Luật số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi một

1 MỞ ĐẦU Hiện nay, có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu đến khái niệm tính chất Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Có thể kể đến nhà khoa học quan tâm nghiên cứu đến vấn đề này: Karlin Rinott (1980), Ebrahimi Ghosh (1981), Matula (1992), Mặt khác, biết luật số lớn ba viên ngọc quý lý thuyết xác suất, thường xuyên nhà Toán học quan tâm nghiên cứu Feller (1946) chứng minh  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối thoả mãn  P X bn , n  1 dãy số dương thoả mãn bn / n    n 1  n j 1 n  bn     X j / bj  hầu chắn Rosalsky (1987) mở rộng luật mạnh số lớn Feller dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi môt, phân phối Năm 1989, Adler Rosalsky mở rộng luật mạnh số lớn Feller cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Ngoài ra, Adler, Rosalsky, Taylor(1992) mở rộng định lý Adler Rosalsky với tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc, làm trội biến ngẫu nhiên X Adler Rosalsky nghiên cứu luật yếu số lớn cho biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Năm 1991 Adler, Rosalsky Taylor mở rộng kết Adler Rosalsky thu luật yếu số lớn tổng quát cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập mà làm trội biến ngẫu nhiên X Tuy nhiên, luật số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi nhà Tốn học quan tâm Nhận thức điều đó, hướng dẫn giúp đỡ tận tình PGS.TS Nguyễn Văn Quảng tơi chọn đề tài: "Luật số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đơi một" Ngồi phần mở đầu, kết luận, luận văn trình bày theo chương: Chương I Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất dạng hội tụ kiến thức để phục vụ cho việc trình bày, chứng minh kết chương sau Chương chia thành mục: 1.1 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Luật yếu số lớn 1.4 Luật mạnh số lớn Chương II Luật số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi Trong chương chúng tơi trình bày luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi Chương chia thành mục: 2.1 Khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 2.2 Luật mạnh số lớn 2.3 Luật yếu số lớn Luận văn thực Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Quảng Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Văn Quảng, người đặt toán hướng dẫn tác giả thực luận văn Nhân đây, tác giả luận văn xin bày tỏ lịng biết ơn tới tập thể thầy giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh không ngừng dạy dỗ tạo điều kiện để tác giả học tập nâng cao trình độ hồn thành luận văn Mặc dù có cố gắng điều kiện hạn chế thời gian kiến thức nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý q Thầy giáo người đọc để luận văn hồn thiện tác giả luận văn nhận thức sâu sắc đề tài Vinh, tháng 12 năm 2009 Học viên MỤC LỤC Mục Trang MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Luật yếu số lớn 1.4 Luật mạnh số lớn Chương LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC TỌA ĐỘ ÂM ĐÔI MỘT 14 2.1 Khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 14 2.2 Luật mạnh số lớn 16 2.3 Luật yếu số lớn 21 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 Giả sử ( W, , ) không gian xác suất;  s - đại số s - đại số  ;  s - đại số Borel đường thẳng thực  (tức s - đại số bé chứa khoảng) Khi ánh xạ X : W®  gọi biến ngẫu nhiên  - đo được, " B Ỵ , ta có X - (B ) := w : X (w) Ỵ B Ỵ  { } Trong trường hợp đặc biệt, X biến ngẫu nhiên  - đo ta gọi cách đơn giản X biến ngẫu nhiên Mặt khác, dễ thấy X biến ngẫu nhiên họ s (X ) = { X - (B ) : B Ỵ  } lập thành s - đại số s - đại số  s - đại số gọi s - đại số sinh X Đó s - đại số bé mà X đo Từ suy X biến ngẫu nhiên  - đo s (X ) Ì  Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X : ( W, , ) ® (, ) biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo  (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy EX = ị X d  W 1.1.2 Tính chất kỳ vọng a Nếu X ³ EX ³ ; b EC  C ( C số); c Nếu tồn EX với C Ỵ  ta có ECX  CEX ; d Nếu tồn EX EY E  X  Y   EX  EY ; e Nếu X ,Y độc lập E  XY   E  X  E Y  Định nghĩa 1.1.3 Phương sai biến ngẫu nhiên X số không âm, ký hiệu DX , xác định bởi: DX  E  X  EX  (1.1)  Từ (1.1) ta có: E  X  EX   E X  XEX   EX  2   E  X    EX   2EX EX  EX   EX  2 Vậy DX  E  X  EX   EX   EX  2 1.1.4 Tính chất phương sai a DC  ( C số); b D  CX   C DX ; c Nếu X Y độc lập D  X  Y   DX  DY (1.2) 1.2 Các dạng hội tụ Định nghĩa 1.2.1 Dãy biến ngẫu nhiên X n n1 gọi hội tụ theo xác P suất tới biến ngẫu nhiên X n   , ký hiệu X n   X , với   ta có lim P | X n  X |    n (1.3) Định nghĩa 1.2.2 Dãy biến ngẫu nhiên X n n1 gọi hội tụ hầu h c c   X chắn tới biến ngẫu nhiên X n   , ký hiệu X n    P lim X n  X   x  (1.4) P P P  X , Yn  Y X n  Yn   X  Y Bổ đề 1.2.3.([11]) Nếu X n  n   h c c h c c h c c Bổ đề 1.2.4 ([11]) Nếu X n    X , Yn   Y X n  Yn   X Y n   h c c P   X X n   X n   Định lý 1.2.5 Nếu X n  Điều ngược lại không đúng, thêm điều kiện dãy biến ngẫu nhiên đơn điệu điều ngược lại định lí đúng, hay ta có định lý sau đây: Định lí 1.2.6 Nếu dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) đơn điệu tăng (giảm) P h c c  X n   X n    X n   X n  P h c c  n   ,   X sup | X k  X |  Định lí 1.2.7 X n  k n nghĩa với   cho trước   P sup X n  X   n   Định lí 1.2.8 Nếu k n   P  :| X k 1 h c c X n    X n   k  X |     với (1.6)  0 P Hệ 1.2.9 Nếu X n   X tồn dãy {nk} cho h c c X n    X k   k 1.3 Luật yếu số lớn Định nghĩa 1.3.1 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) gọi tuân theo luật yếu số lớn với   cho trước tuỳ ý n n P X i   E  X i   0  n i 1 n i 1 (1.7) Định lí 1.3.2 (Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử biến ngẫu nhiên X có kì vọng E(X) phương sai D(X) hữu hạn Khi đó: P  X  EX     DX  Chứng minh Đặt: 1  I A     0     : X  EX    Vì: với A với A  : X  EX    nên I   I  X  E  X      I  X  E  X     Ta có    E  X  EX   E X  EX I  X  EX     E X  EX I  X  EX       E X  EX I  X  EX      EI  X  EX      P  X  EX    Từ suy P  X  EX     DX   Định lí 1.3.3 (Định lí Chebyshev) Nếu dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 độc  lập có phương sai bị chặn số C, dãy  X n n1 tuân theo luật  yếu số lớn Hệ 1.3.4 Nếu X1, X2, , Xn dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, X  X   X n P   a n EXk = a DXk < C với k = 1,2, , n n   1.4 Luật mạnh số lớn Định nghĩa 1.4.1 Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 gọi tuân theo luật  mạnh số lớn n 1 n  h c c X  EX 0   i i n   n i 1  i 1  n Nếu đặt Sn   X i dãy  X n n1 tuân theo luật mạnh số lớn  i 1 h.c c 0  Sn  ESn   n Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Borel – Cantelli) a) Nếu (An) dãy biến cố thoả mãn   P  A    n n 1 P  limsup An   n   b) Nếu (An) dãy biến cố độc lập   P  A    n 1 P  limsup An   n   n (1.8) Trong  limsup An   Ak n 1 k  n n Chứng minh a) Ta có limsup An  n   n1 k n Ak  A Suy   P  A   P  Ak  k n  n    P  Ak   k n Theo giả thiết   P  A    n n 1 b) Ta có A  nên số hạng dư   P  A   n   Vậy P(A  ) = k n   k Ak Để chứng minh P  A   ta cần chứng minh n 1 k  n    P A  , hay ta phải chứng minh P  Ak   với n Với N > n ta có:  k n    N    N  N  N  P  Ak   P  Ak    P Ak   1  P( Ak )   exp  P  Ak   k n  k n  k n   k n  k n   - x < e -x với < x < Do  N  P  A    ta suy  P  A    n 1 k k n k  N  N   Vậy exp  P  Ak   N   Do P A  ,  k n    nghĩa P  A   Bổ đề chứng minh Bổ đề 1.4.3 ([11]) Giả s Ơ n=1 P (X n Y n ) < ¥ 10 Khi Nếu chuỗi å ¥ å X n hội tụ hầu chắn chuỗi n=1 ¥ Y n hội tụ hầu n=1 chắn Chứng minh Ta có ¥ ¥ å P (X n Y n ) < Ơ ị n=1 P (X n Y n ) đ N đ Ơ n= N Suy ( ) P ẩ (X n Y n ) đ N đ Ơ n= N Khi ú, t { } A = w | X n ( w) ¹ Y n ( w) hữu hạn n Þ P (A ) = Ta có: ¥ ¥ å " wẻ A ị X n ( w) < Ơ Û n=1 å Y n ( w) < ¥ n=1 Nghĩa ¥ å ¥ X n < ¥ h c c Û n=1 å Y n < ¥ h c c n=1 Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 1.4.4 (Bổ đề Kronecker) Giả sử bn dãy số cho  bn   chuỗi x n hội tụ Lúc n   n  bk xk  bn k 1 Chứng minh Đặt An   x k  n 1 k Rõ ràng An  A  sup An   Ta có: n n n n k 1 k 1 k 1 k 1  bk xk   bk  Ak 1  Ak    bk Ak 1   bk Ak 14 Chương LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC TỌA ĐỘ ÂM ĐÔI MỘT 2.1 Khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Định nghĩa 2.1.1 ([10]) Dãy biến ngẫu nhiên  X i i 1 gọi phụ n thuộc âm thoả mãn:  n  n P   X i  ri     P  X i  ri , r1 , r2 , rn  ,  i 1  i 1 (2.1)  n  n P   X i  ri     P  X i  ri , r1 , r2 , rn   i 1  i 1 (2.2) - Dãy biến ngẫu nhiên  X i i 1 phụ thuộc âm tập hữu  hạn phụ thuộc âm - Dãy biến ngẫu nhiên  X i i 1 phụ thuộc âm đôi với  i  j X j , X j phụ thuộc âm Định nghĩa 2.1.2 ([7]) Dãy biến ngẫu nhiên  X n : n  1 gọi phụ thuộc tọa độ âm đôi với ri , rj  ; i  j P X i  ri , X j  rj   P  X i  ri  P  X j  rj  (2.3) Bổ đề 2.1.3 ([9]) Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm Khi đó, EX Y £ EX EY Cov(X , Y )£ (2.4) Bổ đề 2.1.4 ([9]) Giả sử  X n : n  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đơi Khi đó, n Då X i £ i= n å i= DX i (2.5) 15 Bổ đề 2.1.5 ([3]) Giả sử  X n : n  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm với EX n = EX n2 < ¥ ; n ³ 1, ổn ữ ỗ ữ E ỗỗồ X i ữ £ ÷ è i= ø n å EX i2 (2.6) i= Chứng minh Ta có: ỉn ổn ỗỗ X + X X ữ ữ ỗ ữ E ỗồ X i ữ = E ồi < j i j ứữữ i ữ ỗỗốồ çè i = ø i= n = å EX i + 2å E (X i X j ) i= i< j Áp dụng Bổ đề 2.1.3 ta có å E (X i X j ) £ i< j å EX i EX j i< j Thay vo ta cú: ổn ỗ ữ E ỗỗồ X i ÷ = ÷ ÷ è i= ø £ n å EX i + 2å E (X i X j ) i= n å i< j EX i + 2å EX i EX j i= i< j Theo giả thiết EX i = " i = 1, n , suy æn ữ E ỗỗỗồ X i ữ Ê ữ ữ è i= ø n å EX i i= Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề 2.1.6 ([6]) Giả sử độ âm đôi một,  f  X  n n nN  fn nN  X nN dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa dãy hàm không giảm f n : R  R , phụ thuộc tọa độ âm đơi 16 Chứng minh Vì f n hàm không giảm nên  | fn ( X ())  x   | X ()  inf t : f (t )  x Khi đó, với ri , rj  ; i  j ta có   P  fi ( X i )  ri ; f j ( X j )  rj   P X i  inf t : f i (t )  ri ; X j  inf t : f j (t )  rj    P  X i  inf t : fi (t )  ri  P X j  inf t : f j (t )  rj    P  fi ( X i )  ri  P  f j ( X j )  rj  Hay ta có P  fi ( X i )  ri ; f j ( X j )  rj   P  fi ( X i )  ri  P  f j ( X j )  rj  i  j , có nghĩa dãy  f n  X n  nN phụ thuộc tọa độ âm đôi 2.2 Luật mạnh số lớn Trong phần này, tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi một, ta thiếp lập điều kiện để thu luật mạnh số lớn tổng quát dạng  n j 1  h c c a j X j / bn   , an, n  1 bn , n  1 dãy số với an  0;0  bn   bn / an  Bổ đề 2.2.1 Giả sử  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi phân phối; an, n  1 , bn , n  1 dãy số thoả mãn an  0;  bn   bn / an  , đồng thời điều kiện sau thỏa mãn  (i) 1 / b j n (ii)  bn     an  2 j  O 1 / bn2  ,  aj   j n  b j     O  n   17 Đặt X n'  X n I  an X n  bn   cn I  an X n  bn   cn I  an X n  bn  , (iii) c0  0, cn  bn / an Giả thiết rằng:   P a X (iv) n n 1  (v) n j 1 n  bn    , a j EX 'j bn  0,  n j 1 aj X j bn h c c  0 (2.7) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh  n j 1 a j X 'j bn   n  a j X 'j  a j EX 'j   n a j EX 'j  j 1 h c c     j 1  0 bn bn     (2.8) để chứng minh (2.8), ta cần chứng tỏ số hạng bên phải (2.8) hội tụ tới h.c.c số hạng thứ hai bên phải (2.8)  (1) (v) Theo bổ đề Borel - Cantelli, ta cần chứng minh rằng: với   ta có   n  a j X 'j  a j EX 'j   j  P      b n 1 n    (2.9) Theo Bổ đề 2.1.5  a j X 'j  a j EX 'j  phụ thuộc tọa độ âm cặp, đồng thời áp dụng Bổ đề 2.1.4 ta có:   n  a j X 'j  a j EX 'j     n n '2 j 1 '   E  a D X   j   b  a j EX j (2.10)    j   b b n 1 n 1 n j 1 n 1 n j 1 n    18 Theo (i), với số d > thì:   n '2  '2  1 a j EX j   a j EX j   d  EX 'j   n 1 bn j 1 j 1 n 1 bn j 1 c j       d  P X j  c j  d  E  X 2j  I X j  c j j 1 j 1 c j  (2.11) Chúng ta thấy số hạng bên phải (2.11) hữu hạn suy từ (iv) Chú ý (iv) tương đương với   nP  c n 1 n 1  X  cn    (2.12) Do đó, theo (ii) (2.12), ta có   1 j E X I X  c  E  X 12  I  cn1  X  cn     j   j 2  j 1 c j j 1 c j n 1     1  c P c  X  c  n  n 1 n  2 j n c j n 1 j n c j   E  X 12  I  cn1  X  cn  n 1 (2.13)   C  nP  cn1  X  cn    n 1 C số dương Bởi vậy, từ (2.13) số hạng thứ hai bên phải (2.11) hữu hạn (2.10), (2.11) bất đẳng thức Chebysev, (2.9) đúng, tức là, (2.8) Cuối cùng, từ định nghĩa X n , ta có:   P X n 1 n X  ' n   P X n 1  cn    (suy từ (iv)) Suy ra, ổƠ ữ lim ỗỗỗồ P (X i X i' )ữ = ữ nđ Ơ ữ ối = n ứ Mt khỏc ta cú ổƠ ữ P ỗỗU(X i X i' )ữ Ê ữ ỗối = n ữ ứ Ơ i= n P (X i ¹ X i' ), 19 Nên ¥ ỉ¥ ' ữ ỗ ữ Ê lim P ỗU(X i X i )ữ Ê lim P (X i X i' ) = ỗối = n nđ Ơ ữ ứ n đ Ơ i= n ổƠ ' ' ữ ỗ ữ ị P (X n X n i o) = lim P ỗU(X i X i )ữ = ỗối = n nđ Ơ ÷ ø Vì P  X n  X n' i o   ta thu (2.7) từ (2.8) Định lý 2.2.2 Giả sử  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi một, phân phối an, n  1 , bn , n  1 dãy số thoả mãn an  0;0  bn   , đồng thời thỏa mãn điều kiện sau (i) bn / an  , (ii)  b  b bn   , n  O  inf j n j   nan ja j  nan  n (iii) a j 1 j  O  nan  Nếu thêm điều kiện (i) (iv) Bổ đề 2.2.1 thỏa mãn, tức  1 / b j n j  O 1 / bn2  ,   P a X n n 1 n  bn    ta có luật mạnh số lớn (2.7) , tức  n j 1 aj X j bn h c c  0 Chứng minh Giả sử c0  0, cn  bn / an , n  Ta xác định X n'  X n I  X n  cn   cn I  X n  cn   cn I  X n  cn  20 Theo chứng minh Định lý [2], từ (ii) ta có  bn     an   aj   j n  b j      Cn   O  n  j n j  (2.14) Nghĩa điều kiện (ii) Bổ đề 2.2.1 thỏa mãn; từ (ii) (iii) suy n a j 1 j    bn  (2.15) Cuối kiểm tra điều kiện (v) Bổ đề 2.2.1 Giả sử n  N  Ta có bn  n  n n a j EX   a j E X j I X j  c j   b j P( X j  c j )  bn j 1 bn j 1 j 1 ' j (2.16) Số hạng thứ hai bên phải (2.16)  (1) suy từ (iv) Bổ đề 2.2.1 bổ đề Kronecker Từ điều kiện (i), (ii), (iii) ta có số hạng thứ hai bên phải (2.16) làm trội cN bn n a j 1 j C n  kPc k 1 k  N 1  X  ck  , n  N  (2.17) Ta có số hạng bên phải (2.17) hội tụ h.c.c n   suy từ (2.15) số hạng thứ hai hội tụ h.c.c N   suy từ (iv) Bổ đề 2.2.1 Do đó, điêu kiện (v) Bổ đề 2.2.1 thỏa mãn Vậy, theo Bổ đề 2.2.1 ta có dãy  X n , n  1 tuân theo luật mạnh số lớn (2.7) , tức là:  n j 1 aj X j bn Định lí hồn tồn chứng minh h c c  0 21 2.3 Luật yếu số lớn Bổ đề 2.3.1 Giả sử  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên phân phối, a n, n  1 , bn , n  1 dãy số thoả mãn an  0;  bn   Đặt cn  bn / an , X nj  X j I  X j  cn   cn I  X j  cn   cn I  X j  cn  ;1  j  n; n  Nếu  b  nP  X  n   o 1 an   (2.18) ta có luật yếu số lớn  n j 1 a j  X j  X nj  bn P  0 (2.19) Chứng minh Với  > tuỳ ý ta có:  n a X  X   n  j nj   j 1 j  P     P   X j  X nj   bn  j 1      n     P X j  cn  nP  X  cn   o 1 j 1 Suy điều phải chứng minh Bổ đề 2.3.2 Giả sử  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiê phân phối, a n, n  1 , bn , n  1 dãy số thoả mãn an  0;  bn   giả sử điều kiện sau thỏa mãn: bn b , n , an nan n a j 1 j  o b n   n j 1 bn b , n   , an nan  b2   O  nn  2   aj  j aj  j 1  b 2j (2.20) 22  b2  a  o  nb  ,  n 2  O  n n     aj  j aj j 1 j 1  j 1  n b 2j n j n (2.21) bn  , nan n a j 1 j  o  nan2  (2.22) Khi đó, điều kiện (2.18) suy đẳng thức sau n  a P X j j 1  cn   o  an2  (2.23) n a j 1 j X 12 I  X  cn   o  bn2  , (2.24) cn  bn / cn Bổ đề 2.3.3 Giả sử  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi một, phân phối, an, n  1 , bn , n  1 dãy số thoả mãn an  0;  bn   giả sử điều kiện (2.20) (2.21) (2.22) thỏa mãn Khi điều kiện (2.18) suy luật yếu số lớn  n j 1 a j  X nj  EX nj  bn P  0 , (2.25) đó, X nj  X j I  X j  cn   cn I  X j  cn   cn I  X j  cn  ;  j  n; n  Chứng minh Ta có dãy  X nj  EX nj  dãy biến ngẫu ngiên phụ thuộc tọa độ âm đôi Theo Bổ đê 2.3.2 với   ta có   n a j  X nj  X nj    j 1  P  2 E bn    bn a  X n j 1 j nj  EX j n  23 (Do bất đẳng thức Chebyshev)  2  bn a E X n j 1 j nj  EX j nj  (Do phụ thuộc tọa độ âm đôi một) n  2  a j E  X nj   bn j 1     n 2 n 2 a EX I X  c    a c P X j  cn j n  2bn2 j 1 j j  2bn2 j 1 j n  n n  2  a j E X I  X  cn   2  a j P  X  cn   o 1  bn j 1  bn j 1 suy từ (2.23) (2.24) Vậy (2.25) thỏa mãn Từ Bổ đề 2.3.1 Bổ đề 2.3.3, ta thu kết sau: Định lý 2.3.4 Giả sử  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi một, phân phối; an, n  1 , bn , n  1 dãy số thoả mãn an  0;  bn   , n  giả sử điều kiện (2.20) (2.21) (2.22) Bổ đề 3.3.2 thỏa mãn Nếu điều kiện (2.18) thỏa mãn, ta có luật yếu số lớn  n j 1 a j  X j  EX nj  bn P  0 , đó, X nj  X j I  X j  cn   cn I  X j  cn   cn I  X j  cn  ;1  j  n; n  cn  bn / cn Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.1 ta có:  n j 1 a j  X j  X nj  bn P  0 24 Theo Bổ đề 2.3.3 ta có:  n j 1 a j  X nj  EX nj  bn P   Suy ra:  n j 1 a j  X j  X nj  bn   n j 1 a j  X nj  EX nj  bn P   Ta có:  a  X j  X nj  j 1 j n bn     n j 1 a j  X nj  EX nj  bn a  X j  X nj  X nj  EX nj  j 1 j n bn   n j 1  a j  X j  EX nj  bn Vậy  n j 1 a j  X j  EX nj  bn P  0 Định lý chứng minh Định sau mở rộng luật yêu số lớn Markov cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi Định lý 2.3.5 ([10]) Giả sử  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi Khi n n å DX i n ® ¥ dãy  X n  tn i= theo luật yếu số lớn, tức n n P X i   E  X i    n    n i 1 n i 1 (2.26) 25 Chứng minh Với e > tùy ý, áp dụng bất đẳng thức Chebyshev Bổ đề 2.1.4 ta có ổ1 n n ữ P ỗỗỗ X i - å E (X i ) ³ e÷ £ ÷ ÷ n n è i= ø i= ổ1 n ổn ỗỗồ X ữ D ỗỗ X i ữ D ữ iữ ỗố n i= ứ ữ ữ ốỗ i= ứ = Ê e2 n2e n å DX i i= n2e Vì n å DX i i= n2 ổ1 n n ỗ ữ = đ n đ Ơ nờn lim P ỗỗ X i - å E (X i ) ³ e÷ ữ nđ Ơ ữ n i= ố n i= ø Nên n n P X  E  X i    n     i n i 1 n i 1 Định lý chứng minh 26 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: - Chứng minh chi tiết số kết từ [3]; [6]; [8] - Thiết lập số điều kiện cho luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm dạng tổng quát  n j 1  h c c a j X j / bn  0 , với an, n  1 , bn , n  1 dãy số thỏa mãn an  0;0  bn   - Thiết lập số điều kiện cho luật yếu số lớn dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm dạng tổng quát với   n j 1  n j 1  P a j X j  / bn  0 ,  a j X nj và: X nj  X j I  X j  cn   cn I  X j  cn   cn I  X j  cn  , cn  bn / an  27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adler, A and Rosalsky, A., Some general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables, Stochastic Anal Appl (1987), 1-16 [2] Adler, A., Rosalsky, A, and Taylor, R L On the weak law of large number for normed weighted sums of iid random variables, Internat J Math Sci 14 (1991), 191-202 [3] Gan Shixin, Chen Pingyan, Some limit theorems for sequences of pairwise NQD random variables , Acta Math Scientia (2008), 28B(2): 269-281 [4] Chow, Y S and Teicher, H., Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, 2nd ed., Spring-Verlag, New York, (1988) [5] Feller, W., A limiting theorem for random variables with innite moments, Amer J.Math 68 (1946), 257-262 [6] Matula, P., A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables, Statist Probab Lett 15 (1992), 209-213 [7] Tea-Sung Kim and Jong IL Beak, The strong laws of large numbers for weighted sums of pairise negatively quadrant dependent radom variables, J.Korean Mat Soc 36(1999), No 1, pp 37 - 49 [8] Tea-Sung Kim and Hyun - Chull Kim, On the laws of large numbers for weighted sums of pairise negatively quadrant dependent radom variables, J.Korean Mat Soc 38(2001), No 1, pp 55 - 63 28 [9] E Lehmann, Some concepts of dependence, Ann Math Statist, 37, 1966, 1137-1153 [10] N V Quảng, Đ T H Thuý (2007), Mở rộng số định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phụ thuộc tuyến tính, Tạp chí khoa học, Đại học Vinh, tập XXXVI, số 4A, 2007 [11] N V Quảng, Giáo trình Xác suất thống kê, NXB- ĐHQGHN Hà Nội, 2007 ... MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Luật yếu số lớn 1.4 Luật mạnh số lớn Chương LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC... bày luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi Chương chia thành mục: 2.1 Khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 2.2 Luật mạnh số lớn. .. Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Luật yếu số lớn 1.4 Luật mạnh số lớn Chương II Luật số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi Trong chương chúng