một số dạng định lí giới hạn trung tâm đối với martingale

Trang 1

Trang

LOi n6i dau cece eects 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên 5 1.1.1 Dinh nghĩa và ví dụ 5 1.1.2 Các tính chất c cà cĂ 6 1.1.3 Hàm phân phối 7 1.1.4 Kỳ vọng e nee Hs 8 1.1.5 Phương sai cu 10 1.1.6 Kỳ vọng có điều kiện 1.2 Hàm đặc trưng 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ 12 1.2.2 Các tính chất cà 12 1.3 Các dạng hội tụ ằ 12 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ 12 1.3.1.1 Định nghĩa 13 1.3.1.2 Các ví dỤụ HH nh nà nà 13 1.3.2 Tính chất con nền 14 Chương 2 Một số dạng định lý giới hạn trung tâm đối với martingalÌe HQ HH HH nh khe 15 2.1 Martingale .0 00 cece nent teenies 15 2.1.1 Dinh nghĩa dãy phù hợp 15 2.1.2 Các định nghia 15

2.1.3 Các tính chất cà 16

Trang 2

2.2.2 Định lý cece eet eee t een eens 17 2.2.3 HE qua ccc ence teen ent bene ees 18 2.2.4 Dịnh lý 2202202 c nh nhe 19 2.3 Dịnh lý giới hạn trung tâm đối với martingale 24 2.3.1 Dịnh lý 222cc nnnnnn nh nh nh Tnhh re 24 2.3.2 Nhận XẾẲ 2.0002 n nh nh nay 26 2.3.3 Hệ qUẢ Q00 2n nh nh he 26 2.3.4 Nhận XẾẲ 202000 n nh nh nhe 27 2.3.5 Dinh ly 0.00.0 0 ccc cece ccc cee ec cececeeceseseseesereres 28 2.3.6 Định nghĩa 29 PL? ¡0 a 29 2.3.8 Các hệ quả HH HH nh hà nà 31

2.4 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm 33

2.4.1 Mở đầu ence eee eee eee es 33

DAW VEU occ cece c cece cece ec eccecuceeuevevevevevecererees 33 2.4.3 Dịnh lý Q00 nh nh Tnhh nh nh nh ra 35 Kêt luận Q0 37

Trang 3

LOI NOI DAU

Lí thuyết xác suất là lĩnh vực toán hoc có cơ sở lí thuyết chặt chẽ,

được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học

xã hội, kinh tế, y học, sinh học

Dịnh lý giới hạn trung tâm là một trong những thành tựu quan trọng của xác suất Khi nghiên cứu về định lý giới hạn trung tâm, các dạng hội tụ đã được xét đến là hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ yếu Dồng thời, các đối tượng được xét không ngừng mở rộng Lí thuyết martingale đóng vai trò rất cơ bản trong lí thuyết xác suất hiện đại Ban đầu martingale bắt nguồn từ trò chơi Nhưng về sau, martingale được

phát triển thành một lĩnh vực toán học chặt chẽ, có nhiều ứng dụng

trong thống kê, giải tích hàm, phương trình vi phân, toán kinh tế, và gần đây có nhiều ứng dụng trong thị trường chứng khoán

Trên cơ sở đọc, tìm hiểu các tài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn

của PGS TS Nguyễn Văn Quảng,chúng tôi nghiên cứu đề tài "Một số

dạng định lý giới hạn trung tâm đối với martingale" Theo hướng

này, chúng tôi xét đến dãy martingale đối với các dạng hội tụ yếu trong

LẺ,

Luận văn được chia thành 2 chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ

bản của lí thuyết xác suất, cụ thể gồm: - Dại lượng ngẫu nhiên

- Hàm phân phối

- Các dạng hội tụ

Trang 4

Chương này là nội dung chính của luận văn, bao gồm các phần chính sau:

- Phan 2.1 Dinh nghia, vi du va tinh chat vé martingale

- Phan 2.2 Tinh 6n dinh va hoi tu trong L! cia martingale Trong phan này, chúng tôi đã giới thiệu và chứng minh một số kết quả về mối liên hệ

giữa hội tụ ổn định và hội tụ yếu trong L; cua martingale Do 1A dinh lý 2.2.2, hệ quả 2.2.3 và định lý 2.2.4 - Phần 2.3, chúng tôi chứng minh một số định lý giới hạn trung tâm đối với martingale - Phần 2.4, chúng tôi trình bày tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Dại Học Vinh dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy

đối với tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Phan Dức

Thành, PGS TS.Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hồ, các thầy cơ

giáo trong tổ Xác suất thống kê, khoa Toán, khoa Sau Dại học Dồng thời, tác giá xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn bè, đã quan

tâm, góp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các

bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2008

Trang 5

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Trang 6

Do d6, [4 là DUNN 1.1.2 Các tính chất 1.1.2.1 Dinh ly Anh za X : O-R là DLUNN khi uà chả khí oới Và € TR ta có X"!{(œ,a)] = {ø: X(œ< a)}€ Z Chitng minh: R6 rang (—o0, a) € B(R) (Va € R) Do dé, néu X là DUNN suy ra

fw: X(w <a)} = {w: X(w) € (—o0, a)} = X71 [(—00, a)] € F

Ngược lại, giả sử {œ : X(w <a)}eF,Vae R Dit K={C: Cc R;X~!(C) € F} Vi X71[(-00, a)] € F, Va € R nén suy ra (—oc,ø) € K,VaeR Mặt khác, K là ø-đại số vì: X-1{R) =O€ FsuyraRe K ii) Giá sử Ơ € K Khi đó A = X~!(Ơ) € Z suy ra X"!{R\@) = X"!{R)\ X"!(Œ)=9\AecZ Do vậy R \ C € 1 iii) Giả stt Cy, Cy, € X Khi đó ta có 4i = X~!(CI), A; = X~!(Œ), € Z Từ đó suy ra x1( Ù Cn) = Ù X~'(Œ,) = Ù An € F n=1 n=1 n=1 Suy ra [J2 ¡ Ch € K

Từ i), ii) va iii) suy ra là ø-đại số chứa (—oe,ø), Va € R, suy ra a{(-00, a), a € R} = B(R) C K suy ra B(R) C K Do do, néu vdi moi B thuéc B(R) thi B thuộc K, suy ra X~!(Ð) € 7

Vậy X là DUNN

Trang 7

max(X,0), X~ = max(—X,0) cting la DLNN

1.1.2.3 Hé qua 2 Gia st X la DLNN va f : ROR la ham do duoc

Khi đó, ƒ(X) là DLNN

1.1.2.4 Hệ quả 3 Gia sé X,,n € N la day DINN Khi do, inf X;, sup Xp limX,, limX,, (nếu hữu hạn), lim X„ (nếu tồn tại) cũng là DUNN

1.1.2.5 Hệ quả 4 Giá sử X là DUNN, X >0 Khi đó, tồn tại dấu

DLNN {X„} không âm sao cho X„ nhận hữu hạn giá trị X„ạ là DLNN a(X) - do được uà X„ † X

1.1.3 Hàm phân phối

1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là DUNN xác định trên (O, Z,ÏP) nhận giá trị trên IR Hàm số y(z) = P[X < z], (+ € IR) được gọi là hừm phân

phối của DUNN X

1.1.3.2 Ví dụ Giả sử A€ Z, X = lạ Khi đó: 0 nếu #ø < 0 F(x) = P(X<x) = P[X~!(—œ.#)]= $ 1-p nếu0<x< 1 1 nếu x>] 1.1.3.3 Tính chất a.0< F(z) < 1 b lim F{z):= F(=os)=0, lim Ƒ(z):= F(+œ) =1 z—~% — c Pia< a < b) = F(b) — F(a)

d F(a) lién tuc tai x thi p(a# = x) = 0 e e Néu X 1A DLNN réi rac

X| 1 2 " Ln

Trang 8

F(x) = Yep m<m e Nếu X là DLNN liên tục có ham mat do p(x) thi F(x) = J _ p(ĐÁt 1.1.4 Kỳ vọng

Giả sử (O,Z,P) là không gian xác suất X : Q—IR là DUNN Ki vong

của X, ký hiệu EX là một số xác định bởi công thức EX= | XảdP (nếu tồn tại)

2

e Cho X là DUNN và số r > 0 Khi đó, số

EX’ = J X*dP_ (nếu tồn tại) a được gọi là momen‡ cấp r của X e Số E|X —EX|"= J |X—EX|T4P_ (nếu tồn tại) 2 dude goi 1A moment trung tâm cấp r của Ä Các tinh chat 1 Néu X > 0 thi EX > 0 2 Néu X =C thi EX =C

3 Nếu tôn tại EX thì với mọi Œ € IR, ta có E(CX) = CEX 4 Néu ton tai EX va EY thi E(X +Y) =EX +EY

5

YS; Lip: nếu X rời rạc nhận các giá trị #1, #a, EX = véi P(X = 2;) =p;

Trang 9

Tổng quát: Nếu ƒ : —› R là hàm đo được và Y = ƒ(X) thì

5);ƒ()p¡ nếu X rời rạc nhận các giá trị #1, #a,

EY = với D(X = #¡) = p;

là ƒ(z)p(z)d+ nếu X liên tục có hàm mật độ p(z) 6 (Dịnh lý P Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu X„ † X (tương ứng X„ | X) va ton tain dé EX, < oo (tuong ting EX;! < 00) thi EX, | EX (tutong tng EX, | EX) 7 (Bổ đề Fatou) Nếu X„ > Y véi moi n > 1 va EY > —œ thì ElimX„ < lmEX„ Nếu X„ < Y với mọi ø > 1 và EY < œ thì ElimX, > imEX,,

Néu |X,| < Y vdi moi n > 1 va EY < oo thi

ElimX„ < limEX„ < limEX„ < ElimX,

Trang 10

1.1.5 Phương sai

Giả sử X là DUNN Khi đó số

DX =E(X-EX)? (nếu tồn tại)

được gọi là phương sai của Ä

Nhận xét

1) Moment bậc nhất chính là kì vọng

1) Moment trung tâm bậc 2 chính là phương sai

1.1.6 Kỳ vọng có điều kiện

a Định nghĩa Giả sử (O, Z, P) là không gian xác suất, X : O — IR là

DLNN kha tich (E|X| < 00) va G C Z Khi đó, DUNN Y gọi là kỳ vong

có điều kién cia X déi véi o-dai sé G néu: i) Y là đ- đo được; 11) Với mỗi A € G, ta có [ve- [ xav 4 ‘4 Ta thường ký hiệu Y = E(X/ở) hay Y = ESX b Chú ý

e Nếu X,Y là các DUNN đã cho trên (Q, Z,P) và đ là ø-đại số sinh bởi Y, thì E(X | đ) được ký hiệu là E(X | Y) và được gọi là kỳ vọng

điều kiện của DUNN X đối với DLNN Y

e Nếu Xị, X¿, là các DUNN xác định trên (O,Z,IP) và đ là o-dai số sinh bới chúng thì E(X | đ) được ký hiệu là I(X | Xì, Xa, )

e Nếu X = lạ, 44 € ở thì E(X | đ) được ký hiệu là P(4 | đ) và được gọi

Trang 11

c Các tính chất

Giả sử (O,Z,P) là không gian xác suất, các DUNN đều có kỳ vọng (khả tích hoặc nửa khả tích) và đ C Z Khi đó ta có các tính chất sau: 1 2 Ot ¬ Nếu E|X| < œ thì tồn tại duy nhất Y = E(X/ở) Nếu X = c là hằng số, thì E(X/G) =E(c/G) =c (h.c.c.) Néu X > Y (h c c) thi E(X/G) > E(Y/G) (h.c.c)

V6i moi a,b 1A hang s6 va aX + bY xac định ta có

E(aX + bY/G) = aE(X/G) + bE(Y/Q)

Néu X va G doc lap thi

E(X/G) = EX _ Ta c6 E[E(X/G)] = EX

Nếu X là đ-đo được thì

E(X/G) =X

(Tinh chat hit) Néu G, C Go thi

E(X/G1) = E[E(X/G1)/G2] = E[E(X/G2)/Gi)

Néu E|XY| < œ, E|Y| < œ, Y là đ-đo được thì

E(XY/G) = YE(X/G)

10 Giả sử py: R > IR là hàm lồi, và ¿(X) là DUNN khả tích Khi đó

Trang 12

1.2 Hàm đặc trưng 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ

1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử X là DUNN Khi đó, hàm số œ(@ = ¿xŒ) = E(e“*) = E(costX + isintX),t€R

được gọi là hờm đặc trưng của X Chú ý e y(t) © C: v(t) là hàm nhận giá trị phức Sel E Py, nếu X| 1 x2 " Ln y(t) = P| Pi p2 se Pn Jo et*p(x)dx néu X cé ham mat độ p(z) 1.2.1.2 Ví dụ Giả sử x} 0 1 Plo oq p

khi do, y(t) = e.g + ep = q+ pe"

1.2.2 Cac tinh chat

a pl) <1 9(0) <1

b pax so(t) = e™ px (at)

c Giả sử X,Y là các ĐLNN độc lập Khi đó

px+y(t) = ex(t)yy (t)

d px(t) = yy(t) & Fx(t) = Fy(t) va

X, 2X eS px, (t)hoyx(t), Vie R (khin—oo) 1.3 Các dạng hội tụ

Trang 13

1.3.1.1 Dinh nghĩa Ta nói dãy DUNN (X„,» > 1) hội tụ đến DUNN X (khi n—o) 1) hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P(lim |X„ — X| =0) = 1 Tì—>% esa hc Kí hiéu X, “5 X ii) theo „ác suất nêu với mọi e > 0 thì lim P(|X, — X| >) =0 noo Kí hiệu X„ > X iii) theo trung binh cap p (p > 0) néu lim E|X„ — XỊ? =0 £ Ki hiéu X,, —> X

iv) yéu (theo phan phối) nêu

lim F,,(a) = F(a) Va € C(F)

trong đó F,,(a) va F(x) tương ứng là hàm phân phối của các ĐLNN X„

và X, C(F) là tập hợp các điểm mà tại đó Ƒ(z) liên tục

Kí hiệu X„ 7: X

Chú ý

e Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ uới xác suất 1

e Hội tụ theo trung bình cấp p còn được gọi là hội tụ trong p

1.3.1.2 Các ví dụ

h.c.c h.c.c

Ví dụ 1 Cho X, —> X; Y, —> Y Khi do Xn + Yq, 22 X 4Y (khi noo)

Vi du 2 Cho ø €R và X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị 0 và ø với

xác suất tương ứng là 1 — 2 và 4 Khi đó

Trang 14

1.3.2 Tính chất

a X„ 2% X khi va chỉ khi với mọi e > 0

lim P(sup |X„ — X| > e) =0

noo m>n

b Giả sử X„ *ÊS5 X hoặc X„ “5 X Khi đó X„ ¬ X

c Gia sit X, “+ X, (X„) đơn điệu Khi đó X„ ““° x,

d Giả sử X„ -› X Khi đó tồn tại (X„x) C (X„) để X„y “?5 X

Trang 15

Chương 2 MỘT SỐ DẠNG ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM ĐỐI VỚI MARTINGALE 2.1 Martingale 2.1.1 Định nghĩa dãy phù hợp

e Dịnh nghĩa Giả sử (Z„) là dãy tăng các ø-đại số con của Z, (Xạ) là dãy DLNN Khi đó, dãy (Xa, Z„) được gọi là đấy phù hợp (tương thích) nếu X„ là Z„ đo được

Trang 16

Vi du: Gia stt X,, doc lap, EX, = 0, Fy, = 0(X1, , Xn); Sy = Xi+X¿+ + Xa, Khi đó i) (Xn, Fn) 1& hiéu martingale ii) (S;,F,) la martingale That vay 1) Ta có (X„,Z,) là dãy phù hợp (1) Mặt khác, ta có E(Xa¿i|Za) = X›+i = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có (X„, Za) là hiệu martingale

ñ)Vì Ai là Z¡ đo được mà Z¡ C Z7„ nên X¡ là Z„ - đo được

Tương tự, ta có X¿ là Z„ - đo được, , X;_¡ là Z„ - do được, X„ là 7, - đo được Do đó, S, = X1 + X¿ + + X„ là Z„ - đo được Mặt khác, ta lại có: E(Sa¿+1|Zn) = E(S» + Xn+i|Fn) = E(Sn|Fn) + E(Xn41|Fn) = Sn + EXn41 = Sn Vay (Sn, Fn) 1a martingale 2.1.3 Các tính chất

a (Xn, Fp) la martingale (martingale dưới, martingale trên, hiệu martingale) khi va chi khi (S,,, F,,) là dãy phù hợp và E(X„,|Z„) = Xn, Vm >

n (E(XnsilFn) 2 Xn: E(XnsilFn) S Xn E(Xn+1|Fn) = 0)

b Gia stt (X,, Fp) la martingale Khi đó, (EX„) là dãy không đổi, tức la EX, = EX) = =EX, =

Trang 17

d Gia sit (X,, F;,) la martingale trén Khi do, (EX,,) la day khéng tang,

tite la EX;,4) < EXy

f (X,,F,) la martingale, f : ROR là hàm lồi Khi đó, (ƒ(X,).Z„) là

martingale dudi

2.2 Sự ổn định và hội tụ yếu trong L; cia martingale 2.2.1 Định nghĩa Giả sử Y„ là dãy DUNN xác định trên không gian xác suất (Q,Z,IP) hội tụ yếu đến Y Ta nói hội tụ là ổn định nếu với

mọi điểm liên tục ¿ của Y và với mọi € 7, giới hạn

lim P({Y„ <y}n E) =Q,(#)

ns

tồn tại và nếu Q„()—>P(#) khi —>œ

Kí hiệu Y„ “+ Y (6n dinh)

Ta nói dãy DUNN {Z4} hội tụ yếu trong Lị đến DUNN khả tích Z trong (O, Z,P) nếu với mọi ⁄ € 7 ta có

E[Z,1(E)|~E(Z1(E)]

Kí hiệu: Z„—>Z (yéu trong L;)

Néu exp(itY,,)—exp(itY) (yéu trong L) véi mdi s6 thuc t thì ta có

Yn SY

Trang 18

Nếu Y’ doc lap va exp(itY,,)— Z(t) = exp(itY’) (yéu trong Ly), vi mdi

Trang 19

Hon nifa, tit (*) ta có

Loe 1 v2

T,(W — czp(— sn t )) =lj— Tnexp(— s) #) Khi đó, kết hợp với điều kiện (2.1) và (2.2) khi max;|X„;| < 1 và

| » r(Xnit)| < HỆ » Xnil?

< |t{'(max |Xni|)(S > X2,) + 0 (chi n—o0)

Suy ra W,, — exp(—41°#?) *, 0 Tw dé suy ra

Loy ‘

E(Ta(W, — ezp(~ an! )1() —0, (2.5)

Kết hợp (2.4) và (2.5) suy ra

E(T;1(E))—E Œ1(E))—>E(czp(— sự £ )T(E) 1, ?2)1(E

Vay ta cé Siz, 42 (ổn định), trong đó Z = Elezp(—š???)] " 2.2.4 Dinh ly Gia st? {Sni, Fini, 1 < i < kn,n > 1} là mảng martingale

ki vong khéng Xni = Sni — Sng—1 va n? bi chan (h.c.c) Gid st ring

max |X| +0 (2.6)

3X? ^ (2.7)

Edmax XÃ) <®% (2.8)

uà ơ-đại số Fri C Fryig voi 1 <i<ky, n> 1 (2.9)

Khi d6, Sup, = 3) Xm 4 Z trong dé Z = Elexp(—$nt?)] i

Chitng minh:

Trang 20

Dat ta = Xnil ( Si < 20) = » Xu: j=l Khi dé {S’,, F,:} 1&8 mang martingale Mặt khác, từ P(X), A Xni, Vi < kn) < P(Uïy, > 2e)—0, (2.10) Suy ra P(Shx,) z Snk, ) < PẦU, {Xi z Xu) <3 ru mí 3E mi)—0 Do đó, suy ra

E exp(itS),.,) — exp itSn,)| 0

Do đó, việc chứng mình S},,, 417 (ổn định) tương đương với việc chứng

mình 5S LZ (ổn định)

Trang 22

Do đó, ?„—0

Vì vậy ta có

E[7/I(E)]—P(Œ) (2.11)

Dat Fa = UJƑ Z;¿, là ø-đại số sinh bởi [J2 ¡ Z„ Cho E’ € Fy và e> 0,ồn tại m và E € Z„„„ sao cho P(WAPF) <e

Từ đó, suy ra

IE[771(E)] - E[T,1(E)]| < EJ1711(EAE'))]

Do đó

sup [E[7,/(E)] - E[T,I(E)]| < s Tiếp theo, từ (2.11) và #' € Z suy ra

E[T,I(E)]—¬P(Œ') Từ đó, suy ra với X là Z đo được ta có

BỊ7/X]—EX

Cuối cùng, nếu # € Z thì

E(T,!(E)| — B[TEU(B))| Foo] RIEU (E)) Fx] = P(E)

Trang 23

Xn = Xnil (S>X2, < C) j=l g ni = SOX ny Khi đó, {57„;,Z„;} là mảng martingale và các điều kiện (2.6), (2.8) và (2.10) đều thỏa mãn Tiếp theo, ta có Xn) IQ Xm $C) )+C1( (Xn <C) sD < (0X3) 12 Xn <C)+(C+max X?,)I MỘ_ Xó >C) Từ giả thiết suy ra Vi vậy, ta có VỚI Ne bi chan h.c.c Ta sé chttng minh S”,, 4 Zc (én dinh) trong dé Zo = Eexp(—$n#?) Véi E € F ta cé

E|I(E)ezp(0'Su,)| — EII(E)ezp(_ gu? )|| <

Trang 24

Hon nita P(Snz,, 4S” nk,) < P(X" ni A Xniz Vi mdi i) < P(u, > Œ)—P(†Ÿ? > C) <e Do đó, với mọi e > 0 ta có lim sup |EII(E)ezp(5,)| — EI(E)exp(~sn?)| < 4c noo Theo dinh ly 2.2.2 ta có 8”, S Ze (6n dinh), trong dé Zc = Elexp(—45n7#”)] =

2.3 Dinh ly giới hạn trung tâm đối với martingale Trước hết chúng ta nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm đối với các DLNN độc lập Giả sử với mỗi nø, các DUNN X„, Xa„, , X„„ độc lập va EX hn = 0, (k = 1,2, ,m) ) D(Xin) =1 k=1 (2.12) Dat n Sn = So Xin on = D(Xin),k <n k=1

2.3.1 Dinh ly Gia st {Xin k = 1,2, ,n},n = 1,2, là day các

Trang 25

trong đó, hạ(£) = max(#, |f|”), ø(f) = max(z?, |z|?), z, c R Diéu sau cing dang vi M?—0 Con lai, ta phải chứng tổ

max Tin 20

Trang 26

Thật vậy, với 0 < e < 1 tùy ý ta có

Từ bất đẳng thức trên vì M0 nén suy ra Lÿ`(e)—0

2.3.3 Hé qua (Dinh li Linderberg) Gia sit day {Xin, k = 1,2, ,n}

la day DLNN déc lap théa mén (2.12) va théa man diéu kién Linderberg

Trang 27

Khi đó Fs, (x)->®(x) déu theo x Chitng minh: Trước hết, với s > 2 và 0 < e < 1 ta có: n Mẹ?) = À `Emin(Xế,, |[Xe»|`) k=1 n n < SS EX, Xin] > €) + SS E(X},, |X¿s| < £) k=l k=l < Le) + c$”2

limM? < z°*? + lim LỆ)(e) = e*”? n n

Do e > 0 nhỏ tùy ý nên ta cé lim, MẸ? =0

Kết hợp (2.12) và áp dụng định lý 2.3.1 ta có F„(z)—>®(z) đều theo z

a

2.3.4 Nhận xét

a) Từ nhận xét 2.3.2 và chứng minh trên ta thấy nếu (2.12) được thỏa mãn thì (2.13) tương ứng với điều kiện Linderberg

b) Giả sử (Xz) là dãy DUNN độc lập có kì vọng và phương sai hữu hạn Dặt

x (X, — EX) n

St= ——p—— B= » D(X;)

Khi đó, nếu với e > 0 bất kỳ

ø DPI — EX,)?, |X, — EX;| > ¢B,J0 (2.18)

thì Fs;¿(+)—>®()

Thật vậy, ta đặt

Trang 28

Khi đó, dãy {Xz„,k = 1,2, ,n},m > 1 thỏa mãn (2.12) và (2.17) Do

đó, áp dụng hệ quả (1) thì ta có Fs (+)—>®(z)

c) Néu (X;) là dãy DUNN độc lập cùng phân phối với kỳ vọng chung là a, cing phương sai là ø? thì: _— Xi+X¿s+ + X„— na avn có phân phối hội tụ đều đến phân phối chuẩn (0, 1), tức là Sh lim sup |#;(z)— ®(z)|=0, NX 90 <a<c0 trong dé, F,,(x) lA ham phân phối của S7 và 1 rT 2 ®(z) =—— e 2 dt ( ) Vv 27 IR

2.3.5 Dinh ly Gia st? (Spi, Fri, 1 € ? < k„y¿n > 1} là mảng martingale

Trang 29

Hơn nữa, do X là z-đại số Z đo được nên

—l s„

Elezp(i5,„)X]—E lezp(f)X]

Dat X = exp(iuy+ ivI(E)), trong dé u và o là các số thực cho trước và

e7 Khi đó

(Sky+ ts [(E)) (HN, 1(E)),

trong đó, là phân phối chuẩn độc lập với (, 1(E)) Tit do suy ra - d (uw Snp,, [(E)) “› (N, 1(E)) Vì vậy, ta có ai v1(E) “ (N,I(E)) a

2.3.6 Dinh nghia Cho {Sni, Fri, oo < i < oo} 1& martingale vdi ki vọng 0 Với mỗi › > 1 và giả sử rằng

sup E(S?,) < 00

ni Dat Xi — Shi — Sh, i-l:

- Néu gidi han Sno = = limjsoo Si V8 Š„_„ = lim; „ 5„¡ tồn tại thì

chuỗi vô hạn » Xj hội tụ h.c.c đến Spo — Sy

i=—œ

- Nếu %„_ =0 h.c.c thì 3, = SX, hee

Trang 30

E(sup X?.) < 00 i va vdt moi n vat, Fri C Fri, thi Snoo 2 Z2 khin—oo, trong đó, Z = Eexp(—4nt?) Néu 1? > 0 h.e.e thà Snso/Unse “> N(0,1) Chitng minh: Ti E(sup; X2,) < œ ta có thể chọn liên tiếp {a„} và {b„} là dãy tăng dan dén oo Ta có E( S$) Xi, + 5 Xj) 0 khi noo (*) i<—ay, ?>b„ Dat kin =A, + bạ, i~an Thi = ` Xnj 1 << kn, 7=l~an Cứi = Ta¿-a, L <S ? < kạ

Khi d6, {Thi,Gni, 1 < i < kn, n > 1} 1& mang martingale, mang này

thỏa mãn điều kiện của định lý 2.2.4 Vì vậy ta có:

Trang 31

Néu P(n? > 0) = 1 thì mảng trên thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.3.5 Vì vậy, ta có bn Tu, /( 3) Xã)” ® N(0,1) i=l-„ Do đó, từ (#) suy ra Snoo/Unoe “+ N(0, 1) 2.3.8 Một số hệ quả e Giả sử Sạ, Z„,m > 1 là martingale ngược với kì vọng không Dặt S? = E(S?) va X, = Sy — Spy, n> 1 Giả sử rằng So = lim S;, = 0 h.c.c Néu E(S;° sup X;)0 7z>n va œ S1 X? ^ i=n thi $7 1S, 4, Z, trong đó Z = Eeap(—47t?) Chitng minh: Dat 51/5; và đ„; = Fi néui < —m ue S18, va Gri = Fon néui > —n

Khi đó {7¡,„;,—oo < ¡ < oo,n > 1} 1A mang martingale thoéa man các điều kiện của Dịnh lý 2.3.7 Do đó, áp dụng định lý 2.3.7 ta suy ra

Trang 32

n e Gia st {Sho = SO Xi, Fn, n > L} là martingale với kì vọng không va ial gia stt rang SEX? < 00 i=1 Ki hiéu œ =À`EXỷ i) Néu S71 sup |X| *.0, i>n E(S;?sup X?) < œ i>n va œ Sy? SX? Sa? i=n thi œ S11 EX,° Z i=n trong đó Z = Eezp(— 1P) ii) Nếu P(ø? >0) = 1 thi = 1 (Sox (ox) 4 % N(0,1) Chứng mình: i) Dat SO Xi Fri = Fayi,i > 1 0, Z2; = {0,O},¿ < 0 ni =

Khi đó {X„;,Z„¡} là mảng martingale théa man các điều kiện của định

lý 2.3.7 Do đó, áp dụng định lý 2.3.7 ta có điều phải chứng minh

Trang 33

2.4 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm 2.4.1 Mở đầu Giả sử Xị, Xa, là dãy DLUNN độc lập với kì vọng không và bị chặn sup E|X„|” < ø 1<n<oo Khi d6, v6i moi n ta có | 1 sup |Pứ? SOX: <#)— ®()| < Cn-?p —00 <ar<oo trong đó ® là hàm số và Œ là hằng số

Do là một dạng của định lý Berry - Essen Dịnh lý đó cho ta tốc độ

hội tụ của P(n= » X; < x) đến ®(z+) trong định lý giới hạn trung tâm

đối với dãy DLNN doc lap

Trong phần này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tốc độ hội tụ trong định lý

giới hạn trung tâm đối với martingale

2.4.2 B6 dé Gid sti W(t),t > 0 la qué trink Wiener va T la mét sé

Trang 34

Suy ra P(W(T) < z) —®(#)— P(T~— 1| >e) <—° %(ũ —£)~?(œ-+£3z)) — O(n) edz < mole te + 2e2 to et dZ < z2((2e)~? + Qn-2) < (2e)? Do đó, P(W(T) < z) - ®(z) < (9e)? + P(|T ~ 1| > e) (2.20) - Nếu e > 3, tương tự ta có: P(W(7) < z) > P(W(T) < z:|[T — 1| < e)— P([T ~ 1| > e) > P( sup YE(T) < #) — P(T ~ 1| > £) |t-1|<2 > ®(z) — (2z)? — P(|T — 1| > e) (2.21) Từ (2.20) và (2.21) ta suy ra |P(W (7) < z) — #®(z)| < (22)? + P(|T — 1] ><) a

Trang 35

i 2.4.3 Định lý Gia st S; = > Xj,Fj,1 <i <n la martingale vdi ki 1 vong không, 7; là ø-đại số sinh bởi X\, X; Dặt V2 = SO E(X7|Fj-1), 1 <i <n, 1 va gid sit rang vdi moi a > 0, M,C, D là các hằng số sao cho max E[exp(|n?X;|*)] <M (2.23) va P{\? —1|> Dn“? (logn)?**) < €n~1(logn)!*2 (2.24) Khi d6, vdi n > 2 sup |P(S» <x) — ®(x)| < An"*(logn)!t? (2.25) —%<+z<% Chitng minh: Chú ý rằng sup ø?e"” = ;? >0 Vì vậy, với mọi # > 0 taco x? < p?e~?e* e? Do đó ta có nPE|X;|?P = E|(|n2 X;|*)* ] 2) 2» _>p ()#ŸM (do áp dụng (2.23)) IA Mặt khác, với ø và b là hằng số không phụ thuộc vào n , ta dinh nghia 2p 1

P(\In — Val > A) < a(bp**!)* p?n7 7A

Trang 37

KET LUAN

e Những kết quả đạt được của luận văn:

1- Trình bày có hệ thống một số kiến thức cơ bản về đại lượng ngẫu

nhiên, hàm đặc trưng và các dạng hội tụ

2- Trình bày các khái niệm về martingale, tính chất của martingale

và các khái niệm về sự ổn định và hội tụ yếu trong L¡ của martingale

3- Chứng minh một số định lý về mối liên hệ giữa hội tụ là ổn định

yà hội tụ yếu trong Lị¡ cia martingale

4- Chứng minh một số định lý giới hạn trung tâm đối với martingale, đó là định lý 2.3.5 và định lý 2.3.7

5- Trình bày tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm đối với martingale

e Hướng phát triển của luận văn

Tiếp tục nghiên cứu sự ổn định và hội tụ trong Lạ của martingale va

Trang 38

TAI LIEU THAM KHAO

[1] Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình zác suất, NXB DHQG Hà Nội, 2007

|2| Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết sác suất, NXB Giáo

dục, 2000

[3] Y S Chow and H Teicher, Probability theory, independence, in-

terchangeability, maitingale, Springer - Verlap, Berlin and New York, 1988

[4] Y S Chow, A martingale inequality and the law of large numbers,

Proc Amer Soc.11, 1960

[5] P Hall, C.C Heyde, Martingale limit theory and its application,

Academic press, Inc New York, 1980

[6] D Wiliams, Probability with martingale, Cambridge University, Press

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	5,25 MB