Luật yếu số lớn cho tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm

Các định lý giới hạn, đặc biệt là các định lý về luật số lớn, đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê Toán học. Bài viết đưa ra một dạng mở rộng cho luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm với điều kiện các biến ngẫu nhiên này bị chặn ngẫu nhiên.

Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC CỘNG TÍNH TRÊN ÂM WEAK LAW OF LARGE NUMBERS FOR SUMS OF NEGATIVELY SUPERADDITIVE DEPENDENT RANDOM VARIABLES Võ Thị Vân Anh1, Nguyễn Lê Bảo Khuyên2 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Việt Nam Trường Cao đẳng Y tế Kiên Giang, Việt Nam Ngày soạn nhận 5/4/2021, ngày phản biện đánh giá 20/4/2021, ngày chấp nhận đăng 03/5/2021 TÓM TẮT [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] Các định lý giới hạn, đặc biệt định lý luật số lớn, đóng vai trị vơ quan trọng lý thuyết xác suất thống kê Toán học Luật số lớn Bernoulli thiết lập năm 1713 nguồn gốc lý thuyết xác suất đại ngày mà dựa hệ tiên đề xác suất Kolmogorov đưa vào năm 1933 Các kết bật luật số lớn thơng thường có hai dạng luật yếu số lớn luật mạnh số lớn Trong số thành tựu kể đến định lý Kolmogorov cho biến ngẫu nhiên độc lập phân phối kết khác Khintchine, Feller, Birkhoff, Prohorov, Petrov, Martikainen, Gut nhiều nhà nghiên cứu khác Xu hướng chung báo mở rộng kết cổ điển cách thay điều kiện phụ thuộc yếu hơn, chẳng hạn phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm, liên kết âm phụ thuộc cộng tính âm Trong báo này, đưa dạng mở rộng cho luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm với điều kiện biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên Từ khóa: phụ thuộc cộng tính âm; bị chặn ngẫu nhiên; luật số lớn; biến đổi đều; hội tụ theo xác suất ABSTRACT The limit theorems, especially the theorems of the law of large numbers, play a very important role in the theory of probability and mathematical statistics Law of the large number established by Bernoulli in 1713 was the origin of the modern probability theory based now on the solid axiomatic foundation proposed by Kolmogorov in 1933 There are a number of brilliant results concerning the law of large numbers in weak and strong forms Among them one can mention, e.g., the Kolmogorov theorem for independent identically distributed random variables, the results by Khintchine, Feller, Birkhoff, Prohorov, Petrov, Martikainen, Gut and many other researchers The general trend is to extend the classical results by analysis of dependent summands, such as martingale dependence, Markov dependence, m-dependence, blockwise m-dependence, negative quadrant dependence, negatively association, and negatively superadditive dependence In this paper, we give a version of the Kolmogorov - Feller law of the large number for negatively superadditive dependent random variables and stochastically dominated random variables Keywords: negatively superadditive dependent; stochastically dominated; law of large numbers; regularly varying; convergence in probability GIỚI THIỆU Cho  X , X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối thỏa mãn luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller, nghĩa hai mệnh đề sau tương đương (i) nP  X  n   Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh n  X i  EX I  X  n   theo xác suất n i 1 (ii) Luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller nhiều tác giả chứng minh mở rộng (xem [1], [2], [3]) Trong luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller, điều kiện biến ngẫu nhiên độc lập mạnh Vì thế, nhiều nhà tốn học không ngừng thay điều kiện độc lập điều kiện yếu hơn, chẳng hạn độc lập đôi (pairwise independent) (xem [4]), phụ thuộc âm (negative quadrant dependent) (xem [5]), liên kết âm (negatively associated) đưa Alam Saxena (xem [6]) nghiên cứu Joag – Dev Proschan (xem [7]) Block (xem [8]) Trong báo này, sử dụng điều kiện phụ thuộc cộng tính âm (negatively superadditive dependent) (xem [9]) Hu [9] đưa ví dụ rằng, điều kiện yếu so với điều kiện liên kết âm Trong báo này, thiết lập luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm với điều kiện biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên Định lý sau kết báo thiệu [10] điều kiện mở rộng cho tính phụ thuộc âm gọi phụ thuộc cộng tính âm trình bày [9] Định nghĩa Ánh xạ  : n  gọi cộng tính (superadditive) với x, y thuộc n   x  y    x  y    x    y x  y   max{x1, y1}, max{x2 , y2}, , max{xn , yn} x  y   min{x1, y1},min{x2 , y2}, , min{xn , yn} với x   x1, x2 , , xn  y   y1, y2 , , yn  Định nghĩa Dãy hữu hạn biến ngẫu nhiên X1 , X , , X n gọi phụ thuộc cộng tính âm thỏa mãn E  X1, X , , X n   E Y1, Y2 , , Yn  , (2) Y1 , Y2 , , Yn biến ngẫu nhiên độc lập cho X i Yi phân phối với i :  i  n  ánh xạ cộng tính cho kỳ vọng bất đẳng thức (2) tồn Định lý Giả sử  X i , i  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Định nghĩa Dãy vô hạn biến ngẫu nhiên  X i , i  1 gọi phụ thuộc cộng tính âm tập hữu hạn  X i , i  1 biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Khi đó, với số thực khơng âm  ,  : Tiếp theo chúng tơi trình bày khái niệm hàm biến đổi hàm biến đổi chậm (xem [11]) cho P  X  x  thuộc R V   ,   1   nP X  n       ,   lim n  max 1 k  n n k  i 1 X i  EX i I  X i  n   i  0 theo xác suất n   (1) MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trước chứng minh kết chính, chúng tơi trình bày số khái niệm bổ đề phục vụ chứng minh Định lý Đầu tiên sử dụng khái niệm ánh xạ cộng tính (superadditive) giới Định nghĩa Cho a thuộc , hàm số U :  a,    0,  gọi biến đổi (regularly varying) bậc  , ký hiệu U R V   giá trị t dương U  tx   t x  U  x  lim Đặc biệt,   hàm số U gọi hàm biến đổi chậm (slowly varying), ký hiệu U  SV Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Định nghĩa sau trình bày dãy biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên  X i , i  1 gọi gọi bị chặn ngẫu nhiên (stochastically dominated) biến ngẫu nhiên X tồn số C dương cho P  X n  x   CP  X  x  , Hai bổ đề sau sử dụng để chứng minh Định lý (xem [9]) Bổ đề Giả sử X1 , X , , X n biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm f1 , f , , f n hàm đơn điệu tăng Khi đó, f1  X1  , f2  X  , , f n  X n  biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Bổ đề Giả sử X , X , , X n , n  biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm khả tích bậc hai có kỳ vọng Khi đó, với  dương  n X      Var X i  i i 1   i 1 k Bổ đề tính chất dãy biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên, lược bỏ chứng minh chi tiết Bổ đề chứng minh [12] Bổ đề Giả sử dãy biến ngẫu nhiên  X i , i  1 bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Khi đó, với  dương b dương, tồn số dương C1 , C2 cho mệnh đề sau (i) E X n I  X n  b    C1E X I  X  b   b P  X  b    (ii) E X n I  X n  b   C2 E X I  X  b   Bổ đề 10 Giả sử  số thực dương thỏa mãn    Khi đó, tồn số C dương cho bất đẳng thức sau thỏa mãn n i  i 1  Cn1 2 Bổ đề kết tiếng Karamata (xem [11]) Bổ đề 11 (Karamata) Giả sử f xác định với x  n   P  max  1k n  X ;  f thuộc R V    Khi đó, với       1 lim x 1 f  x  x  x  t f  t  dt X Cuối cùng, đưa bổ đề sử dụng trực tiếp để chứng minh Định lý Bổ đề 12 Giả sử  X i , i  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X thỏa mãn P  X  x  thuộc R V    ,   1 Với i : i  số thực không âm  ,  :   ,   đặt X i  n   I  X i  n     X i I  X i  n     n   I  X i  n    ,   mi ,n  E X i I  X i  n    Khi đó, lim nP  X  n     n  mệnh đề sau (i) lim max n  1 k  n n  Bổ đề sau kết đơn giản       (ii) lim  n  n n  i 1 k  i 1 E X i  mi ,n i   E X i I  X i  n    i    Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh (iii) lim n  n  n  i 2 i 1 P  Xi  n   n (iv) lim n2  n   E X i I  X i  n    i 2 i 1   (iii) Áp dụng Bổ đề 9, Bổ đề 10, Bổ đề 11, ta có   n2  n  Áp dụng Bổ đề 10, ta có max  1 k  n n E X i  mi ,n k   max 1 k  n   n n  i 1 n  n  k     E n I  Xi  n   i i 1       n  i 1 n  i  2 i 1 i n   C E  X I X  n       CnP X  n       1 n   CnP  X  n     i 2 i 2 Bổ đề chứng minh KẾT QUẢ CHÍNH 3.1 Chứng minh Định lý C E  X I X  n     n   P X  n        P  X i  n     CnP  X  n        n i 1 C E  X I X  n     n   P X  n       i 2 n  n  Cn2 P  X  n        2 i 1 Áp dụng Bổ đề 9, Bổ đề 10, Bổ đề 11, ta có i i 2 (iv) Ta có n   CnP  X  n     n E X i I  X i  n     i 2 i 1 n i   i 1   Cn2 P  X  n      P  X i  n     CnP  X  n   C E X I  X  n    i 1 i   n n i i 1  2 i 1  Cn P  X  n    i 1 i n  Cn 2 P  X  n     2 i 1 i n  2 n  E X i I  X i  n     n 2 P  X  n      E n   I  X i  n     (ii)   2 n n i 1 n  2 n i i 1 i i 1 Chứng minh (i)  E X i I  X i  n      Với k  1, đặt, k Sk   X i  mi ,n i 1 i  k , Sk   X i  mi ,n i 1 i Khi đó, với   , ta có   P   max Sk     k  n n  n     P  X i  n     P   max Sk     k  n n  i 1 : I1  I Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh mãn P  X  x  thuộc R V   ,   1 Khi với I1   P  X i  n     CnP  X  n     0, n i 1   I  P   max Sk     k  n n  k X m    P  max  i  i ,n   n    1k n i 1  i     k X EX  P  max   i  i   1 k  n  i 1 i     P  max  1k n  k  max 1 k  n i      n       E X i  mi ,n i i 1   n     I1,1  I1,2 Từ Bổ đề 12 (i), ta có I1,2  Áp dụng Bổ đề 7, Bổ đề 8, Bổ đề 13, ta có  I1,1  P  max  1k n   2  n X i  E X i  n     i  i 1 k n    E Xi i 2 i 1  CnP  X  n    C  2 n n   E X i I  X i  n    i 1 i 2 Xi 0 i 1 Với   0, áp dụng Bổ đề 12 (ii), ta có  P  max  1 k  n n  k Xi  i i 1   P  max  1 k  n n  X i  E X i  n     i  i 1 k k  i Chứng minh k   P  max  1k n  n theo xác suất, n   E X i  mi ,n i 1 đó, với số thực không âm  ,  : nP  X  n     0    ,   lim n    Định lý chứng minh 3.2 Hệ ví dụ Hệ 13 Giả sử  X i , i  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X thỏa    k  k  k     2 mi ,n i i 1 X i  mi ,n i i 1   P  max  1 k  n n     2 i i 1  P  max  1 k  n n    P  max   1k n n X i  mi ,n n  i 1 mi ,n i      2    2 Hệ chứng minh Ví dụ 14 Giả sử  X i , i  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối 1  e  x  log x x  e, FX ( x )   x  e, 0   1 Khi đó, với số thực không âm  ,  :    ,   cho ta có luật yếu số lớn,  (   )   max  1 k  n n k  i 1 X i  E X i I  X i  n    i theo xác suất, n   0 Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] H Naderi, P Matuła, M Amini, H Ahmadzade, A version of the Kolmogorov–Feller weak law of large numbers for maximal weighted sums of random variables, Commun Stat., Theory Methods 48 (2018), no 21, p 5414-5418 V V Petrov, Limit theorems of probability theory – Sequences of independent random variables Clarendon Press, (1995) D Yuan, X Hu A conditional version of the extended Kolmogrov-Feller weak law of large numbers, Statistics and Probability Letters, (2015) 97, 99–107 1/ r B D Choi, S H Sung, On convergence of  Sn  ESn  / n ,1  r  for pairwise independent variables, Bull Korean Math Soc 22(1985), no.2, pp.79-82 [5] F Ma, J Li, T Hou, Some limit theorems for weighted negative quadrant dependent random variables with infinite mean, Journal of Inequalities and Applications (2018) [6] K Alam, K M L Saxena, Positive dependence in multivariate distributions, Commun Stat., Theory Methods 10 (1981), p 1183-1196 [7] K Joag-Dev, F Proschan, Negative association of random variables with applications, Ann Stat 11 (1983), p 286-295 [8] H W Block, T H Savits, M Shaked, Some concepts of negative dependence, Ann Probab 10 (1982), p 765-772 [9] T Hu, Negatively superadditive dependence of random variables with applications, Chin J Appl Probab Stat 16 (2000), no 2, p 133-144 [10] J H B Kemperman, On the FKG - inequalities for measures on a partially ordered space, Nederl Akad Wetensch Proc Ser A 80 (1977), no 4, 313–331 [11] N H Bingham, C M Goldie, J L Teugels, Regular variation, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol 27, Cambridge University Press, 1987 [12] F Ma, Y Miao, J Mu, A note on the weak law of large numbers of Kolmogorov and Feller, Indian Academy of Sciences (2020) Tác giả chịu trách nhiệm viết: Võ Thị Vân Anh Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật Tp.HCM Email: anhvtv@hcmute.edu.vn ... Feller cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm với điều kiện biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên Định lý sau kết báo thiệu [10] điều kiện mở rộng cho tính phụ thuộc âm gọi phụ thuộc cộng tính âm. .. xạ cộng tính cho kỳ vọng bất đẳng thức (2) tồn Định lý Giả sử  X i , i  1 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Định nghĩa Dãy vô hạn biến ngẫu nhiên. .. gọi phụ thuộc cộng tính âm tập hữu hạn  X i , i  1 biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Khi đó, với số thực khơng âm  ,  : Tiếp theo chúng tơi trình bày khái niệm hàm biến đổi hàm biến