Tiếp theo đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của dãy lặp này đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G- không giãn tiệm cận trong không gian Banach l[r]
(1)SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HAI BƯỚC ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HAI ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ Cao Phạm Cẩm Tú1 Nguyễn Trung Hiếu2*
1Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp 2Trường Đại học Đồng Tháp
*Tác giả liên hệ: ngtrunghieu@dthu.edu.vn Lịch sử báo
Ngày nhận: 21/02/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 30/3/2020; Ngày duyệt đăng: 23/4/2020
Tóm tắt
Trong báo này, giới thiệu dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị Tiếp theo đó, chúng tơi chứng minh số kết quả hội tụ yếu hội tụ mạnh dãy lặp đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận G-không gian Banach lồi với đồ thị Các kết mở rộng của số kết nghiên cứu Wattanawweekul (2018) Đồng thời, chúng tơi cũng đưa ví dụ để minh họa cho hội tụ dãy giới thiệu chứng tỏ dãy lặp giới thiệu hội tụ đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh hơn dãy lặp nghiên cứu báo Wattanaweekul
Từ khóa: Ánh xạ G-khơng giãn tiệm cận, điểm bất động chung, không gian Banach với đồ thị - CONVERGENCE OF A TWO-STEP ITERATION PROCESS TO COMMON FIXED
POINTS OF TWO ASYMPTOTICALLY G-NONEXPANSIVE MAPPINGS IN BANACH SPACES WITH GRAPHS
Cao Pham Cam Tu1, and Nguyen Trung Hieu2* 1
Student, Dong Thap University
2
Dong Thap University
*Corresponding author: ngtrunghieu@dthu.edu.vn
Article history
Received: 21/02/2020; Received in revised form: 30/3/2020; Accepted: 23/4/2020
Abstract
In this paper, we introduce a new two-step iteration scheme for two asymptotically G-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs We then prove some weak and strong convergence results to common fixed points of two asymptotically G-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs These results are the extension of some major results reported by Wattanawweekul (2018) In addition, we give an example to illustrate for the convergence of the introduced iteration process and show that the convergence of this process to common fixed points of two asymptotically G-nonexpansive mappings is faster than those presented by Wattanawweekul (2018)
Keywords: Asymptotically G-nonexpansive mapping, common fixed point, Banach spaces
(2)1 Giới thiệu
Trong lí thuyết điểm bất động, vấn đề xây dựng dãy lặp ứng dụng vào nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Bên cạnh đó, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn theo nhiều hướng tiếp cận khác Năm 1972, Goebel Kirk (1972) giới thiệu mở rộng ánh xạ không giãn gọi ánh xạ không giãn tiệm cận Sau đó, lớp ánh xạ khơng giãn tiệm cận nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo hướng thiết lập điều kiện tồn điểm bất động chứng minh hội tụ dãy lặp khác đến điểm bất động Ngoài ra, số tác giả sử dụng kĩ thuật khác để mở rộng khái niệm ánh xạ không giãn tiệm cận Năm 2018, sử dụng ý tưởng trình bày Jachymski báo Jachymski (2008) kết hợp lí thuyết điểm bất động lí thuyết đồ thị, Sangago cs (2018) giới thiệu lớp ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị, đồng thời số tính chất điểm bất động kết hội tụ cho lớp ánh xạ thiết lập Kể từ đó, việc thiết lập hội tụ dãy lặp khác đến điểm bất động chung những ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị số tác giả quan tâm Năm 2018, sử dụng dãy lặp Ishikawa, Wattanataweekul (2018) giới thiệu dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận sau:
u
1
(1 )
(1 )
n
n n n n n
n
n n n n n
v u g u
u v f v (1.1)
với n ,{ },{ }n n [0,1], tập lồi
trong không gian Banach X f g, : hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận, đồng thời số kết hội tụ dãy lặp (1.1) thiết lập Đến đây, vấn đề tự nhiên
được đặt tiếp tục xây dựng dãy lặp mà hội tụ đến điểm bất động chung nhanh dãy lặp (1.1) Do đó, báo này, chúng tơi đề xuất dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận chứng minh số kết hội tụ dãy lặp đề xuất đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng báo
Cho không gian Banach thực X X không gian liên hợp X Khi đó, dãy
{ }un X gọi hội tụ mạnh (hội tụ theo
chuẩn) đến u X lim || n ||
n u u
Dãy { }un X gọi hội tụ yếu đến u X lim || n ||
n fu fu với f X
Cho tập khác rỗng khơng gian Banach thực X Kí hiệu
( ( ), ( ))
G V G E G đồ thị định hướng với
( )
V G tập hợp đỉnh đồ thị G cho
( )
V G trùng với , E G( ) tập hợp cạnh đồ thị G mà ( , )u u E G( ) với u G khơng có cạnh song song
Định nghĩa 1.1 (Suparatulatorn cs., 2018, Định nghĩa 4) Cho G ( ( ), ( ))V G E G đồ thị định hướng Khi đó, G gọi có tính bắc cầu với u v w V G, , ( ) cho
( , ),( , )u v v w E G( ) ( , )u w E G( )
Định nghĩa 1.2 (Sangago cs., 2018, Định nghĩa 3.1) Cho X không gian Banach thực tập khác rỗng X,
( ( ), ( ))
G V G E G đồ thị định hướng
cho V G( ) Khi đó, ánh xạ f :
(3)(2) Tồn dãy { },n n với lim n
n cho || || || ||
n n
n
f u f v u v
với ( , )u v E G( ) n
Định nghĩa 1.3 (Sangago cs., 2018, Định nghĩa 1.3) Cho X không gian định chuẩn, tập khác rỗng X,
( ( ), ( ))
G V G E G đồ thị định hướng
cho V G( ) Khi đó, gọi có tính
chất G với { }un dãy cho
( ,u un n ) E G( ) với n * { }un hội tụ yếu đến u tồn dãy {un k( )}
{ }un cho (un k( ), )u E G( ) với k * Định nghĩa 1.4 (Suparatulatorn cs., 2018, Định nghĩa 6) Cho X khơng gian Banach Khi đó, X gọi thỏa mãn điều
kiện Opial với { }un dãy X
{ }un hội tụ yếu đến u
lim sup || n || lim sup|| n ||
n n
u u u v với
,
v X u v
Bổ đề 1.5 (Sangago cs., 2018, Định nghĩa 1.4) Cho X không gian Banach,
là tập khác rỗng X, có tính chất G, f : ánh xạ G-không giãn tiệm
cận với dãy hệ số { }n sao cho
1
( n 1) ,
n
{ }un dãy hội tụ mạnh đến
,
u ( ,u un n 1) E G( ) và
lim || n n ||
n fu u Khi đó, fu u
Bổ đề 1.6 (Suparatulatorn cs., 2018, Bổ đề 3) Giả sử
(1) X không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial
(2) { }un dãy X cho
lim || n ||
n u u nlim ||un v|| tồn với
,
u v X
(3) {un k( )} {vn k( )} dãy { }un
sao cho {un k( )} hội tụ yếu đến u, {vn k( )} hội tụ yếu đến v
Khi đó, u v
Định nghĩa 1.7 (Jachymski, 2018, Định nghĩa 2.3) Cho ánh xạ f X: X Khi đó, f được gọi G-liên tục { }un dãy
X cho un hội tụ mạnh đến u
( ,u un n ) E G( ) fun fu
Mệnh đề 1.8 (Wattanataweekul, 2018, Mệnh đề 3.2) Giả sử
(1) X không gian Banach với đồ thị định hướng G, có tính chất G
(2) f : ánh xạ G-không giãn tiệm cận
Khi đó, f G-liên tục
Định nghĩa 1.9 (Dung Hieu, 2020, Định nghĩa 3.1) Cho X không gian vectơ và D tập khác rỗng X X Khi đó,
D gọi lồi theo tọa độ với ( , ),( , ),( , ),( , )p u p v u p v p D t [0,1] ta có
( , ) (1 )( , )
t p u t p v D t u p( , ) (1 t v p)( , ) D Định nghĩa 1.10 (Shahzad Al-Dubiban, 2006, tr 534) Cho ánh xạ
:
f Khi đó, f gọi G-nửa compact với { }un dãy với
1
( ,u un n ) E G( ) lim || n n ||
n fu u
tồn dãy {un k( )} { }un cho ( )
{un k } hội tụ mạnh đến q k Bổ đề 1.11 (Dung Hieu, 2018, Bổ đề 2.4) Cho X không gian Banach lồi
0
r Khi đó, tồn hàm lồi, tăng ngặt
và liên tục :[0, ) [0, ) cho (0) và
2 2
||tu (1 t v) || t u|| || (1 t v) || || t(1 t) (||u v||)
(4)Bổ đề 1.12 (Wattanataweekul, 2018, Bổ đề 2.11) Cho { },{ }an bn { }n dãy số thực không âm thỏa mãn
1 (1 )
n n n n
a a b n với
1
n n
và
1
n n
b Khi đó, lim n
n a tồn
2 Kết
Trong mục này, ta xét
( ( ), ( ))
G V G E G đồ thị định hướng, có
tính chất bắc cầu với V G( ) , ( )E G tập lồi theo tọa độ giả sử f g, : hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận với hệ số tiệm cận n, n cho
( ) ( )
Fix f Fix g với Fix f Fix g( ), ( )lần lượt
là tập điểm bất động hai ánh xạ f g, Đặt max { , }
n n n Giả sử
1
( n 1)
n
Bằng việc mở rộng dãy lặp (1.2) nghiên cứu Wattanataweekul (2018), giới thiệu dãy lặp { }un cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị sau:
u1 với n *,
(1 )
(1 ) ,
n
n n n n n
n n
n n n n n
v u g u
u g v f v (2.1)
trong { n},{ n} [0,1] Trước hết, chúng tơi chứng minh số tính chất dãy lặp (2.1)
Mệnh đề 2.1 Giả sử
(1) X không gian định chuẩn
(2) tập lồi, khác rỗng X (3) Với p Fix f( ) Fix g { }( ), un dãy xác định (2.1) thỏa mãn
1
( , ),( , )u p p u E G( ) Khi đó,
1
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( ,u p v p p un n n p vn v un n u un n ) E G( )
với n *.
Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh
( , )u pn E G( ) với n *. (2.2) Theo giả thiết, ta có ( , )u p1 E G( ) Suy (2.2) với n
Giả sử (2.2) với n k 1, tức
( , )u pk E G( ) Ta cần chứng minh
(uk , )p E G( )
Vì f g, bảo tồn cạnh nên f gk, k bảo toàn
cạnh Kết hợp gk bảo toàn cạnh
( , )u pk E G( ), ta có ( k , ) ( )
k
g u p E G Ta lại có
( , ) ((1 ) , )
(1 )( , ) ( , )
k
k k k k k
k
k k k k
v p u g u p
u p g u p (2.3)
Do ( , ),(u p g u pk k k, ) E G( ) E G( ) lồi theo tọa độ nên từ (2.3), ta có ( , )v pk E G( ) Kết hợp k, k
f g bảo toàn cạnh với ( , )v pk E G( ), ta ( k , ),( k , ) ( )
k k
f v p g v p E G Ta có
1
( , ) ((1 ) , )
(1 )( , ) ( , )
k k
k k k k k
k k
k k k k
u p g v f v p
g v p f v p (2.4)
Khi đó, từ (2.4), ( k , ),( k , ) ( )
k k
g v p f v p E G
( )
E G lồi theo tọa độ, ta có (uk 1, )p E G( ) Do theo nguyên lý quy nạp, ta có
( , )u pn E G( ) với n *. Tiếp theo, gn
bảo tồn cạnh ( , )u pn E G( ) nên
( n , ) ( )
n
g u p E G Ta có
( , ) ((1 ) , )
(1 )( , ) ( , )
n
n n n n n
n
n n n n
v p u g u p
u p g u p (2.5)
Kết hợp (2.5) với ( , ),( n , ) ( )
n n
u p g u p E G
( )
E G lồi theo tọa độ, ta có ( , )v pn E G( ) với *.
(5)Lập luận tương tự trên, ta chứng minh ( , ),( , )p un p vn E G( ) với n *
Vì ( , ),( , ),( , ),( ,v pn p un u pn p un 1) E G( )
G có tính chất bắc cầu nên
1
( , ),( ,v un n u un n ) E G( ) với n * Mệnh đề 2.2 Giả sử
(1) X không gian Banach lồi (2) tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X
(3) Với p Fix f( ) Fix g { }( ), un dãy xác định (2.1) thỏa mãn
1
( , ),( , )u p p u E G( ),
0 lim inf n lim sup n
n n
0 lim inf n lim sup n
n n
Khi đó,
(1) lim || n ||
n u p tồn
(2) lim || n n || lim || n || lim || n ||
n n n n n n
n f v g v n g u u n f u u
(3)lim || n n|| lim || n n ||
n fu u n gu u
Chứng minh (1) Lấy p Fix f( ) Fix g( ), theo Mệnh đề 2.1, ta có
1
( , ),( , ),( ,u p v p v un n n n),( ,u un n ) E G( ) Vì tập bị chặn nên tồn r 0 cho
|| ||u r với u Khi
, { :|| || }
n n r
u v B u u r Do đó, theo
Bổ đề 1.11, tồn hàm lồi, tăng ngặt, liên
tục :[0, ) [0, ) cho (0) 0
2
2
|| ||
|| (1 ) ||
n
n
n n n n
v p
u g u p
2
(1 )|| || || n || (1 ) (|| n ||)
n u pn n g u pn n n g u un n (2.6)
Do g G-không giãn tiệm cận nên từ (2.6) ta có
2
2 2
2
|| ||
(1 ) || || || || (1 ) (|| ||) [1 ( 1)]|| || (1 ) (|| ||) (2.7)
n
n
n n n n n n n n n
n
n n n n n n n
v p
u p u p g u u
u p g u u
Lập luận tương tự trên, theo Bổ đề 1.11 f g, ánh xạ G-không giãn tiệm cận, kết hợp với (2.7) ta có
2
2
|| ||
(1 ) || || || ||
(1 ) (|| ||)
n
n n
n n n n
n n
n n n n
u p
g v p f v p
f v g v
2 2
(1 ) || || || ||
(1 ) (|| ||)
n n n n n n
n n
n n n n
v p v p
f v g v
2 || ||2 (1 ) (|| n n ||)
n vn p n n f vn g vn
2[1 ( 1)]|| ||2 (1 ) (|| n ||) n n n un p n n n g un un
n(1 n) (||f vn n g vn n ||)
2 2
[1 ( 1)(1 )]|| || (1 ) (|| n ||)
n n n un p n n n g un un
n(1 n) (||f vn n g vn n ||)
2 2
|| || ( 1)(1 )|| || (1 ) (|| n ||)
n n n n n n n n n
u p u p g u u
(1 ) (|| ||)
n n
n n f vn g vn (2.8)
(2.8) Vì { },{ }n n bị chặn nên tồn
số M cho (1 n n2 ) ||un p||2 M với
1
n Khi đó, từ (2.8), ta
1
2
|| ||
|| || ( 1) (1 ) (|| ||)
n
n
n n n n n n
u p
u p M g u u
(1 ) (|| n n ||)
n n f vn g vn (2.9)
Từ (2.9), ta có
2 2
1
||un p|| ||un p|| M( n 1) Vì n2 (n n 1) với n 1và
1
( n 1)
n
nên
1
( n 1)
n
Theo Bổ đề 1.12, ta lim || n ||
(6)(2) Từ (2.9), ta có
1
2
|| ||
|| || ( 1) (1 ) (|| ||)
n
n n
n n n n n n
u p
u p M f v g v
Do
2 2
1
(1 ) (|| ||)
|| || || || ( 1) (2.10)
n n
n n n n
n n n
f v g v
u p u p M
Vì lim inf n lim sup n 1,
n n tồn số
thực số nguyên n0 cho
(1 )
n n với n n0.Từ (2.10) với
bất kì số tự nhiên m n0, ta có
0
0
(|| ||)
(1 ) (|| ||)
m n n n n n n m n n
n n n n
n n
f v g v
f v g v
0 0
2 2
1
|| || || || ( 1)
m m m
n n n
n n n n n n
u p u p M
0
0
2 2
1
|| n || || m || m ( n 1)
n n
u p u p M
0
0
2
|| n || m ( n 1)
n n
u p M (2.11)
Vì
1
( n 1)
n
nên từ (2.11) ta
0 (|| ||) m n n n n n n
f v g v Suy
0 (|| ||) m n n n n n n
f v g v
Do lim (|| n n ||)
n n
n f v g v Sử dụng
tính chất , ta
lim || ||
n n
n n
n f v g v (2.12)
Tiếp theo, từ (2.9), ta có
2 2
1
(1 ) (|| ||)
|| || || || ( 1) (2.13)
n
n n n n
n n n
g u u
u p u p M
Lập luận tương tự chứng minh trên, từ (2.13), ta
0 (|| ||) m n n n n n
g u u Do
đó lim (|| n ||)
n n
n g u u Sử dụng tính
chất , ta
lim || ||
n
n n
n g u u (2.14)
Tiếp theo, từ (1 ) n
n n n n n
v u g u , ta có
|| ||
|| (1 ) ||
= || ||
n n
n
n n n n n
n
n n n
v u
u g u u
g u u (2.15) Từ (2.14) (2.15), ta
nlim ||vn un || (2.16)
Theo Mệnh đề 2.1, ta có ( ,v un n) E G( )
Do
|| ||
|| || || ||
|| || || ||
2 || || || || || ||
n
n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n n n n n
f u u
f u f v f v g v
g v g u g u u
v u f v g v g u u
(2.17)
Từ (2.12), (2.14) (2.16), ta lim || n ||
n n
n f u u (2.18)
(3) Vì ( , )v un n E G( ) nên
|| ||
|| (1 ) ||
n n
n n
n n n n n
u u
g v f v u
|| n || || n n ||
n n n n n
g v u f v g v
|| n n || || n || || n n ||
n n n n n n n
g v g u g u u f v g v
|| || || ||
|| ||
n
n n n n n
n n
n n n
v u g u u
f v g v
(2.19) Kết hợp (2.19) với (2.12), (2.14) (2.16), ta
(7)Vì ( ,u un n 1) E G( ) nên
1
1
|| ||
|| || || || || ||
n
n n
n n n
n n n n n n
u f u
u u f u f u f u u
1
|| || || || || n ||
n n n n n n n
u u u u f u u
1
(1 ) || || || n ||
n un un f un un (2.21)
Kết hợp (2.21) với (2.18) (2.20), ta
1
lim || n ||
n n
n u f u
Ta có
1
1
1 1
|| ||
|| || || ||
n n
n n
n n n n
u fu
u f u fu f u
1
1 1 1
|| n || || n ||
n n n n
u f u u f u
Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức trên n , ta lim || n n ||
n fu u
Tương tự
1
1
|| ||
|| || || || || ||
n
n n
n n n
n n n n n n
u g u
u u g u g u g u u
1
|| || || || || n ||
n n n n n n n
u u u u g u u
1
(1 ) || || || n ||
n un un g un un
(2.22)
Kết hợp (2.22) với (2.14) (2.20), ta
1
lim || n ||
n n
n u g u Ta có
1
1
1 1
|| ||
|| || || ||
n n
n n
n n n n
u gu
u g u gu g u
1
1 1 1
|| n || || n ||
n n n n
u g u u g u
Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức khi n , ta lim || n n ||
n gu u
Tiếp theo, thiết lập chứng minh kết hội tụ yếu dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị
Định lí 2.3 Giả sử
(1) X không gian Banach lồi thỏa mãn điều kiện Opial
(2) tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X có tính chất G
(3) { }un dãy xác định (2.1) thỏa mãn ( , ),( , )u p1 p u1 E G( ) với
( ) ( ),
p Fix f Fix g
0 lim inf n limsup n
n n
0 lim inf n limsup n
n n
Khi đó, { }un hội tụ yếu đến điểm bất động chung f g
Chứng minh Vì X khơng gian Banach lồi nên X có tính chất phản xạ Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2, ta có
lim || n ||
n u p tồn Vì { }un bị chặn
Do đó, tồn dãy hội tụ yếu { }.un Giả sử {un k( )},{vn k( )} hai dãy { }un hội tụ yếu đến u v, Theo Mệnh đề 2.2, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
lim || ||
lim || ||
0
n k n k
k
n k n k
k
fu u
gu u
(2.23) Vì ( ,u un n 1) E G( ) G có tính chất bắc cầu nên
(un k( ),un k( 1)) E G( ) (2.24) Từ (2.23) (2.24), theo Bổ đề 1.5, ta fu gu u hay u Fix f( ) Fix g( ) Tương tự trên, ta chứng minh
( ) ( )
v Fix f Fix g Vì u v, Fix f( ) Fix g( ) nên lim || n ||
n u u nlim ||un v|| tồn Theo
Bổ đề 1.6, ta u v Do { }un hội tụ
(8)Tiếp theo, thiết lập chứng minh kết hội tụ mạnh dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị
Định lí 2.4 Giả sử
(1) X không gian Banach lồi (2) tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X, có tính chất G
(3) Một hai ánh xạ f g, G-nửa compact
(4) { }un dãy xác định (2.1) thỏa mãn ( , ),( , )u p1 p u1 E G( ) với
( ) ( ),
p Fix f Fix g
0 lim inf n limsup n
n n
0 lim inf n limsup n
n n
Khi đó, { }un hội tụ mạnh đến điểm bất động chung f và g.
Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2, ta có lim || n n || lim || n n ||
n u fu n u gu Hơn nữa,
{ }un dãy ( ,u un n 1) E G( ) Kết hợp với giả thiết hai ánh xạ f g,
G-nửa compact, suy tồn dãy {un k( )} { }un cho {un k( )} hội tụ mạnh đến
q C Do
( ) ( ) ( ) ( )
lim || n k n k || lim || n k n k ||
k u fu k u gu
Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.8, ta f g G-liên tục Kết hợp với (2.24), ta
( ) ( )
lim || n k || lim || n k ||
k fu fq k gu gq
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
|| ||
|| n k || || n k n k || || n k ||,
q fq
q u u fu fu fq
( ) ( ) ( ) ( )
|| ||
|| n k || || n k n k || || n k ||
q gq
q u u gu gu gq
Do lim || || lim || ||
k q fq k q gq Suy
ra fq gq q hay q Fix f( ) Fix g( ) Theo Mệnh đề 2.2, ta có lim || n ||
n u q tồn nên
{ }un hội tụ mạnh đến q Fix f( ) Fix g( ) Cuối cùng, đưa ví dụ minh
họa cho hội tụ dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận Đồng thời, ví dụ chứng tỏ dãy lặp (2.1) hội tụ đến điểm bất động chung nhanh dãy lặp báo Wattanataweekul (2018)
Ví dụ 2.5 Cho X không gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, [0,2],G ( ( ), ( ))V G E G đồ thị định hướng với V G( ) ( , )x y E G( ) 0, 75 x y 1, 70 x y Xét hai ánh xạ f g, xác định
5 arcsin( 1) neáu
neáu 3,
x x
fx
x
ln neáu 2
neáu
x
x x
gx
x
Với ( , )x y E G( ), ta có 0, 75 x y, 1, 70 Suy ( , ),( , )fx fy gx gy E G( ) Suy f g, bảo toàn cạnh Hơn nữa, với ( , )x y E G( )
1 n 1, 36 ta chứng minh
|| n n || || ||
n
f x f y x y
|| n n || || ||
n
g x g y x y
Do f g, ánh xạ G-khơng giãn tiệm cận Ta có Fix f( ) Fix g( ) {1} Chọn
1 1,
u ta có ( , ),( , )p u1 u p1 E G( ) với ( ) ( )
p Fix f Fix g Chọn ,
5
n
(9)4 10
n
n
n Khi đó, dãy lặp { }un xác
định (2.1) có dạng hội tụ đến điểm bất động chung p
1 1,
u
1
9
10 10
4
5
n
n n n
n n
n n n
n n
v u g u
n n
n n
u g v f v
n n
(2.25)
Tuy nhiên, với x 3,y u 2, 1,
v ta tính
|fx fy| |x y|, |gu gv| 1|u v|
Do đó, f g, khơng ánh xạ khơng giãn tiệm cận Vì vậy, kết hội tụ đến điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn tiệm cận không áp dụng cho hai ánh xạ Hơn nữa, với cách chọn hai ánh xạ
,
f g dãy lặp { }xn giới thiệu nghiên cứu Wattanataweekul (2018) có dạng hội tụ đến điểm bất động chung p
1 1,
x
9
10 10
4
5
n
n n n
n
n n n
n n
y x g x
n n
n n
x y f y
n n
(2.26)
Tuy nhiên, hội tụ dãy lặp (2.25) đến điểm bất động chung p nhanh hội tụ dãy lặp (2.26) minh họa bảng số liệu hình ảnh minh họa dáng điệu sau
Bảng Số liệu hội tụ dãy lặp (2.25) (2.26)
n xn(dãy 2.26) un(dãy 2.25)
1 1,4 1,4
2 1,2887079 1,1097846
3 1,1940112 1,0077474
4 1,130939 1,0003408
5 1,0886472 1,0000094
6 1,0601816 1,0000002
7 1,0409866 1,
… … …
46 1, 1,
Hình Dáng điệu hội tụ dãy lặp (2.25) (2.26) đến với n=50
Lời cảm ơn: Bài báo hỗ trợ Trường Đại học Đồng Tháp với Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên mã số SPD2019.02.15./
Tài liệu tham khảo
N V Dung and N T Hieu (2020), “Convergence of a new three-step iteration process to common fixed points of three G-nonexpansive mappings in Banach spaces with directed graphs”,
Rev R Acad Cienc Exacts Fis Nat Ser A Math RACSAM, 114: 140, pp 1-24
N V Dung and N T Hieu (2019), “A new hybrid projection algorithm for
equilibrium problems and
asymptotically quasi -nonexpansive mappings in Banach spaces”, Rev R
Acad Cienc Exactas Fís Nat Ser A Math RACSAM, (3), pp 2017-2035
(10)nonexpansive mappings”, Proc Amer
Math Soc., (1), pp 171-174
J Jachymski (2008), “The contraction principle for mappings on a metric space with a graph”, Proc Amer Math Soc., (4), pp 1359-1373
M G Sangago, T W Hunde and H Z Hailu (2018), “Demiclodeness and fixed
points of G-asymptotically
nonexpansive mapping in Banach spaces with graph”, Fixed Point Theory, (3), pp 313-340
N Shahzad and R Al-Dubiban (2006), “Approximating common fixed points of
nonexpansive mappings in Banach spaces”, Georgian Math J., (3), pp 529-537
R Suparatulatorn, W Cholamjiak, S Suantai (2018), “A modified S-iteration process for G-nonexpansive mappings in Banach spaces with graphs”, Numer Algor, (2), pp 479-490