Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian banach bằng bài toán giá trị biên không địa phương

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Các kiến thức bổ trợ 1.1 Nửa nhóm sinh tốn tử tính chất Khái niệm nửa nhóm sinh toán tử Các tính chất nửa nhóm sinh toán tử 1.2 Nửa nhóm giải tích 11 Khái niệm nửa nhóm giải tích 11 Ví dụ nửa nhóm giải tích 12 Định lý ánh xạ phổ 16 Chương Đánh giá ổn định chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach 17 2.1 Đánh giá ổn định 17 2.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian khơng gian Banach 18 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất nhiều lĩnh vực khác công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, Đó tốn kiện q trình vật lý khơng đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận văn này, chúng tơi đề cập tới phương trình parabolic ngược thời gian Đó tốn cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lý toán gọi ngược thời gian) Các toán kể thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard J.S Hadamard (1865 -1963) người chia phương trình đạo hàm riêng thành hai loại: Bài toán đặt chỉnh Bài toán đặt khơng chỉnh Một tốn gọi đặt chỉnh thỏa mãn ba điều kiện a) có nghiệm, b) nghiệm nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo tơpơ đó) theo kiện tốn Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn ta nói tốn đặt khơng chỉnh Để xấp xỉ cách ổn định nghiệm tốn đặt khơng chỉnh, ta phải dùng phương pháp chỉnh hóa Từ trước tới có nhiều cơng trình nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian không gian Hilbert Tuy nhiên, kết đạt khơng gian Banach cịn hạn chế Bài tốn đặt khơng chỉnh vừa đề cập mơ tả sau: Cho X không gian Banach với chuẩn ∥·∥ Ta kí hiệu D(A), σ(A), ρ(A), R(λ, A) (λ ∈ ρ(A)) miền xác định, tập giá trị phổ, tập giá trị quy giải thức toán tử A với A : D(A) ⊂ X → X tốn tử tuyến tính xác định trù mật X cho −A sinh nửa nhóm giải tích {S(t)}t X Cho ε < E T số thực dương, xét tốn tìm hàm u : [0, T ] → X cho { ut + Au = 0, < t < T, ∥u(T ) − f ∥ ε (1) ∥u(0)∥ E (2) với f ∈ X Bài tốn đặt khơng chỉnh nên ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hóa Các tác giả Ames Hughes [1], Huang cộng [4, 5, 6, 7] xấp xỉ toán (1) phương pháp tựa đảo Trong trường hợp −A sinh nửa nhóm giải tích khơng gian Banach, tác giả [5] khẳng định tồn họ tốn tử chỉnh hóa cho tốn (1) Tuy nhiên, họ không đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp Để đạt đánh giá sai s kiu Hăolder gia nghim xp x v nghim toán xuất phát Huang ([4]) đưa giả thiết mạnh −A sinh nửa nhóm giải tích bị chặn Một phương pháp khác sử dụng để chỉnh hóa tốn (1) phương pháp làm nhuyễn Vào năm 1994, Đinh Nho Hào ([2]) đề xuất phương pháp làm nhuyễn cho tốn đặt khơng chỉnh không gian Banach Phương pháp cho ta cách giải toán trường hợp tổng quát, ứng dụng cho hầu hết tốn đặt khơng chỉnh truyền thống, có phương trình parabolic ngược thời gian Hơn nữa, phương pháp cho ta đánh giá sai s dng Hăolder v cú th trin khai d dàng máy tính Phương pháp sau Đinh Nho Hào cộng phát triển thêm cơng trình [3] Trong luận văn này, chúng tơi sử dụng phương pháp tốn giá trị biên không địa phương để thu kết tương tự [3] Hơn nữa, phương pháp có hiệu lực tốn (1) trường hợp −A sinh nửa nhóm giải tích không gian Banach X Chúng chứng minh đánh giỏ sai s kiu Hăolder cho cỏc lut chn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm Đây kết cho phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach với luật chọn tham số hậu nghiệm có đánh giá sai số dạng Hăolder Khúa lun cú cu trỳc nh sau - Mc lục - Lời mở đầu Chương 1: Các kiến thức bổ trợ: Chương nhằm mục đích trình bày định nghĩa, ví dụ, tính chất nửa nhóm tốn tử nhóm giải tích Ngồi ra, nhắc lại định lý ánh xạ phổ để sử dụng kết Chương Chương 2: Đánh giá ổn định chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach: Chương nhằm mục đích trình bày kết đánh giá ổn định, chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach Kết đánh giá ổn định trích dẫn tài liệu tham khảo [3] [8] cịn kết chỉnh hóa có đánh giá sai s kiu Hăolder c chỳng tụi xut bng cách sử dụng phương pháp toán giá trị biên không địa phương với luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm Định lý 2.1.1 kết [8], Định lý 2.1.2 kết [3], Định lý 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6 đưa chứng minh Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo GS TSKH Đinh Nho Hào Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học Thầy, Cô giáo tổ Giải tích, khoa giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập trường hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Du tạo điều kiện cho tác giả trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè học viên Cao học khóa 17 - Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng song Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Vinh, năm 2011 Tác giả CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương nhằm mục đích trình bày định nghĩa, ví dụ, tính chất nửa nhóm tốn tử nhóm giải tích Ngồi ra, chúng tơi nhắc lại định lý ánh xạ phổ Các kết chương trích từ tài liệu tham khảo [9] 1.1 Nửa nhóm sinh tốn tử tính chất Khái niệm nửa nhóm sinh tốn tử 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian Banach Họ tham số tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào X, T (t), t < ∞ gọi nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn X i) T (0) = I, (I toán tử đồng X), ii) T (t + s) = T (t)T (s) với t, s 1.1.2 Định nghĩa Nửa nhóm tốn tử tuyến tính liên tục, T (t), gọi liên tục lim ∥T (t) − I∥ = t↓0 1.1.3 Định nghĩa Tốn tử tuyến tính A xác định D(A) = {x ∈ X : lim t↓0 T (t)x − x tồn tại} t T (t)x − x d+ T (t)x Ax = lim = t↓0 t dt t=0 với x ∈ D(A) gọi tốn tử sinh nửa nhóm T (t), D(A) gọi miền xác định A 1.1.4 Định nghĩa Nửa nhóm tốn tử tuyến tính liên tục X, T (t), t < ∞, gọi nửa nhóm liên tục mạnh lim T (t)x = x t↓0 với x ∈ X 1.1.5 Định nghĩa Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính liên tục X gọi nửa nhóm lớp C0 hay đơn giản nửa nhóm C0 1.1.6 Định nghĩa Cho X không gian Banach với không gian đối ngẫu X ∗ Chúng ta ký hiệu giá trị x∗ x ∈ X ⟨x∗ , x⟩ ⟨x, x∗ ⟩ Nếu A tốn tử tuyến tính X ảnh số tập S(A) = {⟨x∗ , Ax⟩ : x ∈ D(A), ∥x∥ = 1, x∗ ∈ X ∗ , ∥x∗ ∥ = 1, ⟨x∗ , x⟩ = 1} Các tính chất nửa nhóm sinh toán tử 1.1.7 Định lý Toán tử tuyến tính A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn A tốn tử tuyến tính bị chặn Chứng minh Giả sử A toán tử tuyến tính bị chặn X Đặt tA T (t) = e = ∞ ∑ (tA)n n=0 (1.1) n! Vế phải (1.1) hội tụ theo chuẩn với t nên xác định tốn tử tuyến tính bị chặn T (t) Rõ ràng T (0) = I tính tốn đơn giản chuỗi lũy thừa ta suy T (t + s) = T (t)T (s) Đánh giá chuỗi lũy thừa ta có ∥T (t) − I∥ T (t) − I −A t t∥A∥et∥A∥ ∥A∥ max ∥T (s) − I∥ s t Các đánh giá kéo theo T (t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn X A tốn tử sinh Bây ta chứng minh khẳng định ngược lại Giả sử T (t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn X Cố định ρ > 0, ∫ρ ∫ρ đủ nhỏ cho ∥I − ρ−1 T (s)ds∥ < Điều kéo theo ρ−1 T (s)ds ∫ρ khả nghịch T (s)ds khả nghịch Mặt khác, ta có (∫ ρ ) ∫ ρ ∫ ρ h−1 (T (h) − I) T (s)ds = h−1 T (s + h)ds − T (s)ds 0 (∫ ρ+h ) ∫ h = h−1 T (s)ds − T (s)ds ρ Do −1 ( −1 ∫ h (T (h) − I) = h ρ+h −1 ∫ T (s)ds − h h ) (∫ T (s)ds 0 )−1 ρ T (s)ds (1.2) Từ (1.2) ta thấy h−1 (T (h) − I) hội tụ theo chuẩn (và hội tụ mạnh) (∫ ρ )−1 tới tốn tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I) T (s)ds h ↓ Do (∫ ρ )−1 tốn tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I) T (s)ds toán tử sinh T (t) 1.1.8 Định lý Cho T (t) nửa nhóm C0 A tốn tử sinh Khi ∫ t+h a) Với x ∈ X, lim h1 t T (s)xds = T (t)x h→0 ∫t b) Với x ∈ X, T (s)xds ∈ D(A) (∫ t ) A T (s)xds = T (t)x − x c) Với x ∈ D(A), T (t)x ∈ D(A) d T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax dt d) Với x ∈ D(A), ∫ T (t)x − T (s)x = ∫ t T (τ )Axdτ = s t AT (τ )xdτ s Chứng minh Phần a) suy trực tiếp từ tính liên tục ánh xạ t → T (t)x Để chứng minh b), lấy x ∈ X h > Khi ∫ ∫ T (h) − I t t T (s)xds = (T (s + h)x − T (s)x)ds h h 0 ∫ ∫ t+h h = T (s)xds − T (s)xds h h (1.3) (1.4) Chú ý cho h ↓ vế phải đẳng thức tiến tới T (t)x − x Do phần b) chứng minh Để chứng minh phần c) lấy x ∈ D(A) h > ta có ( ) T (h) − I T (h) − I T (t)x = T (t) x → T (t)Ax h ↓ h h (1.5) Do đó, T (t)x ∈ D(A) AT (t)x = T (t)Ax Đẳng thức (1.5) kéo theo d+ T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, dt nghĩa là, đạo hàm phải T (t)x T (t)Ax Để chứng minh đẳng thức phần c), ta phải chứng tỏ với t > 0, đạo hàm trái T (t)x tồn T (t)Ax Ta nhận thấy ( ) ( ) T (t)x − T (t − h)x T (h)x − x lim − T (t)Ax = lim T (t − h) − Ax h↓0 h↓0 h h + lim(T (t − h)Ax − T (t)Ax) h↓0 Vì x ∈ D(A) ∥T (t − h)∥ bị chặn h t nên số hạng thứ vế phải đẳng thức Số hạng thứ hai vế phải đẳng thức tính liên tục mạnh T (t) Do khẳng định c) chứng minh Khẳng định phần d) đạt cách lấy tích phân hai vế đẳng thức nêu phần c) từ s tới t 1.1.9 Hệ Nếu A tốn tử sinh nửa nhóm C0 miền xác định D(A) tốn tử A, trù mật X A tốn tử tuyến tính đóng 10 ∫t T (s)xds Theo phần b) t Định lý 1.1.8, xt ∈ D(A) với t > theo phần a) Định lý Chứng minh Với x ∈ X đặt xt = ta có t ↓ Do đó, D(A) ≡ X với D(A) bao đóng D(A) Tính tuyến tính A hiển nhiên Để chứng minh tính đóng ta lấy xn ∈ D(A), xn → x Axn → y n → ∞ Từ phần d) Định lý 1.1.8 ta có ∫ t T (t)xn − xn = T (s)Axn ds (1.6) Biểu thức dấu tích phân vế phải (1.6) hội tụ tới T (s)y khoảng bị chặn Do đó, cho n → ∞ (1.6) ta ∫ t T (t)x − x = T (s)yds (1.7) Chia (1.7) cho t > cho t ↓ 0, sau sử dụng phần a) Định lý 1.1.8 ta thấy x ∈ D(A) Ax = y 1.1.10 Định lý Cho T (t) nửa nhóm C0 Khi tồn số ω M cho ∥T (t)∥ M eωt với t < ∞ Nếu ω = T (t) gọi nửa nhóm C0 bị chặn Nếu ω = M = T (t) gọi nửa nhóm C0 co Chứng minh Đầu tiên, chứng minh tồn số η > cho ∥T (t)∥ bị chặn với t η Nếu khẳng định khơng tồn dãy {tn } thỏa mãn tn ∥T (tn )x∥ 0, lim tn = n→∞ n Sử dụng nguyên lý bị chặn đều, ta khẳng định tồn x ∈ X cho ∥T (tn )x∥ khơng bị chặn Điều mâu thuẫn với tính liên tục mạnh nửa nhóm C0 , T (t) Do đó, tồn M > cho ∥T (t)∥ ω = η −1 ln M M với 0 Với t t η Vì ∥T (0)∥ = nên M Đặt ta viết t = nη + δ n ∈ N δ < η Sử dụng tính chất nửa nhóm, ta có 16 nhóm sinh −Ap giải tích để ý từ (1.11) (1.13), ảnh số S(−Ap ) −Ap chứa tập Sv1 = {λ : |argλ| > π−v1 } √ π π v1 = arctan(M |p − 2|/2C0 p − 1), < v1 < Chọn v1 < v < 2 kí hiệu Sv = {λ : |argλ| < π − v} (1.16) Khi đó, tồn số Cv > cho d(λ : S(−Ap )) Cv |λ| với λ ∈ Sv Vì λ > nằm tập giá trị qui ρ(−Ap ) −Ap nên từ Định lý 1.1.12 suy ρ(−Ap ) ⊃ Sv ∥(λI + Ap )−1 ∥0,p với λ ∈ Sv Cv |λ| Sử dụng Định lý 1.2.3 (c) ta khẳng định −Ap toán tử sinh nửa nhóm giải tích Lp (Ω) với p thỏa mãn p < ∞ Trường hợp < p < lập luận tương tự 1.2.14 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A toán tử sinh nửa nhóm giải tích T (t), t Khi đó, ta có etσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t CHƯƠNG ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH VÀ CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chương nhằm mục đích trình bày kết đánh giá ổn định, chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach Kết đánh giá ổn định trích dẫn tài liệu tham khảo [3] [8] kết chỉnh húa cú ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder c chỳng đề xuất cách sử dụng phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương với luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm 2.1 Đánh giá ổn định Các kết phần tham khảo cơng trình [3] [8] 2.1.1 Định lý Cho −A toán tử sinh nửa nhóm giải tích góc ψ (0 < ψ π/2) không gian Banach Cho u(t) nghiệm phương trình ut + Au = 0, < t < T thoả mãn ∥u(T )∥ ∥u(0)∥ ε, E Khi tồn số C k cho ∥u(t)∥ Cek(t−T w(t)) εw(t) E 1−w(t) , ∀t ∈ [0, T ], w(τ ) hàm điều hoà S = {τ = t + is : |argτ | < ψ, |arg(τ − T )| > ψ} 17 18 ¯ tương ứng biên trái biên bị chặn liên tục S, phải S 2.1.2 Định lý Cho p ∈ (1, ∞), u˜1 u˜2 hai nghiệm phương trình ut = uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ) Khi tồn số c˜ > cho ∥˜ u1 (·, t) − u˜2 (·, t)∥p c˜∥˜ u1 (·, T ) − u˜2 (·, T )∥t/T u1 (·, 0) − u˜2 (·, 0)∥1−t/T , p ∥˜ p 2.2 t ∈ [0, T ] Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian khơng gian Banach Giới thiệu tốn Trong mục này, chúng tơi chỉnh hóa tốn (1)–(2) tốn giá trị biên không địa phương { vαt + Avα = 0, < t < T, αvα (0) + vα (T ) = f, α > (2.1) với cách chọn tham số thích hợp chúng tơi đạt c ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder u(t) v (t)∥ Cek(t−T w(t)) εw(t) E 1−w(t) với t ∈ [0, T ], C, k số tính tốn w(τ ) hàm điều hòa ∂2 , p ∈ (1, ∞), f ∈ Lp (R) ε, E ∂x2 số cho < ε < E < ∞, ta có phương trình truyền nhiệt Trong trường hợp đặc biệt, A = − ngược thời gian { ut = uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ), ∥u(·, T ) − f (·)∥Lp (R) ε, (2.2) với ràng buộc ∥u(·, 0)∥Lp (R) E (2.3) 19 Chúng chứng minh u˜ nghiệm toán (2.2)–(2.3) v˜α nghiệm tốn biên khơng địa phương đặt chỉnh { vαt = vαxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ) αvα (x, 0) + vα (x, T ) = f (x), x ∈ R ε với α = tồn số c > cho E ∥˜ vα (·, t) − u˜(·, t)∥Lp (R) cεt/T E 1−t/T , (2.4) ∀t ∈ [0, T ] Các kết Ký hiệu nghiệm toán (1)–(2), (2.1), (2.2)–(2.3), (2.4) tương ứng u(t), vα (t), u˜(t), v˜α (t) 2.2.1 Định nghĩa Hàm vα : [0, T ] → X gọi nghiệm toán (2.1) vα ∈ C ((0, T ), X) ∩ C([0, T ], X), vα (t) ∈ D(A), ∀t ∈ (0, T ), thỏa mãm vαt + Avα = (0, T ) điều kiện giá trị biên αvα (0) + vα (T ) = f 2.2.2 Định lý Bài toán (2.1) toán đặt chỉnh Hơn nữa, chúng ε ta chọn α = tồn số C1 k cho E ∥vα (t) − u(t)∥ C1 ek(t−T w(t)) εw(t) E 1−w(t) với t ∈ [0, T ], w(τ ) hàm điều hòa xác định Định lý 2.1.1 2.2.3 Định lý Bài toán (2.4) đặt chỉnh Hơn nữa, chọn ε α= tồn số c1 cho E ∥˜ vα (·, t) − u˜(·, t)∥Lp (R) 2.2.4 Định lý Giả sử S(t), t c1 εt/T E 1−t/T , nửa nhóm giải tích sinh −A Khi tồn số dương M cho M a) ∥(αI + S(T ))−1 ∥ , ∀α > 0, α b) ∥S(T )(αI + S(T ))−1 ∥ M + 1, ∀α > 0, c) ∥(αI + S(T ))−1 S(T )∥ ∀t ∈ [0, T ] M + 1, ∀α > 20 2.2.5 Định lý Giả sử ε < ∥f ∥ Chọn τ > cho < M τ ε < ∥f ∥ Khi tồn số αε > cho ∥vαε (T ) − f ∥ = M τ ε (2.5) Hơn nữa, u(t) nghiệm toán (1) với ràng buộc (2), tồn số C2 , k cho ∥u(t) − vαε (t)∥ C2 ek(t−T w(t)) εw(t) E 1−w(t) , ∀t ∈ [0, T ], (2.6) w(τ ) hàm điều hòa xác định Định lý 2.1.1 M xác định Định lý 2.2.4 2.2.6 Định lý Giả sử ε < ∥f ∥ Chọn τ > cho < M τ ε < ∥f ∥ Khi tồn số αε > cho ∥˜ vαε (T ) − f ∥ = M τ ε (2.7) Hơn nữa, u˜(t) nghiệm toán (2.2)–(2.3), tồn số C3 cho ∥˜ u(t) − v˜αε (t)∥ C3 εt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ], (2.8) M xác định Định lý 2.2.4 Chứng minh kết Tính đặt chỉnh (2.1) chứng minh, chẳng hạn, xem [4] Hơn nữa, có vα (t) = S(t)(αI + S(T ))−1 f, ∀t ∈ [0, T ] u(t) = S(t)u(0), ∀t ∈ [0, T ] (2.9) (2.10) Chứng minh Định lý 2.2.4 Giả sử −S(T ) sinh nửa nhóm {T (t)}t Vì S(T ) : X → X tốn tử tuyến tính bị chặn nên {T (t)}t nửa nhóm liên tục đều.Theo định lý ánh xạ phổ, ta có etσ(−S(T )) = σ(T (t)), ∀ t (2.11) 21 Mặt khác, ta nhận thấy ℜλ {S(t)}t với λ ∈ σ(−S(T )) nửa nhóm giải tích Do đó, (2.11) kéo theo r(T (t)) với t 0, r(T (t)) bán kính phổ T (t) Ta biết r(T (t)) = eωt với t (2.12) 0, ω số thực xác định ω = inf{w ∈ R : ∥T (t)∥ Do đó, {T (t)}t Mw ewt với t Mw thích hợp} (2.13) nửa nhóm bị chặn đều, nghĩa là, tồn số dương M cho ∥T (t)∥ Với α > x ∈ X, đặt M, ∀ t ∫ R(α)x = ∞ e−αt T (t)xdt (2.14) Vì t → T (t)x liên tục bị chặn nên tích phân tồn xác định tốn tử tuyến tính bị chặn R(α) thoả mãn ∫ ∞ M ∥x∥ ∥R(α)x∥ e−αt ∥T (t)x∥dt α Điều kéo theo ∥R(α)∥ (2.15) M Hơn nữa, với h > ta có α ∫ T (h) − I ∞ −αt e (T (t + h)x − T (t)x)dt R(α)x = h α ∫ ∫ eαh − ∞ −αt eαh h −αt = e T (t)xdt − e T (t)xdt h h 0 (2.16) Khi h ↓ 0, vế phải (2.16) hội tụ tới αR(α)x − x Điều kéo theo −S(T )R(α)x = αR(α)x−x, ∀x ∈ X hay (αI +S(T ))R(α)x = x, ∀x ∈ X, (αI + S(T ))R(α) = I (2.17) 22 Vì x ∈ X ta có ∫ ∞ ∫ ∞ e T (t)S(T )xdt = e−αt S(T )T (t)xdt (∫ ∞ ) = −S(T ) e−αt T (t)xdt = −S(T )R(α)x (2.18) −R(α)S(T )x = − −αt Từ (2.17) (2.18) ta có R(α)(αI + S(T ))x = x, ∀x ∈ X (2.19) Do đó, R(α) tốn tử ngược (αI + S(T )), ∥(αI + S(T ))−1 ∥ = ∥R(α)∥ M , ∀α > α Ta biết α ∈ ρ(−S(T )) { } λ ∈ C : |λ − α| < ⊂ ρ(−S(T )) ∥(αI + S(T ))−1 ∥ (2.20) Điều kéo theo d(α, σ(−S(T )) ∥(αI + S(T ))−1 ∥ (2.21) Nếu ∈ ρ(−S(T )) ∈ ρ(S(T )) Sử dụng Mệnh đề 2.3 [5], ta khẳng định A tốn tử tuyến tính bị chặn Điều mâu thuẫn với giả thiết Do đó, ta phải có ∈ σ(−S(T )) Từ (2.21) (2.22), ta đạt α (2.22) d(α, σ(−S(T )) ∥(αI + S(T ))−1 ∥ , ∀α > α (2.23) hay ∥(αI + S(T ))−1 ∥ Từ (2.20) (2.23), ta có M α , ∀α > hay M α 23 b)Ta có ∥S(T )(αI + S(T ))−1 ∥ = ∥(αI + S(T ) − αI)(αI + S(T ))−1 ∥ = ∥(αI + S(T ))(αI + S(T ))−1 − αI(αI + S(T ))−1 ∥ = ∥I − α(αI + S(T ))−1 ∥ ∥I∥ + α∥(αI + S(T ))−1 ∥ M 1+α = M + 1, ∀α > α c) Ta có ∥(αI + S(T ))−1 S(T )∥ = ∥(αI + S(T ))−1 (αI + S(T ) − αI)∥ = ∥(αI + S(T ))−1 (αI + S(T )) − (αI + S(T ))−1 αI∥ = ∥I − α(αI + S(T ))−1 ∥ ∥I∥ + α∥(αI + S(T ))−1 ∥ M 1+α = M + 1, ∀α > α Định lý chứng minh Chứng minh Định lý 2.2.2, 2.2.3 ε 2.2.7 Bổ đề Nếu ta chọn α = E ∥u(0) − vα (0)∥ 2M E Chứng minh Sử dụng (2.9), (2.10) Định lý 2.2.4, ta có ∥u(0) − vα (0)∥ = ∥(αI + S(T ))−1 f − u(0)∥ ∥(αI + S(T ))−1 (f − u(T ))∥ + ∥(αI + S(T ))−1 u(T ) − u(0)∥ ∥(αI + S(T ))−1 ∥∥(f − u(T ))∥ + ∥(αI + S(T ))−1 S(T )u(0) − u(0)∥ ∥(αI + S(T ))−1 ∥ε + ∥(αI + S(T ))−1 S(T ) − I∥∥u(0)∥ ∥(αI + S(T ))−1 ∥ε + α∥(αI + S(T ))−1 ∥E M M ε + α E = 2M E α α Bổ đề chứng minh (2.24) 24 2.2.8 Bổ đề Nếu ta chọn α = ε E ∥u(T ) − vα (T )∥ 2(M + 1)ε Chứng minh Sử dụng (2.9), (2.10) Định lý 2.2.4, ta có ∥u(T ) − vα (T )∥ = ∥S(T )(αI + S(T ))−1 f − u(T )∥ ∥S(T )(αI + S(T ))−1 (f − u(T ))∥ + ∥S(T )(αI + S(T ))−1 u(T ) − u(T )∥ ∥S(T )(αI + S(T ))−1 ∥∥(f − u(T ))∥ + ∥S(T )(αI + S(T ))−1 u(T ) − u(T )∥ ∥S(T )(αI + S(T ))−1 ∥ε + ∥S(T )(αI + S(T ))−1 u(T ) − (αI + S(T ))(αI + S(T ))−1 u(T )∥ ∥S(T )(αI + S(T ))−1 ∥ε + α∥(αI + S(T ))−1 S(T )u(0)∥ ∥S(T )(αI + S(T ))−1 ∥ε + α∥(αI + S(T ))−1 S(T )∥∥u(0)∥ (2.25) (M + 1)ε + α(M + 1)E = 2(M + 1)ε Bổ đề chứng minh Khẳng định Định lý 2.2.2, 2.2.3 hệ trực tiếp từ Bổ đề 2.2.7, 2.2.8 Định lý 2.1.1 2.1.2 tương ứng với w(t) := u(t) − vα (t), ∀t ∈ [0, T ] Chứng minh Định lý 2.2.5, 2.2.6 2.2.9 Bổ đề Đặt ρ(α) = ∥vα (T ) − f ∥ Nếu < M ε < ∥f ∥, a) ρ hàm liên tục, b) lim+ ρ(α) = 0, α→0 c) lim ρ(α) α→+∞ ∥f ∥ Chứng minh Sử dụng (2.9) Định lý 2.2.4, ta có ∥vα (0)∥ = ∥(αI + S(T ))−1 f ∥ ∥(αI + S(T ))−1 ∥∥f ∥ M ∥f ∥ α 25 Điều kéo theo ρ(α) = α∥vα (0)∥ = α∥(αI + S(T ))−1 f ∥ ∈ [0; M ∥f ∥], ∀α > Mặt khác, ∥vα (T )∥ = ∥S(T )(αI + S(T ))−1 f ∥ ∥S(T )∥∥(αI + S(T ))−1 ∥∥f ∥ M ∥S(T )∥∥f ∥ , α ta đạt lim ∥vα (T )∥ = Hơn nữa, α→+∞ ρ(α) = ∥vα (T ) − f ∥ Điều dẫn đến lim ρ(α) α→+∞ ∥f ∥ − ∥vα (T )∥ ∥f ∥ Vì phần c) chứng minh Bây giờ, ta chứng minh phần b) Chú ý R(S(T )) = X Lấy δ > 0, (2.26), tồn v ∈ X cho ∥S(T )v − f ∥ < (2.26) δ 2M Sử dụng (2.9) Định lý 2.2.4, ta có ρ(α) = ∥vα (T ) − f ∥ = ∥αvα (0)∥ = α∥(αI + S(T ))−1 f ∥ = α∥(αI + S(T ))−1 (f − S(T )v + S(T )v)∥ α∥(αI + S(T ))−1 (f − S(T )v)∥ + α∥(αI + S(T ))−1 S(T )v∥ α∥(αI + S(T ))−1 ∥∥f − S(T )v∥ + α∥(αI + S(T ))−1 S(T )∥∥v∥ M ∥f − S(T )v∥ + (M + 1)α∥v∥ δ (2.27) < (M + 1)α∥v∥ + δ Nếu ∥v∥ = 0, ρ(α) < , ∀α > Nếu ∥v∥ > 0, từ (2.27) ta có ( ] δ ρ(α) < δ, ∀α ∈ 0, Do đó, lim+ ρ(α) = Phần b) α→0 2∥v∥(M + 1) chứng minh 26 Chúng ta chứng minh phần a) Lấy δ, α0 > Bởi (2.26), tồn w ∈ X δ cho ∥S(T )w − f ∥ < Với α > ta có 4M |ρ(α) − ρ(α0 )| = |∥vα (T ) − f ∥ − ∥vα0 (T ) − f ∥| = |∥αvα (0)∥ − ∥α0 vα0 (0)∥| = |α∥(αI + S(T ))−1 f ∥ − α0 ∥(α0 I + S(T ))−1 f ∥| = |α∥(αI + S(T ))−1 (f − S(T )w + S(T )w)∥ − α0 ∥(α0 I + S(T ))−1 (f − S(T )w + S(T )w)∥| α∥(αI + S(T ))−1 (f − S(T )w)∥ + α0 ∥(α0 I + S(T ))−1 (f − S(T )w)∥ + |α∥(αI + S(T ))−1 S(T )w∥ − α0 ∥(α0 I + S(T ))−1 S(T )w∥| α∥(αI + S(T ))−1 ∥∥f − S(T )w∥ + α0 ∥(α0 I + S(T ))−1 ∥∥f − S(T )w∥ + ∥α(αI + S(T ))−1 S(T )w − α0 (α0 I + S(T ))−1 S(T )w∥ 2M ∥f − S(T )w∥ + ∥α(αI + S(T ))−1 S(T )w − α0 (α0 I + S(T ))−1 S(T )w∥ δ < + ∥α(αI + S(T ))−1 S(T )w − α0 (α0 I + S(T ))−1 S(T )w∥ δ + ∥(α − α0 )(αI + S(T ))−1 S(T )w∥ + ∥α0 ((αI + S(T ))−1 S(T )w − (α0 I + S(T ))−1 S(T )w)∥ δ + |α − α0 |∥(αI + S(T ))−1 S(T )∥∥w∥ + |α0 |∥(αI + S(T ))−1 S(T )w − (α0 I + S(T ))−1 S(T )w∥ δ + |α − α0 |∥w∥(M + 1) + |α0 | ( ) × ∥(α0 I + S(T ))−1 (α0 I + S(T ))(αI + S(T ))−1 S(T )w − S(T )w ∥ δ + |α − α0 |∥w∥(M + 1) + |α0 |∥(α0 I + S(T ))−1 ∥ ( ) × ∥ (α0 I + S(T ))(αI + S(T ))−1 S(T )w − S(T )w ∥ 27 δ + |α − α0 |∥w∥(M + 1) + |α0 |∥(α0 I + S(T ))−1 ∥ × ∥((α0 I − αI) + (αI + S(T )))(αI + S(T ))−1 S(T )w − S(T )w∥ δ = + |α − α0 |∥w∥(M + 1) + |α0 |∥(α0 I + S(T ))−1 ∥ × ∥((α0 − α)(αI + S(T ))−1 S(T )w∥ δ + |α − α0 |∥w∥(M + 1) + |α0 |∥(α0 I + S(T ))−1 ∥ × |(α0 − α)|∥(αI + S(T ))−1 S(T )∥∥w∥ δ + |α − α0 |∥w∥(M + 1) + |(α0 − α)|∥w∥M (M + 1) δ (2.28) + |α − α0 |(M + 1)2 ∥w∥ δ Nếu ∥w∥ = 0, |ρ(α) − ρ(α0 )| < , ∀α > Nếu ∥w∥ > 0, từ (2.28) ta có |ρ(α) − ρ(α0 )| < δ, ∀α ∈ (α0 − θ, α0 + θ) ∩ (0, +∞), )−1 δ( ∥w∥(M + 1)2 θ = > Do đó, ρ hàm liên tục Từ Bổ đề 2.2.9, ta khẳng định tồn số αϵ > thoả mãn (2.5) Để chứng minh Định lý 2.2.5, 2.2.6, trước hết ta chứng minh bổ đề sau 2.2.10 Bổ đề Bất đẳng thức sau ∥u(T ) − vαε (T )∥ (1 + M τ )ε Chứng minh Ta có ∥u(T ) − vαε (T )∥ ∥u(T ) − f ∥ + ∥vαε (T ) − f ∥ 2.2.11 Bổ đề Bất đẳng thức sau ∥u(0) − vαε (0)∥ τ +1 E τ −1 (1 + M τ )ε 28 Chứng minh Sử dụng (2.9) Định lý 2.2.4, ta có ∥u(0) − vαε (0)∥ = ∥(αε I + S(T ))−1 f − u(0)∥ ∥(αε I + S(T ))−1 (f − u(T ))∥ + ∥(αε I + S(T ))−1 u(T ) − u(0)∥ ∥(αε I + S(T ))−1 ∥∥(f − u(T ))∥ + ∥(αε I + S(T ))−1 S(T )u(0) − u(0)∥ ∥(αε I + S(T ))−1 ∥ε + ∥(αε I + S(T ))−1 S(T ) − I∥∥u(0)∥ ∥(αε I + S(T ))−1 ∥ε + αε ∥(αε I + S(T ))−1 ∥E Mε + M E αε (2.29) Mặt khác, ta nhận thấy M τ ε = ∥vαε (T ) − f ∥ = ∥S(T )(αε I + S(T ))−1 f − f ∥ = αε ∥(αε I + S(T ))−1 f ∥ αε ∥(αε I + S(T ))−1 (f − u(T ))∥ + αε ∥(αε I + S(T ))−1 u(T )∥ αε ∥(αε I + S(T ))−1 ∥∥f − u(T )∥ + αε ∥(αε I + S(T ))−1 S(T )u(0)∥ αε ∥(αε I + S(T ))−1 ∥ε + αε ∥(αε I + S(T ))−1 S(T )∥∥u(0)∥ (2.30) M ε + αε (M + 1) E Từ (2.30) ta có (τ − 1)ε αε 2E (Vì M ε αε 1) hay E τ −1 (2.31) Từ (2.29) (2.31) ta có ∥u(0) − vαε (0)∥ ε +E αε τ +1 E+E = E τ −1 τ −1 Do đó, Bổ đề chứng minh Khẳng định Định lý 2.2.5, 2.2.6 hệ trực tiếp từ Bổ đề 2.2.10, 2.2.11 Định lý 2.1.1 2.1.2 tương ứng với w(t) := u(t) − vα (t), ∀t ∈ [0, T ] 29 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn : - Trình bày khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, nửa nhóm sinh tốn tử, nửa nhóm giải tích - Đưa phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình parabolic ngược thời gian khơng gian Banach { ut + Au = 0, < t < T, ∥u(T ) − φ∥ ε với ràng buộc ∥u(0)∥ E tốn giá trị biên khơng địa phương { vαt + Avα = 0, < t < T, αvα (0) + vα (T ) = f, α > - Đưa luật chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm với đánh giá sai số kiểu Hăolder -Trong trng hp c bit, A = , p ∈ (1, ∞), f ∈ Lp (R) ε, E ∂x số cho < ε < E < ∞, ta có phương trình truyền nhiệt ngược thời gian khơng gian Banach Lp (R) { ut = uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ), ∥u(·, T ) − f (·)∥Lp (R) ε, với ràng buộc ∥u(·, 0)∥Lp (R) E Phương trình chỉnh hố tốn biên không địa phương { vαt = vαxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ) αvα (x, 0) + vα (x, T ) = f (x), x ∈ R ε - Bằng cách chọn α = , a ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder E vi tốc độ hội tụ tương tự trường hợp phương trình xét đặt chỉnh khơng gian Hilbert L2 (R) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K A Ames and R J Hughes, Structural stability for ill-posed problems in Banach spaces, Simegroup Forum., 70(2005), 127–145 [2] Dinh Nho Hào: A mollification method for ill-posed problems, Numer Math 68(1994), 469–506 [3] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc, Stability results for the heat equation backward in time, J Math Anal Appl., No 353 (2009), pp 627-641 [4] Y Huang, Modified quasi-reversibility method for final value problems in Banach spaces J Math Anal Appl., 340(2008),757-769 [5] Y Huang and Z Quan, Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups, Journal of Differential Equations, 203(2004), 38–54 [6] Y Huang and Z Quan, Regularization for a class of ill-posed Cauchy problem, Proc Amer Math Soc., 133(2005), 3005–3012 [7] Y Huang and Z Quan, Weak regularization for a class of ill-posed cauchy problems, Acta mathematica Scientia 2006; 26B(3):483-490 [8] K Miller (1975), Logarithmic convexity results for ill holomorphic semigroups, Pacific J Math , 58, 549–551 [9] A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York 30 ... ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH VÀ CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chương nhằm mục đích trình bày kết đánh giá ổn định, chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian. .. trình parabolic ngược thời gian khơng gian Banach: Chương nhằm mục đích trình bày kết đánh giá ổn định, chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach Kết đánh giá ổn định trích... p 2.2 t ∈ [0, T ] Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian khơng gian Banach Giới thiệu tốn Trong mục này, chúng tơi chỉnh hóa tốn (1)–(2) tốn giá trị biên khơng địa phương { vαt + Avα