Tính ổn định mũ bình phương trung bình của nghiệm của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

LỜI NÓI ĐẦU Bất hệ thống dù hệ thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hệ thống xã hội…, tồn phát triển trạng thái ổn định Đối với hệ thống điều chỉnh tự động ổn định tiêu mà người ta cần quan tâm Bởi hệ thống muốn sử dụng trước tiên phải ổn định Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Vấn đề nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên toán quan trọng lý thuyết ổn định hệ động lực ngẫu nhiên Trong luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên nhờ phương pháp thứ Liapunov thông qua hàm ngẫu nhiên Liapunov phát biểu theo ngôn ngữ phương trình ma trận Liapunov rời rạc Với mục đích luận văn hình thành gồm hai chương: Chương Trình bày khái niệm ổn định hệ phương trình vi phân tìm điều kiện cho hệ ổn định Trong chương giới thiệu khái niệm lý thuyết ổn định số phương pháp khảo sát điều kiện ổn định hệ phương trình vi phân chứng minh kết cho số điều kiện ổn định hệ phương trình vi phân Chương Trình bày khái niệm ổn định mũ hệ phương trình sai phân tìm điều kiện cho hệ ổn định mũ Trong chương giới thiệu khái niệm ổn định mũ, đưa chứng minh điều điều kiện cho tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình PGS TS Phan Đức Thành Nhân tơi xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc đến thầy thầy khoa Toán khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, đặc biệt thầy cô tổ điều khiển giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2005 Tác giả TRẦN CƠNG THÀNH MỤC LỤC TRANG LỜI NĨI ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 1.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 1.4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HẰNG 1.5 PHƯƠNG PHÁP HÀM LIAPUNOV CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA NGHIỆM 11 CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TẤT ĐỊNH VỚI 11 MA TRẬN HẰNG 2.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU PHÂN VỚI MA TRẬN 13 HẰNG DẠNG TỔNG QT 2.3 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI MA TRẬN HẰNG 15 2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI MA TRẬN HẰNG DẠNG TỔNG 18 QUÁT 2.5 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ 20 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VỚI NHIỄU VECTƠ r - CHIỀU (1, …, r) 2.6 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TẤT ĐỊNH CĨ 22 TRỄ 2.7 Tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ phương trình sai phân 24 ngẫu nhiên có trễ 30 31 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương giới thiệu khái niệm lý thuyết ổn định số phương pháp khảo sát điều kiện ổn định hệ phương trình vi phân 1.1 BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH Xét hệ phương trình vi phân viết dạng ma trận dY  F (t , Y ) dt (1) với điều kiện Y(t0) = Y0 Trong  y1  .   Y     ( y1 , , y n )T ;   .  y n  F (t ,Y )  [ f1 (t , y1 ), , f n (t , yn )]T ; dy dy dy dY  ( , , , n )T dt dt dt dt Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm Z = Z(t) hệ (1) gọi ổn định theo nghĩa Liapunov (gọi tắt ổn định) với  > 0, tồn    (t0 ,  )  cho nghiệm Y = Y(t) thoả mãn Y (t0 )  Z (t0 )   Y (t ) Z (t )   với t  t0 Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm Z = Z(t) hệ (1) gọi ổn định với  > 0, tồn    ( )  cho nghiệm Y = Y(t) thoả mãn Y (t0 )  Z (t0 )   Y (t )  Z (t )   với t  t0 Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm Z = Z(t) gọi không ổn định với  > với   , tồn nghiệm Y = Y(t) cho Y (t0 )  Z (t0 )   Y (t )  Z (t )   Trong hệ phương trình vi phân (1) Y = F(t,0)  nghiệm Y(t)  gọi nghiệm tầm thường (hay gọi trạng thái cân bằng) Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm tầm thường Z(t) = gọi ổn định với  > 0, tồn    (t0 ,  )  cho nghiệm Y = Y(t) thoả mãn Y (t )   Y (t )   , với t > t0 Định nghĩa 1.1.5 Nghiệm Z = Z(t) hệ phương trình (1) gọi ổn định tiệm cận thoả mãn điều kiện sau i) Z = Z(t) nghiệm ổn định; ii) Với t  t0, tồn  = (t0) > cho nghiệm Y(t) thoả Y (t )  Z (t )  mãn điều kiện Y (t0 )  Z (t0 )   tlim  Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm tầm thường Z(t) = gọi ổn định tiệm cận thoả mãn điều kiện sau i) Z(t) = nghiệm ổn định; Y (t )  ii) Với t  t0, tồn  > cho Y (to )   tlim  1.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Xét hệ vi phân tuyến tính dạng ma trận dY  A(t )Y  F (t ) dt (2) Định nghĩa 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (2) gọi ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận, không ổn định) tất nghiệm hệ ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận, không ổn định) Định lý 1.2.2 Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (2) ổn định với F(t) nghiệm tầm thường X(t)  hệ dY  A(t )Y ổn định dt Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Z = Z(t) nghiệm hệ vi phân tuyến tính (2) hệ vi phân tuyến tính (2) hệ ổn định với F(t) Khi đó, nghiệm Z = Z(t) ổn định, có nghĩa với  > tồn   cho với nghiệm Y = Y(t) hệ (2) Y (t )  Z (t )   Y (t0 )  Z (t0 )   (*) Mặt khác ta có dY  A(t )Y  F (t ) dt dZ  A(t ) Z  F (t ) dt Do d (Y  Z )  A(t )(Y  Z ) dt Đặt (Y-Z) = X ta có hệ phương trình dX  A(t ) X dt Từ điều kiện (*) suy với  > 0, tồn   cho X (t )   X (t )   Điều có nghĩa nghiệm tầm thường X(t) hệ  dX  A(t ) X ổn định dt Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thường X(t)  hệ dX  A(t ) X ổn định Khi đó, X = X(t) nghiệm hệ dt dX  A(t ) X cho || X (t0 ) ||  (t0 ,  ) || X (t ) ||  với t  t Như vậy, dt Z = Z(t) nghiệm hệ vi phân tuyến tính (2) Y(t) nghiệm hệ từ bất đẳng thức Y (t0 )  Z (t0 )   ta suy Y (t )  Z (t )   t  t Điều có nghĩa Z = Z(t) hệ (2) ổn định hay hệ phương trình tuyến tính (2) ổn định Mệnh đề 1.2.3 Hệ vi phân tuyến tính (2) ổn định nghiệm tầm thường X  hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định Chứng minh Mệnh đề chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý1.2.2 Định lý 1.2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường X  hệ vi phân tuyến tính tương ứng dY  A(t )Y ổn định tiệm cận dt Chứng minh Định lý trực tiếp suy từ khẳng định hiệu hai nghiệm hệ vi phân tuyến tính không nghiệm hệ vi phân tuyến tính tương ứng Hệ 1.2.5 Các khẳng đinh sau cho hệ phương trình vi phân tuyến tính (a) Hệ vi phân tuyến tính ổn định có nghiệm ổn định khơng ổn định nghiệm khơng ổn định (b) Hệ vi phân tuyến tính ổn định hệ vi phân tương ứng ổn định (c) Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (2) với số hạng tự F(t) ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định 1.3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ vi phân tuyến tính dạng ma trận: dY  A(t )Y dt (3) Định lý 1.3.1 Hệ vi phân tuyến tính (3) ổn định nghiệm Y = Y(t) (t0  t < ) hệ bị chặn với t  t0 Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm hệ (3) bị chặn với t  t0 Hệ phương trình (3) có nghiệm Y = Y(t) = X(t).Y(t0) X(t) nghiệm hệ X(t0) = I ma trận đơn vị Vì X(t) bao gồm hàm giới nội nên giới nội, tức X (t )  M với t  t0, M số dương Suy từ Y(t) = X(t).Y(t0) ta có Y (t )  X (t ).Y (t0 )  X (t ) Y (t0 ) Do Y (t )  M || Y (t0 ) || Khi đó, với  > tồn    M cho nghiệm Y = Y(t) thoả mãn Y (t )   Y (t )   Điều có nghĩa nghiệm Y(t)  (3) ổn định Suy nghiệm hệ (3) ổn định hay hệ (3) ổn định Điều kiện cần: Giả sử hệ (3) tồn nghiệm Z = Z(t) với Z(t0) không bị chặn với t  t0 Cố định hai số dương  >   xét nghiệm Y (t )  Z (t )  Z (t ) Nhận thấy || Y (t ) || || Z (t ) ||     || Z (t ) || 2 Mặt khác ta có nghiệm Z(t) không bị chặn thời điểm t1 > t0 Suy || Y (t1 ) || || Z (t1 ) ||   || Z (t ) || Như vậy, nghiệm tầm thường Y0  hệ (3) không ổn định, theo Định lý 2.2 hệ (3) không ổn định, điều mâu thuẫn giả thiết Vậy nghiệm hệ (3) bị chặn Định lý 1.3.2 Hệ vi phân tuyến tính (3) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y = Y(t) thoả mãn điều kiện lim Y (t )  t  Chứng minh.Điều kiện cần: Giả sử hệ (3) ổn định tiệm cận Khi tất nghiệm nó, kể nghiệm tầm thường Y0  ổn định tiệm cận Do đó, nghiệm Z = Z(t) hệ (3) ta có lim Z (t )  t  || Z (t0 ) ||  , t  (a, ) tuỳ ý Xét nghiệm Y = Y(t) hệ (3) với điều kiện ban đầu Y(t0) = Y0  Giả sử Y (t )  Z (t ) || Y (t ) ||  Z (t )  Y (t )  || Y (t ) || Vì nghiệm Z = Z(t) thoả mãn điều kiện || Z (t0 ) ||    nên nghiệm Z = Z(t) thoả mãn điều kiện lim Z (t )  Do lim Y (t )  t  t  Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm Y = Y(t) hệ (3) thoả mãn điều kiện lim Y (t )  Khi với nghiệm Y = Y(t) (t0  t < ) ta có t  || Y (t ) || T 0nxn ta chọn G ma trận đơn vị Chứng minh Trong hệ phương trình (3) ta dùng phép đổi biến sau x(k) = pkZ(k) Khi x(k+1) = pk+1Z(k+1) 18 Thay kết qủa vào hệ phương trình (3) ta pk+1Z(k+1) = [A + B (k)] pkZ(k) suy Z(k  1)  A  B k Z k  p (3.1) Chọn hàm Liapunov tương ứng với hệ phương trình (3) dạng tồn phương sau V(Z(k)) = ZT(k) HZ(k) V (Z(x)) > V Z k   V z k  1  V Z k   Z T k  1HZ k  1  Z T k HZ k  T 1    A  B k Z k  H A  B k Z k   Z T k HZ k  p p  1  Z T k  AT  BT  k  H A  B k Z k   Z T k HZ k  p p   1   Z T k  AT  B T  k  H  A  B k   H  Z k  p    Do     E V  Z  k    E  Z T  k   AT  BT   k  H  A  B  k    H  Z  k   p             E  Z T  k   AT HA  H  Z  k    p     E Z T  k  BT HBZ  k    k   Z T  k  AT HB  BT HA Z  k    k  p          E  Z T  k   AT HA  H  Z  k    E Z T  k  BT HBZ  k  p    p  (Do E{2(k)} =1 E {(k)} = 0)   1   E Z T k  AT HA  BT HB  H  Z k  p      19  Nếu   T A HA  BT HB  H  G E{V(Z(k))} 0nxn) thoả mãn phương trình ma trận Liapunov   T A HA  BT HB  DT HD  G p2 G = GT > 0nxn tuỳ ý, chọn G ma trận đơn vị Chứng minh Trong hệ phương trình (4) ta dùng phép đổi biến sau x(k) =pkZ(x) Khi x(k+1) = pk+1Z(k+1) Thay kết vào hệ (4) ta Dpk+1Z(k+1) = [A + B (k)]pkZ(k) suy DZ(k  1)  A  B k Z k  p 20 (4.1) Chọn hàm Liapunov tương ứng với hệ phương trình (4) V(Z(k)) = ZT(k) DTHDZ(k) Khi V(Z(k)) > V Z k   V Z k   V Z k   Z T k  1DT HDZ k  1  Z T k DT HDZ k   DZ k  1 HDZ k  1  Z T k DT HDZ k  T T 1    A  B k Z k  H A  B k Z k   Z T k DT HDZ k  p p   Z T k  AT  B T k  H A  B k Z k   Z T k DT HDZ k  p   1   Z T k  AT  B T  k  H  A  B k   DT HD Z k  p    Do   1  E  V Z k   E Z T k  AT  B T  k  H  A  B k   DT HD Z k  p           E Z T k  AT HA  DT HD  Z k   p     E Z T k B T HBZ k  k   Z T k  AT HB  B T HA Z k  k  p          E Z T k  AT HA  DT HD  Z k   E Z T k BT HBZ k  p    p   (Do E{2 (k)} = E {(k)} = 0)   1   E Z T k  AT HA  BT HB  DT HD Z k  p     Nếu    T A HA  BT HB  DT HD  G E{V(Z(k))} < p Do nghiệm Z = hệ phương trình (4) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) suy nghiệm x = hệ (4) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) 21 2.5 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VỚI NHIỄU VECTƠ r - CHIỀU (1, …, r) Trong mục nghiên cứu tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ phương trình sai phân với nhiễu vectơ r - chiều (1, …,r) dạng sau r   xk  1   A   Bi i k  xk  i 1   (5) với k = 0, 1, …, x(0) = x0 A, Bi  Rnxn Các i(k) thoả mãn điều kiện E{i(k)} = 0; E {i2(k)} = E{i(k) j(k); i  j} = (i = 1, …, r) Định lý 2.2.4 Nghiệm x = hệ phương trình (5) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) tồn ma trận H xác định dương, đối xứng (H=HT> 0nxn) thoả mãn phương trình ma trận Liapunov r  T  A HA  BiT HBi   H  G   p  i 1  G = GT > 0nxn tuỳ ý G ma trận đơn vị (i = 1, …, r) Chứng minh Trong hệ phương trình (5) ta sử dụng phép đổi biến sau x(k) = pkZ(k) (k+1) = pk+1Z(k+1) Thay kết vào hệ (5) ta r   p k 1Z(k  1)   A   Bi i k  p k Z k  i 1   suy Z k  1  r 1  A  Bi i k  Z k    p i 1  Chọn hàm Liapunov tương ứng với hệ (5.1) V(Z(k)) = ZT(k) HZ(k) V(Z(k)) > Và 22 (5.1)   V  Z  k    V  Z  k  1   V  Z  k   Z T  k  1 HZ  k  1  Z  k  H  k  T T r r 1  1      A   Bii  k   Z  k   H  A   Bii  k   Z  k   Z T  k  HZ  k  p i 1 i 1    p  r r      Z T  k   AT   BiT i  k   H  A   Bii  k   Z  k   Z T  k  HZ  k  p  i 1 i 1    r r        Z T  k    AT   BiT i  k   H  A   Bii  k    H  Z  k  i 1 i 1    p   Do   E V  Z  k    r r          E  Z T  k    AT   BiT i  k   H  A   Bii  k    H  Z  k   i 1 i 1    p          E  Z T  k   AT HA  H  Z  k    p     r  T  r T T E Z k B HB Z k  k k AT HBi  BiT HA            i i  p  i 1  i 1     Z  k    k    r        E  Z T  k   AT HA  H  z  k    E  Z T  k   BiT HBi Z  k   i 1  p    p  r        E  Z T  k    AT HA   BiT HBi   H  Z  k   i 1  p     Nếu r  T  A HA  BiT HBi   H  G E {V(Z(k))} <   p  i 1  Suy nghiệm Z = hệ phương trình (5.1) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1), nghiệm x = hệ phương trình (4) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) 2.6 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TẤT ĐỊNH CĨ TRỄ Trong mục chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình sai phân sau 23 x(k+1) = Ax(k) + A1x(k-h) (6) A A1 ma trận hằng, h  Định lý 2.2.5 Nghiệm x = hệ phương trình (6) ổn định tiệm cận tồn ma trận H xác định dương, đối xứng (H = HT > 0n x n) thoả mãn điều kiện ATHA - H +AT1 HA1+ I +ATHA1AT1HA < I ma trận đơn vị Chứng minh Chọn hàm Liapunov tương ứng với hệ (6) sau V(x(k))  x T (k)Hx(k)  k-1  x i  Qx i  T i  k-h H Q ma trận xác dịnh dương, đối xứng Khi ta có   V  x  k    V  x  k  1   V  x  k   k   xT  k  1 Hx  k  1  xT  i  Qx  i   xT  k  Hx  k   i  k 1 h k 1  x i  Qx i  T i k h   Ax  k   A1 x  k  h    A  k   A1 x  k  h    x  xT  k  Qx  k   xT  k  h  Qx  k  h  T T  k  hx  k    xT  k  AT Hx  k   xT  k  h  A1T HA1T x  k  h   xT  k  AT HA1 x  k  h    xT  k  h  A1T HAx  k   xT  k  Qx  k   xT  k  Hx  k   xT  k  h  Qx  k  h  Đặt  xk   y k      xk  h  ta có  AT HA  H  Q A1T HA V  yk   y k  T  yk  A1T HA1  Q   A HA1 T Khi Q  A1T HA1  I (I ma trận đơn vị)  AT HA  H  A1T HA1  I  V  yk   yT k   yk  AT HA1 I   24  AT HA  H  A1T HA1  I  AT HA1  A1T HA 0 I  V(y(k)) < kéo theo V(x(k)) < Bổ đề (Định lý phụ Schur) Giả sử M, P, Q ma trận cho P Q ma trận xác định dương, đối xứng (Q = QT > 0) Khi  M M  0 Q  T P  M T Q1M  Áp dụng vào Bổ đề vào điều kiện  AT HA  H  A1T HA1  I  AT HA1  A1T HA 0 I  ta điều kiện tương đương sau ATHA - H + AT1HA1 + I + ATHA1AT1HA < Vậy nên, tồn ma trận H xác định dương, đối xứng thoả mãn điều kiện ATHA - H + AT1HA1 + I + ATHA1AT1HA < nghiệm x = hệ (6) ổn định tiệm cận Định lý hồn tồn chứng minh 2.7 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN CĨ TRỄ Trong mục chúng tơi nghiên cứu tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên có trễ dạng sau xk  1  Axk   Bxk  1  A1xk   B1xk  1 k  (7) A, B, A1, B1 ma trận (k) ồn trắng tiêu chuẩn thoả mãn điều kiện E{(k)} = E{2(k)} = 25 Định lý 2.2.6 Nghiệm x = hệ phương trình (7) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) tồn ma trận H xác định dương đối xứng thoả mãn phương trình Liapunov   M T HM  N T HN  H  G p G = GT > 0nxn tuỳ ý, G lấy ma trận đơn vị B  A1 N  0   A M  I B1   I ma trận đơn vị Chứng minh Hệ phương trình (7) viết dạng sau  xk  1  A  xk     I    B   xk    A1  xk  1  0    B1    xk    xk  1 k    (7.1) Đặt  xk  1 y k  1     xk   B A M  0 I A N  0 B1   Thay giá trị vào hệ (7.1) ta có y(k+1) = My(k) + Ny(k)(k) (7.2) Khi đó, nghiệm y = hệ phương trình (7.2) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) nghiệm x = hệ (7) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) Trong hệ (7.2) ta dùng phép đổi biến sau y(k) = pkZ(k) y(k+1) = pk+1Z(k+1) 26 Thay kết vào hệ (7.2) ta pk+1Z(k+1) = MpkZ(k) + NpkZ(k) (k) suy Z(k  1)  M  N k Z k  p (7.3) Chọn hàm Liapunov tương ứng với hệ (7.3) dạng tồn phương sau V(Z(k)) =ZT(k) HZ(k) ta có V Z k   V Z k  1  V Z k   Z T k  1HZ k  1  Z T k HZ k  T 1    M  N k Z k  H M  N k Z k   Z T k HZ k  p p  1   Z T k  M T  N T  k  H M  N k   H  Z k  p    Do   1  EV Z k   E Z T k  M T  N T  k H M  N k   H  Z k  p         E Z T k  M T HM  H  Z k  p     E Z T k N T HNZ k  k   Z T k  M T HN  N T HM Z k  k  p          E  z T k  M T HM  H  Z k   E Z T k N T HNZ k  p    p   (Do E{2(k)} = E{(k)} = 0)   1   E Z T k  M T HM  N T HN  H  Z k  p     Vì vậy,    M T HM  N T HN  H  G E{V(Z(k))} < p Suy nghiệm Z = hệ (7.3) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) nên nghiệm y = hệ (7.2) ổn định mũ bình phương trung 27 bình với biên p  (0,1) Do đó, nghiệm x = hệ (7) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên có trễ dạng tổng quát sau x(k+1) = A0x(k) +A1x(k-1) + … + Ahx(k-h)+ + [B0x(k) + B1x(k-1) + … + Bhx(k-h)] (k) (8) Ai Bi ma trận hằng, i  0, h (k) ồn trắng tiêu chuẩn thoả mãn điều kiện E{(k)} = E{2(k)} = Định lý 2.2.7 Nghiệm x = hệ phương trình (8) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) tồn ma trận H xác định dương, đối xứng thoả mãn phương trình ma trận Liapunov   M T HM  N T HN  H  G p2 G = GT > 0nxn tuỳ ý, G lấy ma trận đơn vị  A0 A1 I M  0 I  0  B0 B1 0 N    0 Ah     I  Bh     0 I ma trận đơn vị Chứng minh Hệ phương trình (8) tương đương với hệ phương trình sau 28  x  k  1     A0   I     0     x  k  h  1     A1 I 0 I Ah   0  0  x k              x  k  h    (8.1)  B0 0  0  0 Đặt B1 0 0 Bh   0  0  x k          k       x  k  h     xk  1      y k  1       xk  h  1   A A Ah   I   M  I     0 I   B0 B1 Bh   0   N      0 0 0 Khi hệ (8.1) trở thành hệ y(k+1) = My(k) + Ny(k)(k) (8.2) Do đó, nghiệm y = hệ (8.2) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) nghiệm x = hệ (8) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) Trong hệ (8.2) ta đổi biến sau y(k) = pkZ(k) y(k+1)= pk+1Z(k+1) Thay giá trị vào hệ (8.2) ta 29 pk+1Z(k+1) = pkMZ(k) + pkNZ(k)(k) suy Z k  1  M  N k Z k  p (8.3) Chọn hàm Liapunov tương ứng với hệ (8.3) V(Z(k)) = ZT(k) HZ (k) với H = HT > onxn   V  Z  k    V  Z  k  1   V  Z  k    Z T  k  1 HZ  k  1  Z T  k  HZ  k     Z T  k   M T  N T   k  H  M  N  k   H  Z  k  p    Do   1  EV Z k   E Z T k  M T  N T  k H M  N k   H  Z k  p         E Z T k  M T HM  H  Z k   EZ T k N T HNZ k  p    p (Do E{2(k)} = E{(k)} = 0)  T 1   T T Z k  M HM  N HN  H  Z k  p     Vì vậy,    M T HM  N T HN  H  G E{V(z(k))} < p2 Suy nghiệm Z = hệ (8.3) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) kéo theo nghiệm y = hệ (8.3) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) Do nghiệm x = hệ (8) ổn định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) Định lý hoàn toàn chứng minh 30 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau Các vấn đề luận văn trình bày - Các loại ổn định hệ phương trình vi phân - Phát biểu chứng minh điều kiện cần đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ vi phân tuyến tính ổn định, điều kiện đủ để hệ vi phân tuyến tính với ma trận ổn định - Giới thiệu phương pháp hàm Liapunov việc xét tính ổn định hệ phương trình vi phân Các đóng góp luận văn - Giới thiệu khái niệm ổn định mũ ổn định mũ bình phương trung bình tương ứng hệ phương trình sai phân hệ sai phân ngẫu nhiên - Thiết lập số điều kiện đủ để hệ phương trình sai phân tất định ổn định mũ hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên ổn định mũ bình phương trung bình dạng sau x  k  1   A  B  k   x  k  Dx  k  1   A  B  k   x  k  n   x  k  1   A   Bii  k   x  k  i 1   x  k  1   Ax  k   Bx  k  1    A1 x  k   Bi x  k  1    k  x  k  1   A0 x  k   A1 x  k  1   Ah x  k  h     B0 x  k   B1 x  k  1   Bh x  k  h     k  31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định NXB Giáo dục [2] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng T.3 Giải tích ngẫu nhiên NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] R.Z Hasminski (1980), Stochastic Stability of differential equations [4] D.G Korenevski and Yu.A.Mitropolski (1985), Onalgebraic aziteria of asymptotic with probability one for solutions of systems of difference equations not reduced to the Cauchy form Math Institut Acad Sci Ukrain SSR Kiev [5] D.G Korenevski (2002) On the impossibility of stabilization of solutions of a system of linear deterministic difference equations… Ukrainian Math Jouranal, Vol 54 N.2 32 ... 2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI MA TRẬN HẰNG DẠNG TỔNG QUÁT Trong mục xét tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ phương trình sai phân. .. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI MA TRẬN HẰNG 15 2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI MA TRẬN HẰNG DẠNG TỔNG 18 QUÁT 2.5 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG... THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 BÀI TỐN CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 1.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 1.4 TÍNH ỔN ĐỊNH