Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m phụ thuộc âm đôi một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ HẰNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN m-PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số : 60 46 01 06 Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ VĂN THÀNH VINH, NĂM 2015 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến cố xác suất 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Các tính chất xác suất 1.2 Biến ngẫu nhiên, khái niệm độc lập, biến ngẫu nhiên độc lập 1.3 Kỳ vọng, biến ngẫu nhiên trực giao 1.4 Sự hội tụ hầu chắn, luật mạnh số lớn bất đẳng thức 1.4.1 Sự hội tụ hầu chắn 1.4.2 Luật mạnh số lớn 1.4.3 Một số bất đẳng thức 5 8 9 Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi 14 2.1 Các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi 14 2.2 Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi 15 Kết luận Tài liệu tham khảo 27 28 Lời nói đầu Trong khoa học đời sống hàng ngày thường gặp tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất môn toán học nghiên cứu tìm quy luật chi phối đưa phương pháp tính toán xác suất tượng ngẫu nhiên Ngày nay, lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng phương diện lý thuyết ứng dụng Luật số lớn định lý giới hạn quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn rằng, ta chọn ngẫu nhiên giá trị dãy giá trị, kích thước dãy mẫu thử lớn đặc trưng thống kê (trung bình, phương sai, ) mẫu thử gần với đặc trưng thống kê dãy giá trị Cho tới nay, định lý giới hạn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất Các định lý giới hạn cổ điển lý thuyết xác suất thường quan tâm đến biến ngẫu nhiên độc lập Do vậy, câu hỏi tự nhiên đặt điều kiện định lý giới hạn biết thay điều kiện phụ thuộc phụ thuộc đôi một, martingale, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, m-phụ thuộc, Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu tham khảo, nghiên cứu:" Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một" Khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm giới thiệu Lehmann [5] Trong luận văn này, ta thiết lập luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi Luận văn gồm có hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị Cụ thể trình bày phần: biến cố xác suất; biến ngẫu nhiên, khái niệm độc lập, biến ngẫu nhiên độc lập, biến ngẫu nhiên trực giao; kỳ vọng; hội tụ hầu chắn, luật mạnh số lớn bất đẳng thức nhằm áp dụng cho chương Trong chương 2, trình bày hai phần: phần thứ khái niệm biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một, phần thứ hai luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình Thầy giáo, PGS TS Lê Văn Thành Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô khoa toán, đặc biệt thầy cô Tổ Xác suất thống kê giảng dạy bảo suốt thời gian nghiên cứu Cuối xin gửi lời cám ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đặc biệt bạn lớp Cao học 21 chuyên ngành lí thuyết xác suất thống kê toán động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu Thầy Cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2015 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn luận văn ta giả sử (Ω, F , P) không gian xác suất cố định 1.1 Biến cố xác suất 1.1.1 Không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập tùy ý khác rỗng Một họ F tập Ω gọi σ -đại số thỏa mãn ba điều kiện sau (i) Ω ∈ F ; (ii) Nếu A ∈ F Ω A ∈ F ; (iii) Nếu An ∈ F , n ∞ An ∈ F n=1 Khi đó, cặp (Ω, F ) gọi không gian đo Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω tập tùy ý khác rỗng F σ -đại số tập Ω Hàm tập P xác định F gọi độ đo xác suất thỏa mãn ba điều kiện sau (i) P(A) với A ∈ F (tính không âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hóa); (iii) Nếu {An , n 1} dãy tập đôi rời thuộc F ∞ ∞ An P n=1 = P(An) (tính cộng tính đếm được) n=1 Định nghĩa 1.1.3 Cho Ω tập tùy ý khác rỗng, F σ -đại số tập Ω P độ đo xác suất F Khi ba (Ω, F , P) gọi không gian xác suất tổng quát Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp σ -đại số F gọi σ -đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố có Biến cố A = Ω A gọi biến cố đối lập biến cố A Nếu AB = ∅ A, B gọi biến cố xung khắc Nếu với A ∈ F thỏa mãn P(A) = mà ta có B ∈ F , với B ⊂ A F gọi σ -đại số đầy đủ P gọi độ đo xác suất đầy đủ Khi không gian (Ω, F , P) gọi không gian xác suất đầy đủ 1.1.2 Các tính chất xác suất Giả sử A, B, C, biến cố Khi đó, xác suất chúng có tính chất sau: 1) P(∅) = 0; 2) Nếu AB = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B); 3) P(A) = − P(A); 4) Nếu A ⊂ B P(B A) = P(B) − P(A) P(A) P(B); 5) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB); 6) P n n Ak P(Ak ) − = k=1 P(Ak Al Am) − P(Ak Ai ) + k ε = n→∞ 1.4.2 k n Luật mạnh số lớn Luật mạnh số lớn: Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n tuân theo luật mạnh số lớn 1} gọi Sn − ESn → h.c.c n Luật mạnh số lớn tổng quát: Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát tồn hai dãy số (an ), (bn), < bn ↑ ∞ cho Sn − an → h.c.c bn 1.4.3 Một số bất đẳng thức Bổ đề 1.4.3 Giả sử biến ngẫu nhiên X không âm, α > EX α < ∞ Khi EX α = α ∞ xα−1P(X > x)dx Chứng minh Ta có EX α = X α dP Ω  = Ω = Ω X   αxα−1dx dP  αxα−1I(X > x)dx dP  0∞ ∞ =α ∞  xα−1  Ω I(X > x)dP dx (Định lý Fubini) xα−1P(X > x)dx =α  Bổ đề 1.4.4 (Bổ đề Toeplitz) Cho ani , i n, n xi, i số thực cho với i cố định ta có lim ani = với n ta có n→∞ n C < ∞ Khi |ani | i=1 n (i) Nếu lim xn = lim n→∞ (ii) Nếu lim ani xi = n→∞ i=1 n n→∞ i=1 n ani = 1, lim xn = x lim n→∞ ani xi = x n→∞ i=1 Chứng minh (i) Nếu lim xn = với ε > tồn nε cho n→∞ |xn | < C −1ε, với n Do với n nε nε ta có nε −1 n n |ani xi| + ani xi i=1 i=1 nε −1 |ani xi| i=nε |ani xi| + ε i=1 Theo giả thiết ta suy lim ani = 0, ∀i = 1, 2, , nε − n→∞ Do ta có n lim n→∞ i=1 (ii) Nếu lim n n→∞ i=1 ani xi = ani = 1, lim xn = x ta có n→∞ n lim n→∞ n ani xi = lim i=1 n→∞ n ani (xi − x) ani + x i=1 i=1 n = lim x n→∞ n i=1 = x + = x Vậy lim n n→∞ i=1 ani (xi − x) ani + lim ani xi = x 10 n→∞ i=1 Chương Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi Ta định nghĩa log x = max {1, log2 x}, ký hiệu C biểu thị số chung (0 < C < ∞) mà không thiết phải giống lần xuất 2.1 Các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi Định nghĩa 2.1.1 Một họ hữu hạn biến ngẫu nhiên Xi , i = 1, n gọi m-phụ thuộc n m+1 n > m+1 họ Xi , i = 1, k độc lập với họ Xi , i = l, n l − k > m Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi m-phụ thuộc họ {Xi, i k} độc lập với họ {Xn , n l} l − k > m Định nghĩa 2.1.2 Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi phụ thuộc âm với x, y ∈ R ta có P(X x, Y y) P(X x)P(Y y) Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi phụ thuộc âm họ {Xi, i k} phụ thuộc âm với họ {Xn , n l} l > k Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi phụ thuộc âm đôi hai biến ngẫu nhiên Xi Xj phụ thuộc âm với i = j Định nghĩa 2.1.3 Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi m-phụ thuộc âm họ {Xi , i k} phụ thuộc âm với họ {Xn , n l} l − k > m Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi m-phụ thuộc đôi hai biến ngẫu nhiên Xi Xj độc lập với j − i > m 14 Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi m-phụ thuộc âm đôi hai biến ngẫu nhiên Xi Xj phụ thuộc âm đôi j − i > m 2.2 Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi Bổ đề 2.2.1 (Lehmann [5] - T1138) Cho {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, với n 1, cho fn : R −→ R hàm số Nếu dãy hàm {fn, n 1} chứa hàm không tăng (hoặc hàm không giảm) {fn(Xn ), n 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi Ta xét cặp Xi , Xj thỏa mãn |j − i| > m Ta thu bổ đề sau Bổ đề 2.2.2 Cho {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một, với n 1, cho fn : R −→ R hàm số Nếu dãy hàm {fn, n 1} chứa hàm không tăng (hoặc hàm không giảm) {fn(Xn ), n 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi Bổ đề 2.2.3 (Lehmann [5] - T1140.) Nếu (X,Y) phụ thuộc âm E(XY ) E(X)E(Y ) Bổ đề 2.2.4 (Rosalsky and Volodin [7] - T285) Cho {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, khả tích bậc hai Khi n n D Xi DXi , n i=1 i=1 Chứng minh Ta có n D n Xi i=1 = n i=1 Điều cho ta D n EXi Xj − DXi + i,j=1 n n Xi i=1 EXi EXj i,j=1 DXi EXi Xj EXi EXj với i=1 i = j, i, j = 1, n Mà {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi Sử dụng Bổ đề 2.2.3, ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.2.5 (Anh [4] - T160) Cho {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, kỳ vọng Khi với n ta có 15 k E max | k n i=1 C(log 4n)2 Xi| n EXi i=1 Bổ đề 2.2.6 (Anh [4] - T161) Giả sử {Xi, n} họ biến i ngẫu nhiên m - phụ thuộc âm đôi thỏa mãn EXi = 0, k E max1 k n| i=1 Chứng minh Với n n C(m + 1)(log 4n)2 Xi| i n Khi EXi i=1 m + 1, bổ đề hiển nhiên Ta chứng minh trường hợp n > m + Với n > m + 1, ý với j thỏa mãn j m + ta có họ biến ngẫu nhiên Xi(m+1)+j , i(m + 1) n − j phụ thuộc âm đôi Ta có k E max | k n Xi | i=1  E m+1 max j=1 2 k k(m+1) n−j | i=0 m+1 (m + 1) Xi(m+1)+j | k E j=1 max k(m+1) n−j | Xi(m+1)+j | i=0 m+1 C(m + 1)(log 4n) |EXi(m+1)+j | j=1 i(m+1) n−j (Do Bổ đề 2.2.5 n−j m+1 n, j = 1, 2, , m + 1) n C(m + 1)(log 4n) EXi i=1 Bổ đề 2.2.7 Cho {Xn , n ∞ 1} dãy biến ngẫu nhiên Nếu E|Xn |p < ∞ với p > 0, n=1 lim Xn = n→∞ 16 h.c.c Chứng minh Cho ε > tùy ý với k P sup |Xn | > ε = P {∪n k |Xn | > ε} n k P {|Xn | > ε} n k Sử dụng bất đẳng thức Markov ta có P {|Xn | > ε} n k n k = Mà ∞ εp E|Xn |p εp E|Xn |p n k E|Xn |p < ∞ với p > 0, ta suy n=1 E|Xn |p → (phần dư n k chuỗi hội tụ) Từ điều ta suy P sup |Xn | > ε → k → ∞ n k Hay lim Xn = h.c.c n→∞ Định lý 2.2.8 Giả sử {Xn , n nhiên thỏa mãn ∞ 1} {Yn , n 1} hai dãy biến ngẫu P(Xn = Yn ) < ∞ giả sử < bn ↑ ∞ n=1 n (Xi − Yi ) = h.c.c n→∞ bn i=1 lim Chứng minh Đặt An = (Xn = Yn) Ta có ∞ P(An ) < ∞ n=1 Áp dụng bổ đề Borell - Cantelli ta P(lim sup An ) = hay P(lim inf An ) = Đặt n (Xi − Yi )(ω) → , bn i=1 B = lim inf An A= ω: Ta chứng minh B ⊂ A Lấy ω ∈ B ⇒ω∈ ∞ ∞ Ak n=1 k=n 17 ⇒ ∃N0 cho ω ∈ Ak , ∀k N0 ⇒ ∃N0 cho Xk (ω) = Yk (ω), ∀k k ⇒ N0 (Xi − Yi)(ω) hữu hạn i=1 k (Xi − Yi )(ω) → n → ∞ ⇒ bn i=1 ⇒ B ⊂ A ⇒ = P(B) P(A) n ⇒ P(A) = hay lim (Xi − Yi ) = h.c.c n→∞ bn i=1 Định lý 2.2.9 Giả sử {Xn , n 1} dãy biên ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi với EXn = 0, n Giả sử rn 2, n {bn, n 1} dãy số dương không giảm, thỏa mãn b2n+1 > b2 n inf n sup n b2n+1 < ∞ b2 n (2.1) Nếu ∞ E|Xn |rn log2 n < ∞, rn bn n=1 (2.2) ta luật mạnh số lớn lim n→∞ bn n (2.3) Xi = h.c.c i=1 Chứng minh Đặt Yn = −bn I(Xn bn) , n Từ Bổ đề 2.2.2, {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi {bn, n 1} dãy số không giảm, ta suy {Yn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi Cho n 1, ta có EYn2 = E −bn I(Xn bn) b2n b2n = EXn2 I(|Xn | bn ) + EI(Xn bn ) bn 18 EXn2 I(|Xn | b2n = EXn2 I(|Xn | bn = bn ) + P(Xn < −bn ) + P(Xn > bn ) bn ) + P(|Xn | > bn) Ta lại có ∞ E X I xP |Xn |I(|Xn | bn ) > x dx = n (|Xn | bn ) b2n b2n bn ∞ = xP |Xn |I(|Xn | bn ) > x dx + xP |Xn |I(|Xn | bn ) > x dx bn bn b n = I1 + I2 Dễ thấy I2 = 0, ta cần xét I1 Đối với < x < bn , ta có |Xn |I(|Xn | bn ) > x ∪ (|Xn | > bn ) = (|Xn | > x) |Xn |I(|Xn | bn ) > x ∩ (|Xn | > bn ) = ∅ Do P (|Xn | > x) = P |Xn |I(|Xn | cho ta I1 = bn = b2n bn bn bn ) > x + P (|Xn | > bn ) Điều xP (|Xn | > x) dx − bn bn xP (|Xn | > bn ) dx xP (|Xn | > x) dx − P (|Xn | > bn ) Ta suy EYn2 = EXn2 I(|Xn | 2 bn bn = bn = b2n b2n bn ) + P(|Xn | > bn ) bn xP(|Xn| > x)dx bn x2−rn xrn −1P(|Xn | > x)dx bn b2−rn xrn −1P(|Xn | > x)dx 19 = rn bn bn xrn −1P(|Xn | > x) E|Xn |rn brnn (2.4) E|Xn |rn log2 n < ∞ (giả thiết) nên ta có Mà rn bn n=1 ∞ ∞ n=1 EYn2 log2 n = bn ∞ EXn2 I(|Xn | bn n=1 + P(|Xn | > bn) log2 n bn ) E|Xn |rn log2 n < ∞ rn bn Đặt Tk = j max | (Yi − EYi ), k b2k+1 − b2k j ta có b2k < 1, ∀k ≥ b2k+1 Do tồn số C đủ nhỏ để b2 k ≤ − C, b2k+1 ∀k ≥ hay b2k+1 − b2k ≥ Cb2k+1 , ∀k ≥ Do ta có ETk2 = E max | b2k+1 − b2k j bn ) + |EXn − E(Xn I|Xn |>bn )| bn P(|Xn | > bn ) + |E(Xn I|Xn|>bn )| bn n=1 ∞ = (2.9) P(|Xn | > bn ) + n=1 ∞ = i=1 1, ta có n=1 ∞ = (Yi − EYi ) h.c.c ∞ ∞ n n=1 22 bn )| ∞ P(|Xn | > bn) + n=1 ∞ = E(|Xn |I|Xn |>bn ) bn    P(|Xn| > x)dx P(|Xn | > bn ) + P(|Xn | > bn ) + bn n=1 bn   ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞   = P(|Xn | > x)dx 2P(|Xn| > bn ) + bn n=1 bn  =  ∞    x1−rn xrn −1P(|Xn | > x)dx 2P(|Xn| > bn ) + bn n=1 bn     bn 1−rn xrn −1P(|Xn | > x)dx 2P(|Xn | > bn ) + bn n=1 bn   ∞ ∞  = 2P(|Xn| > bn ) + rn bn n=1 ∞ 2P(|Xn| > bn ) + n=1 ∞ C n=1 E|Xn |rn brnn bn  xrn −1P(|Xn | > x)dx E|Xn |rn brnn (vì (2.4)) ∞ (vì (2.2)) Áp dụng bổ đề Kronecker, ta lim n→∞ bn n EYi = i=1 Kết hợp (2.9) (2.10), ta thu n lim Xi = n→∞ bn i=1 h.c.c Nhận xét 2.2.10 Nếu rn = (2.2) trở thành EXn2 log2 n < ∞ n=1 bn ∞ 23 (2.10) Đây điều kiện (Định lý Rademacher - Mensov) luật mạnh số lớn dành cho dãy trực giao Định lý 2.2.11 (Rademacher - Mensov) Giả sử (Xn , n ∞ EX n giao Khi đó, bn ↑ ∞; log2 n < ∞ n=1 bn n lim Xi = h.c.c n→∞ bn i=1 1) dãy trực Tiếp theo dạng khác Định lý 2.2.9 Định lý 2.2.12 Giả sử {Xn , n 1} dãy biên ngẫu nhiên m - phụ thuộc âm đôi với EXn = 0, n Giả sử rn 2, n {bn, n 1} dãy số dương không giảm thỏa mãn (2.1) Nếu ∞ n=1 E|Xn |rn < ∞, brnn (2.11) ta luật mạnh số lớn lim n→∞ bn log n n (2.12) Xi = h.c.c i=1 Chứng minh Ta định nghĩa Yn , n giống phần chứng minh Định lý 2.2.4 Từ định nghĩa Yn (2.11), (2.4) ta ∞ n=1 EYn2 = b2n ∞ n=1 EXn2 I(|Xn | bn bn ) + P(|Xn | > bn) E|Xn |rn < ∞ brnn (2.13) Đặt j max | τk = (Yi − EYi )|, k (b2k+1 − b2k ) log 2k j ta có b2k b2k+1 < 1, ∀k ≥ Do tồn số C đủ nhỏ để b2 k ≤ − C, b2k+1 ∀k ≥ hay b2k+1 − b2k ≥ Cb2k+1 , 24 ∀k ≥ 0 nên ta có max | (b2k+1 − b2k ) log 2k j[...]... khi j − i > m 14 M t dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là m- phụ thuộc m đôi m t nếu hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj phụ thuộc m đôi m t khi j − i > m 2.2 Luật m nh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t Bổ đề 2.2.1 (Lehmann [5] - T1138) Cho {Xn , n 1} là m t dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc m đôi m t, và với m i n 1, cho fn : R −→ R là m t h m số Nếu dãy h m {fn, n 1}... > k M t dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là phụ thuộc m đôi m t nếu hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj là phụ thuộc m với i = j Định nghĩa 2.1.3 M t dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là m- phụ thuộc m nếu họ {Xi , 1 i k} phụ thuộc m với họ {Xn , n l} khi l − k > m Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là m- phụ thuộc đôi m t nếu hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj độc lập với nhau... số bất đẳng thức cực đại đối với dãy các biên ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t 3 Thiết lập hai định lý về luật m nh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t II Hướng phát triển của luận văn: 1 Nghiên cứu luật số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t cùng phân phối 2 T m các ví dụ, phản ví dụ để minh họa kết quả chính 27 Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] Nguyễn... 1 Chương 2 Luật m nh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t Ta định nghĩa log x = max {1, log2 x}, ký hiệu C biểu thị m t hằng số chung (0 < C < ∞) m không nhất thiết phải giống nhau trong m i lần xuất hiện 2.1 Các biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t Định nghĩa 2.1.1 M t họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên Xi , i = 1, n được gọi là m- phụ thuộc nếu n m+ 1 hoặc n > m+ 1 và họ Xi... các h m không tăng (hoặc h m không gi m) thì {fn(Xn ), n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc m đôi m t Ta chỉ xét cặp Xi , Xj thỏa m n |j − i| > m Ta thu được bổ đề sau Bổ đề 2.2.2 Cho {Xn , n 1} là m t dãy các biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t, và với m i n 1, cho fn : R −→ R là m t h m số Nếu dãy h m {fn, n 1} chỉ chứa các h m không tăng (hoặc h m không gi m) thì {fn(Xn ), n 1} là dãy các. .. thuộc m đôi m t thỏa m n EXi = 0, 1 đó 2 k E max1 k n| i=1 Chứng minh Với n n C (m + 1)(log 4n)2 Xi| i n Khi EXi 2 i=1 m + 1, bổ đề hiển nhiên đúng Ta sẽ chứng minh trường hợp n > m + 1 Với n > m + 1, chú ý rằng với m i j thỏa m n 1 j m + 1 ta có họ các biến ngẫu nhiên Xi (m+ 1)+j , 0 i (m + 1) n − j phụ thuộc m đôi m t Ta có 2 k E max | 1 k n Xi | i=1  E m+ 1 max j=1 2 k 0 k (m+ 1) n−j | i=0 m+ 1 (m +... 1, k độc lập với họ Xi , i = l, n khi l − k > m Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là m- phụ thuộc nếu họ {Xi, 1 i k} độc lập với họ {Xn , n l} khi l − k > m Định nghĩa 2.1.2 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc m nếu với m i x, y ∈ R ta có P(X x, Y y) P(X x)P(Y y) M t dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là phụ thuộc m nếu họ {Xi, 1 i k} phụ thuộc m với họ {Xn , n... EXj với m i i=1 i = j, i, j = 1, n M {Xn , n 1} là m t dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc m đôi m t Sử dụng Bổ đề 2.2.3, ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.2.5 (Anh [4] - T160) Cho {Xn , n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc m đôi m t, kỳ vọng 0 Khi đó với n 1 ta có 15 2 k E max | 1 k n i=1 C(log 4n)2 Xi| n EXi 2 i=1 Bổ đề 2.2.6 (Anh [4] - T161) Giả sử {Xi, 1 n} là họ các biến i ngẫu nhiên m - phụ thuộc. .. không tăng (hoặc h m không gi m) thì {fn(Xn ), n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t Bổ đề 2.2.3 (Lehmann [5] - T1140.) Nếu (X,Y) phụ thuộc m thì E(XY ) E(X)E(Y ) Bổ đề 2.2.4 (Rosalsky and Volodin [7] - T285) Cho {Xn , n 1} là m t dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc m đôi m t, khả tích bậc hai Khi đó n n D Xi DXi , n i=1 1 i=1 Chứng minh Ta có n D n Xi i=1 = n i=1 Điều này cho ta D n EXi Xj... = 0 h.c.c n→∞ bn i=1 1) là dãy trực Tiếp theo là m t dạng khác của Định lý 2.2.9 Định lý 2.2.12 Giả sử {Xn , n 1} là m t dãy biên ngẫu nhiên m - phụ thuộc m đôi m t với EXn = 0, n 1 Giả sử 1 rn 2, n 1 và {bn, n 1} là dãy số dương không gi m thỏa m n (2.1) Nếu ∞ n=1 E|Xn |rn < ∞, brnn (2.11) thì ta được luật m nh số lớn 1 lim n→∞ bn log n n (2.12) Xi = 0 h.c.c i=1 Chứng minh Ta định nghĩa Yn , n 1 ... cứu:" Luật m nh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi m t" Khái ni m biến ngẫu nhiên phụ thuộc m giới thiệu Lehmann [5] Trong luận văn này, ta thiết lập luật m nh số lớn dãy biến ngẫu nhiên. .. 1.4.2 Luật m nh số lớn 1.4.3 M t số bất đẳng thức 5 8 9 Luật m nh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi 14 2.1 Các biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi. .. đôi hai biến ngẫu nhiên Xi Xj phụ thuộc m đôi j − i > m 2.2 Luật m nh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc m đôi Bổ đề 2.2.1 (Lehmann [5] - T1138) Cho {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc