Các phương pháp tìm giới hạn hàm số, hàm số liên tục

Phương pháp Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu số và tử số nếu cần để lấy x  x0 ra khỏi căn thức và rút gọn để đưa về các giới hạn đã biết.. * Chó ý 1 Nếu tử số có nhiều căn thức, tách[r]

Written by T¹ Minh §øc THPT CÈm Khª - CÈm Khª - Phó Thä Các phương pháp tìm GIớI HạN HàM Số, Hàm số liên tục  -§Þnh nghÜa Hµm sè f x  cã giíi h¹n lµ sè thùc L x dÇn tíi x0 nÕu víi mäi d·y sè xn  tuú ý xn  a; b  \ x0  cho lim xn  x0 th× lim f xn   L Chó ý r»ng giíi h¹n cña hµm sè nÕu cã lµ nhÊt A C¸c d¹ng to¸n t×m giíi h¹n cña hµm sè I D¹NG CHøNG MINH KH¤NG TåN T¹I GIíI H¹N Theo định nghĩa, để lim f x  không tồn ta hai dãy xn ,  yn  x  x0 cho l imx n  x0 , lim yn  x0 lim f xn   lim f  yn  Khi đó không tồn lim f x  x  x0 VÝ dô Chøng minh r»ng c¸c giíi h¹n sau kh«ng tån t¹i: 1) lim sin x x  5) lim tan x x  3) lim sin 2) lim cos x x  x 0 7) lim tan 6) lim cot x x  x 0 x 4) lim cos x 0 x 8) lim cot x 0 x x 9) lim 2 x  3 tan x 0 x Solution 1) Ta chøng minh lim s inx kh«ng tån t¹i x xn : xn    n 2 ; x 'n : x' n     n 2 2 Râ rµng víi c¸ch chän th× lim xn  lim x 'n   Nh­ng f xn   1; f x 'n   1 v× vËy ThËt vËy, chän hai d·y: lim f xn   1; lim f x 'n   1 nªn lim sin x kh«ng tån t¹i x  Các bài khác chứng minh tương tự, ta có thể chọn các dãy sau: 2) Chän hai d·y xn : xn    n2 3) Chän hai d·y xn : xn   4) Chän hai d·y xn : xn  5) vµ 6) Chän hai d·y vµ x 'n : x' n   n 2    n 2 1 vµ x 'n : x' n   n 2  n 2 xn : xn  7) 8) vµ 9) Chän hai d·y vµ x 'n : x' n  n 2   n 2 vµ x 'n : x' n   xn : xn    n 2  vµ x 'n : x' n  Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn  n 2    n 2 Webste: http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Trang 1/7 Lop10.com Written by T¹ Minh §øc THPT CÈm Khª - CÈm Khª - Phó Thä II D¹NG Sö DôNG NGUY£N Lý GIíI H¹N KÑP Nguyªn lý kÑp Cho ba hàm số y  f x , y  g x , y  h x  xác định trên a; b  chứa điểm x0 (có thể không xác định x0 ) Nếu g x   f x   h x  x  a; b  \ x0  và lim g x   lim h x   L thì lim f x   L g x   f x   h x  x  x0 x  x0 x  a; b  \ x0  x  x0 x  x0 L *) Chó ý 1) lim f x    lim f x   x  x0 x  x0 2) Nếu lim f x   L thì lim f x   L (điều ngược lại chưa đã đúng) x  x0 x  x0 VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau 1  1) L1  lim  x sin  x 0 x   6x  x  2) L2  lim  sin  x  x 2x    1  4) (GT'97) L4  lim  x.cos  x 0 x  Solution x  s inx x  x  s inx 3) (BCVT'99) L3  lim Sö dông nguyªn lý giíi h¹n kÑp, ch¼ng h¹n: sin x sin x 1  lim x  s inx x  x  x 1 L3  lim  lim x  x  s inx x  sin x sin x 1  lim x  x x s inx sin x 1 sin x 0) (V×   x  vµ lim   lim  nªn lim x  x  x  x x x x x III Dạng Giới hạn xác định *) Chó ý: NÕu hµm sè y  f x  liªn tôc trªn tËp D vµ x0  D th× lim f x   f x0  x  x0 IV Dạng Giới hạn vô định dạng 1) Lo¹i D¹ng L  lim x  x0 chøa ®a thøc vµ c¨n thøc  f  x , g  x  lµ c¸c ®a thøc f x víi  g x  f  x0   g  x0   Phương pháp Do f x0   g x0   nên x0 là nghiệm các phương trình f x   0; g x   , đó ta lấy x  x0 khái f x  vµ g x  b»ng c¸ch ph©n tÝch Khi đó L  lim x  x0 f x  x  x0  f1 x  f1 x    g x  x  x0  g1 x  g1 x  f x  f x   lim g x  x  x0 g1 x  *) NÕu g1 x0   th× L  f1 x0  g1 x0   NÕu f1 x0    L= *) NÕu g1 x0   th×   NÕu f1 x0   tiÕp tôc lÆp l¹i qu¸ tr×nh ph©n tÝch nh­ trªn Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Webste: http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Trang 2/7 Lop10.com Written by T¹ Minh §øc THPT CÈm Khª - CÈm Khª - Phó Thä a n  b n  a  b a n 1  a n  2b   a.b n   b n 1  *) Chó ý: a n   a  1a n 1  a n    a  1 VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau x3  x  1) L1  lim x 1 x2 1 4) L4  lim xa x3  x  x 1 3 x  x  3) L3  lim x  h   x3 h 0 h    6) L6  lim   x 1  x  x3   2) L2  lim x  a  1 x  a x2  a2 xa 5) L5  lim x3  3x  x  x  x  x  12 VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau x  x  x3  x  x5  1) L1  lim x 1 x 1 x4  a4 xa 7) L7  lim 4) L4  lim 2) L2  lim x 1 1  x 1  x 1  3x   x 0 7) (DB'A'02) L7  lim x 1 2) Lo¹i D¹ng L  lim x  x0 x x6  x  x  1 f x víi g x x  x   x n  n x 1 1  x   1  x  3) L3  lim xm 1 xn 1 6) L6  lim x 2010  x  x 2009  x  x 1 5) L5  lim x  x5 x 0 x 1  f  x , g  x  chøa c¸c c¨n thøc cïng chØ sè   f  x0   g  x0   Phương pháp Nhân với biểu thức liên hợp mẫu số và tử số (nếu cần) để lấy x  x0 khỏi thức và rút gọn để đưa các giới hạn đã biết *) Chó ý 1) Nếu tử số có nhiều thức, tách thành nhiều giới hạn để tìm giới hạn đó 2) C¸c biÓu thøc liªn hîp a  b liên hợp với a  b để a - b a  b liên hợp với a  ab  b để a - b a  b liên hợp với a  ab  b để a - b a  b liªn hîp víi  a  b  a  b  để a - b 4 VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau 1) (HVNH'98) L1  lim x 1 2x 1  x x 1 x 7 3 x2 x2  VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau 1 x  1 x 1) L1  lim x 0 x 3) L3  lim 4) L4  lim x2  1 x  16  x   x  25  6) L6  lim x 0 x4 2 x 0  x2 1 x2 2) L2  lim x 0 4) L4  lim x 0 2) L2  lim x 1 xa  a x x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 0 3) L3  lim 5) (DL§§'A'01) L5  lim 7) L7  lim 5) L5  lim  x2 1 x2 x5 2 x  1  x   x2 1 x  1 x x 1 x 3 2 Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Webste: http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Trang 3/7 Lop10.com Written by T¹ Minh §øc THPT CÈm Khª - CÈm Khª - Phó Thä 3) Lo¹i D¹ng L  lim x  x0  f x  g x   f  x , g  x  chøa c¨n thøc kh«ng cïng chØ sè víi  hx  f  x0   g  x0   h  x0    Phương pháp §Æt c  f x0   g x0  vµ ph©n tÝch: f x   g x  f x   c g x   c   h x  h x  h x  f x   c g x   c Đây là các giới hạn đã biết cách tìm ; lim x  x0 h x  x  x0 h x  Phương pháp trên gọi là phương pháp gọi số hạng vắng (số hạng vắng là số c) T×m c¸c giíi h¹n lim *) Chó ý: Cã mét sè bµi to¸n kh«ng ph¶i thªm bít h»ng sè c nh­ trªn mµ ph¶i thªm bít mét biÓu thøc chứa ẩn x (phương pháp tách phân nghiệm kép) VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau 1 x   x 1) (QGHN'A'97) L1  lim x 0 x 1 x  1 x 3) L3  lim x 0 x 5) L5  lim x2 x3  3x  2) (QGHN'A'98) L2  lim x 1 x 1 x7  x3 4) L4  lim x 1 x 1 x  11  x  x  3x  6) L6  lim x 1 x 0 x    x2 x 1  x  x2  8) (HVTCKT'00) L8  lim x 1 x2 1 x 1  x 1 7) (DB'02) L7  lim x 0 x 9) L9  lim x 1 1 x4 2 x   x  21 x 1 10) L10  lim x 1  ax  a  x 0 x n p n m  ax  bx  cx  a b c ¸p dông kÕt qu¶ trªn thu ®­îc: lim    x 0 x n m p VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau x  30  2x 1  x  1) L1  lim 2) (SP2'99) L2  lim x2 x 1 x2 x 1 x  2009   x  2009 cos x  cos x 3) L3  lim (đặt t  sin x ) 4) L4  lim x 0 x 0 sin x x 3  x  x  3x  x   x  20 5) L5  lim 6) L6  lim x 0 x 7 x4 2 x9 2 VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau  x   3x 1 2x  1 4x L  lim 1) (§HTL'01) L1  lim 2) x 0 x 0 x2 x2 *) Chú ý: Bằng cách đặt ẩn phụ t  n  ax ta tìm được: lim n x  x  x   x  27 x  27 x 0 x3 Dạng Giới hạn lượng giác 3)* L3  lim Ngoài số ít bài toán giới hạn lượng giác sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp còn lại đa số sử sin x 1 dông kÕt qu¶ lim x 0 x *) Chó ý Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Webste: http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Trang 4/7 Lop10.com Written by T¹ Minh §øc THPT CÈm Khª - CÈm Khª - Phó Thä 1) Tõ kÕt qu¶ trªn suy ra: lim x 0 sin ax a bx b  ; lim  x  bx b sin ax a 2) Nếu hàm số cần tìm giới hạn có chứa lượng giác và đa thức, thức, Ta tách giới hạn đó thành nhiều giới hạn đã biết cách tìm VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau  cos ax 1) L1  lim x 0 x2 sin sin sin sin x  3) L3  lim x 0 x  cos x.cos x cos nx 5) L5  lim x 0 x2 tan ax tan ax 7) L7  lim 8) L8  lim x 0 x  x tan bx VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau  1) L1  lim x 0   x  cos x x2  sin x  cos x  sin x  cos x   sin x 5) (QGHN'B'97) L5  lim x 0  cos x  x   sin x 7) (GTVT'98) L7  lim x 0 3x    x 3) (SPV'99) L3  lim x 0 9) (DB'02) L9  lim x 0 3x   x  1  cos x sin sin x  x 0 x 2) (§HTH'93) L2  lim  cos x.cos x x 0 x2 cos x  cos x.cos x.cos x 6) L6  lim x 0 x2 sin ax sin ax 9) L9  lim 10) L10  lim x  tan bx x  sin bx 4) L4  lim    cot x  2) (§H LuËt HN'98) L2  lim  x  sin x   sin x  sin x.sin x 4) (QGHN'A'95) L4  lim x 0 x4  cos x x  x.sin x 6) (§H§N'97) L6  lim 8) (HH'A'01) L8  lim x 0  cos x x   cos x 10) L10  lim cos x  sin x  x2  1  cos x x 0 x2 11) L11  lim  2x2  98  cos x.cos x.cos x 13) (AN'00) L13  lim x 0  cos x sin x x  83 VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau  tan x   sin x  cos x tan ax  sin ax L  lim L  lim 1) L1  lim 2) 3) x 0 x 0 x 0 x3 tan x x3    1  3x   x  1  x sin x  cos x  4) L4  lim 5) L5  lim 6) L6  lim   x  tan x x 0 x 0  cos x sin x x  sin   2 2 tan a  x  tan a  x   tan a co t a  x co t a  x   co t a 7) (TN'98) L7  lim 8) L8  lim x 0 x 0 x x2 sin x  x sin x  cos x 9) L9  lim 10) L10  lim x   x sin x  cos x x 0 x tan 2 cot a  x   cot a  x   cot a  cos x cos x cos x 11) L11  lim 12) L12  lim x 0 x 0 x x2     cos  cos x  cos  cos x  2  2  13)* L13  lim 14) (TN'97)* L14  lim x 0 x  x x sin sin 2 12) (BK'D'01) L12  lim Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Webste: http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Trang 5/7 Lop10.com Written by T¹ Minh §øc THPT CÈm Khª - CÈm Khª - Phó Thä *) Chú ý: Nếu giới hạn lượng giác x  x0  Khi đó cách đặt ẩn phụ y  x  x0 (hoặc y  x0  x ) ta đươc giới hạn lượng giác biến y với y  VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau    1) (SP2'00) L1  lim  tan x.tan   x    x  4  2) L2  lim x  sin x  cos x 4x   3) L3  lim x   cos x   x    sin  x   3  4) L4  lim   cos x x  sin x  5) L5  lim   tan x   cos x x     6) L6  lim   tan x   cos x x   x  7) L7  lim  1  x  tan  x 1   x3  x  8) (QG'D'99) L8  lim x 1 sin  x  1  x2 9) L9  lim x2 x cos 2 10) L10  lim  tan x  x   sin  x   6  11) L11  lim  x  cos x tan x  tan x 14) L14  lim    x cos  x   6  sin x  sin x   cos x x 13) L13  lim 12) L12  lim   x  tan x x  15) L15  lim x   cot x  cot x  cot x D¹ng Giíi h¹n d¹ng 1 x  1 Sö dông kÕt qu¶ lim 1    e; lim 1  x x  e x  x 0  x VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau  x2 2) (HVKTMM'99) L2  lim   x  x    x 1) L1  lim 1  sin x  x 0 3) L3  lim 1  tan x x sin x x 0   tan x  sin x 6) L6  lim   x   sin x    x 1  4) L4  lim   x  x    x x 1 5) L5  lim 1  x  cot x x 0   sin x.cos ax  7) L7  lim   x   sin x.cos bx   cot x 8) L8  lim 1  sin  x  cot  x x 1 Dạng Giới hạn liên quan đến hàm mũ và lôgarit ln 1  x  ex   1; lim 0 Sö dông c¸c kÕt qu¶: lim x0 x0 x x *) Nếu không phải là hàm lôgarit tự nhiên hay hàm e x ta biến đổi đưa các hàm này công thức x ln x đồi số mũ và lôgarit: a x  eln a   e x ln a và log a x  ln a VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau ln 1  x  e5 x  e ax  ebx 1) L1  lim 2) L2  lim 3) L3  lim x 0 x 0 x 0 x x x esin x  esin x 4) (§HHH'99) L4  lim x 0 sin x 3x  cos x 6) (SP2'00) L6  lim x 0 x2 e 2 x   x 5) (GT'01) L5  lim x 0 ln 1  x  a x  cos x 7) L7  lim x 0 x2 Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn ln cos x  x 0 x2 8) L8  lim Webste: http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Trang 6/7 Lop10.com Written by T¹ Minh §øc THPT CÈm Khª - CÈm Khª - Phó Thä Dạng Giới hạn vô định dạng   ; 0. và    ta chia tử và mẫu cho x m (m là bậc cao x mẫu số) và sử  dụng các kết đã biết quy tắc tìn giới hạn vô cực  *) Với giới hạn dạng    , 0. ta nhân với biểu thức liên hợp để đưa dạng   x nÕu x  ¸p dông x  +  *) Chó ý: x2  x    x nÕu x<0 ¸p dông x    VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau  3x 2 x  13x  x   x3  3x     1) L1  lim 2) L2  lim x   x  x  5 x  x  x   4x2   *) Víi giíi h¹n d¹ng 2 x  3 4 x   3) L3  lim x  3x  12 x   6) L6  lim 3x  x   x VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau x  1) L1  lim x   x x x 3x  x   x x  x2  4x   2x  5) L5  lim x2  4x   2x  4) L4  lim x   2) L2  lim x  x  2x2  x 3x  x   x  a x  b   x  n   m  3) L3  lim   m, n nguyên dương  m x 1  x  xn   4) L4  lim x   x  x 1  x2  x    x  x   x  x  1 7) L  lim 2 x   x  x   5) L5  lim 2 x    6) L6  lim  x  x  x  x  x    VÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau x   x   x  2) L  lim x x  x   x 1 3) L  lim x  x   x  4) L  lim x  x  x  x  x  x  (LH:  x  x  x  x  x ) 1) L1  lim x x  3 x  x  x  Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Webste: http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Trang 7/7 Lop10.com