n  n2  n  lim ar ctg n  1 n 1   1 Theo tiêu chuẩn Cauchy suy chuỗi (1) hội tụ an  Vậy theo điều kiện cần chuỗi số hội tụ lim n  Trương Thị Thu Dung 43 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG 3: GIỚI HẠN CỦA MỘT SỐ DÃY SỐ ĐẶC BIỆT 3.1 Dãy số cho phương trình đặc trưng a) Xét tốn u1  a, u2  b Cho dãy số  un  có dạng  n  1, 2, un   pun1  qun (*) Với a, b, p, q số thực p, q thỏa mãn: p  4q  Tính giới hạn dãy  un  Cách giải Ta làm theo hai bước sau: - Xác định số hạng tổng quát dãy - Tìm giới hạn lim un n Sử dụng kết sau để tìm số hạng tổng quát dãy số Số hạng tổng quát dãy cho (*) có dạng un   x1n   x2n Trong - x1 , x2 nghiệm phương trình x  px  q  n n -  ,  xác định dựa vào công thức un   x1   x2 u1 , u2 ta tính lim un  lim  x1n   x2n  n  n  b) Ví dụ minh họa Cho dãy số  un  xác định sau: u  2012, u1  2013   u n  u n 1  u n  Trương Thị Thu Dung 44 n  2, 3, K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội un Tính lim n  Giải Sử dụng kết tốn ta có số hạng tổng quát dãy số có dạng un   x1n   x2n n  1, 2, Theo giả thiết ta có un  u n 1  u n  3 Khi x1 , x2 nghiệm phương trình đặc trưng x2  x   3  3x  x    x1    x2    Khi  1 un   (1)       3 n n  ,  nghiệm hệ phương trình 8051   2012          2013         Suy số hạng tổng quát dãy số 8051      un  4 3 Khi n  8051  n  lim un  lim      n  n   4     Trương Thị Thu Dung 45 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  lim un  Vậy n  8051 8051 3.2 Giới hạn dãy trung bình a) Các định lý Định lý Toeplitz Giả sử số Pn (k  1, 2, , n; n  1, 2, ) thỏa mãn điều kiện sau: k i) Pn  k ii) n P k 1 1 nk Pn  với k cố định iii) lim n  k Dãy  xn  cho trước hội tụ tới a Khi đó, dãy  yn  xác định sau n y n   Pn xk k 1 k (n=1,2,…) hội tụ yn  lim xn  a lim n  n  Định lý Stolz Hai dãy số  xn   yn  cho trước thỏa mãn x0  0; y0  i) yn 1  yn , n  1, 2, yn   ii) lim n  iii) lim n  Khi xn  xn 1 a yn  yn 1 lim n  ( a hữu hạn) xn x x  lim n n 1  a yn n  yn  yn 1 Trương Thị Thu Dung 46 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b) Ví dụ minh họa Ví dụ Cho dãy số dương  xn  hội tụ đến a ,chứng minh rằng: Dãy trung bình cộng  un  : un   x1  x2   xn  hội tụ n lim un  lim xn n  n  Dãy trung bình nhân   :  n x1.x2 xn , n  1, 2, hội tụ Dãy trung bình điều hịa  w n  : wn  n 1    x1 x2 xn , n  1, 2, hội tụ Giải  k  1, 2, , n; n  1, 2,  n 1) Đặt Pn  k Khi đó,ta kiểm tra điều kiện định lý Toeplitz: i) ii) Ta có n P k 1  n Pn k  nk 1 k 1 n n  Pnk  lim iii) lim n  n  0 n Dãy  xn  hội tụ tới a nên theo định lý Toeplitz dãy n un   Pnk xk , k 1  n  1,2,  n Ta có un   Pnk xk  k 1 2) Ta có ln  Trương Thị Thu Dung un  lim xn hội tụ lim n  n   x1  x2   xn  n (đpcm) 1 n  ln x1  ln x2   ln xn    ln xk n n k 1 47 K35B-SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội n tn  ln   ln xk k 1 n Đặt Chọn số Dãy Pnk  (k  1, 2, n; n  1, 2, ) n  X n  : X n  ln xn , n  1, 2, Ta kiểm tra số Pnk dãy số (Xn) thỏa mãn điều kiện   n định lý Toeplitz (như ý 1) nên ta có dãy   Pn X k  hội tụ hay dãy  k 1 k  tn  ln hội tụ lim  ln   lim tn n n n  lim  Pnk xk n  k 1  lim  ln xn  n  Suy (đpcm) lim  lim xn n n Pnk  3)Chọn số xk 1    x1 x2 xn  k  1, 2, , n; n  1, 2,  Chọn dãy X n  xn ; n  1,2, Ta dễ kiểm tra số Pn dãy thỏa mãn điều kiện định k lý Toeplitz: xk   k  1, 2, , n; n  1, 2,  i) Pn  1    x1 x2 xn k (vì xn  0, n ) Trương Thị Thu Dung 48 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp n ii) xk n P  nk k 1 Trường ĐHSP Hà Nội k 1 lim Pn  lim iii) n  k 1 1    x1 x2 xn n  xk 0 1    x1 x2 xn Do dãy  xn  hội tụ nên tồn M  : xn  M ,  n  1, Suy 1 n     , n  1, 2, x1 x2 xn M Vì  Pnk  M (n  ) nxk Với k cố định ta có dãy ( X n ) hội tụ dãy  yn  hội tụ Vậy theo định lý Toeplitz dãy wn  n n 1    x1 x2 xn   Pnk X k k 1 hội tụ lim w n  lim X n  lim xn n  n  n  * Ví dụ Cho p  ฀ Chứng minh p  p   n p lim   p n  n p 1 Giải Đặt xn  n k p ( n  1, 2, ) k 1 y n  n p  ( n  1, 2, ) Trương Thị Thu Dung 49 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Khi ta có dãy  yn  thỏa mãn i) yn1  yn  n  1,2,  yn   ii) lim n  xn 1  xn (n  1) p lim  lim n  y n  ( n  1) p 1  n p 1 n 1  yn  n p  c1p n p 1     lim  p  p 1 n   c  p 1n  c p 1n    1   c p 1 p  Vậy theo định lý Stolz suy lim n  xn x x  lim n 1 n  yn n  yn 1  yn p  (đpcm) c) Định lý Lagrange Nội dung định lý: Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a, b  có đạo hàm khoảng  a, b  tồn điểm c   a, b  cho f  a  f  b  f ' c b  a Ví dụ minh họa Cho a số thực dãy  un  xác định sau: u1  a   un 1  ln 1  un   2013, n  1, 2, un Chứng minh tồn giới hạn lim n  Trương Thị Thu Dung 50 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giải Xét hàm số f ( x)  ln 1  x   2013 ฀ Hàm liên tục có f ' x  1  , x  ฀ 1 x Xét hàm số g  x   x  f  x  ฀ Ta có g '( x )   f '( x )  nên hàm g  x  đồng biến ฀ Như phương trình g  x   có nghiệm nghiệm Dễ thấy     g   g  2013  2013   ln  2013     2013 ln 1  20132   Nếu tồn    2013,0  nghiệm g  x  hay f      un    f  un 1   f    f '(cn ) un 1    1 un 1    f  un 2   f    f '  cn 1  un 2   2 2 1 1    un        2 2 n 1 u1    0, n   Hay un   , n  un   với  nghiệm phương trình Vậy lim n  ln 1  x   2013  x Trương Thị Thu Dung 51 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 3.3 Dạng sai phân hữu tỷ a) Khi gặp dãy số cho dạng truy hồi xn1  f  xn  Trong hàm f  x  thỏa mãn tính chất: f hàm số dương, liên tục nghịch biến  0,   Ta giới hạn dãy x  f ( y) nghiệm hệ phương trình  y  f (x) trường hợp hệ vơ nghiệm dãy số cho khơng có giới hạn Ví dụ minh họa Xét dãy số cho phương trình sau x0  0; xn 1   ; n  0,1, 2,  xn xn Tính lim n  Giải Xét hàm số f  x      0,   1 x Hàm liên tục tập xác định f '  x    1  x   0, x  0,  nên hàm f  x  nghịch biến  0,   Lại có với x y  hệ (*)  x  f ( y)   y  f ( x)   x    y   y  1  1 x (*)  x  xy  y    y  yx  x  x  y   x  y  xy  x y Vậy hệ có nghiệm Trương Thị Thu Dung 52 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Mặt khác, dãy  xn  xác định x0  0, xn1  f  xn  hàm f  x  thỏa mãn điều kiện nên dãy hội tụ đến nghiệm hệ (*) xn  Vậy lim x  Trương Thị Thu Dung 53 K35B-SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Giới hạn dãy số dạng tốn khó, việc nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc không đơn giản Do điều kiện nghiên cứu cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể đưa tất phương pháp tìm giới hạn dãy số Song nội dung khoa luận đưa đủ phương pháp quan trọng tìm giới hạn dãy số Do kiến thức thân người làm khóa luận cịn hạn chế đồng thời chưa có kinh nghiệm nghiên cứu đề tài khoa học nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em hi vọng nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn sinh viên để nâng cao thêm chất lượng khóa luận Em mong đề tài tiếp tục người quan tâm để hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Trương Thị Thu Dung 54 K35B-SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO “Bài tập giải tích 1.Số thực – dãy số chuỗi số” NXB ĐHSP 2003 – W.J.KACZKOOR – MT.NOWAK (Đoàn Chi biên dịch) “10000 toán sơ cấp dãy số giới hạn” Phan Huy Khải NXB Hà Nội “Ứng dụng giới hạn để giải toán THPT” PGS – TS.Nguyễn Phụ Hy – NXBGD – 2000 “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT giới hạn dãy số hàm số” Nguyễn Văn Mậu, NXB Giáo Dục 2003 “Giải tích tốn học 11” Trần Văn Hạo – Ngô Thúc Lanh (chủ biên) “Toán Olimpic cho sinh viên tập 1” Trần Lưu Cường – NXBGD 2003 “Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn” tập PGS.TS Nguyễn Qúy Duy NXB Giáo Dục 2002 Một số báo Toán học tuổi trẻ Trương Thị Thu Dung 55 K35B-SP Toán ... Lopital Một số kiến thức khác có liên quan - Phần Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương Một số phương pháp khác Chương Giới hạn số dãy số đặc biệt... Phần Các phương pháp tìm giới hạn dãy số 15 Chương Các phương pháp để tìm giới hạn dãy số 15 1.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa 15 1.2 Phương pháp dùng định lý giới hạn dãy số 19... Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa a) Phương pháp chung Để tìm