skkn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp và cách khắc phục.

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triểncủa Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bà

Trang 1

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triểncủa Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toántrong thực tế Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh Vì vậy, việcdạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rấtlớn

Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh Họcsinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầmlẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại

số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháphợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp: Dạy cái gì? Dạy như thế nào đểhọc sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không

bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập? là những vấn đề được nhiều người quantâm và nghiên cứu

Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tàinghiên cứu là:

“Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và

cách khắc phục”.

Trang 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm bao gồm:

3.1 Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trongquá trình học Đại số tổ hợp

3.2 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm

3.3 Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sailầm

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chức tính khả thi và hiệuquả của những đề xuất

3.5 Đưa ra những kết luận cần thiết

4 Phương pháp nghiên cứu.

4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu vềphương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các côngtrình nghiên cứu có liên quan đế đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo…

4.2 Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáoviên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thôngĐặng thai Mai

4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trườngtrung học phổ thông Đặng Thai Mai

Trang 3

Đề kiểm tra

1 Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinhtrung bình Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người,sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá?

Trang 4

Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là sốcách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Số cáchchọn tổ A trong trường hợp này là:

A1

3.A2

5.A5

8 = 403200 cáchTrường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Số cáchchọn tổ A trong trường hợp này là:

A1

3.A3

5.A4

8 = 302400 cáchTheo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:

403200 + 302400 = 705600 cách

Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã

sử dụng sai công thức

- Lời giải 2:

Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có

2 học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là

số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

A1

3+A2

5+A5

8= 6743 cáchTrường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Số cáchchọn tổ A trong trường hợp này là:

A1

3 + A3

5 + A4

Trang 5

Trường hợp 1: 1 học sinh giỏi xảy ra 2 khả năng:

* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Có:

* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Khả năngnày có:

1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách

Nhận xét: Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa chính sác dẫn đến

lặp Do 2 tổ bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trường hợp 2 chính làcác cách xếp tổ 2 ở trường hợp 1

- Lời giải đúng là:

Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có

2 học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là

số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

C1

3.C2

5.C5

8 = 1680 cáchTrường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Số cáchchọn tổ A trong trường hợp này là:

C1

3.C3

5.C4

Trang 6

1680 + 2100 = 3780 cáchCâu 2:

- Lời giải 1:

Số có 6 chữ số thoả mãn: Tổng các chữ số là một số chẵn có thể xảy ra ởhai trường hợp:

C4

5.C2

5.6 ! = 36000 sốVậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là :

Trang 7

36000 + 36000 = 72000 số

Nhận xét : Học sinh nắm chưa chính xác khái niệm cơ bản toán học nên

đã không trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu

31200 + 33600 = 64800 số

*Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong đề kiểm tra trên :

Sai lầm 1 : Nhớ lẫn lộn giữa công tác tính số tổ hợp và số chỉnh hợp

Sai lầm 2 : Sử dụng sai quy tắc

Sai lầm 3 : Phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn đến lặp

Sai lầm 4 : Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc

Sai lầm 5 : Hiểu sai khái niên cơ bản của toán học

* Kết quả :

Quan thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập vềchủ đề ”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp Đa sốhọc sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phânchia trường hợp riêng

Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu Câu hỏiđặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầmnào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệuquả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượngdạy học môn toán nói chung

Trang 8

2.2 Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ Hợp.

2.2.1 Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác

tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượngkhác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó” Trong quá trình họcchủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của kháiniệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng đượcđịnh nghĩa Theo A.A.Stôliar thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững

cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa lý hiệu với khái niệmđược định nghĩa…

Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn khi sử dụngquy tắc cộng và quy tắc nhân

Quy tắc cộng: ‘’Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương

án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách”.

Trang 9

Quy tắc nhân: ‘Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và

B Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách”.

Hai khái niệm nếu không được giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm

lẫn cụm từ ‘một trong hai phương án” và ‘’ hai công đoạn liên liếp”… gây ra

sai lầm trong giải toán

♠ Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ

là ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn

nữ (hoặc ngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn

1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ)

♠ Lời giải đúng là:

Số học sinh nữ trong lớp là:

40 – 20 = 20 (học sinh)Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách

Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạnnữ

Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạnnam và 1 bạn nữ là:

20.20 = 400 (cách chọn)

Trang 10

Khi giải các bài toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh vẫnchưa hiểu rõ được khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp.

Dịnh nghĩa chỉnh hợp: ‘‘Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số

nguyên k với 1≤ k ≤ n Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự,ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)”.

Định nghĩa tổ hợp: ‘‘Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với

1≤ k ≤ n Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phẩn tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)”.

Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính

số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm lẫn

Ví dụ 4 :

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt ?

♠ Học sinh giải như sau:

Giả sử a 1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0 Tổng số cáchchọn 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là C3

Học sinh chưa nắm được chỉnh hợp là một tập con gồm k phần tử sắp thứ

tự trong khi bài toán này với 3 chữ số a 1a2a3 phân biệt có 6 cách xếp thành

những số khác nhau (chẳng hạn a 1a2a3 ≠ a1a2a3 ).

Giả sử a 1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0, ứng với mỗicách sắp xếp cho ta một số duy nhất Tổng số cách sắp xếp 3 chữ số trong 10chữ số từ 0 đến 9 là A3

10, trong đó số cách sắp xếp a 1 = 0 là A2

9 Do đó kết quảcủa bài toán là :

A3

10 – A2

9 = 648 (số)

Ví dụ 5:

Trang 11

Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam Người ta tổ chức cuộcchơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ Hỏi có bao nhiêu cáchchọn ra cặp để tham gia trò chơi?

♠ Học sinh giải như sau:

Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợpchập 3 của 7, nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A3

7 = 210 cách Tương tự sốcách chọn 3 nữ có thứ tự là: A3

9 = 504 cách Vậy theo quy tắc nhân, số cáchchọn 3 cặp để tham gia trò chơi là:

A1

3.A3

5 = 210.504 = 105840 (cách)

♠ Sai lầm học sinh mắc phải:

Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại Giả sử 3 bạn namxếp thứ tự là A,B,C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c Ta có 3 cặp (A,a), (B,b),(C,c) Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,a thì ta cũng có 3cặp (B,b), (C,c), (A,a) giống trước Như vậy trong bài toán này ta phải dùngcông thức tính số tổ hợp chứ không dùng công thức tính số chỉnh hợp

Xem việc lập 3 cặp để tham gia trò chơi gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh nam Số cách chọn là:

C1

3 = 35 cáchCông đoạn 2: Chọn 3 học sinh nữ Số cách chọn là:

C3

9 = 84 cáchCông đoạn 3: Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ Có 3! Cách xếp.Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu bài toánlà:

3! 84.35 = 17640 cách2.2.2 Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học

Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm vàngoại diên khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sailệch bản chất khái niệm Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái

Trang 12

niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quanlàm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới.

Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đếnviệc tất yếu là học sinh giải toán sai

Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lý thuyết tập hợp người ta hay

Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể viết thành bao nhiêu số có 8 chữ

số trong đó chữ số 7 có mặt hai lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

♠ Lời giải của học sinh:

Giả sử số thoả mãn yêu cầu bài toán là: a1a2a3a4a5a6a7a8

Số a1 có 7 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết (là hoán vị của tập hợp gồm 7 chữ

số khác nhau)

Nếu coi hai chữ số 7 khác nhau thì số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7.7! cách viết

Do số 7 xuất hiện hai lần nên với hai vị trí của hai chữ số 7 sẽ có hai hoán vị nhưnhau Vậy kết quả của hai bài toán là: 7.7! 17640

2  (cách viết) ♠ Sai lầm ở đây là:

Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết Nghĩa là phảigiả sử hai chữ số 7 khác nhau ngay từ đầu

Trang 13

Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 7} Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết.

Với hai vị trí nào đó của hai chữ số 7 thì có hai hoán vị như nhau

Vậy số a1a2a3a4a5a6a7a8 có: 8.7! 20160

2  (cách viết)Trong các bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “Có thể lập được bao nhiêu số gồm kchữ số khác nhau” Với cụm từ này thì dụng ý của tác giải viết sách là: Số gồm kchữ số a1a2 …ak thì các a1 (i = 1,k) phải khác nhau từng đôi một Tức là: ai ≠aj

với i,j =1,k ; i ≠ j

Tuy nhiên, cũng có học sinh hiểu các số gồm k chữ số khác nhau tức là

a1a2 …ak ≠ b1b2 …bk dẫn đến sai lầm trong giải toán

Trong các bài toán về chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng rất nhiều kiến thứctoán học cơ bản như: Một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, …; cách lập các sốchẵn, số lẻ,… Nhiều học sinh không nắm vững những khái niệm cơ bản này nên

đã có nhiều sai lầm đáng tiếc khi giải bài tập

Ví dụ 7:

Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt

và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?

Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là:

A4

6 = 360 cáchMỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu bàitoán

Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt không có mặt chữ số 5là:

A4

5 = 120 cáchTheo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là:

A4

6 - A4

5 = 360 – 120 = 240 (Số)

♠ Sai lầm ở đây là:

Trang 14

Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhưng trong các số

lập được có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số không thoả mãu yêu cầu

bài toán

Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đếntính sai kết quả

♠ Lời giải đúng ở đây là:

Giả sử a1a2a3a4 là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suy ra a 1 ≠ 0

Số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 là A4

6 – A3

5 = 300cách

Trong đó số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 và không cómặt chữ số 5 là: A4

ra 3 cặp để tham gia trò chơi?

Xem việc chọn 3 cặp nam nữ là một công việc gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn cặp nam nữ thứ nhất Có C1

Học sinh áp dụng quy tắc nhân, xem việc chọn 3 cặp nam nữ trải qua 3công đoạn nhưng các cách thực hiện sau lại phụ thuộc vào các cách thực hiện

Trang 15

công đoạn trước Ví dụ: Trải qua 3 công đoạn ta chọn được 3 cặp là: (A,a),(B,b), (C,c) Trong công đoạn 1 ta có thể chọn 1 cặp là (B,b), công đoạn 2 chọn

1 cặp là (A,a), công đoạn 3 chọn 1 cặp là (C,c) Như vậy ta được 3 cặp nam nữkhác là (B,b), (A,a), (C,c) Hai cách chọn này thực chất là một vì thế học sinh đãtính lặp

2.2.3 Phân chia trường hợp riêng

Phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giải các bài tập tổ hợp.Đứng trước bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá bài toángiúp học sinh giải bài tập một cách chính xác Tuy nhiên, để có thể phân chiađúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân Nếu là quy tắc nhânthì phân chia thành các công đoạn thích hợp, còn nếu là quy tắc cộng thì phânchia thành các tập hợp con Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí của sự phânchia nên đã dẫn đến sai lầm khi giải toán Để phân chia một khái niệm thànhnhững khái niệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) của sự phân chia

Đối với quy tắc cộng phải thoả mãn tính đầy đủ và độc lập Chẳng hạnnhư ta chia tập hợp A thành các tập con:

 A1 = A ; i,j = 1,kNhiều học sinh trong quá trình phân chia một khái niệm thành những kháiniệm nhỏ đã vi phạm tính đầy đủ hoặc độc lập nên dẫn đến sai lầm trong giảitoán

Ví dụ 9:

Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn tròn, trong đó có

4 học sinh nữ và 6 học sinh nam Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không

có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau?

Ta xét bài toán gián tiếp: Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữđều ngồi cạnh một học sinh nam khác

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	143,5 KB