Luật số lớn đối với hiệu martingale trên không gian banach

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH …….***…… NGUYỄN THỊ HƢƠNG LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI HIỆU MARTINGALE TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH – 2009 Mục lục Mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Các tập Borel không gian Tôpô 1.2 Độ đo xác suất 1.3 Phần tử ngẫu nhiên 1.4 Các dạng hội tụ 1.5 Kì vọng có điều kiện 1.6 Martingale 11 Chương Luật số lớn hiệu martingale không gian Banach 13 2.1 Không gian Banach p – trơn 13 2.2 Các bất đẳng thức 14 2.3 Luật yếu số lớn 17 2.4 Luật mạnh số lớn 20 2.5 Luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên phù hợp 30 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết xác suất đời vào nửa cuối kỉ 17, phát triển mạnh mẽ nhanh chóng trở thành lĩnh vực tốn học có sở lí thuyết chặt chẽ Ngày lý thuyết xác suất có nhiều ứng dụng lĩnh vực hoạt động khác nhau, từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế, từ nông học tới y học Một hướng mở rộng lí thuyết xác suất nghiên cứu vấn đề khơng gian Banach, lĩnh vực gần phát triển mạnh thu nhiều kết sâu sắc Trong Lý thuyết xác suất, luật số lớn đóng vai trị quan trọng Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tơi nghiên cứu đề tài: Luật số lớn hiệu martingale không gian Banach Nội dung luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở chuẩn bị cho chương sau: Tập Borel không gian tôpô, độ đo xác suất, phần tử ngẫu nhiên đặc trưng nó, dạng hội tụ, martingale không gian Banach Chương Luật số lớn hiệu martingale không gian Banach p – trơn Nội dung luận văn trình bày chương này: Khái niệm không gian Banach p– trơn đều, bất đẳng thức martingale, Luật yếu số lớn Luật mạnh số lớn hiệu martingale không gian Banach p– trơn Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình quan tâm , hướng dẫn, dạy cho tác giả suốt trình nghiên cứu học tập Nhân dịp tác giả xin đươc gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Phan Đức Thành, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hịa thầy giáo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân tất bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo q báu thầy, giáo góp ý bạn đọc Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Các tập Borel không gian Tôpô 1.1.1 Định nghĩa Giả sử  khơng gian Tơpơ Khi  – đại số bé chứa tập mở  gọi  – đại số Borel kí hiệu () Tập A  () gọi tập Borel 1.1.2 Ví dụ         a;   | a  R   a;b  |   a  b      a;b  |   a  b   Lấy   R B R   ;a | a  R 1.2 Độ đo xác suất 1.2.1 Định nghĩa   Giả sử A  P  đại số Hàm tập hợp  xác định được gọi độ đo xác suất hữu hạn cộng tính : i) P (A)  A  A ii) P     iii) P  A B  P  A   P  B A, B  A ; A B   Từ iii) qui nạp ta suy Ai  A ; i  1, ,n; Ai  A j   i  j  n  n P  Ai    P  Ai   i1  i1 1.2.2 Định nghĩa Hàm tập hợp  xác định đại số gọi độ đo xác suất  – cộng tính nếu: i) P (A)  A  A , ii) P     1, iii) Nếu Ai  A ; i  1, ,n, ; Ai  A j   i  j;  Ai  A thì: i 1    P  Ai    P  Ai   n 1  n 1 Nhận xét: Từ tính chất  – cộng tính độ đo xác suất suy tính chất hữu hạn cộng tính Nhưng điều ngược lại khơng 1.2.3 Định lí Giả sử  độ đo xác suất  – cộng tính đại số  Khi điều kiện sau tương đương: i)   – cộng tính ii)  liên tục trên, tức An  A ; n  1,2, dãy không giảm tức tức An  An 1 lim A n  n   A n A thì: n 1   P  A n   lim P  A n   n 1  n iii) liên tục dưới, tức An  A ; n  1,2, dãy giảm tức An  An 1 lim A n  n   A n A n 1    P  A n   lim P  A n   n 1  n iv)  liên tục không, tức An  A ; An  An 1; n  1,2  n 1 A n   lim P (An )  n  1.2.4 Định nghĩa  R độ đo xác Giả sử   ; F  P () , là  – đại số P : F  suất Bộ ba  , F , P  gọi không gian xác suất với độ đo  Tập  gọi không gian biến cố sơ cấp  – đại số được gọi  – đại số biến cố Mỗi A  được gọi biến cố Không gian xác suất  , F , P  goi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không thuộc  1.3 Phần tử ngẫu nhiên Trong luận văn này, giả sử  , F , P  không gian xác suất đầy đủ  không gian Banach khả li,   – đại số , ()  – đại số Borel 1.3.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạ X :   E phần tử ngẫu nhiên  – đo được, nhận giá trị  X  / () đo (nghĩa với B B  E  X-1 (B) G ) Phần tử ngẫu nhiên – đo gọi đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên  – đo X phần tử ngẫu nhiên 1.3.2 Các đặc trƣng phần tử ngẫu nhiên 1.3.2.1 Định nghĩa E phần tử ngẫu nhiên, phần tử EXE gọi kì Giả sử X :   vọng X với f E * có f (EX)  E(f (X)) R 1.3.2.2 Tính chất Giả sử X , Y phần tử ngẫu nhiên,  đại lượng ngẫu nhiên xác định  , F , P  , a  R;  E Khi tồn EX, EY, E i) Tồn E  X  Y  E  X  Y   EX  EY ii) Tồn E  aX  E  aX   aEX iii) Tồn E   E     E iv) Nếu P  X     EX   v) Nếu  f  X  độc lập với f E * tồn E  X  E  X   EEX vi) Với ánh xạ tuyến tính liên tục T : E   E ' (’ không gian Banach khả li) tồn E  T  X   E  T  X    T  EX  1.3.2.3 Định nghĩa Giả sử X phần tử ngẫu nhiên, số DX  E X  EX (nếu tồn tại) gọi phương sai X 1.3.2.4 Tính chất Giả sử X phần tử ngẫu nhiên,  đại lượng ngẫu nhiên xác định  , F , P  , a  R;  E Khi : i) D  aX   a 2DX ii) D      D iii) DX   X  EX 1.3.3 Định nghĩa Giả sử X t , t  họ phần tử ngẫu nhiên xác định không gian xác suất  , F , P  , nhận giá trị (, () ) Khi đó, họ X t , t  gọi độc lập, với hữu hạn t j   A j  B  E   j  n , ta có  n  n P  X t j1  A j     P X t j1  A j   j1  j1  1.4 Các dạng hội tụ 1.4.1 Định nghĩa  10 Giả sử  X n  dãy phần tử ngẫu nhiên xác định không gian  , F , P  , nhận giá trị (, () ) Ta nói  X n  hội tụ đến X : - Hầu chắn : P (lim Xn  X  0)  n  - Theo xác suẪn ,   E Xn pq n pq 1q n 1   n  Xk  h.c.c n k 1 (b) Với   tồn số dương C cho hiệu martingale  X n  nhận giá trị   n P  S n    C  1 n n 1  E Xn n 1 pq  n pq 1q Chứng minh (a) Trường hợp q  chứng minh định lí 2.4.4 Giả sử q   S  martingale dưới, thực, sử dụng bất đẳng thức Hajek-Renyipq n Chow ta có với   pq P (sup S j j  )  pq lim P ( sup S j j m jn n  pq E Sn  pq pq n  jm pq    pq jn 1  pq )  S j1 j E( S j pq ) Áp dụng bất đẳng thức (1.3) bất đẳng thức Holder E Sj pq j p  CE( Xi )  Cj q i 1 q 1 pq j E X i 1 i Áp dụng giả thiết (a) bổ đề Kronecker ta thu j pq E S j pq  h.c.c j   ... gian Banach p-trơn - Nghiên cứu luật yếu số lớn hiệu martingale không gian Banach p-trơn - Xây dưng cách chứng minh luật mạnh số lớn hiệu martingale không gian Banach p-trơn xuất phát từ bất đẳng... tụ, martingale không gian Banach Chương Luật số lớn hiệu martingale không gian Banach p – trơn Nội dung luận văn trình bày chương này: Khái niệm khơng gian Banach p– trơn đều, bất đẳng thức martingale, ... 11 Chương Luật số lớn hiệu martingale không gian Banach 13 2.1 Không gian Banach p – trơn 13 2.2 Các bất đẳng thức 14 2.3 Luật yếu số lớn