Luật số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị theo tôpô mosco và tôpô wijsman

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 1.2 Biến ngẫu nhiên đa trị, lát cắt 1.3 Kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên đa trị 10 1.4 Một số dạng hội tụ 12 Luật số lớn theo tô pô Mosco tô pô Wijsman 13 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị 13 2.2 Luật số lớn theo tô pô Mosco 15 2.3 Luật số lớn theo tôpô Wijsman Kết luận Tài liệu tham khảo 21 27 28 LỜI NĨI ĐẦU Lí thuyết xác suất mơn nghiên cứu tìm qui luật chi phối đưa phương pháp tính tốn cho tượng ngẫu nhiên, tượng tưởng chừng khơng có quy luật Ngày nay, lí thuyết xác suất trở thành chuyên nghành toán học độc lập, có tầm quan trọng phương diện lý thuyết mặt ứng dụng Trong thập kỉ gần đây, xác suất đa trị có bước phát triển mạnh mẽ, thu nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: tối ưu hóa điều khiển, hình học ngẫu nhiên, tốn kinh tế, thống kê Vì lẽ đó, xác suất đa trị thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học Chúng ta kể tên số nhà toán học tiêu biểu lĩnh vực như: Geral Beer, Charles Castaing, Christian Hess, Fumio Hiai, Robert Lee Taylor, Hiroshi Inoue, Fatima Ezzaki, Paul Raynaud de Fitte, Ke-Ang Fu, Li-Xing Zang, Fettad Akhiat, Ulrich Krengel, Shoumei Li and Yukio Ogura, Umberto Mosco, Các kết xác suất đa trị mở rộng thực kết xác suất đơn trị Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị đưa tác giả Artstein Vitale ( 1975) thiết lập cho tập ngẫu nhiên độc lập phân phối, nhận giá trị compact không gian Euclide Hiện luật số lớn quan tâm nghiên cứu nhiều dạng hội tụ khác Chẳng hạn Fumio Hiai ( 1985) thiết lập luật số lớn cho hội tụ Mosco, Christian Hess ( 1999) thiết lập luật số lớn cho hội Wijsman Chính lí đó, chúng tơi chọn đề tài: "Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị theo tô pô Mosco Wijsman" Luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày phần tử ngẫu nhiên, luật số lớn phần tử ngẫu nhiên trình bày phần Tiếp theo hệ thống kí hiệu, số kiến thức sở biến ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng biến ngẫu nhiên đa trị, dạng hội tụ khơng gian tập đóng Chương Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị theo tô pô Mosco tô pô Wijsman Chúng tơi trình bày phân phối xác suất biến ngẫu nhiên đa trị, tính độc lập họ biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập, độc lập phân phối theo hội tụ Mosco hội tụ Wijsman Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sống Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, thầy Khoa Toán Tác giả xin cảm ơn thạc sĩ Dương Xuân Giáp anh chị nhóm Sêminar "Xác suất thống kê " giúp đỡ tận tình Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình bạn bè quan tâm, động viên tạo điều kiện tốt để tác giả thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong tồn luận văn chúng tơi sử dụng kí hiệu sau (Ω, A, µ): khơng gian xác suất X: Không gian Banach khả li X∗ : Không gian đối ngẫu X Với X ⊂ X: clX, w − clX, coX bao đóng theo chuẩn, đóng yếu, lồi đóng tập hợp X K(X) : Họ tập đóng khác rỗng X KC (X): Họ tập lồi khác rỗng X KK (X): Họ tập compact khác rỗng X BK(X) : σ - đại số tập mở K(X) Với X ∈ K(X): d(y, X) = inf y − x , y ∈ X x∈X X = h(X; {0}) = sup x x∈X ∗ s(x∗ , X) = sup x∗ , a , x ∈ X∗ , a∈X x∗ , a = x∗ (a) Chú ý với X ∈ K(X) s(x∗ , X) có tính chất s(x∗ , X) = (x∗ , coX) Với X, Y ∈ K(X): H(X, Y ) = max{sup d(x, Y ), sup d(y, X)} x∈X y∈Y Với ≤ p ≤ ∞ : Lp (Ω, A, µ, X) = Lp (Ω, X) khơng gian Banach hàm đo khả tích bậc p f : Ω → X với chuẩn f p = E( f p ) p = ( f (ω) p dµ) p < ∞ Ω f ∞ = ess sup ||f (ω)|| ω∈Ω Với X không gian số thực R, ta kí hiệu Lp (Ω, R) = Lp Trong chương giới thiệu kí hiệu, định nghĩa, tính chất kiến thức liên quan đến luận văn 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa Giả sử (X, T ) không gian Tơpơ Khi σ -đại số bé chứa T gọi σ -đại số Borel ký hiệu B(X) Vậy B(X) σ -đại số bé chứa tập mở X 1.1.2 Định nghĩa Giả sử (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) hai khơng gian đo • ánh xạ X : Ω1 → Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 đo với B ∈ F2 X −1 (B) ∈ F1 • Hàm f : Rn → R gọi hàm đo f −1 (B) ∈ B(Rn ) với ∀B ∈ B(R) • Giả sử (Ω, A, µ) khơng gian xác suất , G σ -đại số σ -đại số A Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G -đo ánh xạ G B(R) đo Giả sử (Ω, A, µ) khơng gian xác suất đầy đủ, X không gian Banach khả li, G σ - đại số A 1.1.3 Định nghĩa Ta nói ánh xạ X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo được, nhận giá trị X X G/B(X)- đo được, nghĩa với B ∈ B(X) X −1 (B) ∈ G Phần tử ngẫu nhiên A- đo gọi đơn giản phần tử ngẫu nhiên Ví dụ Xét ánh xạ X : Ω → E xác định X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω Khi X phần tử ngẫu nhiên G - đo với G = {∅, Ω} Thật X −1 (B) =  ∅ : 0∈B Ω : 0∈B nên X −1 (B) ∈ G với B ∈ B(E) 1.1.4 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên Với X không gian Banach, ta ký hiệu X∗ tập hợp phiếm hàm tuyến tính, liên tục từ X vào R Ta gọi X∗ không gian liên hợp X Với f ∈ X∗ , chuẩn f xác định công thức f = sup | f (x) | x ≤1 Giả sử X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên, phần tử EX ∈ X gọi kỳ vọng X với f ∈ X∗ ta có f (EX) = E(f (X)) ∈ R Ví dụ Cho a ∈ X, A ∈ A, X = aIA X(ω) =  a : ω∈A 0 : ω∈A Ta có EX = µ(A)a ∈ X Thật vậy, với f ∈ X∗ f (EX) = f (µ(A)a)) = µ(A)f (a), E(f (X)) = E[f (a)IA ] = f (a)EIA = f (a)µ(A) Vậy EX = µ(A)a 1.1.5 Một số dạng hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên không gian Banach 1.1.5.1 Định nghĩa.Giả sử X không gian Banach (a) Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ đến ánh xạ X : Ω −→ X Xn (ω) → X(ω)( theo chuẩn), với ω ∈ Ω Kí hiệu: Xn → X (b) Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ hầu chắn đến ánh xạ X : Ω −→ X tồn tập N ∈ A, N có độ đo cho Xn (ω) → X(ω)( theo chuẩn), với ω ∈ Ω|N Kí hiệu: Xn → X h.c.c (c) Dãy phần tử {xk } X gọi hội tụ yếu đến x ∈ X lim s(x∗ , xk ) = s(x∗ , x) k→∞ Kí hiệu: (w)xk → x 1.1.5.2 Định lý Nếu {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên Xn → X h.c.c X phần tử ngẫu nhiên 1.1.6 Phân phối xác suất phần tử ngẫu nhiên 1.1.6.1 Định nghĩa Phân phối xác suất phần tử ngẫu nhiên X : ω → X độ đo xác suất µX B(X) xác định cơng thức µX (B) = µ(X (B)), B ∈ B(X) Hai phần tử ngẫu nhiên gọi phân phối chúng có phân phối xác suất 1.1.6.2 Mệnh đề Hai phần tử ngẫu nhiên có phân phối có kỳ vọng 1.1.7 Phần tử ngẫu nhiên độc lập 1.1.7.1 Định nghĩa Giả sử {Xi , i ∈ I} họ phần tử ngẫu nhiên xác định khơng gian xác suất (Ω, A, µ) nhận giá trị (X, B(X)) Khi đó, họ {Xi , i ∈ I} gọi độc lập, với hữu hạn ik ∈ I Ak ∈ B(X), ≤ k ≤ n, ta có n n Xt−1 (Ak )) k µ( µ(Xi−1 (Ak )) k = k=1 k=1 Từ định nghĩa ta suy định lí sau 1.1.7.2 Định lý Giả sử X1 , X2 không gian Banach; {Xi , i ∈ I} họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị X1 Khi đó, với i ∈ I , fi : X1 → X2 ánh xạ B(X1 )/B(X2 )- đo được, họ {fi (Xi ), i ∈ I} họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị X2 1.1.8 Luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên đơn trị 1.1.8.1 Luật số lớn Etemadi Dãy {Xn , n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên khả tích độc lập phân phối nhận giá trị không gian Banach X tuân theo luật mạnh số lớn, nghĩa n n Xi (ω) −→ E(X) h.c.c i=1 1.1.8.2 Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập không gian Radermacher dạng p Giả sử X không gian Radermacher dạng p, ≤ p ≤ 2, với dãy {Xn , n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn điều kiện ∞ n=1 E X np p     [−1, 1] : x = Khi F biến ngẫu nhiên đa trị Tập hợp biến ngẫu nhiên đa trị F : Ω → K(X) kí hiệu M[Ω; K(X)] Ta định nghĩa phép toán M[Ω, K(X)] sau: (i) Phép cộng: (F1 + F2 )(ω) = cl(F1 (ω) + F2 (ω)) với F1 , F2 ∈ M[Ω, K(X)], ω ∈ Ω (ii) (ξF (ω)) = ξ(ω)F (ω) với F ∈ M[Ω, K(X)] 10 hàm ξ đo nhận giá trị thực, ω ∈ Ω (iii) (coF )(ω) = coF (ω) với ω ∈ Ω 1.2.4 Định nghĩa Giả sử F biến ngẫu nhiên đa trị M[Ω; K(X)] Hàm f xác định từ Ω vào X thỏa mãn: f (ω) ∈ F (ω) h.c.c gọi lát cắt F 1.2.5 Định lý Hàm đa trị F đo yếu tồn dãy lát cắt khả tích {fn } từ Ω vào X cho F (ω) = Cl{fn (ω)}, ∀ω ∈ Ω Dãy gọi biểu diễn Castaing F Từ định lí ta suy số kết sau Hệ Cho F1 , F2 biến ngẫu nhiên đa trị Khi (a) Các ánh xạ d(x, F1 ), s(x∗ , F1 ) biến ngẫu nhiên thực với x ∈ X, x∗ ∈ X∗ ; (b)F1 + F2 , ξF1 , coF1 biến ngẫu nhiên đa trị, ξ biến ngẫu nhiên thực 1.2.6 Định lý Đặt: SF1 = {f ∈ L1 (Ω, X) : f (ω) ∈ F (ω) h.c.c} tập hợp lát cắt khả tích biến ngẫu nhiên F , SF1 có số tính chất sau : (a) SF1 tập đóng L1 (Ω, X) (b) Nếu SF1 = ∅ tồn biểu diễn Castaing F , tức tồn dãy lát cắt khả tích {fn } F cho F (ω) = Cl{fn (ω)}, ∀ω ∈ Ω (c) Nếu F ∈ M[Ω, K(X)] coF ∈ M[Ω, K(X)] Hơn với SF1 = ∅ ta có ScoF = coSF1 tập lồi đóng L1 (Ω, X) 1.3 Kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên đa trị 1.3.1 Định nghĩa Kỳ vọng ( tích phân) biến ngẫu nhiên đa trị F , kí hiệu E[F ], xác định 14 X); F, G biến ngẫu nhiên đa trị phân phối ta có (d(x, F (.)))x∈Y (d(x, G(.)))x∈Y phân phối 2.1.4 Mệnh đề (i) Giả sử F, G biến ngẫu nhiên đa trị có phân phối Khi với f ∈ SF1 (AF ) tồn g ∈ SF1 (AG ) cho f g phân phối (ii) Giả sử F G biến ngẫu nhiên đa trị phân phối, SF1 = ∅ Khi ta có E[F, AF ] = E[G, AG ] Chứng minh (i) Do X khả li f AF - đo được, nên tồn hàm (BK(X) , BX )- đo Φ : K(X) → X thỏa mãn f (ω) = Φ(F (ω)) với ω ∈ Ω Ta định nghĩa g(ω) = Φ(G(ω)), ω ∈ Ω Do F G phân phối nên f g phân phối Ta có g(ω) dµ = Φ(X) dµG = K(X) Ω g(ω) dµ < ∞ Φ(X) dµF = K(X) Ω Vì hàm (x, X) → d(x, X) từ X×K(X) vào R BX ⊗BK(X) - đo được, d(f (.), F (.)) d(g(.), G(.)) có phân phối Do từ d(f (ω), F (ω)) = h.c.c ( f AF - đo được) ta suy d(g(ω), G(ω)) = h.c.c Suy g ∈ SG (AG ) (ii) Suy từ (i) Thật SF1 = ∅, lấy f ∈ SF1 (AF ) Ω f dµ ∈ E[F, AF ] Mặt khác, f ∈ SF1 (AF ) nên theo (i) tồn g ∈ SG (AG ) cho f g phân phối, nên ta có Ω f dµ = Ω gdµ mà Ω gdµ ∈ E[G, AG ] suy Ω f dµ ∈ E[G, AG ] Do ta có E[F, AF ] ⊂ E[G, AG ] Chứng minh tương tự E[G, AG ] ⊂ E[F, AF ] Vậy E[F, AF ] = E[G, AG ] 2.1.5 Định nghĩa Họ biến ngẫu nhiên đa trị {Fi }, i ∈ I gọi độc lập họ {AFi }, i ∈ I độc lập 15 2.1.6 Mệnh đề Giả sử F G biến ngẫu nhiên độc lập, f g lát cắt F G tương ứng AF đo AG đo Khi ta có f g độc lập 2.2 Luật số lớn theo tô pô Mosco 2.2.1 Bổ đề (i) Giả sử K ⊂ X Khi x ∈ coK với > 0, tồn n ∈ N, x1 , x2 , , xn ∈ K cho n n xi − x < i=1 (ii) Với biến ngẫu nhiên đa trị F mà SF1 = ∅ ta có coE[F ] = coE[F, AF ] 2.2.2 Định lý Nếu{Fn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập phân phối M[Ω, K(X)] SF1 = ∅ (KM ) n n Fi (ω) −→ coE[F1 ] h.c.c i=1 Chứng minh Đặt X = coE[F1 ] Gn (ω) = Cl n n (Fi (ω)), ω ∈ Ω, n ≥ i=1 Đầu tiên ta chứng minh X ⊂ s lim inf Gn (ω) Với x ∈ X > 0, theo Bổ đề 2.2.1(i), (ii) Mệnh đề 2.1.4(i), (ii), ta chọn fj ∈ SF1 j , ≤ j ≤ m cho m m −1 E(fj ) − x < j=1 (∗) 16 Thật vậy, SF1 = ∅ nên theo Bổ đề 2.2.1(ii) X = coE[F1 ] = coE[F1 , AF1 ] Lại có F1 , F2 , , Fn , phân phối nên theo Mệnh đề 2.1.4(ii) X = coE[F1 , AF1 ] = coE[F2 , AF2 ] = = coE[Fn , AFn ] = Theo Bổ đề 2.2.1(i), với x ∈ coE[F1 , AF1 ], với cho > tồn x1 , x2 , , xm m m xj − x < j=1 Với xj , ≤ j ≤ m tồn gj ∈ SF1 j (AFj ) cho xj = E(gj ) Khi ta có m m E(gj ) − x < j=1 Mặt khác, {Fn } có phân phối nên với xj , j = 1, m tương ứng với gj ta chọn fj ∈ SF1 j (AFj ) mà fj có phân phối với gj ( theo Mệnh đề 2.1.4(i)), E(fj ) = E(gj ), dẫn đến m m Vậy x ∈ X E(fj ) − x < j=1 > ta chọn fj ∈ SF1 j (AFj ), ≤ j ≤ m cho m −1 E(fj ) − x < m j=1 Theo Mệnh đề 2.1.4(i), tồn dãy {fn }, fn ∈ SF1 n (AFn ) cho f(k−1)m+j , k ≥ phân phối với j = 1, , m Đặt xj = E(fj ), ≤ j ≤ m Nếu n = (k − 1)m + l, ≤ l ≤ m ta có n n i=1 k ≤ n fi (ω)− m m j=1 k m xj j=1 = n m j=1 i=1 k f(i−1)m+j (ω) − xj i=1 k k + n f(i−1)m+j (ω)− n m j=1 m j=l+1 f(k−1)m+j (ω)− m k f(k−1)m+j (ω) + ( − ) k n m m xj j=1 m xj j=1 17 Dễ thấy: k n bị chặn, 1 k , , − n k n m dần n ( k) dần vô cực Với ≤ j ≤ m, dãy {f(k−1)m+j : k ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối L1 (Ω, X) nên n → ∞ k k f(i−1)m+j (ω) − xj −→ h.c.c i=1 Lại có 1 f(k−1)m+j (ω) = k k ≤ k k k−1 f(i−1)m+j (ω) − i=1 f(i−1)m+j (ω) i=1 k k−1 (f(i−1)m+j (ω)−xj ) + k k−1 i=1 k−1 f(i−1)m+j (ω)−xj + i=1 xj −→ h.c.c k k → ∞ Do đó, n → ∞ n n i=1 fi (ω) − m Mà n m xj −→ h.c.c j=1 n fi (ω) ∈ Gn (ω) h.c.c i=1 Theo định nghĩa s − lim inf suy m m xj ∈ s lim inf Gn (ω) h.c.c j=1 Kết hợp với (*) s−lim inf Gn (ω) tập đóng, dẫn đến x ∈ s lim inf Gn (ω) h.c.c Do ta X ⊂ s lim inf Gn (ω) 18 Tiếp theo ta chứng minh w lim sup Gn (ω) ⊂ X Lấy {xj } dãy trù mật X|X Theo định lí tách, tồn dãy {x∗j } ∈ X∗ , x∗j = cho xj , x∗j − d(xj , X) ≥ s(X, x∗j ), j ≥ Khi ta có x ∈ X ⇔ x, x∗j ≤ s(X, x∗j ) (∗∗), với j ≥ Vì hàm X → s(X, x∗j ) từ K(X) vào (−∞; +∞] BK(X) đo E(s(F1 (.), x∗j )) = s(X, x∗j ) < ∞, j ≥ , {s(Fn (.), x∗j ) : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên ( L1 ) độc lập phân phối, với j ≥ Nên tồn tập có độ đo khơng N ∈ A cho, với ω ∈ Ω|N j ≥ 1, s(Gn (ω), x∗j ) = n n s(Fi (ω), x∗j ) −→ s(X, x∗j ) h.c.c i=1 n → ∞ Nếu x ∈ w − lim sup Gn (ω) với ω ∈ Ω|N xk hội tụ yếu x, với xk ∈ Gnk (ω), {Gnk (ω)} dãy dãy {Gn (ω)} Do đó, x, x∗j = limk xk , x∗j ≤ limk s(Gnk , x∗j ) = s(X, x∗j ), j ≥ Theo (**) suy x ∈ X Do w − lim sup Gn (ω) ⊂ X h.c.c Ta có X ⊂ s lim inf Gn (ω) ⊂ w lim sup Gn (ω) ⊂ X h.c.c Vậy (KM )Gn (ω) −→ X h.c.c Sau ta phát biểu luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập không gian Radermacher dạng p theo hội tụ Mosco 19 2.2.3 Định lý Giả sử X không gian Radermacher dạng p, < p ≤ Nếu {Fn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập M[Ω, K(X)] cho ∞ n−p E( Fn (.) p ) < ∞ n=1 tồn X ∈ K(X) cho (a)X ⊂ s − lim inf clE[Fn , AFn ], (b) lim sup s(clE[Fn ], x∗ ) ≤ s(X, x∗ ), x∗ ∈ X∗ , n (KM ) cl n Fi (ω) −→ coX h.c.c i=1 Chứng minh Đặt Gn (ω) = cl n Với x ∈ coX n Fi (ω), ω ∈ Ω i=1 > 0, chọn x1 , x2 , , xm ∈ X cho m −1 xj − x < m j=1 Theo điều kiện (a), tồn dãy {fn }, fn ∈ SF1 n (AFn ) cho E(f(k−1)m+j ) − xj −→ k → ∞, với j = 1, 2, , m Đặt yn = E(fn ), n ≥ Nếu n = (k − 1)m + l, ≤ l ≤ m n n i=1 ≤ n n fi (ω) − m m xj j=1 ≤ n (fi (ω) − yi ) + n i=1 m n (fi (ω) − yi ) + n i=1 k j=1 i=1 y(i−1)m+j − n m j=l+1 n i=1 yi − m m (xj ) j=1 y(k−1)m+j − m m xj j=1 20 ≤ n n k (fi (ω) − yi ) + n i=1 m j=1 k k y(i−1)m+j − xj i=1 k ( − ) n m + n m y(k−1)m+j + j=1 m xj j=1 Vì {fn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập Lp (Ω, X), với ∞ n−p E( fn p ) < ∞ n=1 nên n → ∞ ta có n −1 (fi (ω) − yi ) −→ h.c.c n i=1 Do n n m (fi (ω) − i=1 xj ) −→ h.c.c j=1 n → ∞ Suy m xj ∈ s lim inf Gn (ω) h.c.c j=1 Suy x ∈ s − lim inf Gn (ω) h.c.c Hay coX ⊂ s − lim inf Gn (ω) h.c.c Tiếp theo, lấy dãy {x∗j } chứng minh Định lí 2.2.2 coX {s(Fn (.), x∗j ) : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập Lp , với ∞ n−p E(|s(Fn (.), x∗j )|p ) < ∞ n=1 dẫn đến ∞ −1 [s(Fi (.), x∗j ) − E(s(Fi (.), x∗j ))] −→ h.c.c n i=1 21 Hơn nữa, theo điều kiện 2.2.3(a), (b) Bổ đề 2.2.1(ii) ta có E(s(Fn (.), x∗j )) = s(clE[Fn ], x∗j ) −→ s(X, x∗j ) n → ∞ Do đó, với j ≥ ta có s(Fi (ω), x∗j ) −→ s(X, x∗j ) h.c.c n → ∞ Suy w − lim sup Gn (ω) ⊂ coX Vậy (KM )Gn (ω) −→ coX 2.3 h.c.c h.c.c Luật số lớn theo tơpơ Wijsman 2.3.1 Bổ đề Kí hiệu B ∗ hình cầu đơn vị X∗ Với tập lồi đóng C ⊂ X , tồn tập đếm D∗ B ∗ cho với x ∈ X d(x, C) = sup { z, x − s(z, C)} x∈D∗ 2.3.2 Bổ đề Lấy {Cn : n ≥ 1} dãy K(X) Xét C ∈ K(X) tập đếm trù mật D∗ B ∗ mà d(x, coC) = sup{ z, x − s(z, coC)}, ∀x ∈ X ( xác định theo Bổ đề 2.3.1) Nếu với z ∈ D∗ ta có lim sup s(z; Cn ) ≤ s(z, C) n→∞ với x ∈ X lim inf d(x, Cn ) ≥ d(x, coC) n→∞ Chứng minh Với x ∈ X ta có lim inf d(x, Cn ) ≥ lim inf d(x, coCn ) = lim inf sup { z, x − s(z, coCn } n→∞ n→∞ n→∞ z∈D∗ 22 ≥ sup lim inf { z, x − s(z, coCn )} = sup { z, x − lim inf s(z, coCn )} z∈D∗ n→∞ n→∞ z∈D∗ = sup { z, x − lim inf s(z, Cn )} = sup { z, x − lim sup s(z, Cn )} n→∞ z∈D∗ z∈D∗ n→∞ ≥ sup { z, x − s(z, C)} = sup { z, x − s(z, coC)} = d(x, coC) z∈D∗ z∈D∗ Vậy lim inf d(x, Cn ) ≥ d(x, coC) n→∞ 2.3.3 Mệnh đề Giả sử X không gian Banach khả li, F biến ngẫu nhiên đa trị khả tích xác định K(X), {Fn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập, phân phối với F Gọi C tổ hợp lồi với hệ số hữu tỉ E[F, AF ] Khi đó, với y ∈ C tồn tập N (y) ⊂ Ω có độ đo không, dãy {gn , n ≥ 1} L1 (Ω, X) cho với ω ∈ Ω|N (y), (a)gn ∈ SF1 n (AFn ), n ≥ 1, (b)y = lim n→∞ n n gi (ω) i=1 Chứng minh Xét y ∈ C , từ định nghĩa C ta có k k ∗ + λj yj , k ∈ Z , λj ∈ Q , y= j=1 λj = j=1 Với j ≥ 1: yj = E(fj ), fj ∈ SF1 (AF ) Với j = 1, 2, , k biễu diễn mj λj = ; m, mj ∈ Z + , m = m k mj j=1 Theo Mệnh đề 2.1.3(ii), với j ∈ {1, 2, , n}, i ≥ ta tìm fji ∈ SF1 i (AFi ) có phân phối với fj Xét dư phép chia n cho m, ta định nghĩa dãy {gn : n ≥ 1} sau •gn = fjn j−1 j mp < n ≤ p=1 mp (modm) p=1 23 •gn = f1n n ≤ m1 (modm) Với j, n ≥ ta xác định số nguyên dương I(j, n) = {i ≤ n : gi = fji } (là tập số i ≤ n có số dư j chia cho m) Với n ≥ ω ∈ Ω, ta có n n i=1 gi (ω) = n k k fji (ω) = j=1 i∈I(j,n) j=1 I(j, n) n I(j, n) fji (ω) (∗) i∈I(j,n) Với n ≥ 1, tồn hai số nguyên qn rn thỏa mãn n = mqn + rn , ≤ rn < m, qn ≥ Với j ∈ {1, 2, , k}, ta có I(j, n) = mj (qn + σn ), σn ∈ [0; 1) Suy σn I(j, n) mj (qn + σn ) mj (1 + qn ) = = n mqn + rn m + rqnn Do σn rn bị chặn lim qn = +∞, n→∞ nên với j ∈ {1, 2, , k} ta có lim n→∞ I(j, n) mj = = λj (∗∗) n m Từ đẳng thức I(j, n) = mj (qn + σn ) lim qn = +∞ n→∞ ta có lim I(j, n) = +∞ n→∞ Sử dụng luật số lớn Etemadi cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối {fji }i≥1 với j ∈ {1; 2; ; k} tồn tập có độ đo khơng N (y) ⊂ Ω cho với 24 ω ∈ Ω|N (y) ta có I(j, n) fji (ω) −→ Efj = yj h.c.c (∗ ∗ ∗) i∈I(j,n) n → ∞ Kết hợp (*), (**), (***) ta lim n→+∞ n n k λj yj = y, ∀ω ∈ Ω|N (y) gi (ω) = i=1 j=1 2.3.4 Mệnh đề Giả sử F biến ngẫu nhiên đa trị khả tích, {Fn : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập phân phối với F Khi tồn tập có độ đo khơng N cho, với ω ∈ Ω|N x ∈ X, lim sup d(x, cl n n Fi (ω)) ≤ d(x, coE[F, A]) i=1 Chứng minh Đặt Zn (ω) = cl n n Fi (ω), ω ∈ Ω, n ≥ 1, i=1 C = coE[F, A] = coE[F, AF ] Lấy D tập đếm trù mật E[F, AF ] thỏa mãn clD = clE[F, AF ] C tổ hợp lồi hữu tỉ phần tử D Xét D tập đếm trù mật X, để chứng minh mệnh đề với x ∈ X ta cần chứng minh mệnh đề với x ∈ D Thật vậy, với x ∈ D số nguyên p ≥ ta tìm y ∈ C , y phụ thuộc vào x p cho ≤ d(x, coE[F, A]) + p Hơn nữa, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 cho y : tồn tập có độ đo khơng N = N (x, p) x−y dãy {gn , n ≥ 1} thỏa mãn 2.3.3(a)(b) Khi với x ∈ D, p ≥ ta có lim sup d(x, Zn (ω)) ≤ lim x − n→∞ n n→∞ n (ω) = x − y i=1 ≤ d(x, coE[F, A]) + p 25 Do p tùy ý nên ta có lim sup d(x, Zn (ω)) ≤ d(x, coE[F, A]) n→∞ 2.3.5 Định lý Giả sử F biến ngẫu nhiên đa trị khả tích nhận giá trị K(X) {Fn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập phân phối với F Khi đó, tồn tập N có độ đo cho ∀ω ∈ Ω|N , n (W IJ) n Fi (ω) −→ coE[F, A] i=1 Nghĩa là, với x ∈ D, n Fi (ω)) = d(x, coE[F, A]) lim d(x, n→∞ i=1 Chứng minh Giả sử D∗ tập đếm B ∗ thỏa mãn Bổ đề 2.3.1 tương ứng với tập đóng C = coE[F, A] Nghĩa là, với x ∈ X d(x, C) = sup { z, x − s(z, C)} x∈D∗ Cố định z ∈ D∗ , ánh xạ F → s(z, F ) ánh xạ đo yếu từ K(X) vào R nên {s(z, Fi )}i≥1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với s(z, F ) nhận giá trị R Hơn nữa, từ đẳng thức d(0, F (ω)) = sup{−s(z, F (ω)) : z ∈ B ∗ } khả tích F , áp dụng luật số lớn cho dãy {s(z, Fi )}i≥1 biến ngẫu nhiên nhận giá trị R, suy tồn tập N (z) ⊂ Ω có độ đo thỏa mãn ∀ω ∈ Ω|N (z), s(z, C) = lim n→∞ n n s(z, Fi (ω)) = lim s(z, Zn (ω)) n→∞ i=1 Đặt N1 = N (z) z∈D∗ 26 Ta có s(z, C) = lim s(z, Zn (ω)), ∀ω ∈ Ω|N1 n→∞ Từ đẳng thức Bổ đề 2.3.2 ta suy lim inf d(x, Zn (ω)) ≥ d(x, C), ∀x ∈ X, ω ∈ Ω|N1 n→∞ Mặt khác theo Mệnh đề 2.3.4 tồn tập có độ đo khơng N2 cho lim sup d(x, Zn (ω)) ≤ d(x, C), ∀x ∈ X, ∀ω ∈ Ω n→∞ Chọn N = N1 N2 , ta có d(x, C) ≤ lim inf d(x, Zn (ω)) ≤ lim sup d(x, Zn (ω)) ≤ d(x, C), n→∞ n→∞ ∀x ∈ X, ∀ω ∈ Ω|N Vậy lim d(x, Zn (ω)) = d(x, C), ∀x ∈ X, ∀ω ∈ Ω|N n→∞ Định lí chứng minh 27 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau đây: Hệ thống số khái niệm, tính chất phần tử ngẫu nhiên Trình bày hệ thống khái niệm, tính chất biến ngẫu nhiên đa trị; nhát cắt, kì vọng, kì vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên đa trị; dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên đa trị; khái niệm, tính chất phân phối xác suất biến ngẫu nhiên đa trị; khái niệm tính chất dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập Trình bày chứng minh chi tiết hội tụ theo Mosco dãy biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập đóng trường hợp độc lập ( Định lý 2.2.3) độc lập phân phối ( Định lý 2.2.2) Trình bày chứng minh chi tiết Định lý 2.3.5 hội tụ theo Wijsman dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập phân phối nhận giá trị tập đóng Hướng phát triển luận văn: Nghiên cứu tiếp Luật số lớn cho dãy nhiều số 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Quảng (2007), Phân phối xác suất không gian Banach, Bài giảng dành cho Sau đại học ngành Toán, Đại học Vinh tiếng anh [3] C Hess (1999), The Distribution of Unbound Rabdom Sets and the Multivalued Strong Law of Large Number in Nonreflexive Banach, Journal of Convex Analysic, Volume No1, 163- 182 [4] C Hess(1991), Multivalued Martingales Whose Valued May Be Unbounded: Matingales Selector and Mosco Convergence, Journal of Convex Analysic 39, 175- 201 [5] F.Hiai(1985), Convergence of Conditional Expectation and Strong Laws of Large Numbers for Multivalued Random Variables, Transaction of the American Mathematical Society( A.M.S), 613- 625 [6] F Hiai and H Umegaki(1977) Intergeral, Conditional Expecttations, and Matingales of Mutilvalued Functions, Journal of Multivariate Analysics 7, 149- 182 [7] I Mochalnov(2005), Theory of Random Sets ( Probality and its Application, Spinger, 1st Edition ... Chương Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị theo tô pô Mosco tô pô Wijsman Chúng trình bày phân phối xác suất biến ngẫu nhiên đa trị, tính độc lập họ biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ dãy biến ngẫu. .. tơi trình bày phần tử ngẫu nhiên, luật số lớn phần tử ngẫu nhiên trình bày phần Tiếp theo hệ thống kí hiệu, số kiến thức sở biến ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng biến ngẫu nhiên đa trị, dạng hội tụ khơng... ngẫu nhiên đa trị; khái niệm, tính chất phân phối xác suất biến ngẫu nhiên đa trị; khái niệm tính chất dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập Trình bày chứng minh chi tiết hội tụ theo Mosco dãy biến