Luật số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact trong không gian banach

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tập không gian Banach 1.2 Phần tử ngẫu nhiên đa trị 1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị 10 1.4 Một số khái niệm liên quan 10 Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact 13 2.1 Một số kết bổ trợ 13 2.2 Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact 14 Kết luận Tài liệu tham khảo 25 26 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết xác suất, hướng nghiên cứu luật số lớn hướng nghiên cứu kinh điển, nhà toán học quan tâm Cùng với phát triển giải tích đa trị, luật số lớn cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập hợp không gian Banach thu hút nhiều tác giả nghiên cứu Một luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị (còn gọi tập ngẫu nhiên) chứng minh Puri Ralescu vào năm 1983 ([5]) Cũng vào năm này, Hansen ([3]) thu luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact compact lồi với giả thiết độc lập phân phối Ngồi ra, kể đến kết Giné, Hahn Zinn (năm 1983, [4]) định lý giới hạn trung tâm luật logarithm lặp cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị compact lồi không gian Banach Các kết thu nhờ vào việc sử dụng phép nhúng Radstrăom (nm 1952, [6]), ú l phộp nhỳng khụng gian tập compact vào không gian Banach áp dụng kết luật số lớn biết khơng gian Banach Nhằm tìm hiểu luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị tập compact trường hợp không phân phối, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Quảng, chọn đề tài: Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact không gian Banach Với đề tài này, chúng tơi trình bày số luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact không gian Banach mà khơng có giả thiết phân phối thay vào điều kiện compact khả tích Hơn nữa, luật mạnh số ln, chỳng tụi khụng s dng phộp nhỳng ca Radstrăom để chứng minh kết Bố cục luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm không gian tập không gian Banach, phần tử ngẫu nhiên kỳ vọng nó, với tính chất thường hay sử dụng Chương Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact Nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương Chương gồm hai mục, Mục 2.1 trình bày số kết bổ trợ phục vụ cho việc chứng minh kết luận văn Mục 2.2 trình bày luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact với điều kiện compact khả tích Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn nghiêm túc, tận tình Thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, Thầy Cơ giáo Khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân tất bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên luận văn chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu Thầy Cơ giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tập không gian Banach Mục giới thiệu số khái niệm tính chất khơng gian tập khơng gian Banach (cịn gọi siêu khơng gian) Cho (E, ) không gian Banach thực khả ly, với không gian đối ngẫu E∗ Ta sử dụng ký hiệu sau: P0 (E) họ tập khác rỗng E; K(E) họ tập đóng, khác rỗng E; Kc (E) họ tập lồi, đóng khác rỗng E; Kb (E) họ tập đóng, bị chặn khác rỗng E; Kbc (E) họ tập lồi, đóng, bị chặn khác rỗng E; C(E) họ tập compact, khác rỗng E; Cc (E) họ tập compact, lồi khác rỗng E Tổng Minkovski nhân vô hướng P0 (E) định nghĩa sau: A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, λA = {λa : a ∈ A} với A, B ∈ P0 (E) Từ định nghĩa ta có nhận xét: 1.1.1 Nhận xét 1) P0 (E) khơng khơng gian tuyến tính với phép cộng nhân vơ hướng tính chất tồn phần tử đối không thực phần tử P0 (E) 2) Nếu A, B ∈ K(E) A + B ∈ / K(E) Do ta đưa vào ký hiệu A ⊕ B = cl(A + B) 3) Nếu A, B ∈ C(E) (hoặc (Cc (E)) A + B ∈ C(E) (tương ứng, Cc (E)) Với A ∈ K(E) x ∈ E, khoảng cách x A định nghĩa d(x, A) = inf{ x − a : a ∈ A} Cho A, B ∈ K(E), khoảng cách Hausdorff A B dH (A, B) = max{sup d(a, B), sup d(b, A)} a∈A b∈B Đặc biệt, với A ∈ K(E), ta ký hiệu |A| = dH (A, {0}) = supa∈A a Với A ⊂ E, ký hiệu coA, clA tương ứng bao lồi bao đóng A Định lý sau tính chất khoảng cách Hausdorff khơng gian tập không gian Banach E 1.1.2 Định lý 1) (Kb (E), dH ) không gian mêtric đầy đủ Hơn nữa, C(E), Cc (E) Kbc (E) tập đóng (Kb (E), dH ) 2) Nếu E không gian Banach khả ly (C(E), dH ) khơng gian mêtric khả ly Với A ∈ K(E), hàm tựa A tương ứng với phiếm hàm x∗ ∈ E∗ s(x∗ , A) = sup x∗ , a a∈A Từ định nghĩa ta có mệnh đề sau 1.1.3 Mệnh đề Với A, B ∈ K(E), λ x∗ ∈ E∗ 1) s(x∗ , A + B) = s(x∗ , A) + s(x∗ , B); 2) s(x∗ , λA) = λs(x∗ , A) Kết sau cho ta số cách xác định khoảng cách Hausdorff tính chất hay sử dụng Mục 1.1.4 Mệnh đề 1) Với A, B ∈ Kbc (E) dH (A, B) = sup{|s(x∗ , A) − s(x∗ , B)| : x∗ ∈ S ∗ }, S ∗ hình cầu đơn vị đóng E∗ 2) Cho A, B ∈ K(E) với dH (A, B) < ∞ Khi dH (A, B) = sup |d(x, A) − d(x, B)|, x∈E dH (A, B) = max{inf{λ : B ⊂ U (A, λ)}, inf{λ : A ⊂ U (B, λ)}}, U (A, λ) = {x ∈ E : d(x, A) 3) dH (A + B, C + D) 4) dH (coA, coB) λ} dH (A, C) + dH (B, D) với A, B, C, D ∈ C(E) dH (A, B) với A, B ∈ C(E) Tiếp theo, chúng tơi trình bày số dạng hội tụ không gian tập không gian Banach mối quan hệ chúng 1.1.5 Định nghĩa Cho {A, An : n 1} ⊂ K(E) 1) An gọi hội tụ theo Hausdorff đến A, ký hiệu (H) lim An = A, n→∞ lim dH (An , A) = n→∞ 2) An gọi hội tụ yếu đến A, ký hiệu (W ) lim An = A, với x∗ ∈ E∗ ta có lim s(x∗ , An ) = s(x∗ , A) n→∞ n→∞ 3) An gọi hội tụ theo Wijsman đến A, ký hiệu (W ijs) lim An = A, n→∞ với x ∈ E lim d(x, An ) = d(x, A) n→∞ 4) An gọi hội tụ theo Mosco đến A, ký hiệu (M ) lim An = A, n→∞ w − lim sup An = A = s − lim inf An , với w − lim sup An = {x = w − lim xm : xm ∈ Am , m ∈ M với M ⊂ N đó}, s − lim inf An = {x = s − lim xn : xn ∈ An , n ∈ N} Trong w − lim xm = x nghĩa xm hội tụ yếu đến x, s − lim xn = x nghĩa xn hội tụ theo chuẩn đến x Từ định nghĩa trên, ta thấy s − lim inf An ⊂ w − lim sup An , chứng minh hội tụ theo Mosco, ta cần chứng minh w −lim inf An ⊂ A ⊂ s − lim sup An đủ Từ Mệnh đề 1.1.4 ta thấy hội tụ theo Hausdorff kéo theo hội tụ yếu hội tụ theo Wijsman Về mối quan hệ hội tụ Hausdorff hội tụ Mosco, ta có định lý sau 1.1.6 Định lý Cho {A, An : n 1} ⊂ Kc (E) (H) lim An = A Khi n→∞ (M ) lim An = A n→∞ 1.1.7 Định lý Cho {A, An : n 1} ⊂ Cc (E) E không gian hữu hạn chiều Khi khẳng định sau tương đương: 1) (H) lim An = A; n→∞ 2) (M ) lim An = A; n→∞ 3) (W ) lim An = A; n→∞ 4) (W ijs) lim An = A n→∞ 1.2 Phần tử ngẫu nhiên đa trị Trong phần chúng tơi trình bày khái niệm phần tử ngẫu nhiên đa trị mà số tính chất liên quan Kể từ mục trở đi, ta giả thiết (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ E không gian Banach thực, khả ly 1.2.1 Định nghĩa Một ánh xạ đa trị F : Ω → K(E) gọi phần tử ngẫu nhiên đa trị với tập mở O E ta có F − (O) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ O = ∅} ∈ F Một phần tử ngẫu nhiên (đơn trị) f : Ω → E gọi lát cắt (tương ứng, lát cắt hầu chắn) phần tử ngẫu nhiên đa trị F : Ω → K(E) f (ω) ∈ F (ω), với ω ∈ Ω (tương ứng, với ω ∈ Ω hầu chắn) Ký hiệu họ lát cắt h.c.c phần tử ngẫu nhiên đa trị F SF ký hiệu SF1 = {f ∈ SF : f khả tích} 1.2.2 Định lý Cho F : Ω → K(E) ánh xạ đa trị, phát biểu sau tương đương: (i) F phần tử ngẫu nhiên đa trị; (ii) Tồn dãy {fn : n 1} lát cắt đo F cho F (ω) = cl{fn (ω)} với ω ∈ Ω Với tập mở O ⊂ E, ta ký hiệu − OK(E) = {X ∈ K(E) : X ∩ O = ∅}, − gọi G = GK(E) σ -đại số sinh họ tập OK(E) trên, nghĩa − G = σ(OK(E) : O mở ⊂ E) Khi phần tử ngẫu nhiên đa trị F : Ω → K(E) đưa Định nghĩa 1.3.1 ánh xạ F/G -đo Người ta GC(E) = B(C(E)), nghĩa GC(E) trùng với σ -đại số Borel C(E) (xét theo tôpô sinh mêtric Hausdorff) Một họ hữu hạn phần tử ngẫu nhiên đa trị {F1 , F2 , , Fn } gọi độc lập P(F1 ∈ B1 , F2 ∈ B2 , , Fn ∈ Bn ) = P(F1 ∈ B1 ).P(F2 ∈ B2 ) P(Fn ∈ Bn ), với B1 , B2 , , Bn ∈ G Một điều kiện tương đương với điều kiện trên n P(F1 ∩ K1 = ∅, F2 ∩ K2 = ∅, , Fn ∩ Kn = ∅) = P(Fi ∩ Ki = ∅), i=1 với K1 , K2 , , Kn ∈ K(E) Một họ phần tử ngẫu nhiên đa trị {Fi : i ∈ I} gọi độc lập họ hữu hạn độc lập Phân phối PF phần tử ngẫu nhiên đa trị F : Ω → K(E) định nghĩa PF (B) = P(F −1 (B)), với B ∈ G Một họ phần tử ngẫu nhiên đa trị {Fi : i ∈ I} gọi phân phối phân phối PFi (i ∈ I ) chúng trùng Các phép toán cho phần tử ngẫu nhiên đa trị định nghĩa sau: với F1 , F2 phần tử ngẫu nhiên đa trị ξ biến ngẫu nhiên thực (F1 ⊕ F2 )(ω) = F1 (ω) ⊕ F2 (ω), ω ∈ Ω; (ξF1 )(ω) = ξ(ω)F1 (ω), ω ∈ Ω; (coF1 )(ω) = coF1 (ω), ω ∈ Ω, ký hiệu coA bao lồi đóng A ⊂ E Từ Định lý 1.2.2 trên, ta rút hệ sau 1.2.3 Hệ Cho F1 , F2 phần tử ngẫu nhiên đa trị Khi (i) hàm dH (F1 , F2 ), d(x, F1 ), s(x∗ , F1 ) biến ngẫu nhiên thực với x ∈ E, x∗ ∈ E∗ ; (ii) hàm F1 ⊕ F2 , ξF1 , coF1 phần tử ngẫu nhiên đa trị, ξ biến ngẫu nhiên thực 1.2.4 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên đa trị F gọi khả tích SF1 = ∅; F gọi khả tích bị chặn E|F | < ∞ Từ định nghĩa ta suy phần tử ngẫu nhiên đa trị F khả tích bị chặn khả tích Thật vậy, F phần tử ngẫu nhiên đa trị nên SF = ∅, nghĩa tồn f ∈ SF Vì f lát cắt hầu chắn F nên f |F | h.c.c., E f E|F | < ∞, hay f khả tích Do SF1 = ∅ Cho số thực p > 0, ta ký hiệu: Lp không gian biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực khả tích bậc p; Lp [Ω, E] không gian phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E khả tích bậc p; Lp [Ω, K(E)] không gian phần tử ngẫu nhiên F nhận giá trị K(E) |F | ∈ Lp Các không gian Lp [Ω, Kc (E)], Lp [Ω, Kbc (E)], Lp [Ω, C(E)], Lp [Ω, Cc (E)] định nghĩa tương tự 10 1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị 1.3.1 Định nghĩa Cho F : Ω → K(E) phần tử ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng E[F ] (theo nghĩa Aumann) F cho E[F ] = {Ef : f ∈ SF } Sau số tính chất kỳ vọng mà ta thường xuyên sử dụng mục sau 1.3.2 Mệnh đề Cho F, G : Ω → K(E) phần tử ngẫu nhiên đa trị với SF1 , SG1 = ∅ Khi 1) cl E[F ⊕ G] = E[F ] ⊕ E[G]; 2) cl E[co F ] = co E[F ]; 3) s(a∗ , cl E[F ]) = Es(x∗ , F ) với x∗ ∈ E∗ ; 4) Nếu F ∈ L1 [Ω, Cc (E)] E[F ] ∈ Cc (E); 5) dH (E[F ], E[G]) EdH (F, G) 1.4 Một số khái niệm liên quan 1.4.1 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn : n 1} nhận giá trị C(E) gọi tight với ε > tồn tập hợp compact Kε (C(E), dH ) cho P(Xn ∈ / Kε ) < ε, với n 1.4.2 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn : n 1} nhận giá trị C(E) gọi compact khả tích với ε > tồn tập compact Kε C(E, dH ) cho E|Xn I(Xn ∈K / ε ) | < ε, với n Ta xem xét điều kiện sau dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn : n 1} nhận giá trị C(E) 12 1.4.3 Mệnh đề Cho E không gian Banach thực, khả ly Khi tồn khơng gian Banach (X, ) ánh xạ đẳng cự j : Cc (E) → X thỏa mãn tính chất: (i) dH (X, Y ) = j(X) − j(Y ) ; (ii) j(X + Y ) = j(X) + j(Y ); (iii) j(αX) = αj(X), với α Kết sau thuộc Puri Ralescu [5] 1.4.4 Mệnh đề Cho X : Ω → Cc (E) phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact lồi thỏa mãn E|X| < ∞ Nếu j : Cc (E) → X ánh xạ đẳng cự nhúng Cc (E) vào X E(j(X)) = j(E[X]) 13 CHƯƠNG LUẬT SỐ LỚN CHO DÃY CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TẬP COMPACT 2.1 Một số kết bổ trợ Sau số bổ đề dùng để chứng minh luật số lớn mục sau 2.1.1 Bổ đề Cho A ∈ C(E), ta có dH A A + + , coA → n → ∞ n n 2.1.2 Bổ đề Cho {ak : k 1} dãy số nguyên nhận giá trị tập A ∈ C(E) Khi dH n n ak A, n k=1 Chứng minh Với n n ak coA → n → ∞ k=1 1, đặt ln = #{1 i n : = 1}, ln số phần tử n phần tử Khi lần ln lần A + + A coA + + coA , n n ln dH n n ak A, k=1 n n ak coA = dH k=1 ln A + + A coA + + coA dH , n ln ln ln A + + A = dH , coA n ln = Để ý {ln : n n → ∞, ln 1} dãy số nguyên không giảm nên ln → ∞ C với n Ta xem xét trường hợp 14 sau: Trường hợp 1: ln → ∞ n → ∞ Theo cách đặt ln , ta ln có ln A + + A dH , coA n ln ln /n dH 1, A + + A , coA → 0, ln theo Bổ đề 2.1.1 Vậy bổ đề trường hợp Trường hợp 2: ln C với n ln n Lúc ta có C → n → ∞ n Lại ln dãy số nguyên không âm bị chặn nên nhận hữu hạn giá trị, điều dẫn đến việc tồn số dương M cho dH A + + A , coA ln M < ∞ với n Do ln A + + A dH , coA n ln C M → n → ∞ n Bổ đề trường hợp Kết hợp hai trường hợp trên, bổ đề chứng minh 2.1.3 Mệnh đề Cho {Xn : n 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị thực thỏa mãn ∞ n=1 n E|Xn |p < ∞, với p ∈ [1; 2] đó, np n (Xi − EXi ) → h.c.c n → ∞ i=1 2.2 Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact Đầu tiên, chúng tơi trình bày luật mạnh số lớn 15 2.2.1 Định lý Giả sử {Xn : n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị C(E), thỏa mãn điều kiện compact khả tích ∞ n=1 E|Xn |p < ∞ với p ∈ [1; 2] np (2.2.1) Khi ta có luật mạnh số lớn dH n n n Xk , n k=1 E[coXk ] → h.c.c n → ∞ (2.2.2) k=1 Chứng minh Với ε > 0, từ điều kiện compact khả tích ta suy tồn tập compact Kε C(E) cho E|Xn I(Xn ∈K / ε ) | < ε với n Vì Kε tập compact nên tồn {K1 , K2 , , Km } ⊂ Kε cho m Kε ⊂ m B(Ki , ε) = i=1 Bi , i=1 Bi = B(Ki , ε) = {A ∈ C(E) : dH (Ki , A) < ε} Ta có m m−1 Bi = (B1 (B2 \B1 ) (B3 \(B2 B1 )) Bm \( i=1 Bj )) j=1 Ta xây dựng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị C(E) sau:   {0} Xn (ω) ∈ / Kε    K1 Xn (ω) ∈ Kε ∩ B1      Yn (ω) =     c  Kt Xn (ω) ∈ Kε ∩ B(Kt , ε) ∩ {∪t−1  j=1 B(Kj , ε)} ,    với t = (2, , m) Khi Yn cịn biểu diễn dạng m I(Yn =Kj ) Kj , K0 = {0} Yn = j=0 16 Theo bất đẳng thức tam giác ta có n dH dH + dH + dH + dH + dH + dH n n Xk , n k=1 n n n n n n E[coXk ] k=1 n Xk , n k=1 n Xk I(Xk ∈Kε ) k=1 n Xk I(Xk ∈Kε ) , n k=1 n Yk , k=1 n n (A1 ) n Yk (A2 ) k=1 n coYk (A3 ) k=1 coYk , n k=1 n E[coYk ] (A4 ) k=1 n E[coYk ], n k=1 n E[coXk I(Xk ∈Kε ) ] (A5 ) k=1 n E[coXk I(Xk ∈Kε ) ], n k=1 n E[coXk ] (A6 ) k=1 Ta đánh giá biểu thức (A1 ) − (A6 ) sau: • Với (A1 ) Vì dH (Xn , Xn I(Xn ∈Kε ) ) = |Xn I(Xn ∈K / ε ) | nên n (A1 ) = n n n dH (Xn , Xn I(Xn ∈Kε ) ) = n k=1 k=1 (|Xi I(Xi ∈K / ε ) | − E|Xi I(Xi ∈K / ε ) |) + n i=1 n E|Xi I(Xi ∈K / ε)| i=1 n (|Xi I(Xi ∈K / ε ) | − E|Xi I(Xi ∈K / ε ) |) = ε i=1 ∞ n=1 n |Xi I(Xi ∈K / ε)| n p Mặt khác, E|Xn I(Xn ∈K / ε)| Do {Xn : n n E|Xn |p nên theo (2.2.1) ta có p E|Xn I(Xn ∈K / ε)| np ∞ n=1 E|Xn |p < ∞ np 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nên {Xn I(Xn ∈K / ε) : 1} lập thành dãy biến ngẫu nhiên độc lập Theo Mệnh đề 2.1.3 17 ta suy n n (|Xi I(Xi ∈K / ε ) | − E|Xi I(Xi ∈K / ε ) |) → h.c.c n → ∞ i=1 Do lim sup dH n→∞ n n Xk , n k=1 n Xk I(Xk ∈K / ε) ε h.c.c k=1 • Với (A2 ) Với k , ta xét trường hợp sau Xk I(Xk ∈Kε ) Yk : +) Nếu Xk (ω) ∈ / Kε Xk I(Xk ∈Kε ) (ω) = {0} Yk (ω) = {0}, dH (Xk I(Xk ∈Kε ) , Yk (ω)) = dH ({0}, {0}) = < ε +) Nếu Xk (ω) ∈ Kε = Kε ∩ (∪m i=1 Bi ), hay Xk (ω) ∈ Kε ∩ B1 ∪ (B2 \B1 ) ∪ (B3 \(B1 ∪ B2 )) ∪ ∪ (Bm \(∪m−1 j=1 Bj )) c Khi tồn t cho Xk (ω) ∈ Bt ∩ (∪t−1 j=1 Bj ) ∩ Kε Do Yk (ω) = Kt Xk I(Xk ∈Kε ) (ω) = Xk (ω), suy dH (Xk I(Xk ∈Kε ) (ω), Yk (ω)) = dH (Xk (ω), Yk (ω)) < ε Từ hai trường hợp ta có dH (Xk I(Xk ∈Kε ) , Yk ) < ε, với ω ∈ Ω Điều dẫn đến (A2 ) = dH n n Xk I(Xk ∈K) , n k=1 n Yk k=1 n n dH (Xk I(Xk ∈Kε ) , Yk ) < ε k=1 • Với (A3 ) (A3 ) = dH = dH n n m dH j=0 n Yk , n k=1 n k=1 n n coYk k=1 n m Kj I(Yk =Kj ) , n j=0 coKj I(Yk =Kj ) k=1 j=0 n n I(Yk =Kj ) Kj , k=1 m I(Yk =Kj ) coKj k=1 18 Áp dụng Bổ đề 2.1.2 với ak = I(Yk =Kj ) ta suy m (A3 ) n dH j=0 n n I(Yk =Kj ) coKj → n → ∞ I(Yk =Kj ) Kj , k=1 k=1 m m •Với (A4 ) Vì Yn = I(Yn =Kj ) Kj nên coYn = j=0 j=0 I(Yn =Kj ) coKj Ta suy m EcoYk = P(Yk = Kj )coKj j=0 Do (A4 ) = dH = dH n n m n j=0 n coYk , n k=1 n k=1 n n E[coYk ] k=1 n m I(Yn =Kj ) coKj , n j=0 m P(Yn = Kj )coKj k=1 j=0 I(Yn =Kj ) − P(Yn = Kj ) |coKj | i=1 Với j , áp dụng Mệnh đề 2.1.3 cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập {I(Yn =Kj ) : n n 1} ta có n I(Yn =Kj ) − P(Yn = Kj ) → h.c.c n → ∞ i=1 Điều dẫn đến (A4 ) → h.c.c n → ∞ •Với (A5 ) Sử dụng tính chất dH (E[X], E[Y ]) n (A5 ) = dH n n n n E[coYk ], n k=1 EdH (X, Y ) n E[coXk I(Xk ∈Kε ) ] k=1 n dH (E[coYk ], E[coXk I(Xk ∈Kε ) ]) k=1 n EdH (coYk , coXk I(Xk ∈Kε ) ) k=1 n EdH (Yk , Xk I(Xk ∈Kε ) ) k=1 < ε (lập luận tương tự chứng minh (A2 )) 19 •Với (A6 ) (A6 ) = dH n n n n E[coXk I(Xk ∈Kε ) ], n k=1 n E[coXk ] k=1 n EdH (coXk I(Xk ∈Kε ) , coXk ) k=1 n EdH (Xk I(Xk ∈Kε ) , Xk ) < ε k=1 Từ lập luận trên, ta suy lim sup dH n→∞ n n Xk , n k=1 n E[coXk ] 4ε h.c.c k=1 Cho ε ↓ 0, ta thu khẳng định (2.2.2) Hệ sau suy trực tiếp từ định lý 2.2.2 Hệ Cho {Xn : n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị C(E) thoả mãn điều kiện tight supn E|Xn |p < ∞ với p > Khi dH n n Xk , n k=1 n E[coXk ] → h.c.c n → ∞ k=1 Chứng minh Theo chứng minh Mục 1.4 điều kiện tight moment bậc p bị chặn {Xn : n 1} kéo theo điều kiện (2.2.1) điều kiện compact khả tích Do đó, áp dụng Định lý 2.2.1 ta có luật mạnh số lớn Tiếp theo, chúng tơi trình bày luật yếu số lớn 2.2.3 Định lý Cho {Xn : n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị C(E) thỏa mãn điều kiện compact khả tích Khi đó, n n f (j(coXk ) − Ej(coXk )) → theo xác suất với f ∈ X∗ k=1 (2.2.3) 20 dH n n Xk , n k=1 n EcoXk → theo xác suất (2.2.4) k=1 Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử (2.2.4) đúng, ta lấy f ∈ X∗ Vì ánh xạ f tuyến tính nên theo Mệnh đề 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 ta có n n n f n f (j(coXk ) − Ej(coXk )) k=1 (j(coXk ) − j(E[coXk ])) k=1 n = f dH n coXk , n k=1 n E[coXk ] k=1 Vì E[coXk ] ∈ Cc (E) co(αA) = αcoA với α ∈ R nên dH n n n coXk , n k=1 E[coXk ] dH k=1 dH co n n n Xk , co n k=1 n n Xk , k=1 n E[coXk ] k=1 n E[coXk ] k=1 Do n n f (j(coXk ) − Ej(coXk )) → theo xác suất, k=1 hay (2.2.3) Điều kiện cần Lấy < ε < 1, < δ < tùy ý Điều kiện compact khả tích kéo theo tồn tập compact K = Kε,δ C(E) cho εδ với n 64 E|Xn I(Xn ∈K) / |< (2.2.5) Đặt ε1 = εδ/64, với n P dH n n Xk , n k=1 P dH + P dH n n n E[coXk ] > ε k=1 Xk , n k=1 n n n coXk > k=1 coXk , n k=1 ε n coE[coXk ] > k=1 Vì K compact nên tồn K1 , , Km ∈ K cho ε (2.2.6) 21 m m K⊂ Bi , B(Ki , ε) = i=1 i=1 Bi = B(Ki , ε) = {A ∈ C(E) : dH (Ki , A) < ε} Ta định nghĩa phần tử ngẫu nhiên Yn chứng minh Định lý 2.2.1 Ta có P dH n n Xk , n k=1 P dH n P dH + P dH + P dH + P dH n k=1 Xk I(Xk ∈K) , n k=1 n Xk I(Xk ∈K) / , k=1 n Xk I(Xk ∈K) , k=1 n n n n Yk , k=1 n ε coXk > n n + P dH n n n n coXk I(Xk ∈K) > k=1 n n coXk I(Xk ∈K) > / k=1 n Yk > k=1 n coYk > k=1 coYk , n k=1 ε ε 12 (B2 ) coXk I(Xk ∈K) > k=1 Xk I(Xk ∈K) / , n k=1 (B1 ) ε 12 n n ε ε 12 n coXk I(Xk ∈K) > / k=1 (B3 ) ε (B4 ) • Với (B1 ) Theo cách đặt Yn ta có dH (Xk I(Xk ∈K) , Yk ) < ε1 với k Vì dH n n Xk I(Xk ∈K) , n k=1 n Yk k=1 n n dH (Xk I(Xk ∈K) , Yk ) < ε1 < k=1 ε , 12 điều kéo theo P dH n n Xk I(Xk ∈K) , n k=1 n Yk > k=1 • Với (B3 ) Sử dụng tính chất dH (coX, coY ) ε 12 = dH (X, Y ) lập luận 22 chứng minh (B1 ) ta có n P dH n coYk , n k=1 n coXk I(Xk ∈K) > k=1 ε 12 = • Với (B2 ) (B2 ) dH m n n k=1 m n n dH j=0 coKj I(Yk =Kj ) k=1 j=0 n n Kj I(Yk =Kj ) , k=1 m n Kj I(Yk =Kj ) , n j=0 coKj I(Yk =Kj ) , k=1 theo Bổ đề 2.1.2 ta có (B2 ) → n → ∞ với ω ∈ Ω Do đó, với n N1 (ε, δ) n P dH n Yk , n k=1 n coYk > k=1 ε 12 δ < • Với (B4 ) Theo tính compact khả tích bất đẳng thức Markov n (B4 ) = P dH n Xk I(Xk ∈K) , / n k=1 n n E ε = εn k=1 Xk I(Xk ∈K) / , n k=1 n n Xk I(Xk ∈K) + / k=1 n |Xk I(Xk ∈K) / |+ k=1 coXk I(Xk ∈K) > / n E dH ε n E ε n n ε n coXk I(Xk ∈K) / k=1 n coXk I(Xk ∈K) / k=1 n |coXk I(Xk ∈K) / | k=1 n δ 2E|Xk I(Xk ∈K) / |< , k=1 E|coXk I(Xk ∈K) / | = E|Xk I(Xk ∈K) / | < εδ/64 Tiếp theo, ta đánh giá biểu thức thứ hai vế phải (2.2.6) Vì ánh xạ j nhúng C(E) vào khơng gian Banach X nên chuyển K thành tập compact X, tức j(K) = M tập compact X Hơn nữa, 23 ta giả thiết M tập lồi, đối xứng (nghĩa x ∈ M −x ∈ M) Theo Mệnh đề 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 ta có P dH n coXk , n k=1 n k=1 n ε j(coXk I(j(coXk ∈M)) ) − j E[coXk I(j(coXk )∈M) ] > k=1 n n +P k=1 ε (j(coXk ) − j E[coXk ]) > n P E[coXk ] > n n =P n j(coXk I(j(coXk ∈M)) ) − j E[coXk I(j(coXk )∈M) ] / / ε > k=1 ε Vì M tập compact nên tồn phiếm hàm f1 , f2 , , ft ∈ X∗ cho fi = với i = 1, , t thỏa mãn ε x ∈ 2M : x > t x ∈ 2M : |fi (x)| > = i=1 ε Vì M đối xứng nên {j(coXk I(j(coXk ∈M)) ) − j E[coXk I(j(coXk )∈M) ] : k 1} nhận giá trị 2M, n n j(coXk I(j(coXk ∈M)) ) − j E[coXk I(j(coXk )∈M) ] ∈ 2M k=1 Vì vậy, với n n P n j(coXk I(j(coXk ∈M)) ) − j E[coXk I(j(coXk )∈M) ] k=1 t P i=1 t P i=1 n n > ε n ε fi j(coXk I(j(coXk )∈M) ) − j E[coXk I(j(coXk )∈M) ] > fi j(coXk I(j(coXk )∈M) ) − j E[coXk I(j(coXk )∈M) ] > k=1 n k=1 ε , (2.2.7) 24 (2.2.7) hội tụ tới n → ∞ t hữu hạn Do (2.2.7) bé δ/4 với n n P εn = εn N2 (ε, δ) Hơn n j(coXk I(j(coXk ∈M)) ) − j E[coXk I(j(coXk )∈M) ] / / > k=1 n ε 2E j(coXk I(j(coXk )∈M) ) / k=1 n 2E coXk I(j(coXk )∈M) ) < / k=1 δ (tương tự (B4 )) Kết hợp lập luận ta có P dH với n n n Xk , n k=1 n E[coXk ] > ε k=1 δ δ δ δ + + = , 8 max{N1 , N2 } Hay khẳng định (2.2.4) chứng minh 25 KẾT LUẬN Kết luận văn Luận văn thu kết sau: - Trình bày khái niệm không gian tập không gian Banach khoảng cách Hausdorff - Trình bày phần tử ngẫu nhiên đa trị kỳ vọng với số tính chất liên quan - Trình bày số khái niệm tight, compact khả tích đều, nêu lên mối quan hệ chúng - Chứng minh chi tiết Bổ đề 2.1.2 dùng để thiết lập luật mạnh số lớn Định lý 2.2.1 Trình bày chi tiết chứng minh Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.3 luật mạnh luật yếu số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact với giả thiết compact khả tích Hướng phát triển luận văn Nghiên cứu luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho mảng kép phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact theo tơpơ Hausdorff với điều kiện compact khả tích 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] P Z Daffer and R L Taylor (1982), Tightness and strong laws of large numbers in Banach spaces, Bull of Inst of Inst of Math., Academia Sinica, 10, 251-263 [3] J C Hansen (1983), Strong law of large numbers for random compact sets in Banach, Bull Inst Math Statist., 12, 222 [4] E Gine, M G Hahn and J Zinn (1983), Limit theorems for random sets: An application of probability in Banach space results, Probability in Banach Spaces IV, Proceedings, Oberwolfach, 1982, Lecture Notes in Mathematics, Vol 990, Springer-Verlag, 112-135 [5] M L Puri and D A Ralescu (1983), Strong law of large numbers for Banach space valued random sets, Ann Probability, 11, 222-224 [6] H Radstrăom (1952), An embedding theorem for spaces of convex sets, Proc Amer Math Soc., 3, 165-169 [7] R L Taylor and H Inoue (1985), A strong law of large numbers for random sets in Banach space, Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica, 13(4), 403-409 ... tài: Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact không gian Banach Với đề tài này, trình bày số luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact. .. ngẫu nhiên nhận giá trị thực khả tích bậc p; Lp [Ω, E] không gian phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E khả tích bậc p; Lp [Ω, K(E)] không gian phần tử ngẫu nhiên F nhận giá trị K(E) |F | ∈ Lp Các không. .. Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm không gian tập không gian Banach, phần tử ngẫu nhiên kỳ vọng nó, với tính chất thường hay sử dụng Chương Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận