Các định lý giới hạn hàm luật số với mảng các biến ngẫu nhiên

Bộ giáo dục đào tạo TRờng đại học vinh - NGUYễN vĂN Huấn CáC ĐịNH Lý GiớI HạN DạNG LUậT Số LớN Đối với mảng biến ngẫu nhiên Luận án tiến sĩ toán học Vinh - 2011 Bộ giáo dục đào tạo TRờng đại häc vinh - NGUN v¡N Hn C¸C ĐịNH Lý GiớI HạN DạNG LUậT Số LớN Đối với mảng biến ngẫu nhiên Luận án tiến sĩ toán học Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê to¸n häc M· sè: 62 46 15 01 Ng−êi h−íng dẫn khoa học: pgs ts Nguyễn văn quảng Vinh - 2011 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Nguyễn Văn Huấn ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn đầy trách nhiệm PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đặt tốn, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý PGS TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hòa, PGS TS Đinh Huy Hoàng, PGS TS Nguyễn Thành Quang, TS Lê Hồng Sơn, TS Vũ Thị Hồng Thanh, TS Thái Doãn Chương, TS Nguyễn Văn Dũng, TS Trần Giang Nam, HVCH Nguyễn Trần Thuận, nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báo Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Andrei Volodin (Đại học Regina, Canada) cộng tác viết báo, giúp đỡ tài liệu nghiên cứu thảo luận tốn có liên quan Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Toán học, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh - Khoa Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp - Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Nguyễn Văn Huấn iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Mảng hiệu martingale số bất đẳng thức moment 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.2 Mảng hiệu martingale 16 1.3 Một số bất đẳng thức moment 1.4 Kết luận Chương 18 27 Chương Luật yếu số lớn mảng phù hợp mảng phù hợp theo hàng 28 2.1 Luật yếu số lớn mảng phù hợp 28 2.2 Luật yếu số lớn mảng phù hợp theo hàng 41 2.3 Kết luận Chương 46 Chương Luật mạnh số lớn mảng biến ngẫu nhiên 3.1 Các khái niệm kết bổ trợ 47 47 3.2 Luật mạnh số lớn mảng biến ngẫu nhiên cho trường hợp n → ∞ 54 3.3 Luật mạnh số lớn mảng biến ngẫu nhiên cho trường hợp |n| → ∞ 3.4 Kết luận Chương 62 77 Kết luận chung kiến nghị 78 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 79 Tài liệu tham khảo 80 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N N0 R x := y n n−1 2n α αmin |n(α)| |n| n→∞ m n m n ∆(m) bn E x B(E) (Ω, F, P) EX I(A) h.c.c tr i tập hợp số nguyên dương tập hợp số tự nhiên tập hợp số thực x định nghĩa y phần tử n := (n1 , n2 , , nd ) ∈ Nd d phần tử := (1, 1, , 1) ∈ N phần tử n − := (n1 − 1, n2 − 1, , nd − 1) ∈ Nd phần tử 2n := (2n1 , 2n2 , , 2nd ) ∈ Nd phần tử α := (α1 , α2 , , αd ) ∈ Rd giá trị αmin := min{αi : i = 1, 2, , d} giá trị |n(α)| := nα1 nα2 nαd d giá trị |n| := |n(1)| = n1 n2 nd ni → ∞ với i = 1, 2, , d mi ni với i = 1, 2, , d mi < ni với i = 1, 2, , d ∆(m) := {k : 2m k 2m+1 } sai phân mảng {bn , n ∈ Nd } n ∈ Nd không gian Banach thực khả ly chuẩn phần tử x ∈ E σ-đại số Borel E không gian xác suất kỳ vọng biến ngẫu nhiên X hàm tiêu tập hợp A hầu chắn trang thứ i tài liệu trích dẫn kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Luật số lớn nói riêng, định lý giới hạn lý thuyết xác suất nói chung nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Luật số lớn có nhiều ứng dụng thống kê, kinh tế, y học số ngành khoa học thực nghiệm khác Chính vậy, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn to lớn 1.2 A N Kolmogorov người xây dựng lý thuyết xác suất phương pháp tiên đề thiết lập luật số lớn tiếng mang tên ông Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên tiếp tục nhiều nhà toán học J Marcinkiewicz, A Zygmund, H D Brunk, Y V Prokhorov, K L Chung, W Feller, quan tâm nghiên cứu Cho đến nay, nghiên cứu luật số lớn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.3 Đối với mảng biến ngẫu nhiên, cấu trúc nhiều chiều tập số làm nảy sinh nhiều vấn đề Trên tập số, quan hệ thứ tự thơng thường khơng có tính chất tuyến tính; ta xây dựng quan hệ thứ tự khác nhau; dạng hội tụ xét max tọa độ tiến tới vơ Các đặc điểm góp phần tạo nên tính đa dạng kết nghiên cứu luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên 1.4 Các luật số lớn cổ điển chủ yếu tập trung nghiên cứu cho dãy số biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị thực Một hướng phát triển luật số lớn cổ điển nghiên cứu luật số lớn dãy mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Các kết theo hướng nghiên cứu thường có mối liên hệ chặt chẽ với lý thuyết hình học Banach tạo giao thoa lý thuyết xác suất giải tích hàm Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Các định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach cho trường hợp: có khơng có điều kiện cấu trúc mảng biến ngẫu nhiên có khơng có điều kiện hình học không gian Banach Đối tượng nghiên cứu Luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả ly, mảng phù hợp, mảng hiệu martingale mảng hiệu martingale theo khối nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn, mảng biến ngẫu nhiên độc lập, độc lập theo khối mảng biến ngẫu nhiên p-trực giao theo khối nhận giá trị không gian Banach Rademacher loại p Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết thực đề tài Về mặt kỹ thuật, sử dụng ba phương pháp chứng minh luật số lớn Đó phương pháp chặt cụt, phương pháp sử dụng bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Hájek-Rényi phương pháp dãy Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu định lý giới hạn lý thuyết xác suất Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Luật yếu số lớn chứng minh nhà toán học người Thụy Sỹ J Bernoulli, kết công bố vào năm 1713 ông qua đời Về sau, luật yếu số lớn J Bernoulli mở rộng S D Poisson, J Bienaymé, P L Chebyshev, A A Markov A Y Khinchin Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn nhà toán học người Pháp E Borel phát kết A N Kolmogorov hoàn thiện (xem [1], [19]) Một kết sớm luật mạnh số lớn định lý F P Cantelli (xem [42]) Định lý phát biểu rằng: Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} độc lập thỏa mãn điều kiện ∞ n=1 n2 n n E(Xi − EXi )2 E(Xi − EXi ) + i=1 0, i d) Hệ kéo theo Định lý 3.1 [49] d = 2, α = 1, {Xn , n ∈ N2 } mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo khối có kỳ vọng Ngồi ra, phát biểu (i) hệ cịn tổng quát Định lý 3.1 [50] 3.3.14 Hệ Giả sử α = (α1 , α2 , , αd ) ∈ Rd , {Xn , Fn , n ∈ Nd } + mảng hiệu martingale theo khối khối ∆k , k ∈ Nd nhận giá trị thực (i) Nếu n∈N E|Xn |2