một số định lí giới hạn dạng luật số lớn trong lí thuyết xác suất

Trang 1

TRIING [II HIC VINH KHOA TOỎN

TRẦN NGỌC MINH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT SỐ LỚN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

CHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Trang 2

MỞ ĐẦU

Trong lý thuyết xác suất, các định lý giới hạn dạng luật số lớn đóng một vai trò quan trọng, gắn liền với tên tuổi các nhà toán học nổi tiếng như Chebyshev, Kolmogorov, Khinchin, Marcinkiewicz, Zygmund

Khi nghiên cứu luật số lớn, nhiều dạng hội tụ đã được xét: Hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo trung bình cấp p Các đối tượng

được xét cũng không ngừng được mở rộng Trước hết, đó là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với mô men cấp 1 (và cấp 2- trong trường hợp dãy không cùng phân phối) bị chặn; sau đó, là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với mô men cấp r bi chan (0 <r <2); r6i dén day truc giao, martingale Người ta cũng không chỉ hạn chế ở việc xét các dạng hội tụ của dãy trung bình cộng: „xa , ~EX,) mà còn mở rộng ra xét cả tổng có trọng số, các dạng toàn phương Gần đây, người ta cũng đã mở rộng việc xét các vấn đề trên cho các dãy nhiều chỉ số

Trang 3

tiết sau

Tiết 2 dành cho việc nghiên cứu luật yếu số lớn đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập đôi một Công cụ chủ yếu mà chúng tôi sử dụng ở đây là bất đẳng thức Chebyshev

Trong tiết 3, sau khi đưa ra một số bất đẳng thức cơ bản làm công cụ, chúng tôi đã phát biểu và chứng minh luật mạnh số lớn Kolmogorov đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập trong cả hai trường hợp: không cùng phân phối và cùng phân phối Tiếp đó chúng tôi đã trình bày phép chứng minh luật mạnh số lớn Marcinkiewicz- Zypmund -một mở rộng của luật số lớn

Kolmogorov

Tiết 4 dành cho việc nghiên cứu luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn đối với martingale Trong tiét nay, dua vào cdc tinh chat cha martingale, chúng ta nhận được luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn đối với martingale Có thể chứng minh được rằng các kết quả của tiết này nhận các kết quả tương ứng của hai tiết trước như là những trường hợp riêng

Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo trong tổ điều khiển, các thầy, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vĩnh và các bạn trong lớp 39 A,-

Toán đã tạo điều kiện, giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này Do thời gian và khả năng có hạn của tác giả, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, mong được sự góp ý và lượng thứ của người đọc

Trang 4

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên:

1.1.1 Định Nghĩa: Giả sử (O,F,P)_ là không gian xác suất, 2R) là ơ Dai s6 Borel Anh xa X: Q->R_ duoc gọi là ĐLNN nếu với mọi Be 29)

thi X"'(B)eF

1.1.2 Dinh ly: Gia sit X:Q > R Khi đó các mệnh đề sau tương đương

a) X la DLNN

b) {ø :X(ø)<a }e Fvới mỗi ae R c) fo :X(a)<a se Fvéi méi aeR

d) fo : bs X(@)<a }e Fv6i méi a<b bat ky

1.1.3 Dinh ly: Néu X 1a DLNN thi F,={ X7'(B), Be BR) )là ø- đại số

trong F

Chứng minh: Ta có:

O=X"'(R)eF, ViRc BR)

®= X(®)eƑ,, hiển nhiên

Ack, >A=Q\AecR vi : Ae#,=3#e 2) sao cho

Trang 5

A, €F,,VneN* > 4(B,)c AR):

A,=X'®,= x°(OB, J-OX"B,)=UA, cf, MIUB,

BR) Vay F,1a mot o - dai s6 F,1a dugc goi la o - dai s6 sinh bởi

DLNN X

114 Hàm Borel Hàm 9:(R",B(R")) > (R,A(R)) duoc gọi là hàm

Borel, nếu nó 2R") đo được , nghĩa là '(B)e 2(R") với mỗi Be 2(R) Nhận xét:

Nếu ø:R"—› R là hàm liên tục thì ø cũng là ham Borel Đặc biệt các hàm :

(x,y)E› X+y ; (X%y)b xy ; (Xy) > Xv y= max (x,y) (x,y) x A y=min(x, y) 1a cdc ham Borel hai bién

1.1 5 Dinh ly: Gia stt X,, ,X, la cdc DLNN citing xác định trên (O,F,P)

và ø(t, /„)là hàm Borel giá trị thực Khi đó Y= @(X, X,) cũng là DLNN

Chứng minh: Đặt X(œ)=(X,(@) ,X,(@)) Khi đó X là hàm trên (O,F,P) nhận giá trị trên R" Với x, x,c R bất kỳ ta có : {o:X,(@) <x, }=X;"(-00,x, )eF Suy ra A {o:X,(@)<x, }eF isl

Nhung lớp các tap hop [ĨC=.x.).x x, ER sinh ra AR") Suy ra

Trang 6

X+Y,XY,YVY,XAY,X' =Yv0,X =(-X)v0, XI=X'+X ',X/Y(Yz0) cũng là các DLNN

1.1.6 Định lý: Giả sử (X,) là dãy DLNN và sup Ÿ,„,inÝ X, hữu hạn trên ©

Khi đó:

supX,„,infX,,lim supX,,lim infX, là các ĐLNN

Đặc biệt nếu lim X =X, X hữu hạn thì X cũng là ĐLNN

1.1.7 Định lý: Giả sử X là ĐLNN xác định trên (O,F,P) Khi đó :

a) Tồn tại dãy ĐLNN rời rạc hội tụ đều đến X

b) Nếu X>0 thì tồn tại dãy DLNN don giản (X„) sao cho X„† X 1.2 Tính độc lập của dãy ĐLNN

Giả sử (O,F,P) là không gian xác suất cố định 1.2.1 Định nghĩa:

Họ hữu hạn {Fi e I} các Ø- đại số con của F được gọi là độc lập

néu P(OA,)=[] P(A,) doi voi Ae Fie) bất kỳ

iel

Họ vô hạn {Fi e }} các Ø đại số con của E được gọi là độc lập nếu mỗi họ con hữu hạn của nó độc lập

Họ ĐLNN Œề%X,),„,„ được gọi là độc lập nếu họ các ø- đại số sinh bởi chiing {F, ie } 1a doc lap

Ho DLNN (X,),_, duoc gọi là độc lap doi mot néu véi moi i, j ¡z j ,

thì X; và X; độc lập

Trang 7

f(X) 2(Y) cF, vi:

F = {f(X)]"(B).Be BR) } = {X"[f"(B)],Be BR) } = f(X) — ={X'[f'(B)]:f'(B)e 2) }, vì f'(B) =B' eR)

Suy ra

E„„ = {X"'If"'(B)]:f”(B) e2(R) }={X'(B):Bc2(R)}= Tương tự F s(Y) CF, Lay AcF £O) Suy ra P(AB) = P(A)P(B) Vay F,,,F,,, f(X)?” g(Y) lacdc o- dai s6 d6c lap Do đó f(X), g(Y) là các ĐLNN độc lập 1.3 Kỳ vọng của ĐLNN: 1.3.1 Định nghĩa: Giả sử X (O,Z,P)—>(R,2) là ĐLNN Khi đó tích phân Lơbe [XdP (nếu tồn tại) Q sẽ được gọi là kỳ vọng của X và ký hiệu là EX 1.3.2 Các tính chất của kỳ vọng: Fy, —>AeF,; BeF,->BeF,

Từ định nghĩa suy ra rằng kỳ vọng có tất cả các tính chất của tích phân

Trang 8

suất tương ứng p;, p›, ., p„; thì : EX=Ề xp, e) Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là f(x) thì: EX= Íxf(&)dx f) Néu (X,) 1a day DLNN độc lập thì với mọi số tự nhiên n > l, ta có: E(X,.X, X,) = EX,.EX, EX, 1.4 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên 1.4.1 Định nghĩa:

Giả sử X (O,F,P)—>(R,2) là ĐLNN Khi đó, số

DX =E(X-EX)? (nếu tồn tại) sẽ được gọi là phương sai của X

1.3.2 Các tính chất của phương sai:

Từ định nghĩa và từ các tính chất của kỳ vọng, dễ dàng suy ra rằng phương

Trang 9

1.5 Kỳ vọng có điều kiện

1.5.1 Định nghĩa: Giả sử (OF,P) là không gian xác suất, ợ là ø- đại số con của F, X là ĐLNN khả tích Khi đó, kỳ vọng có điều kiện cha DLNN X

đối với ợ là ĐLNN M thoả mãn các điều kiện :

a) M là ợ ảo được

b) M thoả mãn đẳng thức:

ÍM(@)P(do) = [X(@)P(do), VA €G

M được kí hiệu là E(XIợ) hoặc E#X

1.5.2 Các tính chất của Kỳ vọng điều kiện

Gia sử (O,F,P) là không gian xác suất cố định , các ĐLNN được xét đều có kỳ vọng có điều kiện, ứ là ø- đại số con nào đó của F

d) Nếu a, b là hằng số và aEX + bEY xác định thì E(aX+bY |g) =aE(X|g) + bE(Y|g)_ (h.c.c)

e) E@XI{eO)=EX (hc.c)

g) E(X|F)=X (hc.c) h) E(E(X|g)) =EX (h.c.c)

i) Néu G, cG, thi

E(E(XG,)|G,) = EOXg,) = E(E(X|G, IG.) (h.c.c)

Trang 10

) Nếu Y là Gg đo được và ElY|<œ,E XYl<œ thì E(XY g) = YE(Xg) (h.c.c) m) Định lý hội tụ đơn điệu P Levy: Nếu X, †xX (hec) n:E(X,)<œ thi E(X, G)T E(X\g) (h.c.c) Nến {* LX (he.c) thì EŒ, lo) E(XIg) (h.c.c) 3n: E(ŒX;)< œ XAG ø n) Bổ đề Fatou: Giả sử tồn tại Y khả tích Khi đó : Nếu X,<Y (h.c.c), n>I thì E(imX,|g)<limE(X,|g) (h.c.c)

Néu X,2Y (h.c.c), n21 thi limE(X,lg)<E(imX,lg)_ (he) p) Định lý hội tụ bị chặn Lebegue: Giả sử Y khả tích va |X,|<¥Y (h.c.c) Khi đó :

Nếu X,>X (hc.c)thì E(lim X, |G) = limE(X, |g) (h.c.c)

1.6 Martingale

1.6.1 Khái niệm tương thích và dự báo được:

a) Định nghĩa: Giả sử F, là dãy tăng các ơ - đại số, (X,) là dãy ĐLNN Ta nói rằng dãy X= {X,.F,n € N} là dãy tương thích, nếu X, là F, đo được với mỗi neN

Trang 11

1.6.2 Dinh nghia:

Giả sử (Q, F,P)là không gian xác suất Dãy X=(X,,F,,n c N) được

gọi là:

1 Martingale trên (đối với {F,,n e N},nếu: (i) {X,,F,,ne N} là dãy tương thích (ii) E[X,|<0,VneN đñ) Với m<n,m,neN E(X,lF,)<X„ P-hecc 2 Martingale dưới (đối với {F,,n e N}), nếu các điều kiện (¡), (ii) được thực hiện và: (1) Với m<n, n,meN EQX,|F„)>X„, P-h.c.c 3 Martingale (đối với {Fn € N}), néu cdc diéu kién (i),(ii) dugc thuc hién, va: (1°) Với m<n,m,nexw E(X,|F,)=X,, P-h.c.c 1.6.3 Hiéu martingale

Day tuong thich &,.F,,neN} được gọi là hiệu martingale nếu: Elš,|<œ đối với mọinew và E(E,.|F,)=0, P-h.c.c

Rõ ràng, nếu X={X,,F,,ne N}là martingale thi {E,,F,,ne N}IA hiệu martingale, trong đó: É, =X,,Š, =AX, =X,—X,, Với n=1,2, 1

Ngược lại, nếu { vr ne NHà hiệu martingale thì X= {X,.F,.n c N}

Trang 12

Martingale X= {X,.F,n e N}goi la martingale bình phương khả tích nếu E|Y,|Ì<œ, với mọi ne N Khi đó, nếu đặt

<X>, =%F|lax, } IF]

thi <X> = {<X>,, F,,, n € N} duoc gọi là đặc trưng bình phương dự

báo được của X

Định lý: Giả sử X={X ,F,neN} là martingale bình phương khả tích với X,=0 Khi đó, ta có:

{<X>¿„< œ}C {X, ->} tức là martingale X = {X,, F,, n € N}hoi tu

Trang 13

§2 LUẬT YẾU SỐ LỚN DOI VOI DAY ĐẠI LƯỢNG

NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

2.1 Hội tụ theo xác suất :

Định nghĩa: Dãy ĐLNN (X,) được gọi là hội tụ theo xác suất về DLNN X (khi n > 0) néu: limP(X,-X|>e)=0 = Ve >0 noo Ki hiéu: X, >X 2.2 Bất đẳng thức Chebyshev 2.2.1 Định lý: Giả sử X là ĐLNN không âm Khi đó với mọi e>0 ta có P{X>e}< Ex’ € Chitng minh: Ta có:

EX=[XdP= [XdP+ [XdP> [XdP>e [dP=eP{X>e)}

Q 0<X<e X>e X>e X>t

SUY Ta:

PÍX>e}< EX

Ệ

2.2.2 Hé qua (BDT Chebyshev): Gia stt X 1a DLNN bat ky Khi đó, nếu

Trang 14

p{x —Ex|>e}< 2% 2 Một cách tương đương ta có với mọi e > 0 p{x —Ex|<e}>1— 2% ? Chứng minh : Đặt Y=|X - EXÌ” Khi đó EY ElX-EXỈ _DX PÍX -EX|>e}= P|X- EXỈ >e!}= PV >e!}< FÝ= ^— £? £? Suy ra điều phải chứng minh 2.2.3 Hệ qud (BĐT Marcov) Giả sử X là một ĐLNN Khi đó với mọi z >0: P{XI>e}< BỊ r7 r>0 € Chiing minh : Dat Y=|X|' Khi dé : p{x|>e}=P{xi' >e"}=pfy >e"}< e Suy ra pfx|>e}< PX ,T>0, e

2.3 Định nghĩa: Giả sử (X,) là dãy ĐLNN bất kỳ có kỳ vọng EX,=a n?

Trang 15

dãy (X,) tuân theo luật yếu số lớn — le Chứng minh: Đặt X, =—>`X, N i=! Ta có: EX,=lŸa, vớia=EX, và DX,= LD(@X) nˆ i=l 1 =1 Theo BĐT Chebyshev ta có: p{x, -Ex,)><}<P%-_ pox, +0 € ne khi n—›œ suy ra điều phải chứng minh > ¿ , ~ Ie Hệ quả 1: Nếu dãy (X,) độc lập đôi một và thoa min — >’ DX, > 0 n

khi n—› œ thì dãy(ŒX,) tuân theo luật yếu số lớn

Chứng minh: Theo giả thiết dấy (Xn) độc lập đôi một, nên ta có:

- pX)=-Ì ŸDX, ->0 suy ra ĐPCM

nˆ i=l n" i=

Hệ quả 2: Nếu dãy(X,) độc lập đôi một và tồn tại C > 0 sao cho

DX,<C,với mọi n thì dãy (X,) tuân theo luật yếu số lớn Chứng minh: Ta có

le le

1 ï=i _ ——>œ khi n->øœ

T1 =I n

Theo Hệ quả 1 suy ra đpem

Trang 16

Do đó: le le p le p => X,——;a——>0>—X,-a——>0 T ¡=t N i= N i= Suy ra TÊN ha, đpem N i=i 2.3.2 Định lý: Nếu dãy (X, }j_, các ĐLNN thoả mãn: @) — DX,<C với moik = 1,2,

(đi) p(X,,X,) 0 mot cach đều khi i—j —>œ thì day (X,) tuân theo luật yếu số lớn

Chứng minh: Ta có:

D(Šx,Ì~Ÿ Ÿesv(x,.X)=ŸŸp(X„X,)-/DX _/DX,

i=1 j=l i=l j=l

< CYY p(X,,.X,) , Vi theo (i) i=l j=l

Với €>0 cho trước, theo (ii) tén tai N sao cho néu |i- j| >N thì

| p(X,,X)| <e

Số các cặp (,j)(,j=1,n) thoả mãn li-j <N không vượt quá 2nN

Trang 18

§3 LUAT MANH SO LON DOI VOI DAY DAI LUGNG NGAU NHIEN ĐỘC LẬP 3.1 Hội tụ hầu chắc chắn 3.1.1 Định nghĩa: Dãy ĐLNN (X,) gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến ĐLNN X nếu P|lim|X, - X|=0}! Kí hiệu: X,->X, h.c.c 3.1.2 Các tính chát

Trang 19

(v6i S, = X, + X, + + X,) 3.3 Dinh ly Gia sir (X,) I diy ĐLNN độc lập Khi đó, nếu Š`DX, <œ thì chuỗi n=l d(x, -EX,) nl hội tụ hầu chắc chắn Chứng minh: Đặt Y, = X, - EX, Vậy thì (Y,) là dãy DLNN doc lap, EY, = 0, DY, = DX, = EY; Gia su

S, = (X, - EX,) + (X, - EX,) + + (K, - EX,) = Y,+ Y,+ +Y,

Ta cần chứng minh (S,) hội tụ h.c.c Để chứng minh điều đó, ta sẽ

chứng minh (S,) là dãy côsi (h.c.c) Ta có:

lim P(supS, — S,| 2 e}tim P(suplY, +Y „+ + Y,,| 2 Ồ

mền

m

ne g? E mans no m=n+l

<im-_ )° DY, = lim 5° Dx, =0 2 Vậy (S,) là dấy côsi, do đó dãy hội tụ h.c.c

Hệ quả: Giả sử (X,) là dãy ĐLNN độc lập Khi đó 3`E|X,lŸ<œ thì

chuỗi Šˆ(X, — EX, )hội tụ hầu chắc chắn

3.4 Bổ đề Borel-Cantelli: Giả sử (X,) là dãy DLNN bất kỳ

a) Nếu XX, <œ hec thì

n=l

Trang 20

b) Neu 2, X, = % Ace ya (X,) doc lap thi n=l (im sup X, }! 3.5 B6 dé Kronecker: Gia stt 0<b, Too và chuỗi số yx, hội tụ Lúc đó hì 12 balk 70 khi n> K=l Chứng minh: Đặt A,= yx, Suy ra A,>0 va A=sup|A,| <0 (vi yx, hội tụ) Ta có >b.X‹ = >b.(A -A,)= Db Ans x >b‹ÃÁv n-l = (Ba —b, JA, +b,A,—b,A, Suy ra —— 1 —— 1 |e

lim —|}b,x,|Slim—]|}\(b,,, —b, JA, (1)

noe b, K=I now b, K=I

Trang 21

Từ (1)và (2) suy ra 3.6 Bất đẳng thức Kolmogorov a) Giả sử X,,X, X, là các ĐLNN độc lập và EX,=0, DXY,<», k=L2 m Khi đó với e>0 tuỳ ý ta có: S,|2 ekPSe (3) P|[max K<n Với S,=X,+X,+ +X, c) Nếu có một số C > 0 nào đó mà ?||x,|<C|FI, £=I,2, z thì Cte) Plmax sIxzbI-É (4) Chitng minh: S,|2e| a) Ky hiéu: A=|max 4„ ={lSj|<e |Sg | < £.|S„|>e} &=l,2, ,n Ta có: A,A,=ð với 1#] A=(J4, và ES)>ESjI,=Š'ES1, kel k=l

Ma_ ES; 1, =E(S, +S, -S,)° -I,,

=ES‡I, +2 E(S, -S, )S,1,, +E(S, -S,)" 1,

> ES 1,

(vì (S,—§,) và§,1,, độc lap, E(S, -S,)=0 nen

Trang 22

Do d6: ES? > DES21, >e? DEI, =e) P(A,)=e°P(A) K= K-1 K-I Suy ra ES? DS 2 2 P(A)<—*=—*, (vi DS, =ES; -(ES,)ˆ) & & b) Ta có: ESjI, =ES) -ES/ I, >ES? —e El =ES? -e°P(A)=ES)—e°+£°P(A) (5) (vì EI; =P(A)=1~P(A)) Mặt khác trên A„ ta có: Su |<e „| <Ì§,.|+|X,|<e +C, nén ES?1, =D ES!1, = NESiI, + NEG, -S,)"I, K-1 K=I K=I <(C+)?Š`P(A,)+D(S,)3`P(A,) <P(A)[(C+e} +D(S, )] (6) Từ (5) và (6) suy ra: D@,)-£7 =Ị (C+e)Ÿ > (rey

P(A)>———` (C+e}+DS,-e° (C+e}+DS -e' ;=l——" r> DS,

Trang 23

Khi đó với moi e>0, với mọi ổ >0, ổ<— tồn tại nạ sao cho: P[S, -S„Ì>z|<ư Vn>m>n, Áp dụng định lý 3.2 với a = e, x = 2e ta có: rf sup |S, -8,|>2e}s =P sup |S,,-S,,|> m<n<M <2P(S„—S„l>e)<ổ, m>n, Cho ⁄—>+œ ta có: if sup m<n<M S, -S,|>2e)= fim Pf sup \S, -S,,|> 28 )<6, mn, m<n<M

Từ đó : lim rf sup |S, -S,,|> 2e)<

Vì >0 nhỏ tuỳ ý nên lim P(supB, -S,,|> 22 )=0 Vậy (S,) cơ bản h.c.c nên hội tụ h.c.c 3.8 Định lý Kolmogorov - Khinchin: Gia su day (X,) doc lap, EX, = 0 Khi do: a) Néu YEX?<0 (7) n=l b) thichudi 7X, hdi tu h.c.c n=l

b) Nếu với xác suất một dãy (X,) bị chặn đều, tức là tồn tại hằng số C

> 0 sao cho P(X,|<C)=l, Vn và nếu chuỗi YX, hoi tu h.c.c, thi

n=l

ŸEX?<œ

n=l

Trang 24

a) Do (X,) déc lap, EX, = 0, n = 1 nén day (S,) hoi tu theo trung bình

bậc hai nếu (7) được thực hiện Do vay E(S, - S,,)? > 0, (m, n > ©) Theo bất đẳng thức Chebyshev ta có: ES n m | 2 © P{S,~S„`>e*]< —>0 khi m,n-—> œ

hay P{S,—S„|>e}—>0 khi m,n —> œ

Trang 25

Gia sử (X,) là dãy các ĐLNN độc lập với các moment bậc hai hữu hạn, (b,) là dấy hằng số sao cho 0 < b„ ?œ Khi đó, nếu Š n=l n '(X,—EX,) Ti =— 40 hecQ0) n Chứng minh: Từ (9) và định lý 3.8 suy ra chuỗi Š a hoi tu h.c.c(11) nl X,-EX, <0) Từ (11) và bổ dé 3.5 ta có: Š(, EX,) , — sat b, ee TEX >0 h.c.c n n K (vi S,=>°X,, ES, -7( y X, }-SEX,) Nhận xét: b, S,—ES <œ (12) thì "—>0(h.cc) (13) b) (12) được thoả mãn nếu dãy (DX,) bị chặn đều, tức là tồn tại hằng số C >0 sao cho DX, <C, Vn Do đó có (13)

Điều kiện có moment bậc hai hữu hạn ở 3.10 có thể giảm nhẹ nếu thêm vào giả thiết cùng phân phối của dãy (X,) Khi đó ta có:

Trang 26

Giả sử (X,) là dãy các ĐLNN độc lập cùng phân phối Khi đó

ˆ CC, (14)

n

khi và chỉ khi E|X,|<œ và a=EX, Chứng minh:

a) Gia sit E/X,|<oo Dat X, =X, Ij, ).,) va X,=X, —X,

Vi >Plx, +0]= >'|x, I>n|E Px, l>nJEY yP[m<|x, |<m +1] n=l m=n => mP[m<|X,|< m+] (15) m=1 <EX Theo bổ đề Borel - Cantelli, với xác suất I chỉ có một số hữu hạn các X, #0 Do đó: yy >0 hee (16) ni

Giả sử F(x) là hàm phân phối của X, Khi d6

DX,=E(X,} -(EX,)' <E(X,)° = [x°dF(x)

Trang 27

Do đó theo nhận xét 3.10: »(x¡~Ex,) = >0 hec n Mặt khác theo định lý Stolz ta có: nl

le DEX, DEX,

lim —S` EX, = lim + ne "3 ee n-(n-l) - nn =lim EX, =lim Íx4F(x)=EX, =a >a hee (17) S Vì vậy từ (16),(17) ta có: —>—>EX, h.c.c n b) Giả sử Š, —>a h.c.c và aeR n Vì a hữu hạn nên: %, ¬ ` 9 h.c.c n on n n-l

Trang 28

Nhận xét: Néu EX, = a tồn tại nhưng không hữu hạn thì vẫn có

">a hice n

That vay, gia st EX, =+ 0 (có nghĩa EX,<œ, EX;=œ)

Suy ra EX hitu han, véi X =X Ix <j, V6i_ C>0 bat ky go EX Do đó —t=*! EX? hc n on Mặt khác Ặ limŠ>>limŠ* =EXf->EX,=+% khi C->+œ noo fT} noo ._ S, Suy ra lim—*>=+wœ=a h.c.c n3“ TỊ

Trường hợp EX,=— œ ta chứng minh hoàn toàn tương tự

Kết quả sau đây là mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov

3.12 Dinh ly (Marcinkiewiez - Zygmund)

Gia st (X,) 1a day các ĐLNN độc lập cùng phân phối, S,=X,+ +X, và re(0:2) Khi đó:

S —

rT" SO hee (18) Vr

Trang 29

Ngược lại, giả sử E|X,|<œ Để chứng minh (18) ta chứng minh bổ đề

Trang 31

ni x dP=> Yn" J* dP [x|>n' n=l K=n+l =»Yn"“ [X, ars YK)" IK dP K=2 n=l K-I tl 1 (vi yn" fV'dx=— x a = (K-) ) T— l0 Mặt khác ta có: A, =[[K ~1)”<|X,|<K"*]>(&~Ð* <XÍ'<K= Từ đó suy ra: YI|EY,|<——- 3 =——EXjƑ <œ n=l r-l K=IA' r-l Điều này cùng với (20) ta lại có: và Bổ đề được chứng minh

Bây giờ ta trở lại chứng minh định lý:

Trang 32

§4 LUAT SO LON DOI VOI MARTINGALE 4.1 Luật yếu số lớn:

Giả sử {X,,F,,ne N}là martingale, do dụ = Xụ, d, =X,- X„., n=1,2, là hiệu martingale tương ứng, và tb, Mà dãy số dương sao cho

b,†% khi n->œ Đặt: d, =d,I{d,|<b,} 0<i<n

Nếu:

Gi) yP{d)>b,}>0

i=0

Gi) bƑE(, IE,}— >0

đi) bị {Ed? -E|E(4,IE.,)Ï}>0thì ÍX„,E,neN} tuân theo i=0

luật yếu số lớn theo nghĩa b,'X ——>0, tức là b,'X, hội tụ theo xác suất tới 0 Ching minh: Dat X,,=).d, ¡=0 Từ () ta có: Pf Roa i=0 Spl, ad, l<¥Pfa i=0 +b, }->0 Suy ra chỉ cần chứng minh b;'X ——>0 Tir (iii) và bất đẳng thức Marcov ta có: b, id, -B(d,, 1F,,)} +90

Thật vậy, với e > 0 bất kỳ Theo BĐT Marcov ta có:

of Dk, -F(d, IF, ) > ) <e”bEl'Í4, -Eld, IF, iH

i=0 ¡=0

Trang 33

=e" bey i=0 n— ©, do (ili) d, -E(d, IF, ) =7.b, {Ed -E[E(d, )IF,P}>0 ki i=0 Suy ra b,'d{d, -E(d, 1F.,)}-250 Kết hợp với (ii) ta 6: b; 3d, 40 i=0 Suy ra b'X,—>50 Oo 4.2 Luật mạnh số lớn:

() Giả sử X=ÍX,,F,,neN} là martingale bình phương khả tích và giả

sử A={A,„,F,,neN}là dãy tăng, dự báo được sao cho A, >1, A„ =œ e E[AX,ÿ IE,,] i=l Nếu với xác suất 1: <œ thì với xác suất 1: n> A n

Trang 34

(m) =Š $5 | vi (m), = Seam," IF] Eg IB) =e , ú „ “ E(d?LFE Theo giả thiết, với xác suất 1: ye) cov i=l Tir d6 suy ra v6i xdc suat 1: (m), —>(m), <œ i=l

Suy ra) o <œ, (do định lý 1.6.4)

Trang 35

Ngoài ra ta có một số kết quả sau:

Trang 36

KET LUAN

Tóm lại, luận văn đã trình bày một số vấn đề của luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập và đối với

martingale Cụ thể là:

Trong tiết 1, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết xác suất, cần thiết cho việc sử dụng ở những tiết sau

Luật yếu số lớn đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập đôi một được nghiên cứu trong tiết 2 Công cụ chủ yếu mà chúng tôi sử dụng ở đây là bất đẳng thức Chebyshev

Nội dung chính của tiết 3 là: luật mạnh số lớn Kolmogorov đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập trong cả hai trường hợp: không cùng phân phối và cùng phân phối; luật mạnh số lớn Marcinkiewicz- Zygmund

Trang 37

TAI LIEU THAM KHAO

[1] ĐẶNG HÙNG THẮNG, Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng

dụng, NXB Giáo dục, 1997