Luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC LÊ THỊ THƯƠNG HUYỀN LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP THEO HÀNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUN NGÀNH TỐN - TIN HỌC ỨNG DỤNG Khóa luận tốt nghiệp Vinh, tháng năm 2012 SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP THEO HÀNG Người hướng dẫn : ThS Dương Xuân Giáp Người thực : Lê Thị Thương Huyền Lớp : 49B - Toán - Tin học ứng dụng MSSV : 0851095196 Vinh, tháng năm 2012 SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Lời nói đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Cơ sở xác suất…………………………………………………… 1.2 Các biến ngẫu nhiên độc lập………………………………………6 1.3 Luật số lớn ……………………………………………………… Chương Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng 10 2.1 Giới thiệu ……………………………………………………… 10 2.2 Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng ….11 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp LỜI MỞ ĐẦU Luật số lớn đóng vai trị quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn James Bernoulli công bố năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov…mở rộng Trong năm qua có số hướng nghiên cứu Luật số lớn mở rộng kết Luật số lớn trường hợp dãy (một số) cho trường hợp nhiều số Smythe (1972) thu Luật mạnh số lớn Kolmogolov cho dãy nhiều số biến ngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund dãy nhiều chiều Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập Thời gian gần có nhiều báo cáo nghiên cứu trường hợp hai số cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (Hong and Volodin (1999), L.V.Thanh (2005), N.V.Quang and N.N.Huy (2008) nhận giá trị không gian Banach (N.V.Quang and L.H.Son (2006), Rosalsky and L.V.Thanh (2006), N.V.Quang and N.V.Huan (2008)) Trên sở đọc hiểu tìm hiểu tài liệu tham khảo, nghiên cứu đề tài “ Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng” Khóa luận chia làm chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất sở lý thuyết xác suất: biến ngẫu nhiên, dạng tụ…, chúng tơi trình bày tính độc lập biến ngẫu nhiên Cuối khái niệm số tính chất luật số lớn Chương Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng Trong chương này, đưa định lý, hệ Luật số SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng chứng minh Định lý 2.2.3 [13], định lý quan trọng chương Khóa luận thực trường Đại học Vinh, hướng dẫn ThS.Dương Xuân Giáp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy nhiệt tình hướng dẫn dành cho tác giả suốt q trình hình thành khóa luận Nhân dịp tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Vinh, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn đọc để khóa luận hồn thiện Sinh viên Lê Thị Thương Huyền SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Cơ sở xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Giả sử (  ,  ,  ) không gian xác suất, g  - đại số  - đại số  Khi ánh xạ X :    gọi biến ngãu nhiên g- đo ánh xạ g/  (  ) đo (tức với B   (  ) X 1 (B)  g) Nếu biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị, gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Biến ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp đặc biệt, X biến ngẫu nhiên  - đo được, X gọi cách đơn giản biến ngẫu nhiên 1.1.2 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.2.1 Phân phối xác suất Định nghĩa Giả sử (  ,  ,  ) không gian xác suất, X :    biến ngẫu nhiên Khi hàm tập  X :  ( )  B   X (B) =  ( X 1 (B)) gọi phân phối xác suất X 1.1.2.2 Hàm phân phối SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa Giả sử (  ,  ,  ) không gian xác suất, X :    biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số F X (x) =  (X < x) =  (  : X(  )< x) gọi hàm phân phối X 1.1.3 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.1.3.1 Kì vọng Định nghĩa Giả sử X : (  ,  ,  )  (  ,  (  )) biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo  (nếu tồn tại) gọi kì vọng X ký hiệu EX Vậy EX = XdP Nếu tồn E|X| p <  (p > 0), ta nói X khả tích bậc p Đặc biệt, E|X|<  , X gọi biến ngẫu nhiên khả tích 1.1.3.2 Phương sai Định nghĩa Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó, số DX := E(X-EX) (nếu tồn tại) gọi phương sai X 1.1.3.3 Mode Khái niệm mode định nghĩa riêng rẽ cho hai trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên liên tục Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị x gọi mode X, X có xác suất lớn x Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) giá trị x gọi mode X, p(x) đạt giá trị lớn x Nếu x mode X ta ký hiệu x = mod X 1.1.3.4 Phân vị cấp p Số x p (0 < p < 1) gọi phân vị cấp p hàm phân phối F(x) biến ngẫu nhiên X SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp F(x p )  p F(x p +0)  p (F(x p +0) = lim F(x)) X x p Rõ ràng, F(x) hàm liên tục F(x p ) =p Nếu p = x p = x gọi trung vị hay median X ký hiệu 2 m(X) 1.1.3.5 Moment, hệ số bất đối xứng hệ số nhọn Giả sử X biến ngẫu nhiên, số m k =EX k (nếu tồn tại) gọi moment cấp k X, số  k = E(X-EX) k (nếu tồn tại) gọi moment trung tâm cấp k X Như vậy, moment cấp kì vọng, cịn moment trung tâm cấp phương sai Số S= 3  2 gọi hệ số bất đối xứng X Số E= 4 -3  22 gọi hệ số nhọn X 1.1.4 Các dạng hội tụ Định nghĩa Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (X n , n  1) hội tụ dến biến ngẫu nhiên X (khi n   )  Hầu chắn P( lim |X n -X| = 0) =1 n  c.c   X Ký hiệu X n h  Theo xác suất với  >0 SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp lim P(|X n -X | >  ) =0 n  P Ký hiệu X n  X  Đầy đủ  >0   P(| X n 1 n  X |  )   C Ký hiệu X n  X  Theo trung bình cấp p, (p > 0) lim E|X n -X| p = n  £ Ký hiệu X n  X p  Yếu (theo phân phối) lim F n (x) = F(x) n  x  C(F) Trong F n (x) F(x) tương ứng hàm phân phối biến ngẫu nhiên X n X; C(F) tập hợp điểm mà F(x) liên tục D Ký hiệu X n  X Hội tụ hầu chắn gọi hội tụ với xác suất 1; hội tụ theo trung bình cấp p cịn gọi hội tụ £ p 1.2 Các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa Giả sử (  ,F,  ) không gian xác suất Họ lớp biến cố (C i ) iI (C i  F) gọi độc lập (độc lập đôi một) với A i  C i , họ biến cố (A i ) iI độc lập (độc lập đôi một) Họ biến ngẫu nhiên (X i ) iI gọi độc lập (độc lập đôi một) họ  - đại số (  (X i )) iI độc lập (độc lập đôi một) 1.3 Luật số lớn 1.3.1 Luật yếu số lớn SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp 11 Chứng minh Xem [1], Hệ 1, trang 100 1.3.2 Luật mạnh số lớn Bổ đề sau thường hay sử dụng nghiên cứu luật mạnh số lớn Bổ đề 1.3.2.1 (Kronecker) Giả sử (x n , n  ) dãy số thực (b n , n  ) dãy số dương tăng đến +  (0 < b < b 0, ta có   P[| X n 1 n |  ]   Theo bổ đề Borel-Cantelli, hội tụ đầy đủ hội tụ hầu chắn Điều ngược lại khơng đúng, ngoại trừ trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập Theo luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund [9], { X n } dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với EX =  p  ] với giả thiết độc lập, phân phối Do đó, kết sau dễ dàng thu Định lý 2.1 Cho {X nk } mảng biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối mà EX 11 = cho  p < Thì, n1 p n X k 1 nk (khi n   ) C  (1.4) E|X 11 | p <  Trong khóa luận này, chúng tơi xét mảng: {X nk : k=1, 2, …, n; n=1, 2, …} gồm biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng cho với  n k EX nk = (1.5) dãy {X nk } bị chặn biến ngẫu nhiên X, với E|X| p <  ,  p < (1.6) Chúng ta nhớ lại rằng, mảng {X nk } biến ngẫu nhiên gọi bị chặn biến ngẫu nhiên X với  n k  t   , t > P[|X nk |>t]  P[|X|>t] 2.2 Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng Bổ đề 2.2.1 Với r  1, E|X| r <   n r 1 P[| X | n]   n 1 Chính xác hơn, SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp 15 r2 r   n 1 n 1  n r 1 P[| X | n]  E | X |r   r r  n r 1 P[| X | n] Bổ đề 2.2.1 với r =1 có sách giáo khoa chứng minh cách tổng quát Jain [7] Bổ đề 2.2.2 Nếu r  p>0, n1 p E (| X | I [| X |n1 p ] )  r  t r 1 P[| X ]  t ]dt r (2.1)  E (| X | I [| X |n1 p ] )  n1 p P[| X | n1 p ]   P[| X | t ]dt (2.2) p n Bổ đề 2.2.2 sử dụng cách sử dụng tích phân phần chứng minh báo cáo kĩ thuật Hu, Moricz Taylor [6] Định lý 2.2.3 nêu sau thu (1.4) cho biến ngẫu nhiên không phân phối, khơng có giả thiết độc lập hàng mảng thực Hơn nữa, theo Định lý 2.1 kết tốt Định lý 2.2.3 Cho {X nk } mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng cho (1.5) thỏa mãn {X nk } bị chặn biến ngẫu nhiên X, thỏa mãn (1.6) Khi (1.4) Chứng minh: Để chứng minh Định lý 2.2.3 sử dụng Bổ đề 2.2.1, Bổ đề 2.2.2 kĩ thuật chặt cụt cung cấp điều kiện thời điểm (1.6) Định nghĩa: Ynk  X nk I [| X (k= 1, 2, …, n; n= 1, 2, …) p ] nk | n (2.3) Sau đó, theo Bổ đề (với r = 2),  n  P[ X n 1 k 1 nk  Ynk ]  SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp 16   n   P[| X nk | n1 p ]   nP[| X | n1 p ]  n 1 k 1 n 1    nP[| X | p  n]  E | X | p   n 1 tiếp đó, với  > bất kì,   P[| n 1  n X nk  p p  n k 1 n  n n Y k 1 nk |  ]  n   P[ [ X nk  Ynk ]]   P[ X nk  Ynk ]   n 1 k 1 n 1 k 1 Do đó, | n1 p n  X nk  k 1 n1 p n Y k 1 nk C |  (khi n   ), (2.4) đủ để chứng minh n1 p n Y k 1 nk (khi n   ) C   (2.5) Để đạt điều này, ta xét dãy: Z nk  Ynk  EYnk (k=1, 2, …, n; n= 1, 2, …) Sau đó, với  q  p có bất đẳng thức Holder sau: ( E | Z nk | q )1 q  2( E | Ynk | q )1 q  2( E | Ynk | p )1 ( p )  2( E | X | p )1 ( p ) Do đó, theo (1.6), E | Z nk | q  q ( E | X | p ) q ( p )  2 p (1  E | X | p )  C1 (2.6) | Z nk || Ynk |  | EYnk | 2n1 p (2.7) Hơn nữa, Xét kĩ thuật sau Pruitt [10], ta cho số nguyên nhỏ v mà: 2v (  1)  p Ta dễ dàng nhận v > (2.8) n p E ( | Z nk |) 2v hữu hạn, cho: k 1 SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp 17 n E ( Z nk ) 2v  k 1  k1 , ,k v n E ( Z nk j ) j 1 với tổng mở rộng cho gồm 2v giá trị ( k1 , , k 2v ) với k j = 1, 2, …,n cho j Khơng có đóng góp tổng miễn có số j với k i  k j với i  j, từ Z nk độc lập EZ nk =0 Số hạng tổng quát xét sau: q k’s = 1 ,…, q m k’s =  m ; r k’s = 1 ,…, r l k’s =  l ; đó,  qi  p, r j >2p, (2.9) m l i 1 j 1  qi   r j  2v (2.10) Rõ ràng, m+l  v Sau đó, sử dụng (2.6) (2.7), kết luận rằng: m l m E ( Z nqi i  Z nj j )   E | Z ni | qi i 1 r j 1 i 1 l  E (| Z  n j 1 j l l  C1ml  (2n1 p ) rj 2 p | p | Z n j | l  ( rj 2 p )  ( rj  C1ml j 1 n j 1 p )  2l rj 2 p )  j 1 l  (rj  C1v 2v n j 1 p )  2l l  (rj  C n j 1 p )  2l (2.11) Kết hợp tất kết luận cố từ (2.11), viết: n E ( Z nk )  C3 * 2v k 1     q1 , ,qm ;r1 , ,rl 1 , ,  C3 m ** E ( Z m ; , ,l i 1 l qi n i Z  )  j 1 rj n i * S q1 , ,qm ;r1 , ,rl q1 , ,qm ; r1 , ,rl SVTH: Lê Thị Thương Huyền , (2.12) Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp 18 đó,  mở rộng cho gồm m giá trị ( q1 , , qm ) gồm l giá * trị ( r1 , , rl ) mà điều kiện (2.9) (2.10) thỏa mãn (trong trường hợp m=0 l=0 xảy ra),  ** mở rộng cho gồm (m+l) giá trị ( 1 , ,  m ;1 , ,l ) số nguyên khác n C độc lập liên tục n Cho m+l=t Rõ ràng,  t  v Chúng ta phân biệt hai trường hợp t  t = Trường hợp t  Theo (2.11) l S q1 , ,qm ;r1 , ,rl  C ** n  ( rj p )  2l j 1 1 , , m ;1 , ,l l  C2 n  (rj p )  2l t j 1 (2.13) Bây giờ,theo (2.10) ta có: m l r j  2l  t  (2v   qi )  2(t  m)  t   p j 1 p i 1  2v 2m 2v   2(t  m)  t   t  m(  2) p p p p (2.14) Chúng ta phân biệt thêm hai trường hợp m = t m  t-1 Trường hợp m = t: Theo giả thiết  p0, ta có: n1 p n Z k 1 nk  (t ) hữu hạn số mũ n nhỏ  ( )   Do đó, chứng minh rằng: (khi n   ) C   Chúng ta đề cập đến vấn đề đơn giản {  n } dãy C biến ngẫu nhiên { a n } chuỗi số mà  n  a n  C  n  an   Vì theo (2.5) ta có: n1 p n  EY k 1 nk (khi n   ) 0 Để đạt điều này, chứng minh rằng:  n | EYnk |  p  n 1 n k 1 3   (2.18) Theo (2.3), Ynk  X nk I [| X p ] nk | n  X nk  X nk I [| X p ] nk |  n Từ EX nk = 0, ta có: | EYnk | E (| X nk | I [| X p ] nk |  n ) Do đó, sử dụng (2.2) ta được:  n    n  E(| X n 1 p k 1 nk | I [| X p ] nk |  n )   n   p {n1 p P[| X nk | n1 p ]   P[| X nk | t ]dt}  n 1 n k 1 n1 p   {nP[| X | n1 p ]  n 1  n P[| X | t ]dt} n1 p n1 p Cho t  n1 p s áp dụng Bổ đề 2.2.1, kết luận rằng: SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp 21     nP[| X | p n 1   n 1  n]   n  P[| X | n1 p s]ds     n 1  E | X | p    nP[| s 1 X | p  n]ds  E | X | p 2 s 2 p E | X | p ds   4p E | X |2 p   , p 1 Chứng minh (2.5) thơng qua (2.18) hồn thành việc chứng minh Định lý 2.2.3 □ Các kết trước tài liệu sử dụng thay đổi điều kiện moment để có luật số lớn mà thu Hệ 2.2.4 Hệ 2.2.4 rằng, cho số p :  p <  > 0, ta có sup E| X nk | p  =B <  , (2.19) n, k (1.4) thỏa mãn.Tuy nhiên, (2.19) suy tồn biến ngẫu nhiên X mà {X nk } bị chặn X (1.6) thỏa mãn Do đó, Định lý 2.2.3 kéo theo hệ sau Hệ 2.2.4 Cho {X nk } mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng cho (1.5) (2.19) thỏa mãn với  p <  > Khi đó, ta có (1.4) Điều kiện đủ Hệ 2.2.5 suy từ Định lý 2.1, điền kiện cần suy từ Erdos [4] Hệ 2.2.6 kết tương ứng cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập mà không cần phải phân phối Hệ 2.2.5 Cho {X k } dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối mà EX = cho  p < Thì n1 p n X k 1 k C  (khi n   ) (2.20) E|X | p <  SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng 22 Khóa luận tốt nghiệp Hệ 2.2.6 Cho {X k } dãy biến ngẫu nhiên độc lập mà EX k =0 với k {X k } bị chặn biến ngẫu nhiên X, thỏa mãn (1.6) Khi đó, ta có (2.20) Nhận xét Trong điều kiện p =1, điều kiện đủ Hệ 2.2.3 đưa Hsu and Robbins [5] Nhận xét Chúng ta Hệ 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6 hai Định lý 2.1 2.2.3, giả thiết p < cần thiết Quan hệ (2.2) (1.4) khơng cho p = 2, chí trường hợp bị cặn biến ngẫu nhiên Các hàm Rademacher phù hợp cho luật loga lặp Nhận xét Xét mảng tổng quát biến ngẫu nhiên X 11 , X 12 , , X 1m1 X 21 , X 22 , , X m2 …………… X n1 , X n , , X nmn …………… với {m n : n= 1, 2, …} dãy tăng số nguyên Trong trường hợp mảng thông thường (tam giác), có m n = n cho n Chúng kết hợp lệ cho mảng tổng quát dãy biến ngẫu nhiên Có nghĩa là, mệnh đề nêu sau cho Định lý 2.2.3 chứng minh cách tương tự Mệnh đề 2.2.7 Nếu {X nk : k  1,2, , mn ; n  1,2, ; mn  mn1 } biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng mà (1.5) thỏa mãn {X nk } bị chặn biến ngẫu nhiên X thỏa mãn (1.6) m1n p mn X k 1 nk C   SVTH: Lê Thị Thương Huyền (khi n   ) Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp 23 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo ThS.Dương Xuân Giáp, luận văn hoàn thành, giải vấn đề sau đây: Hệ thống lại số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất Trình bày biến ngẫu nhiên độc lập, định nghĩa tính chất quan trọng luật số lớn Dựa vào luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund, mở rộng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, phần khóa luận Trong phần này, đưa hai bổ đề, Bổ đề 2.2.1 [12] Bổ đề 2.2.2 [13] với việc sử dụng kỹ thuật chặt cụt để chứng minh Định lý 2.2.3 [13] Một số hướng nghiên cứu khóa luận: - Trong khóa luận này, tất biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (  ,  ,  ) Chúng ta mở rộng kết cho trường hợp không gian Banach - Mở rộng hướng nghiên cứu luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc, luật số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội TIẾNG ANH [2] A.Beck, On the strong law of large numbers Ergodic Theory,pp.21-53 Academic Press (New York,1963) [3] Y.S Chow and H Teicher, Probability Theory, Independence, Interchangeability, Martingales Springer (New York-Heidelberg, 1978) [4] P Erdos, On a theorem of Hsu and Robbins, Ann Math Statist., 20 (1949), 286-291 [5] P.L Hsu and H Robbins, Complete convergence and the law of large numbers, Proc Nat Acad Sci U.S.A 33 (1947), 25-31 [6] T.-C.Hu, F Moricz and R.L Taylor, Strong laws of large numbers for arrays of rowwise independent random variables Statistics Technical Report 27 University of Georgia, 1986 [7] N.C Jain, Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables, Z Wahrsch Verw Gebiete, 33 (1975), 155-166 [8] A.N Kolmogorov, Uber die Summen durch den Zufall bestimmter unabhangiger Grossen, Math Ann 99 (1928), 303-319 and 102 (1930), 484488 [9] J Marcinkiewicz and A Zygmund, Sur les fonctions independantes, Fund Math., 29 (1937), 60-90 [10] W.E Pruitt, Summability of independent random variables, J Math Mech., 15 (1966), 769-776 SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Tốn Tin ứng dụng 25 Khóa luận tốt nghiệp [11] R.L Taylor and D.Wei, Laws of large numbers for tight random elements in normed linear spaces, Ann Probab., (1979), 150-157 [12] W.A Woyczynski, On Marcinkiewicz-Zygmund laws of large numbers in Banach spaces and related rates of convergence, Probab Math Statist., (1980), 117-131 [13] A Zaman and A Zaman , Kolmogorov’s and Mourier’s strong laws of arrays with independent and identically distributed columns Statistics Technical Report M 677 Florida State University 1984 SVTH: Lê Thị Thương Huyền Lớp: 49B – Toán Tin ứng dụng ... xác suất: biến ngẫu nhiên, dạng tụ…, chúng tơi trình bày tính độc lập biến ngẫu nhiên Cuối khái niệm số tính chất luật số lớn Chương Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng Trong... suất…………………………………………………… 1.2 Các biến ngẫu nhiên độc lập? ??……………………………………6 1.3 Luật số lớn ……………………………………………………… Chương Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng 10 2.1 Giới thiệu ………………………………………………………... , họ biến cố (A i ) iI độc lập (độc lập đôi một) Họ biến ngẫu nhiên (X i ) iI gọi độc lập (độc lập đôi một) họ  - đại số (  (X i )) iI độc lập (độc lập đôi một) 1.3 Luật số lớn 1.3.1 Luật