Một số luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên luận văn thạc sĩ toán học

ộ ụ t trờ ọ r ị ọ ột số t ế số ế t sĩ ọ ý tết st ố ọ số P ễ ụ ụ ữ í ệ ù tr ế tứ ị ệ ế ố ế số tr ủ ế ộ tụ í ộ ủ ế ỳ ọ ó ề ệ rt ột số t tứ q t tứ r t tứ t t tứ rr t tứ s ột số t ế số ế ị trộ ủ ế ệ ữ ị trộ t ế số tí ề t ế số ột t q ết ệ t ó í tết st ộ t ứ ệ tợ r ố tế ỉ tứ P ù r ộ ó t trể ẽ ó ề ứ ụ tự tễ tr ộ số r từ ó trị ợ ủ í tết st ị í ết q ủ ế t q trọ t ủ í tết st t số t số ợ ột tr ọ qý ủ í tết st t ế số tổ ế ù ố ó tể tổ qt t ề ụ í ủ tết ột số ề ệ ộ tụ ị ể ì ột số t ế số t ố tổ qt ế trì ữ ế tứ ị ệ ế ố ộ tụ ỳ ọ ó ề ệ ột số t tứ q ộ í ủ r ị trộ ủ ế t ế số ế ết q q ợ tự ệ t trờ ọ trự tế ủ P ễ tỏ ò ết s s tớ ề q t ệt tì t t tr sốt q trì ọ t ứ t trờ ũ t P r ễ r ù t t t tr sốt q trì ọ t t ĩ ệ trờ P ệ trờ P ì q t ú ỡ t ọ ề ệ t ợ t tr q trì ọ t ứ t ữ í ệ ù tr N R B(R) , F, P ợ số ợ số tự số t r ủ st R ế tứ ị ệ ế ị ĩ st (, F, P) G số ủ số F ó X R ợ ọ ợ ế ó ế G G B(R) ợ tứ ọ B B(R) tì X (B) G r trờ ợ ệt ợ ọ ột X ế F ợ tì X ế ế ế ữ trị tì ó ợ ọ ế í ụ sử A F t IA () = ế A, ế / A ó IA ế t ọ ó I1 A (B) B B(R) tì B , A, I1 A (B) = A, , R ế / B, / B ế B, / B ế / B, B ế B, B F ọ B B(R) r IA ột ế IA ị tr ợ ọ ỉ t ủ A X ỉ ố ị ĩ sử ế (, F, P) ột st X R ó số FX (x) = P(X < x) = P( : X() < x) ợ ọ ố ủ X í t F (x) ế tì F (b) F (a) = P(a x < b) ó F (x) lim F (x) = lim F (x) = x+ x ế ị ĩ ột ế ợ ọ ế rờ r ế ó ỉ ột số ữ ế ợ trị ố ế rờ r t ợ tt trị ó tể ó ủ ó ó tể ợ ệt ột ữ ợ trị ó tể ó ủ ế x1 , x2 , x3 , , xn , X ợ ý ệ X() ố ứ ề ế rờ r X, t ết tt trị ủ ó ù st t ứ t t ợ ị tệ ợ tr ột ọ sử ế rờ r st t ứ ố X trị x1 , x2 , , xn , P(X = xi ) = pi , (i = 1, 2, 3, , n ) ó ó X x1 x2 xn P p1 p2 pn (ú ý r pi = 1) i ét ố ủ X t s r ợ ố st ố PX (B) = pi , FX (x) = xi B ị ĩ ế ế ố pi xi 0) ế X ó t ộ (xà)2 p(x) = e 22 ; ( > 0) ó t ó X ó ố t số à; ý ệ X N (à, ) ệt ế X N (0, 1) tì p(x) = (x) = x e 2 í t ị ĩ s r ọ a, b tỏ a < b + t ó b P(a < X < b) = p(x)dx a + p(x)dx = p(x) = F (x) t ọ ể x p(x) tụ số tr ủ ế ị ĩ sử X : (, F, P) (R, B(R)) ế ó tí s ủ ủ X t ộ P (ế tồ t) ợ ọ ỳ ọ X ý ệ EX EX = XdP ế tồ t ệt ế ế E|X|p < (p > 0) tì t ó X tí p E|X| < tì X ợ ọ ế tí X ế X = n i=1 IAi tì n EX := P(Ai ) i=1 ế X ế tì X ủ ột t ế n2n Xn = k=1 (Xn , n 1) k1 k I k1 + nI(Xn) 2n ( 2n X< 2n ) ó EX := lim EXn n ế X ế t ỳ tì X = X + X ; X + = max(X, 0) X = max(X, 0) ó EX := EX + EX (ế ó ĩ) ỳ ọ ó tí t s ế X tì EX ế X = C tì EX = C ế tồ t EX tì ọ C R t ó E(CX) = C EX ế tồ t EX EY tì E(X Y ) = EX EY EX = EY = X rờ r trị x1 , x2 i + xp(x)dx ổ qt ế ế xi pi P(X = xi ) = pi ế X tụ ó t ộ p(x) f : R R ợ Y = f (X) tì ế f (xi )pi X rờ r trị x1 , x2 i + f (x)p(x)dx P(X = xi ) = pi ế X tụ ó t ộP (x) (ị ý s ề ộ tụ ị ) ế |Xn | Y, EY < Xn X tì X tí E|Xn X| EXn EX ( n ) ý ĩ ỳ ọ ủ ế X trị tr ì t st ủ ế ó r trờ ợ X trị st tì ỳ ọ í tr ì ộ ủ ó ị ĩ sử X ế ó số DX := E(X EX)2 (ế tồ t) ợ ọ s ủ X DX = (xi EX)2 pi ế X rờ r P(X = xi ) = pi i + (x EX)2 p(x)dx ế X tụ ó t ộ P s ó tí t s DX = EX (EX)2 DX DX = X = EX = số D(CX) = C DX ộ tụ ị ĩ (Xn , n 1) ộ tụ X ( n ) í ệ ó ế ế P( lim |Xn X| = 0) = n h.c.c Xn X st ế ọ > tì lim P(|Xn X| > ) = n P í ệ Xn X ủ ế ọ > tì P(|Xn X| > ) < n=1 í ệ C Xn X p (p > 0) ế tr ì lim E|Xn X|p = n í ệ Lp Xn X ộ tụ ò ợ ọ ộ tụ t tr ì ị ý Xn X ộ tụ st p ò ợ ọ ộ tụ tr Lp ỉ ọ >0 lim P(sup |Xm X| > ) = n ứ mn ị ý ế Xn X Lp Xn X tì P Xn X ế ế ệ ữ ị trộ ệ ề ột ế {Yni ; i kn , n 1} ị tì ị ế ứ ế {Yni ; ọ i kn , n 1} ị |Yni | Y, i n ó P(|Yni | > y) P(Y > y), ọ y > ọ i, n r {Yni ; i kn , n 1} ị ế ệ ề ế {Yni ; i kn , n 1} ị tì ị t ĩ sr ứ ế {Yni ; ọ i kn , n 1} ị |Yni | Y, i n r kn i=1 ó tồ t |Yni | kn Y kn |Yni | Y i=1 = s | kn r kn kn i=1 Yni | kn kn |Yni | Y i=1 {Yni ; i kn , n 1} ị t ĩ sr ó ề ứ ệ ề ế {Yni ; i kn , n 1} ị ế tì ị ế t ĩ sr ứ ế {Yni ; i kn , n 1} ị ế P(|Yni | > y) P(Y > y), ọ y > ọ i, n ó kn P(|Yni | > y) kn P(Y > y) i=1 r tồ t = s kn kn P(|Yni | > y) P(Y > y), i=1 ọ y > ọ n {Yni ; i kn , n 1} ị ế t ĩ sr ệ ề ột ế {Yni ; i kn , n 1} tí ề tì tí ề t ĩ sr ứ ế {Yni ; i kn , n 1} tí ề lim sup E|Yni |I{|Yni | > a} = a i,n ỗ n t ó kn kn E(|Yni |I{(|Yni | > a} max E|Yni |I{|Yni | > a} 1ikn i=1 ó sup n kn kn E(|Yni |I{(|Yni | > a} sup E|Yni |I{|Yni | > a} i,n i=1 r lim sup a n kn kn E(|Yni |I{(|Yni | > a} = i=1 {Yni ; i kn , n 1} tí ề t ĩ sr ó ề ứ ị ý ị ý r ột ế {Xn ; n 1} tí ề t ĩ sr ế ỉ ế ề ệ s ợ tỏ n E(|Xk |)) < (a) sup(n n (b) k=1 ỗ > >0 tồ t ột số s {Ak } tỏ ề ệ n P(Ak ) < sup n n k=1 tì n |Xk |dP > sup n n k=1 A k ứ ề ệ = tồ t a0 > s n |Xk |dP sup n n k=1 |Xk |>a0 ó E(|Xk |) a0 + |Xk |dP |Xk |>a0 r n n E(|Xk |) a0 + n n k=1 |Xk |dP ao + k=1 |Xk |>a0 ề ệ () ợ ứ > tù ý a0 > s n |Xk |dP sup n n k=1 |Xk |ao t = /(2a0 ) ó từ ề ệ () t ó n n |Xk |dP n n k=1 A k=1 k |Xk |dP a0 P(Ak ) + |Xk |a0 n n 1 |Xk |dP < a0 + /2 = P(Ak ) + n = a0 n k=1 k=1 |Xk |a0 ề ệ () ợ ứ ề ệ ủ t n K = sup{(n n ó ỗ E(|Xk |)} k=1 a > 0, P(|Xk | a) a1 E(|Xk |), ọ k ì n P(|Xk | a) K/a, ọ n n k=1 > tù ý từ () tồ t ột số > s () é t () t a0 = K/ ế (a > a0 ) tì |Xk |dP |Xk |a |Xk |dP |Xk |a0 ó s r n n n |Xk |dP n k=1 |Xk |dP < k=1 |Xk |a |Xk |a0 ị ý ợ ứ ị ý rộ ị ý r {Xni ; i kn , n 1} ế tí ề t ĩ sr ế ỉ ế ề ệ s ợ tỏ kn i=1 E(|Xni |) (a) sup k1n n (b) ỗ > < tồ t ột số >0 s ế {Ani } tỏ ề ệ kn sup kn n P(Ani ) < i=1 tì sup kn n kn |Xni |dP < i=1 A ni ứ ề ệ = tồ t ao > s sup n kn |Xni |dP |Xni |>a0 ó E(|Xni |) a0 + |Xni |dP |Xni |>a0 r kn kn i=1 E|Xni | a0 + kn kn |Xni |dP a0 + i=1 |Xni |>a0 ề ệ () ợ ứ > tù ý a0 > s sup kn n kn |Xni |dP < /2 i=1 |Xni |a0 t = /(2a0 ) từ () t ó kn kn i=1 A = a0 kn |Xni |dP kn ni kn i=1 P(Ani ) + kn kn |Xni |dP a0 P(Ani ) + i=1 |Xni |a0 kn |Xni |dP < a0 + /2 = i=1 |Xni |a0 ề ệ () ợ ứ ề ệ ủ t K = sup ( kn n ó ỗ kn E|Xni |) i=1 a > 0, t ó P(|Xni | a) a1 E(|Xni |), ọ i ó kn kn P(|Xni | a) < i=1 k ọ kn a > tù ý từ () tồ t ột số > s 2.2.1 s r 2.2.2 t a0 = K/ ế a > a0 tì |Xni |dP |Xni |a |Xni |dP |Xni |a0 ó s r kn kn i=1 ó |Xni |dP kn |Xni |a kn |Xni |dP < i=1 |Xni |a0 {Xni ; i kn , n 1} tí ề t ĩ sr ị ý ợ ứ t ế số tí ề ị ý tr ó {Xni ; i kn , n 1} {kn ; n 1} 0 M }; àni = < p < 1, àni = E(Xni |Fn,i1 ) p < rờ ợ p < : ụ t tứ rr ( < p < 2), t tứ s ( p = 1) t tứ Cr t ó kn E|Sn |p Bp E (Xni E(Xni |Fn.i1 ))2 i=1 kn kn p/2 Bp E p/2 (Xni ) (Xni )2 + Bp E i=1 p/2 i=1 kn |Xni |p Bp (kn M )p/2 + Bp E i=1 kn Bp knp/2 M p + Bp kn kn1 E |Xni |p i=1 Bp số ỉ ụ tộ p ứ r ế {|Xni àni |p ; i kn , n 1} tí ề t ĩ sr t t tết t ó {|Xni |p ; i kn , n 1} tí ề t ĩ sr t t t r E|àni |p E|Xni |p ó {|àni |p ; i kn , n 1} tí ề t ĩ sr r |Xni àni |p Cp (|Xni |p + |àni |p ) Cp = max(1, 2p1 ) {|Xni àni |p ; i kn , n 1} tí ề t ĩ sr t ụ ị ý r {|Xni àni |p ; i kn , n 1} {Ani = (|Xni àni |p > M p ); i kn , n 1} t ó kn sup kn n |Xni àni |p dP < i=1 A ni ó kn kn1 E |Xni |p < i=1 n s ó M t ó p E|Sn |p Bp kn2 M p + Bp kn1 E kn p1 kn Sn ó Lp P kn p Sn kn |Xni |p i=1 n n rờ ợ < p < : ụ t tứ Cr t ó kn kn p p E|Sn | E Xni Xni + E i=1 p i=1 kn (kn M )p + E |Xni |p i=1 kn p = (kn M ) + kn kn1 E |Xni |p i=1 M t ó E|Sn |p kn p1 kn Sn Lp n n ó p1 kn Sn P n trờ ợ tr s r ề ứ ị ý ế ộ ột {Xni ; i kn , n 1} tí ề t ĩ sr ế E(Xni ) = ọ i, n tì kn L1 kn1 Xni i=1 ó kn kn1 P Xni i=1 ể ứ ị ý t sử ụ ổ ề s ổ ề ế {Xni ; i kn , n 1} ế ộ ột ị ột số tì kn kn1 L1 (Xni E(Xni )) i=1 ứ ổ ề số tồ t ó {Xni ; i kn , n 1} ị ột c s |Xni | c ọ n, i DXni EXni E(c2 ) = c2 kn E[kn1 kn (Xni E(Xni ))] = i=1 kn2 D (Xni E(Xni )) i=1 kn = kn2 D(Xni ) i=1 kn kn2 ( c2 ) = kn1 c2 n i=1 ó kn kn1 L2 (Xni E(Xni )) i=1 t tứ t s r kn kn1 L1 (Xni E(Xni )) i=1 t ứ ị ý N (N N) t Yni = Xni ế |Xni | N, ế |Xni | > N, kn kn Tkn = Yni Skn = i=1 Xni i=1 ó kn Skn = (Tkn E(Tkn )) + (Xni Yni ) + E(Tkn ) i=1 ó kn kn1 E(|Skn |) kn1 E |Tkn E(Tkn )| + kn1 E |Xni Yni | i=1 +kn1 E(Skn Tkn ) (ì E(Skn ) = 0) kn kn1 E(|Tkn E(Tkn )|) + 2kn1 E(|Xni Yni |) i=1 ổ ề t ó L1 kn1 E(Tkn ETkn ) n ỗ N ố ị ó ỗ N t ó kn lim sup kn1 E n n |Skn | sup n kn1 E(|Xni Yni |) i=1 N ú ý r |Xni |dP E(|Xni Yni |) = |Xni |>N r kn1 E(|Skn |) 0, L1 kn1 Skn ị ý ợ ứ t ế số ột t q ị ĩ ế ế X Y ợ ọ t q E(XY ) = EX EY ổ ề ế {Xni ; i kn , n 1} ột t q t tì kn D(Sn ) = D(Xni ) Sn = i=1 ứ q sử kn Xni i=1 {Xni ; i kn , n 1} ọ ột t tì kn kn D( kn i=1 Xni ))2 Xni ) (E( Xni ) = E( i=1 i=1 kn kn Xni = E( i=1 (EXni )2 Xni Xnj ) +2 i=1 1i[...]... F, P) G số F s Y ế G ợ tì t ết Y G ế X, Y ế tr (, F, P) G số s ở ề ệ ế Y tì E(X|G) ợ ý ệ E(X|Y ) ợ ọ ủ ế ỳ ọ X ố ớ ế Y X1 , X2 ế ị tr (, F, P) G số s ở ú tì E(X|G) ợ ý ệ E(X|X1 , X2 , ) ế X = IA , A G tì E(X|G) ợ ý ệ P(A|G) ợ ọ st ề ệ ợ ý ệ ố ủ ế ố A ố ớ số G E(IA |X1 , X2 , ) P(A|X1 , X2 , ) ợ ọ st ề ệ ủ ế A ố ớ ế X1 , X2 , ột số tí t ủ ỳ... Y = E(X|G) ế X = c ( số) tì E(X|G) = E(c|G) = c ế (h.c.c.) X Y (h.c.c) tì E(X|G) E(Y |G) (h.c.c.) (h.c.c.)  ớ ọ số a, b t ó E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) ế (h.c.c.) X G ộ tì E(X|G) = EX E[E(X|G)] = EX (h.c.c.) ế X ế G ợ tì E(X|G) = X ế E|XY | < , E|X| < , X G tì (h.c.c.) E(XY |G) = X E(Y |G) (h.c.c.) rt sử (Xn , n N) ế (Fn , n N) t số ủ số F : F0 F1 F2 Fn... Zn1 ớ p > 1, tồ t số ữ Cp Dp ỉ ụ tộ p s n n 1/p Xk2 )p/2 Cp E( p 1/p (E|Zn | ) Xk2 )p/2 Dp E( k=1 1/p (1.2.2) k=1 ế X1 , X2 , , ộ tì (1.2.2) ò ợ ọ t tứ r ó ũ ú tr trờ ợ p = 1 ứ t tứ s (Xn , n N) ế f = (f1 , f2 , ) rt n ớ fn Xk , = n 1 k=1 t f = supn |fn | S(f ) = ( ó tồ t số Xk2 )1/2 k=1 C, D s C S(f ) ứ 1 f 1 D S(f ) 1 ột số t ế số ớ ế ị trộ... à kn2 2 kn D(Sn ) = = kn2 ó D(Xni ) i=1 kn2 kn à à = 0 kn kn2 kn Sn L2 à kn kn ết qết ợ ữ ề s r ợ ố q ệ ữ ị trộ ở rộ ị í r ế ột số t ế số ớ ế ợ ột số ố ệ ớ ết q trớ ớ t trể ủ tế tụ ứ ết q ề t ế số ớ ế ệ t ễ st ọ ố ộ ễ ế ũ ết ý tết st ọ ố ộ t r rs r rrs Pr tt ttst s rrs qt r t rts s tt t rt r r trt t sr... P(|Xni | a) < i=1 k ớ ọ kn 1 a > 0 tù ý từ () tồ t ột số > 0 s 2.2.1 s r 2.2.2 t a0 = K/ ế a > a0 tì |Xni |dP |Xni |a |Xni |dP |Xni |a0 ừ ó s r 1 kn kn i=1 ó 1 |Xni |dP kn |Xni |a kn |Xni |dP < i=1 |Xni |a0 {Xni ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr ị ý ợ ứ t ế số ớ tí ề ị ý tr ó {Xni ; 1 i kn , n 1} {kn ; n 1} 0 0 tù ý từ () tồ t ột số > 0 s () é t () t a0 = K/ ế (a > a0 ) tì |Xk |dP |Xk |a |Xk |dP |Xk |a0 ừ ó s r n n n 1 |Xk |dP n k=1 1 |Xk |dP < k=1 |Xk |a |Xk |a0 ị ý ợ ứ ị ý ở rộ ị ý r {Xni ; 1 i kn , n 1} ế tí ề t ĩ sr ế ỉ ế ề ệ s ợ tỏ kn i=1 E(|Xni |) (a) sup k1n n (b) ớ ỗ > 0 < tồ t ột số >0 s ế {Ani } tỏ ề ệ kn 1 sup kn n P(Ani ) < i=1... tứ Cr t ó kn E|Sn |p Bp E (Xni E(Xni |Fn.i1 ))2 i=1 kn kn 2 p/2 Bp E p/2 (Xni ) (Xni )2 + Bp E i=1 p/2 i=1 kn |Xni |p Bp (kn M 2 )p/2 + Bp E i=1 kn Bp knp/2 M p + Bp kn kn1 E |Xni |p i=1 ớ Bp số ỉ ụ tộ p sẽ ứ r ế {|Xni àni |p ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr t t tết t ó {|Xni |p ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr t t t r E|àni |p E|Xni |p ó {|àni |p ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr ... tự tễ tr ộ số r từ ó trị ợ ủ í tết st ị í ết q ủ ế t q trọ t ủ í tết st t số t số ợ ột tr ọ qý ủ í tết st t ế số tổ ế ù ố ó tể tổ qt t ề ụ í ủ tết ột số ề ệ ộ tụ... t ứ t ữ í ệ ù tr N R B(R) , F, P ợ số ợ số tự số t r ủ st R ế tứ ị ệ ế ị ĩ st (, F, P) G số ủ số F ó X R ợ ọ ợ ế ó ế G G B(R) ợ... tết ột số ề ệ ộ tụ ị ể ì ột số t ế số t ố tổ qt ế trì ữ ế tứ ị ệ ế ố ộ tụ ỳ ọ ó ề ệ ột số t tứ q ộ í ủ r ị trộ ủ ế t ế số ế ết q q ợ tự ệ t trờ