Một số định lí giới hạn dạng arc sin luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG NGỌC HỒNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC-SIN CHO LỚP PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH QUY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG SƠN VINH- 2012 LỜI CẢM ƠN! Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học TS Lê Hồng Sơn Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy dành cho tác giả suốt trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo chuyên ngành lý thuyết xác śt và thớng kê tốn học, khoa Tốn, trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả quá trình học tập và thực hiện Luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô khoa Sau Đại học - Đại học Vinh và bạn học viên cao học ngành Toán khoá 18 đã tạo điều kiện giúp đỡ, góp ý chân thành cho tác giả quá trình học tập và nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn gia đình người thân tạo điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó! Trong quá trình thực hiện, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong góp ý q thầy bạn đọc Vinh, tháng năm 2012 Tác giả Đặng Ngọc Hoàng MỤC LỤC Trang Mục lục .1 Mở đầu .3 Chương I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CĨ PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH QUY VÀ CÁC TÍNH CHẤT 1.1 Định nghĩa tính chất phân phối ổn định 1.1.1 Các định nghĩa phân phối ổn định Định nghĩa 1.1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.2 Định nghĩa 1.1.1.3 Định nghĩa 1.1.1.4 1.2 Các tính chất phân phối ổn định .8 Định lí 1.1.2.1…………………………………………………………… Định lí 1.1.2.2 10 1.2 Định nghĩa tính chất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối biến đổi quy .11 1.2.1 Hàm biến đổi quy .11 Định nghĩa 1.2.1.1…………………………………………………… 11 Định lí 1.2.1.2 12 Định lí 1.2.1.3…………………………………………………………….13 1.2.2 Đại lượng ngẫu nhiên biến đổi quy 13 Định nghĩa 1.2.2.1 14 Định lí 1.2.2.2 14 Định lí 1.2.2.3 15 Hệ 1.2.2.4 15 Hệ 1.2.2.5…………………………………………………………… 15 Hệ 1.2.2.6…………………………………………………………… 16 1.2.3 Véctơ ngẫu nhiên biến đổi quy 16 Định nghĩa 1.2.3.1 16 Định nghĩa 1.2.3.2 16 Chương II ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC-SIN 18 2.1 Một số định lí giới hạn cho dãy Rn Pn .18 Bổ đề 2.1.1 .19 Định lí 2.1.2 21 Hệ 2.1.3…………………………………………………………… .22 2.2 Phân phối giới hạn Rn Pn lớp phân phối ổn định .23 Mệnh đề 2.2.1 23 Mệnh đề 2.2.2 23 Định lí 2.2.3 24 Hệ 2.2.4 25 Định lí 2.2.5 25 Định lí 2.2.6 26 2.3 Tích đại lượng ngẫu nhiên biến đổi quy .28 Định lí 2.3.1 28 Định lí 2.3.2 30 Định lí 2.3.3 32 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo .34 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết xác suất, định lí arc-sin giới thiệu P Lévy (1939) Kể từ đó, định lí arc-sin quan tâm đặc biệt nhà toán học L Briman (năm 1965), M Yor (năm 1981), J Piman M Yor (năm 1991),… Trong lĩnh vực ứng dụng, định lí arc-sin ứng dụng rộng rãi toán dự báo kinh tế, tài chính, bảo hiểm, ngân hàng, …, tiêu biểu kết J Piman M Yor (năm 2004), Y Kasahara Y Yano (năm 2003), I Berkes S Hormann (năm 2008) A Rouault, M Yor, M Zani (năm 2000), … Khái niệm biến đối quy J Karamata giới thiệu báo tiếng ông năm 1930 Tuy nhiên, trước tính chất liên quan đến khái niệm biến đổi quy đề cập Landau (năm 1911); Valiron (năm1913) Polya (năm 1917) J Karamata định nghĩa cách chặt chẽ ứng dụng khái niệm quy lý thuyết ơng liên quan đến định lí Tauberian (xem [4, 5, 13]) Những tính chất ứng dụng phong phú khái niệm phân phối biến đổi quy lý thuyết xác suất William Feller trình bày sách ông xuất lần năm 1968 Cuốn sách thu hút quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu lý thuyết xác suất ứng dụng giai đoạn dài sau đó, tiêu biểu nghiên cứu biến đổi quy Ứng dụng khái niệm biến đổi quy định lý giới hạn Laurens de Haan trình bày luận án năm 1970 Những nghiên cứu sau tính chất ứng dụng khái niệm biến đổi quy đến như: Bingham N.H tổng hợp khái niệm tính chất liên quan đến biến đổi quy sách tiếng năm 1987; Resnick S.I (1986, 1987, 1991, 1996) mô tả khái niệm biến đổi quy cho trường hợp nhiều chiều ứng dụng Định lý giới hạn; Kesten H (1973) Goldie C.M (1991) nghiên cứu biến đổi quy kết liên quan đến phương trình hồi quy ngẫu nhiên; Basrak B (2002) Mikosch T (2000, 2002, 2003) nghiên cứu kết liên quan đến biến đổi quy áp dụng để phân tích chuỗi thời gian việc giải tốn tài chính; Leland W.E (1993), Heath D (1998), Mikosch T (2002) trình bày ứng dụng phép biến đổi quy việc giải tốn quản lý mạng viễn thơng; … Với ứng dụng phân phối biến đổi quy định lý giới hạn dạng arc-sin, việc nghiên cứu tính chất xác suất phân phối biến đổi quy định lí giới hạn liên quan có vai trị quan trọng lý thuyết xác suất, đặc biệt định lí giới hạn dạng arc-sin liên quan đến phân phối giới hạn tổng có trọng số ngẫu nhiên, với trọng số biến ngẫu nhiên biến đổi quy Với lý chúng tơi chọn đề tài “Một số định lí giới hạn dạng arc-sin cho lớp phân phối biến đổi quy” Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết mà có liên quan với định lí arc-sin, đặc biệt lớp phân phối biến đổi quy phân phối ổn định Luận văn trình bày 35 trang Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn trình bày chương Chương I Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối biến đổi quy tính chất Chương trình bày số khái niệm tính chất phân phối ổn định, định nghĩa và các tính chất bản của đại lượng ngẫu nhiên, véctơ ngẫu nhiên có phân phối biến đổi chính quy Chương II Định lý giới hạn dạng arc-sin Trong chương chúng tơi trình bày tính chất phân phối giới hạn n dãy có dạng Rn = ∑XY i =1 n i i ∑Y i =1 lớp phân phối chuẩn, đưa điều kiện để i P Rn  n → ∞ Đặc biệt đưa mối liên hệ hai điều kiện → ( Y(1)n ) P = n , Y ( n ) = max { Y } P P Rn  Pn  0, với n → → (1) i 1≤i ≤ n ∑ Yi i =1 Trong phần cuối, chúng tơi trình bày phân phối tích đại lượng ngẫu nhiên có phân phối biến đổi quy 10 CHƯƠNG I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH QUY VÀ CÁC TÍNH CHẤT Trong chương giới thiệu số định nghĩa tương đương phân phối ổn định đại lượng ngẫu nhiên, véctơ ngẫu nhiên biến đổi quy, đưa biểu thức giải tích hàm đặc trưng số tính chất lớp đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định biến ngẫu nhiên biến đổi quy 1.1 Định nghĩa tính chất phân phối ổn định 1.1.1 Các định nghĩa phân phối ổn định Một tính chất quan trọng đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hay phân phối Gaussian tổng hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Nghĩa là: X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, X X đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối với X số dương a, b, tồn số dương c d ∈ ¡ cho: d aX + bX = cX + d (1.1) d với " = '' ký hiệu cho khái niệm theo nghĩa phân phối Lớp đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định thể tính chất đặc trưng phân phối chuẩn, thấy rằng, phân phối chuẩn trường hợp đặc biệt lớp phân phối ổn định Sau đây, giới thiệu số định nghĩa phân phối ổn định Định nghĩa 1.1.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối ổn định với X X độc lập có phân phối với X với số dương a, b, tồn số dương c d ∈ ¡ cho (1.1) thỏa mãn X gọi có phân phối ổn định theo nghĩa hẹp (1.1) với d = 0, 24 ≤ ∑ k ; Yk 0, Tk =  Vk 0, Vk = 0,  đặt 26 n Zn = ∑T k k =1 n Vk ∑V k =1 k Do T1 , …, Tn độc lập, phân phối Z n n ∑T α k =1 n (n) k , mà theo Lòeve M [8] trang 328, ta có n ∑T α k =1 k (n) k n D P  N (0, 1) ⇔ ∑ Tk2 (α k( n ) )  1, → → k =1 suy Ρ( Z n < x V1 , V2 , ) → N (0, 1) D P → → Do Z n  N (0, 1), lấy Bn cho Sn / Bn  1, từ n Zn = ta thấy V1 ∈ DANL , tức n ∑V k =1 k Bn S n / Bn D / Bn  N (0, 1) → k k =1 ∑V Nói cách khác có tồn Dn cho n ∑V k =1 k D / Dn  N (0, 1) → Theo Darling D.A [5] ta lại có max(V1 , , Vn ) P  → Dn Đặt Vk ,  Vk( n ) =  0,  n ta có n ∑V k =1 (n) k Vk ≥ Dn , D / Dn  N (0, 1), mà theo Lịeve M [8] → P → ∑ (Vk( n ) )2 / Dn2  1, dẫn tới k =1 Vk < Dn , n ∑V k =1 k P / Dn2  1, định lí chứng minh → 27 P → Hệ 2.1.3 Điều kiện cần đủ để Rn  V1 ∈ DANL 2.2 PHÂN PHỐI GIỚI HẠN CỦA Rn VÀ Pn TRONG LỚP PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH Với F ( x) hàm phân phối y, đặt F ( x) = − F ( x) giả sử với F ( yx) ( p = Ta biết Y(1)n ) / S n  tổng → x →∞ F ( x) y > 0, lim n ∑X Y i =1 ( n) k (k ) / Sn , (n) (n) (n) (n) Y(1) ≥ Y(2) ≥ ≥ Y( n ) với Y( i ) = max{Yi } có phân phối tương tự 1≤i ≤ n n ∑XY /S i =1 i i n Mệnh đề 2.2.1 Nếu lim F ( yx) / F ( x) = 1, với y > 0, x →∞ n ∑XY /S i =1 1 n D  X → Chứng minh mệnh đề 2.2.1 xem [3] Cho Y ∈ RV (α ), nghĩa Y có phân phối biến đổi quy với tham số α , ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.2 Cho Y ∈ RV (α ), < α < Y ≥ Nếu X độc lập với Y Ε X < ∞, XY ∈ RV (α ) Chứng minh Cho G ( x) hàm phân phối X Ta chứng minh ∞ lim ∫ y →∞ Từ (1.5) ta ∞ F ( y / x) dG ( x) = ∫ xα dG ( x) F ( y) x g (u ) ]du, a ( x) > 0, có F ( x) ~ α a( x)exp ∫ [ x u x lim a( x) = a > 0, x →0 lim g (u ) = Lấy φ ( x) x →0 φ ( x) / xα +ε → với ε > 0, cho F ( x)φ ( x) → ∞ 28 −1 ∞ F ( y) ∫ F ( y / x)dG ( x) ≤ φ ( y) ∞ xdG ( x) → F ( y )φ ( y ) φ (∫y ) Đặt I y = [0, φ ( y )], với x ∈ I y , φ ( x) / x → hay y / x → ∞ Do y F ( y / x) g (u ) α a ( y / x) ~x exp[ ∫ du ] ≤ xα m( y ) x ε ( y ) , x ≥ 1, a( y ) u F ( y) y/ x với ε ( y ) = sup g (u ) , u ≥ y / φ ( y ), m( y ) = sup a( y / x) / a( y ) x∈I u y Dễ thấy ε ( y ) → 0, m( y ) → ( y → ∞), y đủ lớn mà α + ε ( y ) ≤ m( y ) ≤ 2, ta có F ( y / x) / F ( y ) ≤ x, x ∈ [1, ( y )] Nếu ≤ x ≤ F ( y / x) F ( y ) ≤ 1, cố định x, F ( y / x) F ( y ) → xα , sử dụng định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta có ∞ y Ρ( XY > y ) = ∫ F ( )dG ( y ), y ≥ 0, x Ρ( XY < − y ) = y ∫ F ( x )dG ( x) −∞ Do H ( x) hàm phân phối XY , − H ( x) ∞ α lim = ∫ x dG ( x), x →∞ F ( x) (*) H (− x) α = ∫ x dG ( x), x →∞ F ( x) −∞ (**) lim từ có điều phải chứng minh Định lý 2.2.3 Nếu T biến ngẫu nhiên có hàm đặc trưng α f (u ) = exp[ −b u (1 + ic u )], < α < 1, u Ρ(T < 0) = 1 + arctan c πα 29 Chứng minh Ta có −1 +∞ − eiux u α ∫ iu exp[−b u (1 + ic u )]du x →∞ 2π −∞ Ρ(T < 0) = lim α ∞ e − bu 1∞ = ∫ sin(cbu α )du + lim ∫ e − bu sin(ux − bcu α )du x →∞ π π0 u α Đặt t = uα , α ∞ e − bu α ∫ u sin(cbu )du π0 = ∞ − bt dt ∫ e sin(cbt ) t = πα arctan c, πα đặt ux = v, ∞ − bu e sin(ux − bcu α )du x →∞ π ∫ α lim ∞ −b (u / x) dv sin(v − bcvα ) ∫e x →∞ π v α = lim = ∞ sin v ∫ v dv = π0 Định lí chứng minh Hệ 2.2.4 Nếu T ~ S (α , Ρ(T < 0) = c , α b , 0) πα tan 1 + arctan c, với < α < πα p → Định lí 2.2.5 Nếu Y1 ∈ RV (α ), < α < 1, Rn  R với 1 φ ( x ) − φ2 ( x ) πα Ρ( R < x) = − + arctan[ tan ], πα φ1 ( x) + φ2 ( x) φ1 ( x) = ∫ y≤ x phân phối X α y − x dG ( y ), φ2 ( x ) = ∫ y≥x α y − x dG ( y ), G ( x) hàm 30 Chứng minh Ta có n n n i =1 i =1 i =1 Ρ( Rn < x) = Ρ(∑ X iYi < x ∑ Yi ) = Ρ(∑ Yi ( X i − x) < 0) Đặt Tk ( x) = Yk ( X k − x), theo mệnh đề 2.2.1, Tk ( x) ∈ RV (α ), tồn số Bn cho n ∑ T ( x) / B k =1 k n D D  T ( x), từ ta có Rn  R → → Ρ( R < x) = Ρ(T ( x) < 0) Nếu ϕ ( x) hàm phân phối T c= c1 − c2 π tan( α ), c1 + c2 với ϕ (− x) / (1 − ϕ ( x)) → c1 / c2 x → ∞ Trong (*) (**) lấy c1 = α ∫ y − x dG ( y ), ∫ y − x dG ( y ) y≤ x c2 = α y≥ x Từ ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Nếu α = / Ρ( X = 0) = Ρ( X = 1) = / 2, với < x < 1, x1/2 (1 − x)1/2 φ1 ( x) = , φ2 ( x ) = (2φ1 ) + (2φ2 ) = 1, ta đặt 2φ1 = sin θ , 2 2ϕ = cos θ Theo định lí 2.2.5, ta có, Ρ( R < x) = sin θ − cos θ + arctan( ), π sin θ + cos θ mà sin θ − cos θ π = tan(θ − ) sin θ + cos θ Do Ρ( R < x) = 2 θ = arcsin( x ) π π 31 Nói chung, trường hợp định lí cho X = X = trường hợp đặc biệt cơng thức Takács [15] (n) Định lí 2.2.6 Nếu Y(1) / Sn hội tụ đến biến ngẫu nhiên khơng suy biến Y1 ∈ RV (α ), < α < n −1 (m) (n) Chứng minh Trong, [5] đưa Y(1) = m, Sn có phân phối m + ∑ Y( k ) mà k =1 Ρ(Y((km ) < y ) = F ( y ) / F (m), với λ ≥ ta có ) φn ( λ ) = E ( e (n − λ Sn / Y(1) ) ∞ λ ) = e − λ n ∫ [Θ( , λ )]n −1 dF ( y ), y y Θ(λ , y ) = ∫ e − λ x dF ( x) Sự hội tụ φn (λ ) tới φ (λ ) dẫn đến λ e λφ (λ ) [Θ( , y )]s dF ( y ) ~ , s → ∞, ∫ y s ∞ hay ∞ ∫e − sΠ ( y , λ ) e λφ (λ ) dF ( y ) ~ , s → ∞ s Bây thay Π ( y , λ ) = t , với t ∈ [0, ∞), ∞ − st ∫ e dQλ (t ) ~ e λφ ( λ ) , s → ∞, s với Qλ (t ) = Π ( y∫λ )≤t dF ( y ) Ta giả sử F ( y ) > 0, với y ≥ 0, , lim Qλ (t ) = t →0 dẫn đến lim t →0 Ta lại có, Qλ (t ) = φ (λ ) e λ t 32 y λ −(λ / y ) x −λ σ ( y , λ ) = − Θ( , y ) = F ( y ) + ∫ (1 − e )dF ( x) = F ( y )e + λ ∫ e − λ x F ( yx)dx, y 0 từ ta thấy với y cho F ( y ) < 1, − Θ(λ / y, y ) hàm giảm nghiêm ngặt y Do Π ( y , λ ) = − log(1 − σ ( y, λ )) hàm giảm nghiêm ngặt y, để đơn giản ta đặt Qλ (Π ( y, λ )) = F ( y ) Khi y → ∞, Π ( y , λ ) ~ σ ( y, λ ), dẫn đến σ ( y, λ ) = [φ (λ )]−1 e − λ , y →∞ F ( y) lim hay lim ∫ e y →∞ −λ x F ( yx) e − λ [φ (λ )]−1 − e − λ dx = = h(λ ) λ F ( y) Định lí chứng minh 2.3 Tích đại lượng ngẫu nhiên biến đổi quy Hàm tích phức tạp nhiều so với hàm tổng, đặc biệt trường hợp d > Tuy nhiên trường hợp chiều, chứng minh tính chất hàm phần phối tích biến ngẫu nhiên biến đổi quy với điều kiện chặt chẽ Định lí 2.3.1 Giả sử X X biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm X biến đổi quy với tham số α > (1) Nếu X , X độc lập phân phối với Ε( X 1α ) = ∞, Ρ ( X X > x ) / Ρ ( X > x ) → ∞ (2) Giả sử X , X , , X n đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối, Ρ( X > x) ~ cα xα với c > Khi α n −1cα −α Ρ( X X n > x) ~ x log n −1 x (n − 1)! Chứng minh (1) : Với M > ta có 33 Ρ( X > x / y ) Ρ( X X > x) = ∫ d Ρ( X ≤ y ) Ρ( X > x) Ρ( X > x) (0; M ] + Ρ( X > x / y ) d Ρ( X ≤ y ) = I1 + I (2.1) Ρ( X > x) ( M ;∞) ∫ Từ ta có Ρ ( X > x / y ) / Ρ ( X > x ) → y −α , đồng cho y ∈ ( 0, M ] Do I1 → M ∫y α d Ρ( X ≤ y ), x → ∞, → Ε( X )α , M → ∞ Vậy, Ε( X )α = ∞, (1) −α (2): Chúng ta bắt đầu với trường hợp Ρ ( Yi / c > x ) = x , x ≥ chuỗi độc lập phân phối { Yi } n Khi ∑ log ( Y / c > x ) i =1 i Γ ( α , n ) phân phối ta có n Ρ(∑ log(Yi / c) > x) = i =1 α n x n−1 −α y y e dy, x > (n − 1)! ∫ Khi áp dụng Định lí Karamata  n  Ρ  ∏ (Yi / c) > x / c n ÷  i =1  n α n log( x / c ) n −1 −α y = y e dy (n − 1)! ∫ α n x/c n −1 −α −1 −α y = ∫ (log z ) z e dz (n − 1)! n αn ~ (log( x / c n )) n −1 ( x / c n ) −α (n − 1)! 34 ~ α n −1c nα (log x) n −1 ( x) −α , x → ∞ (n − 1)! (2.2) Tiếp theo xét dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối { X i }, độc lập với ( Yi ) , thỏa mãn điều kiện Ρ( X > x) ~ cα x −α không tính tổng n ∏Y quát, giả sử c = Ký hiệu hàm phân phối i =2 i G ( x) cho h ( x ) → ∞ với hàm tăng thỏa mãn x / h ( x ) → ∞ Khi n ∞ i =2 Ρ( X ∏ Yi > x) = ∫ Ρ( X > x / y )dG ( y ) = h( x) ∫ ∞ Ρ( X > x / y ) Ρ(Y1 > x / y )dG ( y ) + ∫ Ρ( X > x / y )dG ( y ) Ρ(Y1 > x / y ) h( x) = I1 ( x ) + I ( x ) Với ε > 0, x đủ lớn y ∈ ( 0, h ( x ) ) , Ρ ( X1 > x / y ) ≤ 1+ ε Ρ ( Y1 > x / y ) 1− ε ≤ Do h( x) I1 ( x) ~ ∫ Ρ(Y1 > x / y )d ( y ) Chọn h ( x ) = x / log log x Khi ( I ( x ) ≤ G ( x / log log x ) = O ( x / log log x ) −α ) log n − x = o ( x −α log n−1 x ) Lập luận tương tự ta có ∞ ∫ Ρ(Y1 > x / y )dG ( y ) = o( x −α log n −1 x) h( x) Từ (2.2), thu n n i =2 Ρ( X ∏ Yi > x) ~ I1 ( x) ~ Ρ(∏ Yi > x) 35 Một lập luận tương tự cho thấy thay vế trái giá trị Yi X i Do (2) chứng minh Định lí 2.3.2 Cho X , X đại lượng ngẫu nhiên độc lập không âm cho X X biến đổi quy với tham số α > 0; X 2p , với p > có mật độ Lebesgue dạng f ( x ) = c0 x β e − cx , τ τ , c, c0 > 0, β ∈ ¡ , x > 0, x β Ρ ( X > x −1 ) đơn điệu tới hạn theo x Khi X biến đổi quy với α tham số α , Ρ ( X X > x ) : Ε ( X ) Ρ( X > x) p Chứng minh Do X X ∈ RV ( α ) ( X X ) ∈ RV ( α / p ) với p > Khơng tính tổng qt giả sử p = giả sử đơn giản c = Khi X X biến đổi quy, tồn hàm số biến đổi chậm L thỏa mãn ∞ L ( x ) x −α = Ρ ( X X > x ) = ∫ Ρ ( X > x / y ) f ( y ) d ( y ) ∞ τ = c0 x1+ β ∫ Ρ( X > z −1 ) z β e − ( zx ) dz = c0τ x −1 1+ β ∞ τ −1/τ (1+ β ) −ϑ x ∫ Ρ( X > ϑ )ϑ e dϑ =x 1+ β ∞ ∫e −τ xτ dU (r ), 1/τ τ c τ U ( r ) = ∫ Ρ ( X > ϑ −1/τ ) ϑ ( 1+ β ) /τ −1dϑ = c0 ∫ Ρ ( X > z −1 ) z β dz τ 0 Do 1/τ L( x ) x − (α + β +1)/τ ∞ = ∫ e −τ x dU (r ), từ Định lí Tauberian Karamata (xem Feller [9], XIII, phần 5) ta có 36 U ( x) ~ L( x −1/τ ) x (α + β +1)/τ x → ∞ Γ((α + β + 1) / τ + 1) −1 β Theo giả thiết, Ρ ( X > z ) z đơn điệu tới hạn, ta có Ρ( X > x) ~ τ L( x) , c0 Γ((α + β + 1) / τ ) xα nghĩa X biến đổi quy với số α Các kết hàm tích biến ngẫu nhiên dương độc lập chứng minh cách lấy logarit sau áp dụng kết tổng quát tương ứng tính biến đổi quy Định lí 2.3.3 Nếu X i đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối −1 thực, ( log X ) + ∈ RV ( α ) cho α ≥ Ρ ( X ≤ x ) = o ( Ρ ( X > x ) ) Khi Ρ( X X n > x) ~ nΡ( X > x), với n ≥ Chứng minh Với x > 0, từ hệ 1.2.2.5 ta có Ρ ( X X n > x ) = Ρ ( log X + + log X n > log x ) ~ nΡ(log X > log x) = nΡ( X > x), (điều phải chứng minh) Chú ý: Từ biến đổi quy ( log X ) + ta có: với x > 0, ( ) ( ) Ρ ( ( log X ) − > x ) = Ρ ( X < e − x ) = o Ρ ( X > e x ) = o Ρ ( ( log X ) + > x ) 37 KẾT LUẬN Luận văn thu được những kết quả sau: 1.Trình bày có hệ thống các định nghĩa và tính chất của phân phới ởn định biến ngẫu nhiên biến đổi quy Trình bày tính chất phân phối giới hạn Rn lớp phân n → phối chuẩn, đưa điều kiện để Rn  n → ∞, với Rn = P ∑XY i i i =1 n ∑Y i =1 n Đưa mối liên hệ hai điều kiện ∑XY i =1 n i i ∑Y i =1 i P  → i ( Y(1)n ) n ∑Y i =1 P  0, → i (n) với Y(1) = max { Yi } 1≤i ≤ n Trình bày số tính chất xác suất tích đại lượng ngẫu nhiên có phân phối biến đổi quy Hướng mở của luận văn: Tiếp tục nghiên cứu phân phối giới hạn Rn lớp phân phối chuẩn lớp phân phối ổn định 38 Nghiên cứu mối liên hệ phân phối giới hạn Rn lớp phân phối chuẩn phân phối giới hạn Rn phân phối ổn định ... biệt định lí giới hạn dạng arc- sin liên quan đến phân phối giới hạn tổng có trọng số ngẫu nhiên, với trọng số biến ngẫu nhiên biến đổi quy Với lý chúng tơi chọn đề tài ? ?Một số định lí giới hạn dạng. .. 16 Định nghĩa 1.2.3.1 16 Định nghĩa 1.2.3.2 16 Chương II ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC- SIN 18 2.1 Một số định lí giới hạn cho dãy Rn Pn .18 Bổ đề 2.1.1 .19 Định. .. yếu σ –đại số Borel S d −1 22 CHƯƠNG II ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC- SIN Trong lý thuyết xác suất, định lí arc- sin trình bày P Lévy (1939) Phân phối xác suất thời gian để trình Wiener xác định dương