Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết tiến hành thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến chặn trên cho xác suất của tổng một số lượng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên thỏa mãn những điều kiện nhất định. Để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo bài viết.
Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(4):294-298 Bài Nghiên cứu Open Access Full Text Article Luật yếu số lớn với dãy đánh số ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên m phụ thuộc Trần Lộc Hùng1 , Nguyễn Tấn Nhựt2,* TÓM TẮT Use your smartphone to scan this QR code and download this article Trước tiên, thiết lập bất đẳng thức liên quan đến chặn cho xác suất tổng số lượng ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện định Cụ thể hơn, Định lí 1, biến giả định phải nhận giá trị khoảng bị chặn đặc biệt chúng đặt giả thiết m phụ thuộc thay độc lập theo thường lệ, độc lập trường hợp riêng m phụ thuộc m Đối với số số có phân phối quen thuộc, tiếp tục thực ước tính hợp lí cho số hạng kì vọng vế phải hai bất đẳng thức Định lí để nhận chặn kiểu Chernoff-Hoeffding Với trường hợp đáp ứng biến ngẫu nhiên số, chặn sử dụng vào việc chứng minh có luật yếu số lớn dãy biến ngẫu nhiên m phụ thuộc tương ứng tốc độ hội tụ mũ Tiếp theo, Định lí 2, số có phân phối Poisson chọn làm điển hình để trình bày Cuối cùng, định lí minh họa thơng qua hình ảnh xây dựng từ giá trị mô dành cho dãy phụ thuộc Ở đây, cách thức tạo dãy phụ thuộc từ dãy độc lập thực phần giúp độc giả hiểu rõ cấu trúc m phụ thuộc Từ khoá: luật yếu số lớn, tổng ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên, m phụ thuộc, bất đẳng thức Chernoff-Hoeffding GIỚI THIỆU Trường Đại học Tài – Marketing TPHCM; Xã Bình Thành, Huyện Lấp Vò, Tỉnh Đồng Tháp Liên hệ Nguyễn Tấn Nhựt, Xã Bình Thành, Huyện Lấp Vị, Tỉnh Đồng Tháp Email: ntn.nhut@gmail.com Lịch sử • Ngày nhận: 24-11-2018 • Ngày chấp nhận: 22-7-2019 • Ngày đăng: 31-12-2019 DOI : 10.32508/stdjns.v3i4.528 Bản quyền © ĐHQG Tp.HCM Đây báo công bố mở phát hành theo điều khoản the Creative Commons Attribution 4.0 International license Cho Y1 ,Y2 , biến ngẫu nhiên độc lập đồng phân phối với biến ngẫu nhiên có giá trị nguyên không âm Y Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên đồng phân phối với biến ngẫu nhiên X nhận giá trị khoảng đóng [0,1], độc lập với biến ngẫu nhiên Y1 ,Y2 , Nội dung viết xoay quanh tổng sau đây: n Nn = ∑nj=1 Y j , SNn = ∑Nj=1 X j X¯Nn = Nn−1 SNn Khi Nn = 0, qui ước S0 = X¯0 = Định lí Phần kết chặn cho xác suất P(SNn > Nn x) mà biến ngẫu nhiên X1 , X2 , giả định m phụ thuộc x số thực thích hợp (xem Bổ đề 1, Định lí 1) Định nghĩa (m phụ thuộc) Cho m số nguyên không âm Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , gọi m phụ thuộc với số nguyên dương n, tập biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , , Xn } {Xn+m+1 , Xn+m+2 , } độc lập Từ công trình Hoeffding cần thiết để chứng minh Định lí 1, kết then chốt viết này, tóm tắt lại Bổ đề Với µ ∈ (0, 1), định nghĩa hàm Iµ : [0, 1] → [0, ∞] cơng thức ( ) ( ) x 1−x Iµ (x) = x log + (1 − x) log µ 1−µ Bổ đề Nếu X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên m phụ thuộc đồng phân phối với biến ngẫu nhiên X nhận giá trị khoảng [0,1] EX = µ ∈ (0, 1), ( ) ( [ ] ) n n P X j > x ≤ exp − Iµ (x) ∑ n j=1 m+1 với x ∈ [µ , 1), ( P n n ∑ Xj < x j=1 ) ( [ ≤ exp − ) ] n Iµ (x) m+1 Trích dẫn báo này: Hùng T L, Nhựt N T Luật yếu số lớn với dãy đánh số ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên m phụ thuộc Sci Tech Dev J - Nat Sci.; 3(4):294-298 294 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(4):294-298 với x ∈ (0, µ ] [ n ] n số nguyên lớn nhỏ hay m+1 Có thể chứng minh bổ đề Trong công thức trên, m+1 theo cách thức mà Hoeffding chứng minh định lí thảo luận mở rộng cho tổng biến m phụ thuộc báo ông Một chặn giảm theo tốc độ hàm mũ xác suất có dạng Bổ đề thường gọi chặn Chernoff-Hoeffding (xem 2,3 ) Từ phần Luật số lớn sau viết xét trường hợp cụ thể giả thiết, bắt đầu với Y có phân phối Poisson, Định lí dạng luật yếu số lớn xác định dựa việc áp dụng Hệ Phần kết Sau đó, Phần kết luận, X lấy trung bình cộng hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối [a,b] để cung cấp chất liệu cho mơ Hình 1, thí dụ cho kết mà Định lí xác định Hơn nữa, thảo luận phần gợi ý thay giả thiết X nhận giá trị khoảng [0,1] thành khoảng [a,b], mà a, b hữu hạn KẾT QUẢ Với thiết lập Phần giới thiệu, định lí sau kết Định lí Với x ∈ [µ , 1), P(SNn >xNn )≤Eexp(−[(m+1)−1 Nn ]Iµ (x)); (1) ) ] ( [ P (SNn < xNn ) ≤ Eexp − (m + 1)−1 Nn Iµ (x) (2) với x ∈ (0, µ ], Chứng minh Chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (1), bất đẳng thức (2) chứng minh tương tự Trước tiên, áp dụng luật xác suất toàn phần giả thiết Nn độc lập với X j để có ( ) ( ) P SNn > xNn = ∑∞ k=0 P (Nn = k) P SNn > kx|Nn = k P (N = k) P (S > kx) ≤ P (Nn = 0) + ∑∞ n k k=1 Sau đó, theo Bổ đề 1, ( [ P (Sk > kx) ≤ exp − ) ] k Iµ (x) m+1 nên thu đánh giá sau: ] ) ( [ k Iµ (x) P (SNn > xNn ) ≤ ∑∞ P (Nn = k) exp − m+1 k=0( [ ] ) Nn = Eexp − m+1 Iµ (x) Chứng minh xong Trong số trường hợp định, sử dụng hệ bên tiện lợi để X¯Nn hội tụ theo xác suất µ với tốc độ mũ, mà Định lí Phần Luật số lớn trường hợp Hệ Với số dương ε < min(µ , − µ ), ( [ ] ) Nn ε2 P (|SNn − µ Nn | > ε Nn ) ≤ Eexp −2 m+1 Chứng minh Trước tiên, có bất đẳng thức P (|sNn − µ Nn | > ε Nn ) ≤ P (SNn > (µ + ε )Nn ) + P (SNn < (µ − ε )Nn ) Theo Định lí 1, ( [ ] ) Nn P (SNn > (µ + ε )Nn ) ≤ Eexp − I(µ + ε ) m+1 ( [ ) ] Nn P (SNn < (µ − ε )Nn ) ≤ Eexp − I(µ − ε ) m+1 Cuối cùng, Iµ (x) ≥ 2(x − µ )2 với x ∈ (0, 1), nên hệ chứng minh 295 Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(4):294-298 Tuy phần xem xét trường hợp cụ thể Y có phân phối Poisson, số phân phối quen thuộc khác Bernoulli hay hình học chung kết luận Định lí có dạng luật yếu số lớn Định lí Nếu Y biến Poisson với tham số λ > X¯Nn hội tụ theo xác suất µ , nghĩa với ε > 0, lim P (|X¯Nn − µ | > ε ) = n→∞ Chứng minh Với hai số dương ε ε ′ mà ε < min(µ , − µ ) ≤ ε ′ , ( ) P |X¯Nn − µ | > ε ′ ≤ P (|X¯Nn − µ | > ε ) nên cần tiến hành chứng minh với giả định ε < min(µ , − µ ) Trước tiên, luật xác suất tồn phần tính độc lập Nn X j từ giả thiết, dễ thấy ) ( ) ( − − P XNn − µ > ε = ∑∞ XNn − µ > ε |Nn = k k=0 P(Nn = k)P ( ) − ≤ P(Nn = 0) + ∑∞ P(N = k)P X − µ > ε |N = k n n Nn k=1 = P(Nn = 0) + ∑∞ k=1 P(Nn = k)P (|SNn − µ Nn | > ε Nn |Nn = k) ∞ ≤ P(Nn = 0) + ∑k=0 P(Nn = k)P (|SNn − µ Nn | > ε Nn |Nn = k) = P(Nn = 0) + P (|SNn − µ Nn | > ε Nn ) [ ] Nn Sử dụng Hệ kết hợp với giả thiết Nn biến Poisson tham số nλ m+1 ≥ Nn m+1 − 1, suy ( [ ] ) Nn P (|SNn − µ Nn | > ε Nn ) ≤ Eexp −2 m+1 ε2 ) ( ( 2) ∞ k (nλ ) 2kε ≤ exp 2ε ∑k=0 exp(−nλ ) k! exp − m+1 ( ))k ( ( ) 2ε = exp 2ε − nλ ∑∞ (nλ ) exp − m+1 k=0 k! ( ( ( )) ) 2ε = exp −nλ − exp − m+1 + 2ε Số hạng cuối tiến n tiến vô cực, P (Nn = 0) = exp(−nλ ) số hạng tiến n tiến vô cực, định lí chứng minh Đáng tiếc rằng, chứng minh đồng thời tốc độ hội tụ luật yếu số lớn mũ, chặn sử dụng phép chứng minh chưa phản ánh sát với thực tế n nλ chưa đủ lớn Một phép tính chi tiết rõ hạn chế phần KẾT LUẬN Để tạo mô cho Định lí đồng thời minh họa việc áp dụng kết đề cập phần trước X nhận giá trị khoảng bị chặn nào, phần này, X cụ thể trung bình cộng hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều, khoảng [a,b] thay khoảng [0,1] trước Nói cách khác, X = U+V , U V độc lập có phân phối [a,b] X−a Giá trị kì vọng X a+b b−a Vì thế, ( ) ( ) Nn X j −a ε P SNn − a+b Nn > ε Nn = P ∑ j=1 b−a − Nn > b−a Nn Nếu ε < b−a ε b−a < 21 Khi đó, theo Hệ 1, ( ]) ) ( ( ) [ X j −a ε N ε Nn n P ∑Nj=1 − N > ≤ Eexp −2 n n m+1 b−a b−a b−a Lưu ý, bất đẳng thức trên, X1 , X2 , dãy m phụ thuộc đồng phân phối với X vừa mô tả phần đầu mục Giả sử U1 ,U2 , biến ngẫu nhiên độc lập lẫn có phân phối n+1 X1 , X2 , ví dụ cho dãy phụ thuộc thành [a,b], với n ≥ 1, Xn = Un +U phần đồng phân phối với X 296 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(4):294-298 Tiếp tục ước lượng kì vọng vế phải theo bước tương tự chứng minh Định lí để thu đánh giá ( ( ]) ) [ ε Nn Eexp −2 b−a m+1 ( ( ( ( ε )2 )) ( ε )2 ) + b−a ≤ exp −nλ − exp − m+1 b−a Tóm lại, ( ) >ε X Nn − a+b ( ( ( ( ε )2 )) ( ε )2 ) ≤ exp −nλ − exp − m+1 + b−a b−a P Nếu sử dụng bất đẳng thức xác định n cho ( ) a+b P X¯Nn − >ε ≤α mà ε α giá trị mong muốn cho trước, sử dụng ( ( ( ε )2 ))−1 ( ( ) ( ε )2 ) n ≥ λ −1 − exp − m+1 log α + b−a b−a 1 , α = 100 , theo n khuyên không bé 26962 Tuy Giả sử λ = 20 , m = 1, a = −1, b = 2, ε = 100 nhiên, quan sát Hình thấy ước lượng thô Vài sửa đổi phù hợp giả định ban đầu kết hợp với bước đánh giá chặt chẽ bất đẳng thức có lẽ mang lại chặn hiệu cần đến tính tốn số Hình 1: Minh họa luật số lớn trường hợp Y có phân phối Poisson tham số λ = 20 X1 , X2 , dãy phụ thuộc, nghĩa m = 1, cụ thể Xn = 12 (Un +Un+1 ) mà U1 ,U2 , biến ngẫu nhiên độc lập lẫn có phân phối khoảng [-1,2] Ở có 200 quĩ đạo dừng n = 30000 ε = 100 XUNG ĐỘT LỢI ÍCH Các tác giả khơng cạnh tranh lợi ích ĐĨNG GĨP CỦA CÁC TÁC GIẢ Các tác giả có đóng góp cho viết Tất tác giả soạn thảo, đọc duyệt phiên cuối thảo TÀI LIỆU THAM KHẢO Ferguson TS A course in large sample theory Chapman & Hall texts in statistical science In: Chapman and Hall/CRC; 1996 Hoeffding W Probability inequalities for sums of bounded random variables Journal of the American statistical association 1963;58(301):13–30 Chernoff H A measure of asymptotic efficiency for tests of a hypothesis based on the sum of observations The Annals of Mathematical Statistics 1952;23(4):493–507 297 Science & Technology Development Journal – Natural Sciences, 3(4):294-298 Research Article Open Access Full Text Article Weak law of large numbers for randomly indexed sequences of m-dependent random variables Tran Loc Hung1 , Nguyen Tan Nhut2,* ABSTRACT Use your smartphone to scan this QR code and download this article First, we establish the inequalities related to the upper bound for the probability of the sum of a random number of random variables satisfying certain conditions More specifically, in Theorem 1, these variables are assumed that get values on a bounded interval and, in particular, are setting under m-dependence assumption instead of the usual independence, where independence is merely the specific case of m-dependence when m equal to For a random index with a familiar distribution, it is possible to proceed to make reasonable estimates for the expected terms on the righthand side of the two inequalities in Theorem to obtain Chernoff-Hoeffding-style bounds Those bounds will be employed to prove that there is a weak law of large numbers for the sequence of m-dependent random variables correspondingly, and the convergence rate is exponential Next, in Theorem 2, we had chosen the Poisson distributed index as a typical for presentation Finally, this theorem is illustrated through an image which is constructed by simulated values of 1-dependent variables Here, the way that we have applied to create a 1-dependent sequence from an independent sequence that it is likely will help readers understand more about m-dependence structure Key words: weak law of large numbers, random sums of random variables, m-dependence, Chernoff-Hoeffding inequality University of Finance-Marketing Binh Thanh Commune, Lap Vo District, Dong Thap Province Correspondence Nguyen Tan Nhut, Binh Thanh Commune, Lap Vo District, Dong Thap Province Email: ntn.nhut@gmail.com History • Received: 24-11-2018 • Accepted: 22-7-2019 • Published: 31-12-2019 DOI : 10.32508/stdjns.v3i4.528 Copyright © VNU-HCM Press This is an openaccess article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International license Cite this article : Loc Hung T, Tan Nhut N Weak law of large numbers for randomly indexed sequences of m-dependent random variables Sci Tech Dev J - Nat Sci.; 3(4):294-298 298 ... thảo luận m? ?? rộng cho tổng biến m phụ thuộc báo ông M? ??t chặn gi? ?m theo tốc độ h? ?m mũ xác suất có dạng Bổ đề thường gọi chặn Chernoff-Hoeffding (xem 2,3 ) Từ phần Luật số lớn sau viết xét trường... Hình 1: Minh họa luật số lớn trường hợp Y có phân phối Poisson tham số λ = 20 X1 , X2 , dãy phụ thuộc, nghĩa m = 1, cụ thể Xn = 12 (Un +Un+1 ) m? ? U1 ,U2 , biến ngẫu nhiên độc lập lẫn có... hội tụ theo xác suất µ với tốc độ m? ?, m? ? Định lí Phần Luật số lớn trường hợp Hệ Với số dương ε < min(µ , − µ ), ( [ ] ) Nn ε2 P (|SNn − µ Nn | > ε Nn ) ≤ Eexp −2 m+ 1 Chứng minh Trước tiên, có bất