một số định lí giới hạn dạng luật số lớn trong lí thuyết xác suất

TRIING [II HIC VINH KHOA TOỎN TRẦN NGỌC MINH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT SỐ LỚN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP... MỞ ĐẦU Trong lý t

TRIING [II HIC VINH KHOA TOỎN

TRẦN NGỌC MINH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT SỐ LỚN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

CHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

MỞ ĐẦU

Trong lý thuyết xác suất, các định lý giới hạn dạng luật số lớn đóng một vai trò quan trọng, gắn liền với tên tuổi các nhà toán học nổi tiếng như Chebyshev, Kolmogorov, Khinchin, Marcinkiewicz, Zygmund

Khi nghiên cứu luật số lớn, nhiều dạng hội tụ đã được xét: Hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo trung bình cấp p Các đối tượng

được xét cũng không ngừng được mở rộng Trước hết, đó là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với mô men cấp 1 (và cấp 2- trong trường hợp dãy không cùng phân phối) bị chặn; sau đó, là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với mô men cấp r bi chan (0 <r <2); r6i dén day truc giao, martingale Người ta cũng không chỉ hạn chế ở việc xét các dạng hội tụ của dãy trung

tiết sau

Tiết 2 dành cho việc nghiên cứu luật yếu số lớn đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập đôi một Công cụ chủ yếu mà chúng tôi sử dụng ở đây là bất đẳng thức Chebyshev

Trong tiết 3, sau khi đưa ra một số bất đẳng thức cơ bản làm công cụ, chúng tôi đã phát biểu và chứng minh luật mạnh số lớn Kolmogorov đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập trong cả hai trường hợp: không cùng phân phối và cùng phân phối Tiếp đó chúng tôi đã trình bày phép chứng minh luật mạnh số lớn Marcinkiewicz- Zypmund -một mở rộng của luật số lớn

Kolmogorov

Tiết 4 dành cho việc nghiên cứu luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn đối với martingale Trong tiét nay, dua vào cdc tinh chat cha martingale, chúng ta nhận được luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn đối với martingale

Có thể chứng minh được rằng các kết quả của tiết này nhận các kết quả tương ứng của hai tiết trước như là những trường hợp riêng

Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo trong tổ điều khiển, các thầy,

cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vĩnh và các bạn trong lớp 39 A,-

Toán đã tạo điều kiện, giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này

Do thời gian và khả năng có hạn của tác giả, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, mong được sự góp ý và lượng thứ của người đọc

Vinh, thang 5 nam 2002

Tac gia

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên:

1.1.1 Định Nghĩa: Giả sử (O,F,P)_ là không gian xác suất, 2R) là ơ Dai s6 Borel Anh xa X: Q->R_ duoc gọi là ĐLNN nếu với mọi Be 29)

thi X"'(B)eF

1.1.2 Dinh ly: Gia sit X:Q > R Khi đó các mệnh đề sau tương đương

a) X la DLNN

b) {ø :X(ø)<a }e Fvới mỗi ae R

c) fo :X(a)<a se Fvéi méi aeR

d) fo : bs X(@)<a }e Fv6i méi a<b bat ky

1.1.3 Dinh ly: Néu X 1a DLNN thi F,={ X7'(B), Be BR) )là ø- đại số

trong F

Chứng minh: Ta có:

O=X"'(R)eF, ViRc BR)

®= X(®)eƑ,, hiển nhiên

Ack, >A=Q\AecR vi : Ae#,=3#e 2) sao cho

A=X"'(B)

Suy ra

A, €F,,VneN* > 4(B,)c AR):

A,=X'®,= x°(OB, J-OX"B,)=UA, cf, MIUB,

BR) Vay F,1a mot o - dai s6 F,1a dugc goi la o - dai s6 sinh bởi

DLNN X

114 Hàm Borel Hàm 9:(R",B(R")) > (R,A(R)) duoc gọi là hàm

Borel, nếu nó 2R") đo được , nghĩa là '(B)e 2(R") với mỗi Be 2(R) Nhận xét:

Nếu ø:R"—› R là hàm liên tục thì ø cũng là ham Borel Đặc biệt các hàm :

(x,y)E› X+y ; (X%y)b xy ; (Xy) > Xv y= max (x,y)

(x,y) x A y=min(x, y) 1a cdc ham Borel hai bién

1.1 5 Dinh ly: Gia stt X,, ,X, la cdc DLNN citing xác định trên (O,F,P)

và ø(t, /„)là hàm Borel giá trị thực Khi đó Y= @(X, X,) cũng là DLNN

Chứng minh: Đặt X(œ)=(X,(@) ,X,(@)) Khi đó X là hàm trên (O,F,P) nhận giá trị trên R"

Với x, x,c R bất kỳ ta có :

{o:X,(@) <x, }=X;"(-00,x, )eF Suy ra

A {o:X,(@)<x, }eF

isl

Nhung lớp các tap hop [ĨC=.x.).x x, ER sinh ra AR") Suy ra

X“(B) €F voi Be B(R") bat ky Do d6 néu Ce BR) thi @'(C) e 2(R") và

X+Y,XY,YVY,XAY,X' =Yv0,X =(-X)v0, XI=X'+X ',X/Y(Yz0) cũng là các DLNN

1.1.6 Định lý: Giả sử (X,) là dãy DLNN và sup Ÿ,„,inÝ X, hữu hạn trên ©

Khi đó:

supX,„,infX,,lim supX,,lim infX, là các ĐLNN

Đặc biệt nếu lim X =X, X hữu hạn thì X cũng là ĐLNN

1.1.7 Định lý: Giả sử X là ĐLNN xác định trên (O,F,P) Khi đó :

a) Tồn tại dãy ĐLNN rời rạc hội tụ đều đến X

b) Nếu X>0 thì tồn tại dãy DLNN don giản (X„) sao cho X„† X 1.2 Tính độc lập của dãy ĐLNN

Giả sử (O,F,P) là không gian xác suất cố định

1.2.1 Định nghĩa:

Họ hữu hạn {Fi e I} các Ø- đại số con của F được gọi là độc lập

néu P(OA,)=[] P(A,) doi voi Ae Fie) bất kỳ

f(X) 2(Y) cF, vi:

F = {f(X)]"(B).Be BR) } = {X"[f"(B)],Be BR) } = f(X) —

={X'[f'(B)]:f'(B)e 2) }, vì f'(B) =B' eR)

Suy ra

E„„ = {X"'If"'(B)]:f”(B) e2(R) }={X'(B):Bc2(R)}=

Tương tự F s(Y) CF, Lay AcF £O)

Suy ra

P(AB) = P(A)P(B) Vay F,,,F,,, f(X)?” g(Y) lacdc o- dai s6 d6c lap

Từ định nghĩa suy ra rằng kỳ vọng có tất cả các tính chất của tích phân

Lơbe với độ đo chuẩn hoá Chẳng hạn:

suất tương ứng p;, p›, ., p„; thì :

EX=Ề xp,

e) Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là f(x) thì:

EX= Íxf(&)dx f) Néu (X,) 1a day DLNN độc lập thì với mọi số tự nhiên n > l, ta có:

E(X,.X, X,) = EX,.EX, EX,

1.4 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên

1.4.1 Định nghĩa:

Giả sử X (O,F,P)—>(R,2) là ĐLNN Khi đó, số

DX =E(X-EX)? (nếu tồn tại)

sẽ được gọi là phương sai của X

1.3.2 Các tính chất của phương sai:

Từ định nghĩa và từ các tính chất của kỳ vọng, dễ dàng suy ra rằng phương

sai có các tính chất sau đây

M được kí hiệu là E(XIợ) hoặc E#X

1.5.2 Các tính chất của Kỳ vọng điều kiện

Gia sử (O,F,P) là không gian xác suất cố định , các ĐLNN được xét đều có kỳ vọng có điều kiện, ứ là ø- đại số con nào đó của F

a) Nếu C 1a hang sé thi E(C|g)=C (h.c.c)

b) X<¥ (h.c.c) thi E(X|g) < E(Y|g)_(h.c.c)

c) |EŒlø)|<E(X|g) (h.c.c)

d) Nếu a, b là hằng số và aEX + bEY xác định thì

E(aX+bY |g) =aE(X|g) + bE(Y|g)_ (h.c.c)

e) E@XI{eO)=EX (hc.c)

g) E(X|F)=X (hc.c)

h) E(E(X|g)) =EX (h.c.c)

i) Néu G, cG, thi

E(E(XG,)|G,) = EOXg,) = E(E(X|G, IG.) (h.c.c)

k) Nếu X độc lập với ợ (nghĩa là ø(X) và Gg doc lap) thì

EŒX|g=EX (hcc)

) Nếu Y là Gg đo được và ElY|<œ,E XYl<œ thì

E(XY g) = YE(Xg) (h.c.c)

m) Định lý hội tụ đơn điệu P Levy: Nếu

X, †xX (hec) n:E(X,)<œ thi E(X, G)T E(X\g) (h.c.c)

Nếu X,>X (hc.c)thì E(lim X, |G) = limE(X, |g) (h.c.c)

1.6 Martingale

1.6.1 Khái niệm tương thích và dự báo được:

a) Định nghĩa: Giả sử F, là dãy tăng các ơ - đại số, (X,) là dãy

ĐLNN Ta nói rằng dãy X= {X,.F,n € N} là dãy tương thích, nếu X, là F,

đo được với mỗi neN

b) Định nghĩa: Ta nói rằng dãy V= {V,.F n neN,F, =F,} là dãy dự báo được nếu V, là F,„, đo được với mỗi ne V

1.6.2 Dinh nghia:

Giả sử (Q, F,P)là không gian xác suất Dãy X=(X,,F,,n c N) được

gọi là:

1 Martingale trên (đối với {F,,n e N},nếu:

(i) {X,,F,,ne N} là dãy tương thích

Martingale X= {X,.F,n e N}goi la martingale bình phương khả tích nếu E|Y,|Ì<œ, với mọi ne N Khi đó, nếu đặt

<X>, =%F|lax, } IF]

thi <X> = {<X>,, F,,, n € N} duoc gọi là đặc trưng bình phương dự

báo được của X

Định lý: Giả sử X={X ,F,neN} là martingale bình phương khả tích với X,=0 Khi đó, ta có:

{<X>¿„< œ}C {X, ->} tức là martingale X = {X,, F,, n € N}hoi tu

hầu chắc chắn tới giới hạn hữu hạn trên tập {<X>„< ®}

§2 LUẬT YẾU SỐ LỚN DOI VOI DAY ĐẠI LƯỢNG

NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

2.1 Hội tụ theo xác suất :

Định nghĩa: Dãy ĐLNN (X,) được gọi là hội tụ theo xác suất về DLNN X (khi n > 0) néu:

EX=[XdP= [XdP+ [XdP> [XdP>e [dP=eP{X>e)}

SUY Ta:

PÍX>e}< EX

Ệ

2.2.2 Hé qua (BDT Chebyshev): Gia stt X 1a DLNN bat ky Khi đó, nếu

DX<o thì với mọi « >0 ta có :

p{x|>e}=P{xi' >e"}=pfy >e"}<

e

Suy ra

pfx|>e}< PX ,T>0,

e

2.3 Định nghĩa: Giả sử (X,) là dãy ĐLNN bất kỳ có kỳ vọng EX,=a n?

noi rang day (X,) tuan theo luật yếu số lớn nếu:

dãy (X,) tuân theo luật yếu số lớn

khi n—› œ thì dãy(ŒX,) tuân theo luật yếu số lớn

Chứng minh: Theo giả thiết dấy (Xn) độc lập đôi một, nên ta có:

- pX)=-Ì ŸDX, ->0 suy ra ĐPCM

nˆ i=l n" i=

Hệ quả 2: Nếu dãy(X,) độc lập đôi một và tồn tại C > 0 sao cho

DX,<C,với mọi n thì dãy (X,) tuân theo luật yếu số lớn

Chứng minh: Ta có

1 ï=i _ ——>œ khi n->øœ

T1 =I n

Theo Hệ quả 1 suy ra đpem

Hệ quả 3: Giả sử dãy (X,) độc lập đôi một, cùng phân phối : EX,=a với mọi ¡ và DX,=ơ thì dãy (X,) tuân theo luật yếu số lớn va

< CYY p(X,,.X,) , Vi theo (i) i=l j=l

Với €>0 cho trước, theo (ii) tén tai N sao cho néu |i- j| >N thì

| p(X,,X)| <e

Số các cặp (,j)(,j=1,n) thoả mãn li-j <N không vượt quá 2nN

Thật vậy, với mỗi ¡ cố định (¡=l,n) số các điểm j sao cho I-j <N là các

số nguyên trong khoảng (—NÑ+1,N+ï)là 2Ñ—1 <2N Từ đó ta có:

§3 LUAT MANH SO LON DOI VOI DAY DAI LUGNG

a) Dãy ĐLNN (ŒX,) hội tụ hầu chắc chắn đến ĐLNN X khi và chỉ khi

lim P( sup, — X > c] =0, Ve>0

S, = (X, - EX,) + (X, - EX,) + + (K, - EX,) = Y,+ Y,+ +Y,

Ta cần chứng minh (S,) hội tụ h.c.c Để chứng minh điều đó, ta sẽ

chứng minh (S,) là dãy côsi (h.c.c) Ta có:

lim P(supS, — S,| 2 e}tim P(suplY, +Y „+ + Y,,| 2 Ồ

Hệ quả: Giả sử (X,) là dãy ĐLNN độc lập Khi đó 3`E|X,lŸ<œ thì

chuỗi Šˆ(X, — EX, )hội tụ hầu chắc chắn

3.4 Bổ đề Borel-Cantelli: Giả sử (X,) là dãy DLNN bất kỳ

a) Nếu XX, <œ hec thì

n=l

P(imsupX, }=0

b) Neu 2, X, = % Ace ya (X,) doc lap thi

lim —|}b,x,|Slim—]|}\(b,,, —b, JA, (1)

noe b, K=I now b, K=I Giả sử e>0 đã cho, 3n, :|A,|<e, với n>n, Khi đó với n>n,:

Từ (1)và (2) suy ra

Ma_ ES; 1, =E(S, +S, -S,)° -I,,

=ES‡I, +2 E(S, -S, )S,1,, +E(S, -S,)" 1,

> ES 1,

(vì (S,—§,) và§,1,, độc lap, E(S, -S,)=0 nen

E(S, -S,)S,1,, =E(S, -S,) ES,1,, =0).

Do d6: ES? > DES21, >e? DEI, =e) P(A,)=e°P(A)

3.7 Định lý: Giả sử (X,) là dãy các ĐLNN độc lập Lúc đó È`X, hội tụ

Khi đó với moi e>0, với mọi ổ >0, ổ<— tồn tại nạ sao cho:

Từ đó : lim rf sup |S, -S,,|> 2e)<

Vì >0 nhỏ tuỳ ý nên lim P(supB, -S,,|> 22 )=0

Vậy (S,) cơ bản h.c.c nên hội tụ h.c.c

b) Nếu với xác suất một dãy (X,) bị chặn đều, tức là tồn tại hằng số C

> 0 sao cho P(X,|<C)=l, Vn và nếu chuỗi YX, hoi tu h.c.c, thi

n=l

ŸEX?<œ

n=l

Chứng minh:

a) Do (X,) déc lap, EX, = 0, n = 1 nén day (S,) hoi tu theo trung bình

bậc hai nếu (7) được thực hiện

P{S,~S„`>e*]< —>0 khi m,n-—> œ

hay P{S,—S„|>e}—>0 khi m,n —> œ

Suy ra (S,) cơ bản theo xác suất nên hội tụ theo xác suất và do đó theo

Gia sử (X,) là dãy các ĐLNN độc lập với các moment bậc hai hữu hạn, (b,) là dấy hằng số sao cho 0 < b„ ?œ

Giả sử (X,) là dãy các ĐLNN độc lập cùng phân phối Khi đó

ˆ CC, (14)

n

khi và chỉ khi E|X,|<œ và a=EX,

Chứng minh:

a) Gia sit E/X,|<oo Dat X, =X, Ij, ).,) va X,=X, —X,

Vi >Plx, +0]= >'|x, I>n|E Px, l>nJEY yP[m<|x, |<m +1]

n=l m=n

=> mP[m<|X,|< m+] (15)

m=1

<EX Theo bổ đề Borel - Cantelli, với xác suất I chỉ có một số hữu hạn các

X, #0 Do đó:

yy >0 hee (16)

ni

Giả sử F(x) là hàm phân phối của X, Khi d6

DX,=E(X,} -(EX,)' <E(X,)° = [x°dF(x)

và ha frarey= >¬ "› [š'aœ=® J drwy

Kal k-1<|x]<k nak 1 n=l k=l k~I<\xi<k

lim —S` EX, = lim + ne "3 ee n-(n-l) -

Do đó với xác suất 1 chỉ có một số hữu hạn các biến cố |x,I>n| xảy

ra Theo bổ đề Borel - Cantelli:

Nhận xét: Néu EX, = a tồn tại nhưng không hữu hạn thì vẫn có

">a hice

n

That vay, gia st EX, =+ 0 (có nghĩa EX,<œ, EX;=œ)

Suy ra EX hitu han, véi X =X Ix <j, V6i_ C>0 bat ky

noo fT} noo

._ S, Suy ra lim—*>=+wœ=a h.c.c n3“ TỊ

Trường hợp EX,=— œ ta chứng minh hoàn toàn tương tự

Kết quả sau đây là mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov

3.12 Dinh ly (Marcinkiewiez - Zygmund)

Gia st (X,) 1a day các ĐLNN độc lập cùng phân phối,

sau: Giả sử Y,=n'“X I lX,|En tr”

Bổ đề được chứng minh

Bây giờ ta trở lại chứng minh định lý:

n n=l

§4 LUAT SO LON DOI VOI MARTINGALE 4.1 Luật yếu số lớn:

Giả sử {X,,F,,ne N}là martingale, do dụ = Xụ, d, =X,- X„., n=1,2,

là hiệu martingale tương ứng, và tb, Mà dãy số dương sao cho

b,†% khi n->œ Đặt: d, =d,I{d,|<b,} 0<i<n

Nếu:

Gi) yP{d)>b,}>0

i=0

Gi) bƑE(, IE,}— >0

đi) bị {Ed? -E|E(4,IE.,)Ï}>0thì ÍX„,E,neN} tuân theo i=0

luật yếu số lớn theo nghĩa b,'X ——>0, tức là b,'X, hội tụ theo xác suất tới 0

Ching minh: Dat X,,=).d,

Thật vậy, với e > 0 bất kỳ Theo BĐT Marcov ta có:

of Dk, -F(d, IF, ) > ) <e”bEl'Í4, -Eld, IF, iH

i=0

Suy ra b'X,—>50 Oo

4.2 Luật mạnh số lớn:

() Giả sử X=ÍX,,F,,neN} là martingale bình phương khả tích và giả

sử A={A,„,F,,neN}là dãy tăng, dự báo được sao cho A, >1, A„ =œ