Một số nón đặc biệt trong không gian banach

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ XN TRƯỜNG MỘT SỐ NĨN ĐẶC BIỆT TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Vinh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ XN TRƯỜNG MỘT SỐ NĨN ĐẶC BIỆT TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC – TƠPƠ Mà SỐ: 60.46.10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS PHẠM NGỌC BỘI Vinh 2011 MụC LụC Trang Mở đầu Ch-ơng Nón không gian Banach 1.1 Nãn 1.2 Thø tù kh«ng gian Banach 1.3 Nãn chuÈn t¾c ……… 10 1.4 Nón làm trội đ-ợc 13 1.5 Nãn c©n nón hoàn toàn cân 19 1.6 Mối quan hệ nón không gian Banach 21 Ch-ơng Nãn kh«ng gian ℝn 30 2.1 Các khái niệm tính chất ……………………… 30 2.2 Nãn ®a diƯn ……………… …………………………… 37 KÕt ln ……… ………………………………………… 45 Tµi liƯu tham kh¶o ……………………… .……… 46 Më ®Çu I Lí chọn đề tài Khái niệm nón tính chất đóng vai trị quan trọng tốn học nói chung hình học nói riêng Nón có vai trị cốt lõi việc nghiên cứu lý thuyết tốn tử, phương trình vi phân, toán điểm bất động, toán cực trị, lý thuyết động lực, lý thuyết điều khiển… Nón khơng gian Banach liên quan chặt chẽ với quan hệ thứ tự, loại nón khác tương ứng với cấu trúc thứ tự khác Trong luận văn này, trước hết chúng tơi quan tâm nghiên cứu loại nón cổ điển khơng gian Banach nói chung, sau chúng tơi quan tâm nghiên cứu loại nón khơng gian ¡ n tính chất chúng mà nón nói chung khơng gian Banach khơng có Luận văn nhằm cụ thể hóa, chi tiết hóa khái niệm mối quan hệ loại nón, dấu hiệu nhận biết loại nón… Với lí trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Một số nón đặc biệt khơng gian Banach” II Nội dung nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu luận văn là: 1, Trình bày khái niệm loại nón, tính chất nón khơng gian Banach Trình bày chứng minh đầy đủ dấu hiệu nhận biết nón, định lý nón 2, Trình bày mối quan hệ loại nón khơng gian Banach 3, Trình bày số loại nón khơng gian ¡ n tính chất 4, Trình bày chứng minh số ví dụ minh họa cho khái niệm nón tính chất chúng III Phương pháp nghiên cứu 1, Phương pháp suy luận trực tiếp 2, Phương pháp suy luận gián tiếp 3, Phương pháp loại suy IV Dự kiến cấu trúc luận văn Trên sở nhiệm vụ nghiên cứu nêu, phần mở đầu tài liệu tham khảo, luận văn trình bày thành chương Chương Nón khơng gian Banach Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm nón, nãn khèi, nón sao, nón chuẩn tắc, nón làm trội, nón cân, nón hoàn toàn cân số dấu hiệu nhận biết chúng Luận văn trình bày tính chất số loại nón chứng minh mối liên hệ loại nón không gian Banach Trình bày số ví dụ minh họa cho khái niệm nãn kh«ng gian Banach 1.1 Nón Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm số loại nón, (nón, nón tái tạo (hay cịn gọi sao), nón khối, nón K(F).…) trình bày chứng minh số ví dụ minh họa nón, nón khối, nón sao, nón K(F) 1.2 Thứ tự khơng gian Banach Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa thứ tự, khơng gian có thứ tự, chúng tơi trình bày số nhận xét tính chất thứ tự 1.3 Nón chuẩn tắc Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa nón chuẩn tắc, định nghĩa nửa đơn điệu, mối quan hệ nón chuẩn tắc thứ tự, nón chuẩn tắc chuẩn nửa đơn điệu Chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ số tính chất trình bày chứng minh số ví dụ minh họa cho nón 1.4 Nón làm trội Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa phiếm hàm tuyến tính đơn điệu, phiếm hàm tuyến tính dương, phiếm hàm tuyến tính dương đều, định nghĩa siêu phẳng, siêu phẳng tách, định nghĩa nón làm trội được, nón compact địa phương Mối quan hệ nón làm trội với phiếm hàm tuyến tính dương đều, tập compact nón làm trội 1.5 Nón cân nón hồn tồn cân Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa nón cân nón hồn tồn cân Trình bày chứng minh đầy đủ số định lý nón 1.6 Mối quan hệ nón khơng gian Banach Trong mục này, chúng tơi trình bày mối quan hệ loại nón khơng gian Banach trình bày số ví dụ minh họa cho mối quan hệ Chương Nón khơng gian ℝn Chương này, chúng tơi trình bày số loại nón khơng gian ¡ n Chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ số tính chất mệnh đề nón 2.1 Các khái niệm tính chất Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm nón khơng gian ¡ n Trình bày khái niệm tập đối cực Chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ số tính chất mệnh đề nón khơng gian ¡ n Đồng thời chúng tơi trình bày số ví dụ minh họa cho tính chất 2.2 Nón đa diện Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa vectơ cực trị, tia cực trị, nón đa diện, nón đơn hình, chúng tơi trình bày chứng minh số định lý vectơ cực trị, tia cực trị trình bày số ví dụ minh họa cho định lý Cuối kết luận tài liệu tham khảo Luận văn thực hoàn thành Khoa Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học tận tình chu đáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy tổ Hình học giảng dạy dẫn tận tình trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô Hội đồng chấm luận văn, thầy Khoa Tốn, Khoa Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, thầy Phịng Quản lý khoa học Đào tạo Trường Đại học Hải phịng, bạn bè, đồng nghiệp gia đình giúp đỡ động viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng trình làm việc, song điều kiện thời gian lực hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nhiều chỗ khơng phản ánh hết dụng ý sư phạm tác giả Chúng mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác gi Ch-ơng nón không gian banach Trong toàn luận văn kí hiệu E không gian Banach thực Kí hiệu || || chuẩn E, E không gian Mêtric với mêtric d(x, y) = || y x || 1.1 Nón 1.1.1 Định nghĩa a) Tập K E đ-ợc gọi nún (nói đầy đủ nún cú nh l ) thoả mÃn điều kiện sau đây: Nếu u, v K th× u + v  K, víi mäi ,  b) Nón K đ-ợc gọi nún nhn K thỏa mÃn thêm điều kiện: K ( K) = {} (điều kiện gọi điều kiện nhọn) Nón K đ-ợc gọi nún nhn đóng nÕu K lµ nãn nhän vµ K lµ tËp đóng c) Nón K đ-ợc gọi nún chứa điểm trong, tức intK 1.1.2 Nhận xét a) Dễ dàng suy nón tập lồi b) Định nghĩa nón đ-ợc phát biểu cách khác nh- sau: i) Tập K nón điều kiện sau thỏa m·n: +) NÕu u  K th× u  K víi mäi   0, +) NÕu u, v  K u + v K ii) K nãn vµ chØ K = KG, víi KG = {Tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số không âm phần tử K} = {1x1 + 2x2 + + kxk, xi K, i 0, i 1,k } Trong toàn ch-ơng xét nón nhọn đóng, gọn viết nón thay cho “nãn nhän ®ãng” 1.1.3 VÝ dơ Trong khơng gian Ă cho vectơ a1 = (1; 0; 0), a2 = (1; 1; 1), a3 = (1; 0; 1), Q = {a1, a2, a3 }, S = {a1, a2} Khi QG nón khối, SG nón nh-ng SG nón khối 1.1.4 Ví dụ Kí hiệu C a; b không gian hàm thực liên tục đoạn a; b , K C gồm hàm không âm C a; b lµ nãn khèi ThËt vËy: a) Víi u, v  K C th× (u + v)(t) = u(t) + v(t)  0, víi ,   Vậy K C nón b) K C đóng Giả sư {xn}  K C vµ x n  x  Khi ®ã sup x n (t)  x(t) nên xn hội tụ x từ suy x liên ta;b tục, không âm VËy x  K C , ®ã K C ®ãng c) K C nhän NÕu u  K C u(t) 0, u(t) < nên – u(t)  K C K C lµ khèi v× xÐt x0:  a; b  ¡ t x (t)  t  a; b th× x0 điểm nón K C 1.1.5 Định nghĩa Nón K đ-ợc gọi nún bn (hay cũn gi l nún tỏi to) x E biểu diễn đ-ợc d-ới dạng x = u – v (víi u, v  K) 1.1.6 Ví dụ Tập K L gồm hàm không âm Lp nón p T-ơng tự chøng minh cho K C VÝ dơ 1.1.4 lµ nãn, ta cịng dƠ dµng kiĨm tra K L lµ nón không gian Lp Và K L nón hàm p p x(t) Lp ®Ịu cã thĨ biĨu diƠn d-íi d¹ng: x(t) = x + (t) – x - (t), ®ã: x(t) nÕu x(t)  x + (t) = nÕu x(t)  vµ x - (t) = nÕu x(t) < – x(t) nÕu x(t) < 10 Râ ràng x + (t) x - (t) hàm không âm thuộc Lp 1.1.7 Nhận xét Trong Định nghĩa 1.1.5 phần tử u, v xác định không 1.1.8 Ví dụ Bây sÏ lÊy vÝ dơ vỊ mét lo¹i nãn quan träng không gian Banach, nón sinh bi F Giả sử F tập bị chặn, đóng lồi, không chứa phần tử không gian E KÝ hiÖu K(F) = {x  E | x = t z, t  0, z  F} Khi ®ã K(F) nón, đóng, nhọn a) Giả sử u, v  K(F) ta chøng minh u + v  K(F) Gi¶ sư u = t1z1, v = t2z2, víi t1, t2  vµ z1, z2  F Ta cã:  t1  t u  v  (t1  t )  z1  z2  t1  t   t1  t Do F lồi nên biểu thức ngoặc vuông thuộc F V× vËy u + v  K(F) b) Ta chứng minh K(F) đóng Giả sử un K(F) u n  v  0, v   Khi ®ã un = tnzn víi tn  0, zn  F Từ F bị chặn nên tồn sè d-¬ng m, M cho: m  z n M tn bị chặn nên tn tån t¹i d·y héi tơ t n  t (t  0) Ta cã: i zn  i  v 1  t 0zn  v  t 0z n  t n z n  t n z n  v  t0 t0 t0 i i i i i i 1 t  t n zn  u n  v (v× u n  t n z n ) t0 t0 i V× vËy z n  i i i i i i v v  nªn z n t0 t0 Mặt khác F đóng suy i v  F ®ã v  K(F) suy K(F) ®ãng t0 34  x – x o y u z H×nh DƠ thÊy hai Mệnh đề b, c, t-ơng đ-ơng với Nếu H siêu phẳng nói trên, siêu phẳng qua vectơ x 0, x K song song với H cắt tia gốc 0, qua ®iĨm bÊt kú thc K \{0} 2.1.4 NhËn xÐt Dễ dàng thấy định nghĩa nón t-ơng đ-ơng với định nghĩa sau a) K nón điều kiện sau thỏa mÃn: +) Nếu u  K th× u  K víi mäi   0, +) NÕu u, v  K th× u + v  K b) K lµ nãn vµ chØ K = KG, với KG = {Tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số không âm phần tử K} = {1x1 + 2x2 + + kxk, xi K, i  0, i  1,k } Cịng nh- kh«ng gian Banach bÊt kì, nón Ă n tập lồi 2.1.5 Mệnh ®Ị NÕu S  , S  ¡ n th× tập đối cực S* nón, đóng Chứng minh Để chứng minh S* nón, ta lấy u, v  S* vµ bÊt kú ,   Do tÝnh chÊt céng cđa tÝch v« h-íng, ta cã: =  +   VËy S* lµ nãn Ta chøng minh S* ®ãng 35 LÊy mét d·y tuú ý x m m1  S* mµ lim x m  x Khi ®ã  0, y m   x m , y   0,  S Do tính chất liên tục tích vô h-ớng nªn < x, y > = lim m y  S Suy x  S* VËy S* lµ tËp ®ãng MƯnh ®Ị ®· ®-ỵc chøng minh Ta vÉn sư dụng kí hiệu SG nh- đà nói phần 2.1.4 2.1.6 MƯnh ®Ị NÕu   S  ℝ n th× S** = S G Chøng minh LÊy bÊt kú x  SG th× x cã thĨ biĨu diƠn nh- sau: x = 1x1 + 2x2 + + kxk, i  0, xi  S, i  1,k Víi mäi y  S* ta cã < xi, y>  VËy  0, y  S*, cho nªn x S** VËy SG  S** Theo MƯnh đề 2.1.5 (S*)* tập đóng nên lấy bao đóng hai vế bao hàm thức ta có: SG  S** = S** §Ĩ chøng minh bao hàm thức ng-ợc lại S** SG , ta phải sử dụng khái niệm siêu phẳng tựa tập lồi phép chiếu không gian Ă n lên điểm gần tập lồi đóng (xem [4]) Giả sử bao hàm thức sai, tồn z S** \ SG Gäi z’ l¯ °nh cña z qua không gian Ă n lên điểm gần SG vectơ zz vuông góc với siêu phẳng tựa H SG Có H tách z SG (tức z SG không nằm nửa không gian có biên H) đó, lấy vectơ pháp tuyến u SG h-ớng vào SG < u, x >  0, x  SG (2.1) vµ < u, z > < (2.2) Bất đẳng thức (2.1) kÐo theo u  (SG ) * V× S  SG nªn S  SG , kÐo theo (SG ) *  S* VËy u  S*, kÕt hợp điều với bất đẳng thức (2.2) ta có z  S**, 36 m©u thn víi z  S** \ SG VËy S** \ SG = , tøc lµ S**  SG Nh- vËy cã S** = SG Từ định nghĩa nón đối cực, dễ dàng suy víi mäi tËp S ta lu«n cã S S**, kết sau cho thấy đẳng thức S = S** xảy 2.1.7 Hệ Tập khác rỗng S Ă n nón ®ãng vµ chØ S = S** Chøng minh S lµ nãn  S = S G vµ S ®ãng  S = S VËy S lµ nãn ®ãng  S = S G KÕt hỵp víi Mệnh đề 2.1.6 ta có điều cần chứng minh 2.1.8 Ví dụ Sau số ví dụ nón nón đối ngẫu a) Ă n v {0} l nón đóng đối ngẫu nhau, tøc lµ ( ¡ n )* = {0} vµ ({0})* = ¡ n b) ¡ lµ ( ¡ n + n + )* = ¡ = {x = (x1; x2; ; xn)  ¡ n , xi  0} nón đóng tự đối ngẫu, tức n + c) K = {0}  {x = (x1; x2; ; xn)  ¡ n , xi > 0} lµ nãn không đóng, (K)* = Ă n + d) Kn = {x  ¡ n , ( x22   xn2 )  x1 } l¯ nón đóng Đây l nón tròn xoay có trục đối xøng l¯ 0x1 Chøng minh a) ¡ n {0} l nón đóng đối ngẫu nhau, tøc lµ ( ¡ n )* = {0} vµ ({0})* = ¡ n Vì ¡ n khơng gian Mêtric đầy đủ nên ¡ n nón đóng Tập {0} nón gồm điểm nên hiển nhiên nón đóng +) Vì  " x  ¡ +) ({0})* = ( ¡ n )**= ¡ nG n Û y = nên ( ¡ n )* = {0} = ¡ n 37 b) ¡ lµ ( ¡ n + n + = {x = (x1; x2; ; xn)  ¡ n , xi  0} nón đóng tự đối ngẫu, tức )* = ¡ +) ¡ n + n + nón đóng Lấy dãy  x k   ¡ giả sử lim x k = x = (x 10; ; x n0 )  ¡ n , ú n + kđ Ơ lim x ik = x i0 , i = 1,, n kđ Ơ k Ta có x i ³ 0, " i = 1, , n suy lim x i k = x i ³ 0, " i = 1, , n kđ Ơ Do ú x Ă n + , tức ¡ +) ( ¡ n + )* = {y Ỵ ¡ n (¡ n + n + )* = ¡ Hiển nhiên ( ¡ n + nón đóng n + x , y ³ 0, " x Ỵ ¡ )*  ¡ n + n + } Bây ta chứng minh bao hàm thức ngược lại Thật vậy, lấy y = (y1; ; y n )  ( ¡ Suy x , y ³ 0, " x  ¡ n + n + )*  x1y1 + + xnyn ³ 0, " (x 1; ; x n ) Û y i ³ 0, " i = 1, , n Tức y = (y1; ; y n ) Ỵ ¡ Kết luận ( ¡ n + )* = ¡ n + n + ( ¡ n + )*  ¡ n + c) K = {0}  {x = (x1; x2; ; xn)  ¡ n , xi > 0} nón không đóng, v (K)* = Ă n + +) Chứng minh K nón khơng đóng Thật vậy: Lấy dãy {x k } Ð K, với x k = ( ;1; 0; ; 0) k Khi lim x k = x = (1;1;0; ;0) ẽ K kđ Ơ 38 +) Tng t ví dụ b, ta có (K)* = ¡ n + 2 n d) Kn = {x  ¡ , ( x   x )  x1 } l nón đóng Đây l nón tròn n 2 xoay” cã trơc ®èi xøng l¯ 0x1 { } Lấy dãy x k Ð K , với x k = (x 1k ; ; x nk ) thỏa mãn: é(x 2k )2 + + (x nk )2 ù2 £ x 1k ë û (2.3) Giả sử lim x k = x = (x 10; ; x n0 ) Ỵ ¡ n , ta phải chứng minh x ẻ K kđ Ơ T iu giả sử ta suy lim x ik = x i0, " i = 1, , n , lấy giới hn hai v ca bt kđ Ơ Ê x , tức x Ỵ K đẳng thức (2.3) k   ta éë(x 20 )2 + + (x n0 )2 ù û Chú ý từ định nghĩa, ta có bao hàm thức hiển nhiên K K** tập K VÝ dơ c, cho ta thÊy bao hµm thùc thực Sở dĩ nh- K không đóng (Hệ 2.1.7) 2.1.9 Định lý Cho K nón đóng vectơ x Ă n cã thĨ viÕt d-íi d¹ng x = y + z víi y  K, z  – K * vµ < y, z > = Chøng minh XÐt hai tr-ờng hợp: + Nếu x K chọn z = 0, y = x + 0, thỏa mÃn Định lý + Nếu x K, đặt = d(x, K) tồn y K cho x y Đặt z = x – y, ®ã x = y + z Ta sÏ chøng minh z  – K* vµ < y, z > = Víi mäi v  K vµ   ta cã: y + v  K, suy   x  ( y  v)  x  y  v  z  v ,   2  2  < z – v, z – v>    z  2  v, z   v 2    2  v, z   v 2 39 Vì bất đẳng thức với 0, suy < v, z >  Do điều với v K z K* Mặt khác d(x, K) = x y x K nên y thuộc biên K K Do y thuộc siêu phẳng tựa H K qua y, vuông góc với vectơ x y = z Siêu phẳng H chứa gốc 0, (t-ơng tự chứng minh Mệnh đề 2.1.3) Vậy < z, y > = < z, > = Định lý đà đ-ợc chứng minh 2.1.10 Hệ Cho K nón đóng, K chứa đối cực K *của vectơ x Ă n tồn y t K cho x = y – t vµ < y, t > = Chøng minh LÊy t = – z (y, z nh- Định lý 2.1.9) Khi t = – z  K*  K; x = y + z = y – t vµ = – < y, z > = Đặt z = t z K* < y, z > = 2.2 Nãn ®a diƯn Cịng nh- ë Ch-ơng 1, ta xét quan hệ E xác định nh- sau: x y y x K 2.2.1 Định nghĩa Cho K nón đóng Vectơ x K đ-ợc gọi vectơ cực trị K y x với vectơ y bội không âm cđa x Chó ý r»ng ®iỊu kiƯn  y  x lµ x – y = z, y  K, z K Do x K đ-ợc gọi vectơ cực trị từ hệ thức x – y = z víi y  K, z K suy y = kx,  k  2.2.2 VÝ dô - Nãn ¡ n - Nãn ¡ n + (Nãn ¡ n + vectơ cực trị có n vectơ cực trÞ (1; 0; ; 0), (0; 1; ; 0), , (0; 0; ; 1) nãi ë VÝ dô 2.1.8 b) - Nãn Kn (nãi ë VÝ dô 2.1.8 d) có vô số vectơ cực trị, vectơ x= 40 (1; x2; ; xn)  ¡ n tháa m·n x22   xn2  2.2.3 Bổ đề Nếu nón K có vectơ cực trị x x K (biên K) Chứng minh Chúng ta chứng minh mệnh đề sau mạnh kết luận Bổ đề, phản ánh chất vectơ cực trị Nếu có mặt phẳng H qua vectơ x, vµ O cho dim(K  H) ≥ 2, x ri (K H) (phần t-ơng đối tập (K H), xem [3]) x vectơ cực trị K Vì x ri (K H) nên tồn hình tròn S (x, r) tâm x bán kính r nằm (K H) Gäi N lµ nãn (S (x, r))G (nãi ë phần 1.1 Ch-ơng 1) S (O, r) ảnh S (x, r) qua phép tịnh tiến theo vectơ – x LÊy z  (N  S (O, r)) cho x, z kh«ng céng tuyÕn Gäi y = x – z, ®ã y  K DƠ thÊy y không cộng tuyến với x y cộng tun víi x th× suy x, z céng tun, mâu thuẫn với cách chọn z (Hình 2) Do x – y = z  K vµ y  K nên y x Nh-ng y không cộng tuyến với x nên y bội x, suy x vectơ cực trị K Mâu thuẫn với giả thiết S(x, r) x O S(x, r) Hình Ta chứng minh Bổ đề 2.2.3 Do Bổ đề t-ơng đ-ơng với mệnh đề: Nếu x int K x vectơ cực trị K Vì x int K nên x thỏa mÃn điều kiện mệnh đề 41 2.2.4 Nhận xét Từ mệnh đề suy x ri K x vectơ cực trị K 2.2.5 Định nghĩa a) Giả sử x vectơ cực trị nón đóng K {x}G = {x | 0} đ-ợc gọi tia cực trị nón K b) Nón đóng, nhọn có hữu hạn tia cực trị đ-ợc gọi nón đa diện c) Nón khối, nhọn đóng, đ-ợc gäi lµ nãn thùc sù Nãn thùc sù ¡ n có n tia cực trị đ-ợc gọi nón đơn hình 2.2.6 Định lý a) Nếu nón K nhọn, đóng có tất m tia cực trị l {x1}G, , {xm}G th× K = {x1, , xm }G b) Nếu K nón đơn hình nhọn, đóng x1, , xn vectơ cực trị hệ vectơ {x1, , xn } độc lập tuyến tính Chứng minh a) Gọi H siêu phẳng cắt tất c¸c tia {x}G, x  K, x  (MƯnh ®Ị 2.1.3) Ký hiƯu G = (K  H), râ ràng G tập lồi đóng Ta chứng minh G bị chặn Giả sử ng-ợc lại G không bị chặn, G chứa tia Gäi y0 lµ gèc cđa  Coi  lµ ¡ + Lấy dÃy {yn} dần + gọi Yn giao tia {yn}G với hình cầu S (O, r), tâm O bán kính r > Do tÝnh compact cđa S (O, r) nªn d·y {Yn} hội tụ Y Do K đóng nên Y  K, vËy tia OY  K Gäi y giao tia OY H Vì dÃy {Yn} héi tơ vỊ Y nªn d·y tia {yn}G héi tơ vỊ {y}G cho nªn d·y {yn} héi tơ vỊ y (Hình 3) Suy điều mâu thuẫn dÃy {yn} không hội tụ Vậy G tập lồi compact, G đ-ợc gọi đa diện lồi 42 O Y Y1 Y Y2 y y0  y1 y2 yn Hình Tiếp theo, ta gọi D tập đỉnh G, gọi z1, , zm t-ơng ứng giao tia {x1}G, , {xm }G với H; ta chøng minh r»ng D = {z1, , zm} Theo chøng minh Bỉ ®Ị 2.2.3 ta suy z1, , zm D, z1 chẳng hạn không đỉnh G có mặt phẳng H qua vectơ z1 O cho z1 ri (K H) Ng-ợc lại z D, ta chứng minh z vectơ cực trị K Ta chứng minh cho z = z1 (còn vectơ z2, , zm chøng minh t-¬ng tù) LÊy x tïy ý cho  x  z1, ta sÏ chøng minh r»ng x = kz1, k  LÊy x K, tia {x}G cắt G y (do K nhọn Mệnh đề 2.1.3) y tổ hợp lồi z1, , zm suy x = t1z1 + + tmzm , t1  0, …, tm  Chó ý r»ng x  z1 kÐo theo x  z1 víi mäi sè nguyên d-ơng n, giả sử t1 < 1, n không xảy điều này, ta cần chọn n nguyên d-ơng đủ lớn cho 1, sau áp dụng lập luận cho y = t1  n x Ta cã  z1– x = (1 – t1)x1 – t2x2 n 43 – – tmxm, tøc lµ (1 – t1)x1 – t2x2– – tmxm  K Suy – t2  0, … – tm  VËy t2 = 0, …., tm = 0, tøc lµ x = t1x1, t1 Đây điều cần chứng minh b) Giả sử K nón đơn hình, nhọn, đóng có x1, , xn vectơ cực trị Cắt tất tia thuộc nón, có gốc O siêu phẳng H, giao đa diện lồi cã tËp ®Ønh D = {z1, , zn} (xem chøng minh phần a) Do intK dimD = n Mặt khác D có n vectơ hệ vectơ z1, , zn độc lập tuyến tính Suy hệ vectơ x1, , xn độc lập tun tÝnh 2.2.7 NhËn xÐt Ta ký hiƯu B lµ ma trận thực cỡ n m Với Ă n + , ký hiệu B ánh x¹: B: ¡ n + z ¡ n + Bz, Bz phép nhân B với ma trận tọa độ cột z Khi nón đơn hình đóng, nhọn K Ă n B( Ă n + ), với B ma trận không suy biến Thật vậy, giả sử K có n vectơ cùc trÞ x1 = (a11; a21; ; an1), , xn = (a1n; a2n; .; ann) Mỗi phần tử K cã thĨ biĨu diƠn d-íi d¹ng: x = 1x1 + + nxn víi i  0, i = 1, , n Ký hiÖu  = [1 2 … n] T (ma trận chuyển vị [1 n])  a11 a12 a a22 B   21    an1 an a1n  a2 n  ,   ann  ®ã täa ®é cét cđa x b»ng B Do nhận giá trị tùy ý thuộc Ă K = B (¡ n + n + cho nªn ) Do x1,., xn độc lập tuyến tính (Định lý 2.2.6) ma trận B không suy biến 44 2.2.8 Định lý K nón đơn hình K * nón đơn hình Chứng minh Để chứng minh Định lý ta chứng minh ®¼ng thøc (B( ¡ n + ))* =  B 1  ¡ T n + Gi¶ sư K cã n tia cùc trÞ x1 = (a11; a21 ; ; an1),…., xn = (x1n; x2n ; ; xnn), kÝ hiƯu ma trËn B nh- NhËn xÐt 2.2.7 th× detB 0, với x K đ-ợc biểu diễn d-ới dạng B, = (1; 2; .; n)  ¡ n + Tr-íc hết ta có đẳng thức: = n n n i 1 i 1 i 1  a1ii y1   a 2ii y2    a nii yn = < , BTy > LÊy y  (B( ¡  ¡ n + B  (¡ 1 T 1 T ))* ta cã  0, x  (B( ¡ VËy < , BTy >  0,   ¡ n + ) VËy (B( ¡ VËy (B( ¡ B  n + (¡ n + n + ))*   B 1  ( ¡ T ))*   B 1  ( ¡ T )  (B( ¡ u bÊt kú, u  B( ¡ n + n + n + n + n + n + )), suy  0, Cho nªn BTy  ¡ n + n + KÐo theo y  ) ) Ta chøng minh bao hàm thức ng-ợc lại: ))* Lấy z  B 1  ( ¡ T ) ta cã u = B,   ¡ n + n + ) th× z = B 1 ,   ¡ T ))* Nªn  B 1  ( ¡ T VËy z  (B( ¡ n + Suy (B( ¡ ))*=  B 1  ( ¡ n + T n + n + n + LÊy ¸p dông (2.4) ta cã < z, u > = <  B 1  , B > = < B  B 1  , B > = < ,  >  0, ,  thuéc ¡ T (2.4) )  (B( ¡ n + n + ))* ) 2.2.9 Định lý Nếu K nón đa diện K* nón đóng Chứng minh Giả sö x1 = (a11; a21; ; an1), , xm = (x1m; x2m ; ;xnm) LËp luËn t-¬ng tù chøng minh §Þnh lý 2.2.8, ta cã K = B( ¡ trËn cì n x m Ta cã: m + ) víi B lµ ma 45  a11 a B   21    an1 a1m  a2m     anm  a12 a22 an Mỗi x K biĨu diƠn d-íi d¹ng x = B,   ¡ m + Víi y  K*, ta cã < y, x > ≥ 0, x  K   0,   ¡  < B t y, >  0,   ¡ m +  Bt y  ¡ m + m + Hệ thức cuối viết d-ới dạng hệ bất ph-ơng trình là: a1iy1 + a2iy2 + + aniyn 0, với i = 1, , m Mỗi bất ph-ơng trình biểu diễn nửa không gian đóng Vì nửa không gian đóng nón đóng giao nón nón ta có điều cần chứng minh Khi nón đa diện nón đơn hình không kết luận đ-ợc K * nón nhọn Chẳng hạn n = 3, m = 2, ma trận B nói Định lý 2.2.9 lµ a a B =  11 12 a21 a22 a13 a23 Ph-ơng trình K* lµ a1iy1 + a2iy2+ a3iy3 ≥ 0, víi i = 1, Vậy K góc nhị diện, chứa ton đường thẳng qua O giao hai mặt phẳng có ph-ơng trình: a1iy1 + a2iy2+ a3iy3 = 0, víi i = 1, §-êng thẳng qua O, K* không nhọn 2.2.10 NhËn xÐt a) Trong ¡ , nãn thùc nón đơn hình b) Từ nón đa diện ta phân chia thành nón đơn hình 2.2.11 Ví dụ Trong Ă cho vectơ a1= (1; 0; 0), a2 = (1; 1; 1),   a3 = (1; 0; 1), a4 = (0; 1; 1) th× K = 1a1   2a  3a   4a , i  0, i  1,4 46 1 1  Hay K  0 1  ¡   0 1  + nón đa diện Khi vectơ a1, a2, a3, a4 vectơ cực trị =  a    a ,   0, i  2,4  XÐt K1 = 1a1   2a  3a , i  0, i  1,3 K2 2   3a 4 i Ta thấy K1, K2 nón đơn hình 47 kết luận Luận văn đà đạt đ-ợc kết sau 1, Luận văn đà trình b y khái niệm loại nón: nón khối, nón sao, nón chuẩn tắc, nón làm trội, nón cân, nón hoàn toàn cân số dấu hiệu nhận biết chúng 2, Luận văn đà trình b y tính chất số loại nón trình bày chứng minh mối liên hệ loại nón không gian Banach 3, Trình b y đặc iểm riêng số loại nón không gian Ă n có vai trò quan trọng toán học sơ cấp, đặc biệt l lớp nón a diện 4, Luận văn đà trình b y số ví dụ minh họa khái niệm nón không gian Banach nãi chung nãn kh«ng gian ¡ n nói riêng Bên cạnh tác giả đà trình bày chøng minh mét sè vÝ dơ minh häa c¸c kh¸i niƯm vµ tÝnh chÊt cđa chóng mµ mét sè tài liệu tham khảo đ-a đề làm tập Nh- Ví dụ 1.1.4, Ví dụ 1.3.3, Ví dụ 1.5.8, Ví dụ 2.1.8 Luận văn không nêu kết mi m xếp hệ thống vấn đề đà có tài liệu tham khảo Tuy nhiên tài liệu tham khảo, nhiều vấn đề trình bày vắn tắt, dạng gợi ý nêu d-ới dạng tập Tác giả đà tập hợp vấn đề theo hệ thống phù hợp với chủ đề đà chọn Luận văn đà trình bày chứng minh chi tiết nhiều tính chất, định lý, hệ mà tài liệu tham khảo đ-a nh-ng không chứng minh chứng minh vắn tắt Nh- Ví dụ 1.6.7, Mệnh đề 2.1.3, Định lý 2.1.9, Hệ 2.1.10 48 tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp (1992), Giải tích hàm, Nxb §¹i häc S- ph¹m Vinh [2] Phan §øc ChÝnh (1978), Giải tích hàm, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp [3] Đỗ Văn L-u, Phan Huy Khải (2000), Giải tÝch låi, Nxb Khoa häc vµ Kü thuËt Hµ Néi [4] Gunter Ewald (2009), Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry, Springer [5] J.L Keli (1973), Tôpô đại c-ơng, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp [6] A.P Robertson W.J Robertson (1977), Không gian vectơ tôpô, Nxb Đại học Trung häc chuyªn nghiƯp [7] Jan van Tiel (1981), Convex Analysis, An Introduction Text, John Wiley and Sons [8] М А Красносельский (1962), Положительные решения операторных уравний, Госудрственное изда Физ – Мат Литературы, Москва ... chất số loại nón chứng minh mối liên hệ loại nón không gian Banach Trình bày số ví dụ minh họa cho khái niệm nón không gian Banach 1.1 Nón Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm số loại nón, ... 1.4.9 K* nón làm trội đ-ợc Định lý đ-ợc chứng minh 32 Ch-ơng nón không gian n Trong ch-ơng tr-ớc, ta xét nón không gian Banach tùy ý Trong ch-ơng này, ta xét không gian Banach Ă n Do đặc điểm... nón không gian Banach Trong phần đầu đà xét loại nón: nón khối, nón sao, nón chuẩn tắc, nón làm trội, nón cân, nón hoàn toàn cân số dấu hiệu nhận biết chúng Phần tiếp tục xét mối quan hệ nón