skkn một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn hàm số

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ GIÁO VIÊN : ĐINH VĂN LÊ TỔ: TOÁN - TIN ĐỒNG NAI, THÁNG 4 NĂM 2014 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN 1 ĐỀ TÀI MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ Người thực hiện: Đinh Văn Lê Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục:  Phương pháp dạy học bộ môn: Toán  Phương pháp giáo dục:  Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:   Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2013 – 2014 SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đơn vị: Trường THPT Kiệm Tân Độc lập- Tự do – Hạnh phúc Thống Nhất, ngày 02 tháng 04 năm 2014 2 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2013-2014 Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ Họ và tên tác giả: Đinh Văn Lê Tổ: TOÁN - TIN Lĩnh vực: Quản lí giáo dục Phương pháp giảng dạy bộ môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác. 1. Tính mới - Có giải pháp hoàn toàn mới. - Có giải pháp cải tiến, đổi mới phương pháp đã có. 2. Hiệu quả - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao. - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những phương pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả. - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao. - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả. 3. Khả năng áp dụng - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt Khá Đạt - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ ( Ký tên và ghi rõ họ tên) ( Ký tên và ghi rõ họ tên) SƠ YẾU LÍ LỊCH KHOA HỌC 1. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN. 3 Họ và tên: Đinh Văn Lê . Ngày, tháng, năm sinh:14/07/1985. Giới tính: nam Địa chỉ: Bạch Lâm – Thống Nhất – Đồng Nai. Điện thoại: 0982573962. Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Kiệm Tân. 2. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO. Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm. Năm nhận bằng: 2008. Chuyên ngành đào tạo: Toán. 3. KINH NGHIỆM KHOA HỌC. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán . Số năm kinh nghiệm: 6 năm. 4 MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU………………………………………………………Trang 6 Phần 2. NỘI DUNG Chương I. Cơ sở thực tiễn và lý luận của đề tài……………………… Trang 9 Chương II. Những sai lầm học sinh thường mắc phải…………… Trang 10 Chương III. Một số phương pháp khử dạng vô định……………… …Trang 18 Phần 3. Kết luận………………………………………………… ….Trang 28 Phần 4. Tài liệu tham khảo……………………………………… ……Trang 29 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như: Lý, Hóa, Sinh,…. Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Sau nhiều năm tháng giảng dạy tôi ngộ ra rằng một vài bài toán đơn lẻ có vai trò quá nhỏ bé trong việc hình thành kiến thức cho học sinh mà phải là hệ thống các bài tập của từng vấn đề đang học. Bài toán mới được đặt ra, một vài câu hỏi khác nảy sinh: Kiến thức toán học giúp gì cho học sinh trong cuộc sống? Học sinh học toán để làm gì? Câu trả lời là: Trước mắt học sinh cần kiến thức toán để thi cử, nhưng điều quan trọng và về lâu dài, người học cần tích lũy các phương pháp tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, loại suy…để giải quyết các vấn đề gặp phải trong cuộc sống. Vậy thông qua dạy học toán cần phải hình thành và nâng cao tư duy toán học cho học sinh. Mặt khác vấn đề cốt lõi trong dạy học là: không phải anh đã dạy những nội dung gì, điều quan trọng là học sinh học được gì trong giờ học đó. Chất lượng của giờ học được quyết định bởi số lượng kiến thức và phương pháp tư duy học sinh thu nhận được trong tiết dạy đó. Như vậy sẽ không có một bài giảng nào tốt đối với mọi lớp học. Giáo viên cần biết rõ trình độ của học sinh trong lớp để thiết kế bài dạy phù hợp và duy trì tốc độ dạy hợp lí. Trong chương trình đại số và giải tích lớp 11 chương giới hạn đã được giảm tải rất nhiều nhưng để hiểu đúng bản chất và làm được những bài toán về giới hạn không phải là điều đơn giản. Hơn nữa phần giới hạn là một phần trừu tượng và tương đối khó. Qua quá trính giảng dạy tôi xin chia sẻ với các em học sinh và quý thầy cô một vấn đề khi dạy cho học sinh về chương giới hạn mà tôi thấy cần thiết, đó là đề tài về : “ Một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn hàm số ” . 6 2. Mục đích nghiên cứu: - Giúp học sinh tránh những sai lầm khi tìm giới hạn do không hiểu đề bài hoặc hiểu sai đề bài. - Giúp giáo viên đưa ra phương pháp giảng dạy phù hợp để học sinh tránh mắc phải những sai lầm đáng tiếc. - Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học. 3. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 11 trường THPT Kiệm Tân 4. Giới hạn của đề tài: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập trung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn trong chương trình lớp 11”. 5. Nhiệm vụ của đề tài: Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn trong chương trình. Nắm vững và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn, đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn trong các kỳ thi học kì, thi đại học và cao đẳng Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT. 6. Phương pháp nghiên cứu: Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: - Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài. - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS). - Phương pháp điều tra - Phương pháp thực nghiệm, kinh nghiệm giảng dạy 7. Cấu trúc của đề tài: + Mở đầu + Nội dung: - Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn 7 - Chương II : Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải - Chương III : Phương pháp khử dạng vô định + Kết luận + Tài liệu tham khảo 8 NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1/ Cơ sở lý luận: - Dựa vào mục tiêu của chương giới hạn nhằm đưa các khái niệm cơ sở của giải tích và qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục. - Dựa vào các định lí cơ bản làm công cụ cho việc nghiên cứu giới hạn của dãy số và của hàm số, giải một số bài toán liên quan dạng đơn giản. - Chuẩn bị những khái niệm và công cụ cơ bản nhất làm cơ sở cho việc nghiên cứu các nội dung sẽ đưa vào sau đó như đạo hàm, khảo sát hàm số và tích phân. 2/ Cơ sở thực tiễn của đề tài: - Dựa trên thực tiễn qua quá trình giảng dạy, đánh giá, thu thập số liệu. - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình toán trung học phổ thông. - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập. - Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừa nhận. 9 Chương II: NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG GẶP PHẢI A. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan: I. Giới hạn của dãy số 1. Các giới hạn đăc biệt 1 )lim 0a n = ; 1 lim 0 k n = ; lim k n = +∞ , với k nguyên dương. )lim 0 n b q = nếu 1q < ; lim n q = +∞ nếu q>1. 2. Định lí về giới hạn hữu hạn a) Nếu lim n u a= và lim n v b= , thì : lim( ) n n u v a b+ = + lim( ) n n u v a b− = − lim( . ) . n n u v a b= lim ( 0) n n u a b v b = ≠ b) Nếu 0 n u ≥ với mọi n và lim n u a= , thì 0a ≥ và lim n u a= . 3) Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực a) Nếu lim n u a= và lim n v = ±∞ thì lim 0 n n u v = . b) Nếu lim 0 n u a= > , lim 0 n v = và 0 n v > thì lim n n u v = +∞ . c) Nếu lim n u = +∞ và lim 0 n v a= > thì lim . n n u v = +∞ . II. Giới hạn của hàm số 1. Các giới hạn đặc biệt 0 0 ) lim x x a x x → = 0 lim x x c c → = ( c là hằng số) ) lim x b c c →±∞ = lim 0 x c x →±∞ = ) lim k x c x →+∞ = +∞ , k nguyên dương ) lim k x c x →−∞ = +∞ nếu k là số chẵn; lim k x x →−∞ = −∞ nếu k là số lẻ 2. Định lí về giới hạn hữu hạn a) Nếu 0 lim ( ) x x f x L → = và 0 lim ( ) x x g x M → = , thì 10 [...]... về giới hạn Do đó muốn tính các giới hạn có dạng này ta phải tìm cách khử dạng vô định để áp dụng các định lí Trong giới hạn chương trình môn toán lớp 11 các dạng vô định thường gặp là: 0 ∞ ; ; ∞ − ∞;0.∞ 0 ∞ I Dạng vô định 0 0 Giới hạn dạng vô định 0 là một trong những giới hạn thường gặp nhất đối với bài toán 0 tính giới hạn hàm số để tính các giới hạn có dạng này phương pháp chung là sử dụng các phép... tránh sai lầm trong việc biến đổi các phép toán về giới hạn Khi dạy các định lí phép toán về giới hạn giáo viên cần lưu ý cho học sinh phạm vi và điều kiện áp dụng định lí, nhấn mạnh cho học sinh các sai lầm mà các em hay mắc phải khi áp dụng định lí 17 Chương III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH Giới hạn vô định là các giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lí về giới. .. động làm chủ kiến thức Trong phạm vi giới hạn của đề tài ở đây tôi mới chỉ đưa ra một số sai lầm trong rất nhiều sai lầm của học sinh khi học chương giới hạn đồng thời tôi cũng chỉ đưa ra một số phương pháp tìm giới hạn hàm số nhằm giúp học sinh và quý thầy cô có thêm tài liệu tham khảo khi dạy và học chương giới hạn Một vấn đề có tính quyết định đến chất lượng của một giờ dạy là: không phải mình dạy... Những sai lầm học sinh thường gặp phải: I Giới hạn của dãy số Ví dụ 1: Tính giới hạn: lim(n 2 − n) 11 - Sai lầm: Có học sinh làm như sau: Ta có: lim(n 2 − n) = lim n 2 − lim n = +∞ − (+∞) = 0 Vậy lim( n 2 − n) = 0 - Phân tích sai lầm: Học sinh đã áp dụng định lí về các phép toán giới hạn của dãy số mà không để ý là định lí chi áp dụng khi các giới hạn là hữu hạn Sai lầm thứ hai là học sinh đồng nhất các. .. - Phân tích sai lầm: Các định lí về phép toán giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng Trong lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm - Lời giải đúng: Ta có: 1 + 2 + + n = n.(n + 1) do đó: 2 1 1 + 2 + + n n.( n + 1) n +n n =1 lim = lim = lim 2 = lim 2 2 4 n +2 2.(n + 2) 2n + 4 2+ 2 2 n 2 1+ Nhận xét : Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn bằng 0 chưa... n - Phân tích sai lầm: Học sinh bị lẫn lộn giữa hai khái niệm giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực trong việc biến đổi các phép toán về giới hạn (Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì lim un vn = +∞ ) - Lời giải đúng: Ta có: lim( n 2 + 1 − n) = lim ( n 2 + 1 − n)( n 2 + 1 + n) n2 + 1 + n 1 1 n = lim 2 = lim =0 1 n +1 + n 1+ 2 +1 n Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim 1 + 2 + + n n2 + 2 - Sai lầm: Có học sinh... chắc đã có giới hạn bằng 0 II Giới hạn của hàm số Ví dụ 1: Tính giới hạn: lim x →0 2+ 1 x 3 +5 x - Sai lầm: Có học sinh làm như sau: 1 x = 2+0 = 2 Ta có: lim x →0 3 +5 0+5 5 x 2+ - Phân tích sai lầm: Học sinh đã áp dụng xlim →±∞ c = 0 mà không chú ý x → 0 x - Lời giải đúng: 14 1 x = lim 2 x + 1 = 1 Ta có: lim 3 x →0 x →0 3 + 5 x 3 +5 x 2+ Ví dụ 2: Tính giới hạn: lim − x →1 2x − 7 x −1 - Sai lầm: Có học... Phân tích sai lầm: Học sinh vội vàng nhân biểu thức liên hợp mà không phân tích nhận dạng dẫn tới dạng vô định khác - Lời giải đúng: Ta có: lim ( x 2 + 1 − x) = lim ( x 2 (1 + x →−∞ x →−∞ 1 1 ) − x) = lim − x( 1 + 2 + 1) = +∞ 2 x →−∞ x x Để tránh mắc phải những sai lầm thì học sinh phải nắm được các định lí về giới hạn và điều kiện để áp dụng các định lí đó Phân biệt giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực... góp ý của đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn ! 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Đại số và giải tích 11 – Nhà xuất bản giáo dục 2 Bài tập đại số và giải tích – Nhà xuất bản giáo dục 3 Sách giáo viên đại số và giải tích – Nhà xuất bản giáo dục 4 Những sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán– Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn 5 Sai lầm phổ biến khi giải toán – Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thành Quang... 7 9 = = x −1 −1 − 1 2 - Phân tích sai lầm: Học sinh không hiểu rõ bản chất của giới hạn bên trái, giới hạn bên phải Măc dù đây là sai lầm ít học sinh mắc phải nhưng trên thực tế vẫn có - Lời giải đúng: Ta có: lim x →1− 2x − 7 = +∞ vì lim(2 x − 7) = −5 < 0,lim( x − 1) = 0 và x − 1 < 0 khi x < 1 x →1 x →1 x −1 − − x2 + 1 Ví dụ 3: Tính giới hạn: lim x →−∞ x +1 - Sai lầm: Có học sinh làm như sau: x +1 . về : “ Một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn hàm số ” . 6 2. Mục đích nghiên cứu: - Giúp học sinh tránh những sai lầm khi tìm giới hạn do không hiểu đề bài hoặc hiểu sai đề. 1 ĐỀ TÀI MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ Người thực hiện: Đinh Văn Lê Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục:  Phương pháp dạy học bộ môn: Toán  Phương pháp giáo. lí. 17 Chương III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH Giới hạn vô định là các giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lí về giới hạn. Do đó muốn tính các giới hạn có dạng