Tốc độ hội tụ trong một số định lý giới hạn trung tâm theo trung bình của dãy biến ngẫu nhiên martingale

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI H C ĐÀ NẴNG LÊ TH THÚY QU NH T C ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT S Đ NH LÝ GI I HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH CỦA DÃY BIẾN NG U NHIÊN MARTINGALE LU N VĂN THẠC SĨ KHOA H C ĐÀ NẴNG, 05/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI H C ĐÀ NẴNG LÊ TH THÚY QU NH T C ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT S Đ NH LÝ GI I HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH CỦA DÃY BIẾN NG U NHIÊN MARTINGALE Chuyên ngành : Ph Mã s ng Pháp Toán S C p : 60.46.01.13 LU N VĂN THẠC SĨ KHOA H C Giáo viên h ng d n: TS LÊ VĂN DŨNG ĐÀ NẴNG, 05/2015 L I CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu c a riêng tơi Các s li u, k t qu nêu luận văn trung thực chưa đư c công b b t kỳ cơng trình khác Tác gi luận văn Lê Th Thúy Qu nh MỤC LỤC MỞ Đ U CH NG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN B 1.1 KHÔNG GIAN XÁC SU T 1.1.1 Phép thử 1.1.2 Không gian m u 1.1.3 Đ đo xác su t 1.2 BI N NG U NHIÊN VẨ CÁC TệNH CH T LIÊN QUAN 1.2.1 Bi n ng u nhiên 1.2.2 C u trúc c a bi n ng u nhiên 1.2.3 Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên 1.2.4 Phân ph i chu n 1.2.5 Tính đ c lập 1.2.6 Khái ni m h u chắn 1.2.7 Kỳ vọng 10 1.2.8 Phương sai 11 1.2.9 Đ l ch tiêu chu n 11 1.2.10 Kỳ vọng có điều ki n 11 1.2.11 Không gian Lp 13 1.3 MARTINGALE 13 1.3.1 Đ nh nghĩa 13 1.3.2 Các ví d 14 1.3.3 Các tính ch t 15 1.3.4 Hi u martingale 16 1.3.5 Đ nh lỦ Burkholder Đ nh lỦ Fubini 16 1.4 CHU N Lp (0< p ≤ ∞) TRÊN KHÔNG GIAN HÀM PHÂN PH I XÁC SU T C A CÁC BI N NG U NHIÊN CỐNG XÁC Đ NH TRÊN M T KHÔNG GIAN XÁC SU T 17 CH NG X P XỈ PHÂN PH I CHUẨN Đ I V I TỔNG DÃY BIẾN NG U NHIÊN HIỆU MARTINGALE 22 2.1 Đ NH Lụ GI I HẠN TRUNG TÂM 22 2.2 T C Đ H I T TRONG M T S Đ NH Lụ GI I HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH Đ I V I DẩY BI N NG U NHIÊN HI U MARTINGALE 23 KẾT LU N 40 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 QUYẾT Đ NH GIAO ĐỀ TÀI LU N VĂN (B n sao) NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN E(X) E(X|G) h.c.c N R (Ω, F, P) X p V ar(X) Kỳ vọng X Kỳ vọng điều kiện X với G cho Hầu chắn Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Không gian xác suất đầy đủ Chuẩn bậc p X Phương sai X MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các định lý giới hạn lý thuyết xác suất nói chung định lý giới hạn trung tâm nói riêng đóng vai trò quan trọng phát triển lý thuyết thực hành xác suất thống kê Đối với dãy biến ngẫu nhiên không thỏa mãn điều kiện độc lập phân phối xác suất tốc độ hội tụ định lý trung tâm đóng vai trị cốt yếu toán thống kê Hiện giới có nhiều tác giả nghiên cứu toán tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm như: Erich Haeusler (University of Munich), Erwin Bolthausen (Technische University of Berlin), Larry Goldstein (University of Southern California), J.Sunklodas (Vilnius University), .Trong nhóm nghiên cứu Đại học quốc gia Singapore, đứng đầu Giáo sư Louis Chen có nhiều kết tiếng xấp xỉ phân phối chuẩn phương pháp Stein Trong định lý giới hạn lý thuyết xác suất định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò quan trọng nghiên cứu thống kê ứng dụng Tuy nhiên tốn thống kê nói chung khơng cho phép nghiên cứu với cỡ mẫu lớn vơ hạn, tốn “xấp xỉ phân phối chuẩn” cho phép ước lượng cỡ mẫu cần thiết để áp dụng định lý giới hạn trung tâm Bài toán “xấp xỉ phân phối chuẩn” Định lý Berry-Essen Nội dung Định lý Berry Essen: E(|X1 − µ|3 ) X1 + + Xn − nµ √ √ < x) − Φ(x)| ≤ C sup |P ( nσ nσ x∈R Trong Φ(x) hàm phân phối chuẩn tắc Có số hướng nghiên cứu định lý là: - Hướng thứ nhất: Ước lượng số C Vì kích thước mẫu n tỉ lệ thuận với số C nên ước lượng số C bé tốt (Essen C > √12π ) - Hướng thứ hai: Đánh giá xấp xỉ với khoảng cách khác chuẩn sup, chẳng hạn chuẩn Lp , khoảng cách tổng biến phân, khoảng cách Wasserstein, khoảng cách Kolmogorov- Smirnov, - Hướng thứ ba: Thay điều kiện ngặt nghèo đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất điều kiện yếu m-phụ thuộc, phụ thuộc âm, martingale, - Hướng thứ tư: Xem xét xấp xỉ cho trường hợp nhiều số Trong luận văn nghiên cứu theo hướng kết hợp hai hướng hai ba (Nghiên cứu xấp xỉ dãy martingale theo chuẩn L1 ) Hơn việc nghiên cứu xấp xỉ phân phối chuẩn tổng đại lượng ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng, có ý nghĩa thúc đẩy việc nghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê, ứng dụng thống kê vào sống, đúc kết kinh nghiệm giảng dạy xác suất thống kê Chính vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: Tốc độ hội tụ số định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên martingale Mục đích nghiên cứu Đưa số kết toán xấp xỉ phân phối chuẩn dãy trường martingale Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Giải toán xấp xỉ phân phối chuẩn dãy biến ngẫu nhiên martingale theo chuẩn L1 Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu, sau hệ thống kiến thức - Khảo sát, phân tích, tổng hợp tài liệu để chuẩn bị cho đề tài - Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp để thực đề tài Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, ký hiệu dùng luận văn chương: Chương Trình bày số kiến thức sở Chương Trình bày kết đề tài: Xấp xỉ phân phối chuẩn tổng dãy biến ngẫu nhiên hiệu martingale CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, tơi trình bày số kiến thức sở dựa tài liệu tham khảo [1] 1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 1.1.1 Phép thử Trong tốn học có khái niệm khơng có định nghĩa mà mơ tả chúng hình ảnh tư trực quan Chẳng hạn hình học khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng khái niệm khơng có định nghĩa Trong xác suất, khái niệm phép thử khái niệm định nghĩa Ta hiểu phép thử việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay không Phép thử gọi ngẫu nhiên ta khơng thể dự báo trước xác kết xảy ta thực phép thử 1.1.2 Khơng gian mẫu Tập hợp tất kết xảy phép thử ngẫu nhiên gọi không gian mẫu Ta thường kí hiệu Ω Cho khơng gian mẫu Ω Ta xét lớp F tập Ω thỏa mãn điều kiện: + ∅ ∈ F + Nếu A ∈ F Ac ∈ F + Nếu A1 , A2 , , An , ∈ F ∞ n=1 An ∈ F Lớp F gọi σ-đại số tập Ω 1.1.3 Độ đo xác suất Cho F σ-đại số Ω Một hàm tập hợp P : F → R gọi độ đo xác suất thỏa mãn điều kiện sau: + Với A ∈ F, ≤ P(A) ≤ + P(Ω) = 28 Fn − Φ ≤ C √ n Chứng minh Lấy Z1 , Z2 , , Zn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc độc lập với {Xn}, η biến ngẫu nhiên độc lập với độc lập {Xn} độc lập với {Zn}, có phân phối chuẩn với kì vọng phương sai Var(η) = σ Đặt s= √ nσ, λ2m = ((n − m)Y + σ /nσ , Um = s−1 (X1 + + Xm−1 ), Z = (Z1 + + Zn )Y /s, Wm = s−1 ((Zm+1 + + Zn )Y + η) Trên σ- đại số σ(Fn+1 , Zm ), Wm có phân phối chuẩn với kì vọng phương sai λ2m , Z có phân phối chuẩn tắc Do áp dụng Bổ đề 1.4.4 ta có √ Fn − Φ ≤ F(S+η)/s − F(Z+η)/s + C/ n Mặt khác, theo Định lý 1.4.1 ta có F(Sn +η)/s − F(Z+η)/s = sup |E(f ((Sn + η)/s)) − E(f ((Z + η)/s))| , f ∈Λ1 Λ1 tập tất hàm 1-Lipsit từ R vào R Bây với f hàm 1-Lipsit từ R vào R tùy ý ta có: E(f ((Sn + η)/s)) − E(f ((Z + η)/s)) = n = m=1 n = m=1 n = m=1 {E(f (Wm + Um + Xm /s)) − E(f (Wm + Um + Y Zm /s))} {E(f ∗ ϕλm (Um + Xm /s)) − E(f ∗ ϕλm (Um + Y Zm /s)} {E(gm (Um + Xm /s)) − E(gm (Um + Y Zm /s)}(gm = f ∗ ϕλm ) 29 n Y Zm − Xm ′′ Y Zm ′′ = E( )gm (Um ) − E( )gm (Um ) s s m=1 n (Y Zm )3 ′′′ gm (Um − θm Y Zm /s)) + E( s m=1 n Xm ′′′ ′ − E( gm (Um − θm Xm /s)) s m=1 Trong ϕλm hàm mật độ phân phối chuẩn có kì vọng độ lệch chuẩn λm Vì Um λm F m−1 - đo được, F¯m = σ(Fm , Y ), nên E(Xm |Fm−1 ) = E(Y Zm |Fm−1 ) = E(Y Zm |F m−1 ) = ′′′ ′′ ′ |F m−1 ) = Y Hơn gm ∞ ≤ f ∞ ϕλm ≤ Cλ−3 E(Xm m , nên ta có: n |E(f ((Sn + η)/s))−E(f (( Y Zj + η)/s)| j=1 n n |Xm |3 |Y Zm |3 ≤ E( 3 ) + E( 3 ) λ s λm s m m=1 m=1 n ≤ + E( m=1 n E( γ3 ((n − m)Y + σ )3/2 ) σ3 ) )3/2 ((n − m)Y + σ m=1 σ3 γ3 ≤ CE( 3/2 1/2 ) + CE( 3/2 1/2 ) Y n Y n C ≤√ n Định lý chứng minh Định lý 2.2.10 Cho < γ < ∞ Nếu (Xj ; ≤ j ≤ n) có X ∞ ≤ γ V = h.c.c tồn số < C < ∞ thỏa mãn bất đẳng thức sau FS/s − Φ ≤ Cγ n log n/s3 30 Chứng minh Với n ∈ N, s > γ > đặt G(s, γ) = { X=(X1 , ,Xn ) : Sn =s, X ∞ ≤ γ,V2 =1 h.c.c}, ∆(n, s, γ) = sup{sup |E(f (Sn /s)) − E(f (N ))| : X ∈ G(s, γ)} f ∈Λ1 Rõ ràng ta có ∆(n, s, γ) ≤ ∆(n − 1, s, 2γ) Với X ∈ G(s, γ), khơng tính tổng qt ta giả sử γ ≤ Lấy Z1 , Z2 , , Zn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc, lấy η biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng phương sai k cho η độc lập với Xn Zn k chọn phù hợp cho k > 2γ Đặt m−1 Um = Xj /s, j=1 n Wm = ( σj Zj + η)/s, j=m+1 n λ2m σj2 + k )/s2 =( j=m+1 Trên σ- đại số σ(Fn+1 , Zm ), Wm có phân phối chuẩn với kì vọng phương sai λ2m , nj=1 σj Zj /s có phân phối chuẩn tắc Từ ta có: FS/s − Φ ≤ F(S+η)/s − F( n j=1 σj Zj +η)/s + Ck/s (2.7) Bây ta xét biểu thức thứ bên phải (2.7) Với ϕλm (x) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Wm f hàm 1- Lipsit tùy ý ta có : n E(f ((S + η)/s)) − F (f (( σj Zj + η)/s)) = j=1 n = m=1 { E(f (Wm + Um + Xm /s)) − E(f (Wm + Um + σm Zm /s)) } 31 n = m=1 n = m=1 { E(f ∗ ϕλm (Um + Xm /s)) − E(f ∗ ϕλm (Um + σm Zm /s) } { E(gm (Um + Xm /s)) − E(gm (Um + σm Zm /s) } ( với gm = f ∗ ϕλm ) n 2 σ m Zm − Xm σ m Zm − X m ′ ′′ = E{( )gm (Um ) − E( )g (Um ) m s s m=1 (σm Zm )3 ′′′ Xm ′′′ ′ + g (U − θ σ Z /s) − g (U − θ m m m m m m m Xm /s)} s3 s3 m Vì Um λm F m−1 - đo được, F¯m−1 mở rộng Fm−1 nên E(Xm |F¯m−1 ) = E(σm Zm |F¯m−1 ) = 0, E(σm Zj2 |F m−1 ) = E(Xj2 |F m−1 ) = σj Từ ta có hai tổng bên vế phải đẳng thức ′′′ ′′ Hơn từ gm (x) = f ′ ∗ ϕλm (x), ta có: n |E(f ((S + η)/s))−E(f (( σj Zj + η)/s))| j=1 n |σm Zm |3 ′′′ ) gm (Um + θσm Zm /s) ≤ {E( s m=1 |Xm |3 ′′′ + E( ) gm (Um + θσm Zm /s) } s n ′ ′′ ≤ 3{ E|Xm |3 f ∗ ϕλm (Um − θm Xm /s) )} 6s m=1 n ′ ′ ′′ E|σm Zm |3 f ∗ ϕλm (Um − θ m σm Zm /s) )} + 3{ 6s m=1 := (I + II) 6s3 Ta định nghĩa dãy thời điểm dừng Tj (1 ≤ j ≤ n), (2.8) 32 T0 = 0, n Tj = inf{ k: i=1 σi2 ≥ j/n } , với ≤ j ≤ n − 1, Tn = n Ta có: n m=1 E(|Xm |3 |f ′ ∗ ϕ′′ λm (Um − θm Xm /s)|) Tj n = E( j=1 m=Tj−1 +1 |Xm |3 |f ′ ∗ ϕ′′ λm (Um − θm Xm /s)|) (2.9) Nếu Tj−1 < m < Tj n λ2m ≥( j=Tj +1 σj2 + k )/s2 ≥ (s2 − js2 /n − γ + k )/s := λ2j n λ2m ≤( j=Tj−1 +1 σj2 + k )/s2 ≥ (s2 − (j − 1)s2 /n + k )/s2 := λj Do ta đặt m−1 Rm = i=Tj−1 +1 Xi , Amt = { |Rm | ≤ 12 UTj−1 +1 − t } với t ∈ R Ta định nghĩa hàm số ψ : R → R xác định : ψ(x) = sup{ ϕ (y) : |y| ≥ |x| /2 - 1} ′′ Với t, ′′ ϕ( UT +1 − t Um − t θ m X m − ) ≤ ψ( j−1 ) λm λm s λj thỏa mãn Amt ∩ {Tj−1 ≤ m ≤ Tm} Nên ta có, Tj E( m=Tj−1 +1 |Xm |3 |f ′ ∗ ϕ′′ λm (Um − θm Xm /s)|) 33 Tj ≤ γE( |f ′ ∗ ϕ′′ λm (Um − θm Xm /s)|) Xm m=Tj−1 +1 Tj ≤ γE( | Xm m=Tj−1 +1 ∞ −∞ Tj ≤ γE( Xm | m=Tj−1 +1 Tj + γE( m=Tj−1 +1 | Xm Tj ≤ γE( −∞ ∞ −∞ ∞ Xm −∞ m=Tj−1 +1 Tj ∞ Xm + γE( ∞ −∞ m=Tj−1 +1 Tj −3 ≤ γλ E( −j ′′ λ−3 m ϕ ( Um − t θm Xm ′ − )f (t)IAcmt dt|) λm λm s ′′ λ−3 m |ϕ ( ′′ λ−3 m |ϕ ( ψ( Um − t θ m X m ′ − )f (t)IAmt dt|) λm λm s Um − t θ m X m ′ − )f (t)|IAmt dt) λm λm s Um − t θ m X m ′ − )f (t)|IAcmt dt) λm λm s UTj−1 +1 − t λj −∞ m=Tj−1 +1 Tj + ′′ λ−3 m ϕ ( ∞ Xm γλ−3 j E( ϕ′′ λm (Um − θm Xm /s − t)f ′ (t)dt|) ∞ Xm −∞ m=Tj−1 +1 )|f ′ (t)|dt) IAcmt dt) := γλ−3 j (Mj + Nj ) (2.10) Trước hết ta xét Mj Vì UTj−1 +1 FTj−1 - đo được, nên Tj ∞ Mj = −∞ ≤ = ψ( Xm E( UTj−1 +1 − t λj m=Tj−1 +1 ∞ −∞ ∞ −∞ Tj E( ψ( UTj−1 +1 − t λj m=Tj−1 +1 E(ψ( UTj−1 +1 − t λj ′ )) f (t) dt ′ /FTj−1 )) f (t) dt )E(Xm Tj ′ E(Xm /FTj−1 )]) f (t) dt )[ m=Tj−1 +1 34 ≤ 2γ ∞ −∞ = 2γ E( E(ψ( ∞ UTj−1 +1 − t (ψ( λj ′ ) f (t) dt UTj−1 +1 − t λj −∞ ′ )) f (t) dt = 2γ E(gj (UTj−1 +1 )) ∞ gj (x) = (ψ( −∞ Vì n x−t ′ )) f (t) dt λj n Xi2 )|FTj−1 ) E(( = E( i=Tj−1 +1 i=Tj−1 +1 σi2 |FTj−1 ) ≤ s2 (1 − j−1 ) n Áp dụng Bổ đề 1.4.5, ta có E(gj (UTj−1 +1 )) ≤ C FS/s − Φ j−1 + λj ) n + 1− 1− j−1 + λj ) n Do đó, Mj ≤ Cγ FS/s − Φ + (2.11) Tiếp theo ta xét Nj Đặt k Bj = { max Tj−1 ≤k≤Tj UTj−1 +1 − t } Xi i=Tj−1 +1 Am Fm−1 ∨ FTj−1 đo nên, ∞ Nj = Tj E( −∞ ≤ 2γ ≤ 2γ 2 σm IAcm )dt ∞ m=Tj−1 +1 E(min{1, ( ≤ 2γ UTj−1 +1 − t −∞ 2λj ∞ UTj−1 +1 − t −∞ E(min{1, ( 2λj ∞ P (Bj )dt −∞ k −2 ) E(( max Tj−1 ≤k≤Tj −2 Xi FTj−1 )}) i=Tj−1 +1 Tj X i FTj−1 )})dt ) E(( i=Tj−1 +1 35 ≤ Cγ ∞ E(min{1, ( UTj−1 +1 − t 2λj −∞ −2 ) })dt = Cγ E(hj (UTj−1 +1 )) ∞ hj (x) = min{1, ( −∞ x − t −2 ) }dt 2λj Áp dụng Bổ đề 1.4.4 ta có Nj ≤ Cγ FS/s − Φ + 1− j−1 + λj ) n (2.12) Kết hợp (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) ta I ≤ C[γ n(k − 2γ ) −1/2 ∆(n, s, γ) + γ n log n] (2.13) Ta tiếp tục xét biểu thức II bên phải (2.7) Với t ∈ R, đặt Amt = {|Rm | ≤ |UTj−1 +1 − t|/4}, Bmt = {σm |Zm | ≤ |UTj−1 +1 − t|/8} Do Tj E( m=Tj−1 +1 σm |Zm |3 |f ′ ∗ ϕ′′ λm (Um − θm σm Zm /s)|) Tj ≤ m=Tj−1 +1 σm |Zm |3 | Tj ≤ E( m=Tj−1 +1 Tj + E( m=Tj−1 +1 Tj + E( m=Tj−1 +1 ∞ −∞ σm |Zm |3 | λ3m σm |Zm |3 λ3m σm |Zm |3 λ3m ϕ′′ λm (Um − θm σm Zm /s − t)f ′ (t)dt|) ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ϕ′′ λm (Um − θm σm Zm /s − t)f ′ (t)IA′ m t∗Bm t dt|) IAc dt) mt c dt) IBmt 36 Sử dụng tính độc lập {Zm}, biểu thức thứ thứ hai ước lượng tương tự I Với biểu thức thứ ba ta có: Tj E( m=Tj−1 +1 ∞ σm |Zm |3 λ3m s3 −∞ c dt ) IBmt Tj −3 σm |Zm |3 ≤ γλj E( ≤ m=Tj−1 +1 cγ λj −3 E(ψ ′ (UTj−1 +1 )) ∞ −∞ I8|Z m |>λj −1 |UTj−1 +1−t | dt) ′ ψ (x) = g ′ (x) = E(|Zm |3 I{|Zm |≥|x|} ) = Từ ta có ∞ −∞ g′( x−t )dt, λj ∞ |x| t P (|Zm | > t)dt + |x|3 P (|Zm | > |x|) II ≤ C[γ n(k − 2γ )−1/2 ∆(n, s, γ) + γ n log n] (2.14) Kết hợp (2.7), (2.8), (2.13) (2.14) ta ∆(n, s, γ) ≤ Cs−3 [γ n(k − 2γ )−1/2 ∆(n − 1, s, 2γ) + γ n log n] + Ck/s (2.15) Lấy k = 2γ + C 22 γ n2 đặt Kn = supγ≥1,0 1/2 Nếu (Xj ; ≤ j ≤ n) có ||X||∞ ≤ γ tồn số dương C = C(p) phụ thuộc vào p, ta có bất đẳng thức sau: 37 1/2 ||FS/s − Φ||1 ≤ C(γ n log n/s3 + {||V − 1||∞ , (E|V − 1|p ) 1/2p }) Chứng minh Với X ∈ Mn với ||X||∞ ≤ γ, a = ||s2 Vn2 − s2 ||∞ , ta định nghĩa Xn+1 , , Xn+[2a/γ ]+1 sau: Lấy k phần nguyên (s2 + a − s2 V )/γ Trên σ- đại số Fn ,   ±γ Xn+j = ±(s2 + a − s2 V − kγ )1 /2   j ≤ k j = k + trường hợp lại, xét X = (X1 , , Xn+[2a/γ ]+1 ) Rõ ràng V = V (X) = Áp dụng bất đẳng thức tam giác Bổ đề 1.4.5 ta có: s ||FS/s − Φ||1 ≤ ||FS/s − Φ||1 + ||FsN/s − Φ||1 s √ s s ≤ ||FS/s − Φ||1 + C a/s + C( − 1) s s √ s s ≤ C( nγ log n/s3 + a/s + C( − 1)) s √ √s 3 ≤ C(γ n log n/s + a/s) a/s ≤ n đủ lớn √ Bởi với a/s ≤ n đủ lớn ta có : √ (2.16) ||FS/s − Φ||1 ≤ C(γ n log n/s3 + a/s) √ (2.16) trường hợp n a/s > cách chọn số C phù hợp Đối với ước lượng ||V − 1||1 Với X = (X1 , , Xn ) thỏa mãn ||X|| ≤ γ, đặt k T = sup{k : j=1 σj2 ≤ s2}, T σj2 )/γ 2] r = [(s j=1 38 Ta định nghĩa X = (X1 , , X2n ) sau: Xj = Xj j ≤ T, XT +j = ±γ với xác suất 1/2 Nếu T + r < 2n tiếp tục đặt T XT +r+1 = ±(s2 − j=1 σj2 − rγ )1/2 , XT +r+j = với j ≥ Khi ta có 2n s2 = j=1 σj2 = s2 ||X|| ≤ γ Theo Định lý 2.2.10, ||FS/s −Φ|| ≤ Cγ n log n/s3 , áp dụng Định lý 1.3.10 ta có 2p E(S − S) ≤ CE|s2 V − s2 |p (2.17) Với x > ta có FS/s − Φ ≤ FS/s − Φ ∞ + + −∞ ∞ −∞ P (S/s ≤ t + x) − P (S/s ≤ t) dt |Φ(t + x) − Φ(t)| dt ≤ FS/s − Φ + C x2p−1 s E V2−1 ≤ FS/s − Φ + C x2p−1 Đặt x = (E V − ) FS/s − Φ 1/2p 2p E(S − S) + 2x 2p p + 2x ta có ≤ Cγ n log n/s3 + C(E V − ) Kết hợp với (2.16) ta điều phải chứng minh 1/2p (2.18) 39 Hệ 2.2.12 Cho < γ < ∞ p > 1/2 Nếu (Xj ; ≤ j ≤ n) có ||X||∞ ≤ γ tồn số dương C = C(p) phụ thuộc vào p cho: FS/s − Φ p ≤ C(γ n log n/s3 + (E V − + s−2p ) Chứng minh Thay bất đẳng thức E(S − S) vào (2.18) ta có điều phải chứng minh 2p 1−2p ) ≤ C(E|s2 V − s2 |p + 2γ 2p ) 40 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu lý thuyết xác suất, hướng dẫn khoa học, nhiệt tình giáo viên hướng dẫn, luận văn hoàn thành đạt kết cụ thể sau: Trình bày lại phần lý thuyết xác suất thống kê dựa sở hiểu biết mà đạt q trình nghiên cứu, tìm tịi Thiết lập tốc độ hội tụ Định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên martingale Một phần kết đề tài nhận đăng tạp chí "Khoa học công nghệ" Đại học Đà Nẵng số 82(9)-2014 báo cáo Hội nghị xác suất thống kê toàn quốc lần thứ V, tổ chức trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng từ ngày 23 đến ngày 25/5/2015 Trong thời gian tới mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tốc độ hội tụ Định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên hiệu martingale nhận giá trị R2 Nghiên cứu Tốn tài Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến Q thầy bạn bè để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn tất Quý thầy giúp đỡ suốt q trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Thái Xuân Tiên, Đặng Công Hanh, Đặng Ngọc Dục (1996), Giáo trình Lý thuyết xác suất Thơng kê tốn, Đại học Đà Nẵng [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [3] Agnew, R P, (1954), Global versions of the central limit theorem, Proc Nat Acad Sci U.S.A, 800-804 [4] Bentkus, V (2003), A new method for approximation in probability and operator theories, Lithuanian Mathematical Journal, 43, 367-388 [5] Bogachev, (2007), Measure Theory, Vol 1, Springer- Verlag, Berlin [6] Bolthausen, (1982), Exact convergence rates in some martingale central limit theorems, The Annals of Probability, 10, 672-688 [7] Brown, B M, (1971), Martingale central limit theorems, Ann Math Statist, 59-66 [8] Dedecker, J and Rio, E., (2008), On mean central limit theorems for stationary sequences, Annales de l’Institut Henri Poincaré - Probabilités et Statistiques, 44, 693-726 [9] Dudley, R M, (2004), Real Analysics and Probability, Cambridge Univ Press, Cambridge [10] Esseen, C G, (1958), On mean central limit theorems, Kungl Tekn Hogsk Handl Stockholm, 121, 1-30 [11] Goldstein, L., (2010), Bounds on the constant in the mean central limit theorem, The Annals of Probability, 38, 1672-1689 [12] Hall, P and Heyde, C C., (1980), Martingale Limit Theory and Its Application, Academic Press, New York [13] Lindeberg, J.W., (1922), Eine neuve Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathmatische Zeitschrift, 15, 211-225 42 [14] Mourrat, (2013), On the rate of convergence in the martingale central limit theorems, Bernoulli, 19, 633-645 [15] Sunklodas, (2011), Some estimates of the normal approximation for independent non-identically distributed random variables, Lithuanian Mathematical Journal, 51, 66-74 [16] Sunklodas, (2011), Some estimates of the normal approximation for independent non-identically distributed random variables, Lithuanian Mathematical Journal, 51, 260-273 ... Tốc độ hội tụ Định lý giới hạn trung tâm theo trung bình Essen [10] nghiên cứu, Essen chứng minh rằng: Fn − Φ = O(n−1/2 ) n → ∞ 23 2.2 TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM THEO. .. suất biến ngẫu nhiên √ Sn /σ n biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Định lý giới hạn trung tâm cổ điển phát biểu sau: Định lý 2.1.1 (Định lý giới hạn trung tâm) Nếu (Xn ; n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập... nghiên cứu là: Tốc độ hội tụ số định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên martingale Mục đích nghiên cứu Đưa số kết toán xấp xỉ phân phối chuẩn dãy trường martingale Đối