Điều kiện cực trị của một lớp bài toán tối ưu trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀN VĂN THUẬN ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CỦA MỘT LỚP BÀI TỐN TỐI ƯU TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC VINH - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀN VĂN THUẬN ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HUY CHIÊU VINH - 2016 Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán tối ưu khái niệm liên quan 1.2 Hàm khoảng cách có dấu 14 Các điều kiện cần đủ cực trị 23 2.1 Điều kiện Fritz John điều kiện Kuhn-Tucker 23 2.2 Các điều kiện tối ưu bậc hai 27 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 40 LỜI MỞ ĐẦU Các toán tối ưu thường xuất có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, vật lý, sống hàng ngày Chính vậy, khảo sát tốn tối ưu ln chủ đề thu hút ý nhiều nhà toán học Nghiên cứu điều kiện cần đủ cực trị hướng nghiên cứu lý thuyết tối ưu ([2], [10]) Đến nay, có nhiều kết điều kiện cực trị cho lớp toán tối ưu khác thiết lập ([2], [3], [5], [8], [9], [13]) Một cách tiếp cận đại hướng nghiên cứu điều kiện cực trị dựa vào phép tính vi phân suy rộng, lý thuyết quy mêtric số cơng cụ khác giải tích biến phân Sử dụng cách tiếp cận này, người ta thu nhiều điều kiện cần đủ cực trị cho lớp tốn tối ưu có ràng buộc phức tạp; chẳng hạn, tối ưu với ràng buộc cân bằng, tối ưu hai cấp ([4], [11]) Những năm gần đây, cách tiếp cận đề cập tiếp tục khai thác nhờ nhiều kết điều kiện tối ưu thiết lập ([1], [4], [6]) Nhằm nâng cao hiểu biết lý thuyết tối ưu giải tích biến phân, đồng thời mong muốn tiếp cận kết điều kiện tối ưu, chọn đề tài cho luận văn là: “Điều kiện cực trị lớp tốn tối ưu khơng gian Banach” Mục đích tổng hợp trình bày lại cách chi tiết có hệ thống số kết gần điều kiện tối ưu Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị Trọng tâm chương khái niệm nghiệm tốn tối ưu, tính quy mêtric số tính chất hàm khoảng cách có dấu Chương cung cấp số điều kiện cực trị cho lớp toán tối ưu Nôi dung chương chia thành hai mục Mục 2.1 dành cho điều kiện tối ưu bậc nhất, bao gồm điều kiện Fritz John điều kiện Kuhn-Tucker Điều kiện tối ưu bậc hai trình bày Mục 2.2 Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy tận tình hướng dẫn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ Khoa Sư phạm Tốn học cán Phòng Sau đại học - Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt bạn lớp Cao học khóa 22 - Chun ngành Tốn giải tích hỗ trợ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết Kính mong q Thầy Cơ bạn bè đóng góp ý kiến xây dựng để luận văn tốt Vinh, tháng năm 2016 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị Chương cung cấp khái niệm tính chất làm sở cho việc khảo sát điều kiện cực trị chương sau Trọng tâm khái niệm nghiệm toán tối ưu, tính quy mêtric số tính chất hàm khoảng cách có dấu 1.1 Bài tốn tối ưu khái niệm liên quan Trong luận văn này, khơng có giải thích thêm, X, U, V không gian Banach thực, K tập lồi đóng V, L ⊂ U nón lồi đóng có phần khác rỗng 1.1.1 Định nghĩa ([9], [11]) Với u1 , u2 ∈ U, ta xác định quan hệ thứ tự U sau: (i) u1 ≤L u2 u2 − u1 ∈ L; (ii) u1 với x ∈ N \{¯ x}, d 0, Γ(x) := max{d f (x) − f (¯ x), −L , d g(x), K }; (iii) Tồn lân cận N x¯ cho d f (x) − f (¯ x), −L > với x ∈ g −1 (K) ∩ N \{¯ x} Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Giả sử x ¯ điểm cực tiểu địa phương chặt (P ) Theo định nghĩa, tồn lân cận N x ¯ cho f (x) − f (¯ x) ∈ −L với x ∈ (N ∩ Ω)\{¯ x} (1.4) Đặt d 0, Γ(x) := max{d f (x) − f (¯ x), −L , d g(x), K } Lấy x ∈ N \{¯ x} Nếu x ∈ Ω g(x) ∈ K Kết hợp với K tập đóng, ta có d g(x), K > Từ suy d 0, Γ(x) > Nếu x ∈ Ω x ∈ g −1 (K) ∩ N \{¯ x} Từ (1.4) tính đóng L ta có d f (x) − f (¯ x), −L Vì thế, d g(x), K > Như vậy, d 0, Γ(x) > với x ∈ N \{¯ x} (ii) ⇒ (iii) : Với x ∈ g −1 (K) ∩ N \{¯ x}, ta có d f (x) − f (¯ x), −L = d 0, Γ(x) Do đó, (iii) (ii) (iii) ⇒ (i) : Giả sử (iii) Khi đó, tồn lân cận N x¯ cho d f (x) − f (¯ x), −L > với x ∈ g −1 (K) ∩ N \{¯ x} Từ suy f (x) − f (¯ x) ∈ −L với x ∈ (N ∩ Ω)\{¯ x} Điều có nghĩa x ¯ cực tiểu địa phương chặt (P ) ✷ 1.1.8 Định nghĩa ([6, Definition 3.1]) Cho x ¯ điểm chấp nhận (P ) Ta nói x ¯ cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai (essential local minimizer of second-order) (P ) tồn lân cận N x¯ số thực β > cho d 0, Γ(x) ≥ β x − x¯ với x ∈ N, (1.5) d 0, Γ(x) := max{d f (x) − f (¯ x), −L , d g(x), K } 1.1.9 Nhận xét Từ Mệnh đề 1.1.7 định nghĩa ta suy x ¯ điểm cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai x¯ điểm cực tiểu địa phương chặt Điều ngược lại khơng 1.1.10 Ví dụ Xét tốn (P ) với X không gian Banach khác {0}, U := R, L := R+ , V = R, K := {0} ⊂ V g : X → V ánh xạ cho g(x) = với x ∈ X 1) Nếu hàm mục tiêu f : X → U f (x) = ||x||3 với x ∈ X, x¯ = điểm cực tiểu chặt, điểm cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai 2) Nếu hàm mục tiêu f : X → U f (x) = ||x|| với x ∈ X, x ¯=0 điểm cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai 1.1.11 Định nghĩa ([11]) Cho X, Y không gian Banach h : X → Y x¯ ∈ X (i) Ta nói h ánh xạ khả vi (Fréchet) x¯ tồn ánh xạ tuyến tính liên tục ∇h(¯ x) : X → Y cho lim x→¯ x h(x) − h(¯ x) − ∇h(¯ x)(x − x¯) = x − x¯ Khi đó, ∇h(¯ x) gọi đạo hàm h x¯ Như thường lệ, sử dụng ký hiệu h (¯ x) thay cho ∇h(¯ x) (ii) Ta nói h ánh xạ khả vi chặt (Fréchet) x¯ tồn ánh xạ tuyến tính liên tục ∇h(¯ x) : X → Y cho lim x,u→¯ x h(x) − h(u) − ∇h(¯ x)(x − u) = x−u Khi đó, ∇h(¯ x) gọi đạo hàm chặt h x¯ Chúng ta sử dụng ký hiệu h (¯ x) thay cho ∇h(¯ x) (iii) Ta nói h Lipschitz quanh (liên tục Lipschitz quanh) x¯ tồn lân cận N x ¯ số thực λ ≥ cho h(x1 ) − h(x2 ) ≤ λ x1 − x2 với x1 , x2 ∈ N Số λ gọi modulus Lipschitz (hoặc hệ số Lipschitz) h quanh x ¯ 1.1.12 Chú ý Nếu h khả vi chặt x ¯, h khả vị x¯ đạo hàm chặt h x ¯ trùng với đạo hàm h x¯ Do đó, việc dùng chung 10 2.1.7 Mệnh đề ([6, Proposition 4.2]) Cho x ¯ điểm không suy thoái (yn∗ ) ⊂ SY ∗ dãy thỏa mãn (2.6) Khi đó, y¯∗ điểm tụ yếu∗ dãy (yn∗ ), y¯∗ ∈ ΛF J ∩ BY ∗ Chứng minh Giả sử (yn∗ ) ∈ SY ∗ dãy tùy ý thỏa mãn (2.6) y¯∗ điểm tụ yếu∗ dãy (yn∗ ) Vì y ∗ → σC (y ∗ ) − y ∗ , h(¯ x) y ∗ → h (¯ x)∗ y ∗ hàm nửa liên tục yếu∗ , nên từ (2.6) ta suy h (¯ x)∗ y¯∗ = σC (¯ y ∗ ) − y¯∗ , h(¯ x) = Lưu ý σC (¯ y ∗ ) − y¯∗ , h(¯ x) = tương đương với y¯∗ ∈ NC (h(¯ x)) Bây giờ, giả sử thêm x¯ điểm khơng suy thối Lấy y¯ ∈ h(¯ x) + int h (¯ x)BX − C Theo Định lý 1.2.3, −ρ := dˆC h(¯ x) − y¯, h(¯ x), < Cho n → ∞, ta có yn∗ , h(¯ x) − y¯ − σC (yn∗ ) − h (¯ x)∗ yn∗ ≤ −ρ Từ suy y¯∗ , y¯ ≥ ρ > Như vậy, y¯∗ = 0, y¯∗ ∈ NC (h(¯ x)) ✷ h (¯ x)∗ y¯∗ = Điều có nghĩa y¯∗ ∈ ΛF J 2.1.8 Định lý ([6, Theorem 4.3]) Cho x ¯ điểm không suy thối ΛF J = Khi đó, với y ∈ int h(¯ x) + h (¯ x)BX − C , ta có ΛyF J tập lồi khác rỗng compact yếu∗ Y ∗ thỏa mãn ΛF J := (0, +∞)ΛyF J , ΛyF J := {y ∗ ∈ ΛF J : y ∗ , y = 1} Chứng minh Giả sử y ∈ int h(¯ x) + h (¯ x)BX − C Đặt ϕy (y ∗ ) := y ∗ , y − với y ∈ Y Ta có ϕy : Y ∗ → R h (¯ x)∗ : Y ∗ → X ∗ ánh xạ tuyến tính x) tập lồi đóng yếu∗ Do đó, liên tục yếu∗ Lưu ý NK h(¯ ΛyF J = h (¯ x)∗ −1 ∗ (0) ∩ NK h(¯ x) ∩ ϕ−1 y (0) tập lồi đóng yếu Vì y ∈ int h(¯ x) + h (¯ x)BX − C nên, theo Định lý 1.2.3, −ρ := dˆC (h(¯ x) − y¯, h(¯ x), 1) < Khi đó, với y ∗ ∈ ΛF J , ta có y∗ y∗ , −y = y∗ y∗ , h(¯ x − y − σC 26 y∗ y∗ − h (¯ x)∗ y∗ y∗ ≤ −ρ Từ suy y ∗ , y ≥ ρ y ∗ Do đó, ΛyF J = ∅ ΛF J = ∅ Hơn nữa, ΛF J := (0, +∞)ΛyF J Rõ ràng với y ∗ ∈ ΛyF J ⊂ ΛF J , ta có = y ∗ , y ≥ ρ y ∗ Điều chứng tỏ ΛyF J tập bị chặn Vì vậy, nhờ định lý Banach-Alaoglu-Bourbaki, ΛyF J tập compact yếu∗ ✷ 2.2 Các điều kiện tối ưu bậc hai Mục trình bày số điều kiện cần điều kiện đủ cực trị cho tốn (P ), có sử dụng thơng tin cấp hai hàm mục tiêu ánh xạ xác định miền ràng buộc (P ) Nếu (P ) toán tối ưu vô hướng (tức là, U := R L := R+ ) khái niệm cực tiểu địa phương yếu cực tiểu địa phương chặt tương ứng trùng với khái niệm cực tiểu địa phương cực tiểu địa phương chặt lý thuyết tối ưu vô hướng; cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai điểm chấp nhận thỏa mãn điều kiện tăng trưởng toàn phương Trong lý thuyết tối ưu cổ điển, điều kiện cần cực trị bậc hai thiết lập cho cực tiểu địa phương điều kiện đủ bậc hai thực chất thiết lập cho cực tiểu địa phương mạnh (đó điểm chấp nhận thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tồn phương) Lưu ý khơng tồn điều kiện đủ bậc hai cho điểm cực tiểu địa phương khơng thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tồn phương Do đó, tốn (P ), từ lý thuyết tối ưu cổ điển thấy tự nhiên điều kiện cần bậc hai thiết lập cho cực tiểu địa phương yếu, điều kiện đủ bậc hai thiết lập cho cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai Định lý sau cung cấp số điều kiện tối ưu bậc hai kiểu 2.2.1 Định lý ([6, Theorem 3.2]) Cho x ¯ điểm chấp nhận (P ) Giả sử ánh xạ h khả vi x ¯ tồn số thực 27 r¯ > 0, η ≥ cho h(x1 ) − h(x2 ) − h (¯ x)(x1 − x2 ) (2.8) ≤ η max{ x1 − x¯ , x2 − x¯ } x1 − x2 , với x1 , x2 ∈ x ¯ + r¯BX Khi đó, khẳng định sau đúng: (i) Nếu x¯ cực tiểu địa phương yếu (P ), x¯ điểm tới hạn bậc hai (P ); (ii) Điểm x¯ cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai (P ) dˆC h(x), h (¯ x), τ x − x¯ lim inf x→¯ x,τ →0+ x − x¯ > (2.9) Chứng minh (i) Giả sử x ¯ điểm tới hạn bậc hai (P ), nghĩa (2.7) không Chúng ta cần chứng minh x ¯ điểm cực tiểu địa phương yếu Vì (2.7) khơng đúng, nên tồn dãy xn → x¯, τn → 0+ số thực β > cho dˆC h(xn ), h (¯ x), τn xn − x¯ ≤ −β xn − x¯ < với n ∈ N Do đó, theo Định lý 1.2.3, với n ∈ N tồn sn ∈ κn BX thỏa mãn h(xn ) + h (¯ x)sn ∈ C, κn := τn x¯ − xn Lấy r¯ > η ≥ cho (2.8) thỏa mãn Khi đó, với n đủ lớn, ta có x¯ − xn + 3κn < r¯ 8η( xn − x¯ + 3κn )κn − β xn − x¯ < Sử dụng Định lý 1.2.9 với x ˆ := xn , A := h (¯ x), x0 := xn + sn , R = 3κn , κ ˆ := κn γ := η( xn − x¯ + 3κn ), ta suy tồn x˜n ∈ X cho h(˜ xn ) ∈ C, xn − x˜n ≤ 2κn Γ quy mêtric quanh (˜ xn , 0) Mặt khác, x ˜n → x¯ Vì vậy, theo Mệnh đề 1.1.19, x¯ cực tiểu địa phương yếu (P ) (ii) Giả sử (2.9) không Chúng ta x¯ cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai Vì (2.9) khơng đúng, nên tồn xn → x ¯ τn → 0+ cho dˆC h(xn ), h (¯ x), τn xn − x¯ ≤ 28 xn − x¯ n với n ∈ N Nhờ Định lý 1.2.3, giả sử d 0, h(xn ) + τn xn − x¯ h (¯ x)BX − C ≤ xn − x¯ n với n ∈ N Do đó, với n ∈ N, tồn sn ∈ τn xn − x ¯ BX cn ∈ C cho h(xn ) + h (¯ x)sn − cn ≤ xn − x¯ n Nhờ (2.8), ta có d 0, Γ(xn + sn ) = d h(xn + sn ), C ≤ h(xn + sn ) − cn ≤ h(xn ) + h (¯ x)sn − cn + h(xn + sn ) − h(xn ) − h (¯ x)sn ≤ n xn − x¯ + η( xn − x¯ + sn ) sn = o( xn − x¯ ) Mặt khác, xn + sn ≥ xn − x¯ − x¯ − sn ≥ xn − x¯ (1 − τn ) Do đó, d 0, Γ(xn + sn ) = n→∞ xn + sn lim Điều chứng tỏ x ¯ điểm cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai Vì vậy, x ¯ điểm cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai, (2.9) Ngược lại, giả sử (2.9) Khi đó, tồn β, ε > lân cận N x ¯ cho dˆC h(x), h (¯ x), τ x − x¯ ≥ β x − x¯ với x ∈ N, τ ∈ (0, ε) Hơn nữa, ta có x), τ x − x¯ , d 0, Γ(x) = d h(x), C ≥ dˆC h(x), h (¯ với x ∈ X τ > Do đó, d 0, Γ(x) ≥ β x − x¯ với x ∈ N Như vậy, x ¯ cực tiểu địa phương thiết yếu cấp hai (P ) 29 ✷ 2.2.2 Nhận xét Rõ ràng (2.8) đảm bảo ánh xạ h khả vi chặt x ¯ Hơn nữa, (2.8) thỏa mãn h khả vi liên tục x ¯ có đạo hàm h Lipschitz quanh điểm x¯ h khả vi hai lần x¯ 2.2.3 Hệ ([6, Corollary 3.4]) Cho x ¯ điểm chấp nhận (P ) Giả sử ánh xạ h khả vi x ¯ tồn số thực r¯ > 0, η ≥ cho (2.8) thỏa mãn Hơn nữa, giả sử h khả vi theo hướng bậc hai x ¯ theo nghĩa: với z ∈ X, giới hạn h(¯ x + tz) − h(¯ x) − th (¯ x)z t→0+ t2 /2 h (¯ x; z) := lim (2.10) tồn hội tụ theo z tập bị chặn Khi đó, x ¯ điểm tới hạn (tương ứng, cực tiểu địa phương thiết yếu) bậc hai (P ) tồn số thực β ≥ (tương ứng, β > 0) cho: với dãy {(zn , tn , τn )} ⊂ SX × R+ × R+ thỏa mãn tn → 0+ τn → 0+ , ta có y ∗ , h(¯ x) + tn h (¯ x)zn − σC (y ∗ ) t2n lim inf sup n→∞ y ∗ ∈S ∗ Y + (2.11) ∗ τn y , h (¯ x; zn ) − h (¯ x)∗ y ∗ tn ≥ β Chứng minh Từ (2.10) ta suy h (¯ x; αz) = α2 h (¯ x; z) với α ≥ z ∈ X Hơn nữa, tính chất hội tụ theo z giới hạn (2.10) kéo theo khai triển h(x) = h(¯ x) + h (¯ x)(x − x¯) + h (¯ x; x − x¯) + o( x − x¯ ) (2.12) Theo định nghĩa, x ¯ điểm tới hạn (tương ứng, cực tiểu địa phương thiết yếu) bậc hai (P ) tồn số thực β ≥ (tương ứng, β > 0) cho x), τ x − x¯ dˆC h(x), h (¯ x→¯ x,τ →0+ x − x¯ lim inf 30 ≥ β (2.13) Lưu ý dˆC h(x), h (¯ x), τ x − x¯ x→¯ x,τ →0+ x − x¯ lim inf = lim inf sup x→¯ x,τ →0+ y ∗ ∈S Y∗ y ∗ , h(x) − σC (y ∗ ) − τ x − x¯ x − x¯ h (¯ x)∗ y ∗ (2.14) Kết hợp (2.12), ta có dˆC h(x), h (¯ x), τ x − x¯ lim inf x→¯ x,τ →0+ x − x¯ lim inf sup x→¯ x,τ →0+ y ∗ ∈S Y∗ + = y ∗ , h(¯ x) + x − x¯ h (¯ x) x − x¯ x − x¯ ∗ y , h x¯; x − x¯ −1 (x − x¯) τ x − x¯ − −1 (x − x¯) h (¯ x)∗ y ∗ − σC (y ∗ ) (2.15) Do đó, từ (2.13), (2.15) định nghĩa lim inf ta suy điều phải ✷ chứng minh Hai định lý cung cấp thêm thông tin điều kiện tối ưu trình bày Định lý 2.2.1 Hệ 2.2.3 2.2.4 Định lý ([6, Theorem 3.5]) Cho x ¯ điểm chấp nhận (P ) Khi đó, x ¯ khơng phải cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai (P ), tồn ánh xạ khả vi liên tục hai lần δh := (δf, δg) thỏa mãn δh(¯ x) = 0, δh (¯ x) = δh (¯ x) = 0, cho x¯ cực tiểu địa phương yếu (P ) f g tương ứng thay f + δf g + δg Chứng minh Vì x ¯ khơng phải điểm cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai, nên tồn xn → x ¯, xn = x¯, thỏa mãn dn := max{d(f (xn ) − f (¯ x), −L), d(g(xn ), K)} = o( xn − x¯ ) Do đó, tồn yn = (un , ) ∈ (−intL) × K cho h(xn ) − yn = max{ f (xn ) − f (¯ x) − un , g(xn ) − } ≤ dn + xn − x¯ 31 =: d¯n , chuẩn không gian tích U × V chuẩn max Bằng cách chọn dãy cần, giả sử ∞ n=1 d¯n xn − x¯ < ∞ (2.16) Bây xây dựng dãy (xn ), để đơn giản ký hiệu (xn ), thỏa mãn τn := xn − x¯ ≤ d(¯ x, An−1 ) τn−1 ≤ với n ≥ 2, 4 (2.17) An bao lồi {x1 , , xn } Ký hiệu mn số chiều khơng gian tuyến tính sinh {x1 − x ¯, , xn − x¯} Nếu dãy (mn ) bị chặn, {xn − x ¯}∞ n=1 chứa không gian hữu hạn chiều E X Do đó, tìm dãy (xn ), ký hiệu (xn ), z ∈ E, z = 1, cho (xn − x ¯)/τn → z Nếu cần, cách chuyển qua dãy lần nữa, giả sử (xn − x¯)/τn − z ≤ 1/2 với n τn ≤ τn−1 /8 với n ≥ Bây giờ, lấy n ≥ x ∈ An−1 cố định tùy ý Khi đó, biểu diễn n−1 n−1 αi xi , αi ≥ x= i=1 αi = Do đó, i=1 n−1 x − x¯ = n−1 αi (xi − x¯) ≥ n=1 ≥ n=1 n−1 αi τi ≥ n=1 n−1 αi τi z − αi τ i n=1 xi −¯ x τi −z τn−1 Để ý x ∈ An−1 lấy tùy ý, có d(¯ x, An−1 ) ≥ τn−1 /2 ≥ 4τn (2.17) thỏa mãn Nếu dãy (mn ) không bị chặn, tìm dãy (xn ), ký hiệu (xn ), cho mn = n với n Khi đó, ta có x ¯∈ / An với n Thật vậy, x¯ ∈ An n tồn ti ≥ 0, i = 1, , n, cho i=1 n n ti = x¯ = ti xi Vì vậy, i=1 ti (xi − x¯) = ti , i = 1, , n, không đồng thời Điều i=1 32 dẫn đến điều mâu thuẫn: mn < n Như vậy, x ¯∈ / An với n Vì An tập bao lồi tập gồm hữu hạn điểm, nên An đóng Từ ta suy d(¯ x, An ) > với n Điều cho phép chọn dãy (xn ) cho (2.17) thỏa mãn Theo định lý đối ngẫu chuẩn cực tiểu ([10, Theorem 1, p 136]), với n ≥ tồn p∗n ∈ BX ∗ cho d(xn , An−1 ) = p∗n , xn − σAn−1 (p∗n ) Lưu ý với n < n ta có xn ∈ An−1 Do đó, p∗n , xn − xn ≥ p∗n , xn − σAn−1 (p∗n ) = d(xn , An−1 ) ≥ d(¯ x, An−1 ) − τn ≥ 3τn Theo định lý Hahn-Banach, với n ∈ N, tồn qn∗ ∈ SX ∗ cho qn∗ , xn − x¯ = τn Điều dẫn đến qn∗ , xn − xn = qn∗ , xn − x¯ + qn∗ , x¯ − xn ≥ τn − τn ≥ 43 τn , với n > n Bây giờ, với n, định nghĩa ánh xạ δhn : X → U × V công thức p∗n , xn − x + qn∗ , xn − x ,0 δhn (x) := max − τn2 yn − h(xn ) , với x ∈ X, p∗1 := Ta suy δhn (xn ) = yn − h(xn ) n = n , n = n (2.18) Hơn nữa, δh khả vi liên tục hai lần δhn (x)s = −12c2n (x)Bn (x, s)rn , δhn (x)st = 12cn (x)rn 8Bn (x, s)Bn (x, t) − cn (x) p∗n ,s p∗n ,t + qn∗ ,s qn∗ ,t τn2 , cn (x) := max 1−2 p∗n , xn −x + qn∗ , xn −x /τn2 , , rn := yn −h(xn ), Bn (x, s) := p∗n , x − xn p∗n , s + qn∗ , x − xn qn , s /τn2 33 Rõ ràng ≤ cn (x) ≤ với x ∈ X Nếu cn > √ √ | p∗n , x − xn | ≤ τn / | qn∗ , x − xn | ≤ τn / Vì |Bn (x, s)| ≤ √ s /τn Kết hợp điều với (2.16), ta có ∞ ∞ ||δhn (x) ≤ n=1 n=1 ∞ ∞ n=1 ||δhn (x) ≤ n=1 ∞ ∞ n=1 d¯n < ∞, ||δhn (x) ≤ n=1 √ ¯ 12 dτnn < ∞, ¯ 216 dτ n2 < ∞, n ∞ với x ∈ X Vì Y khơng gian Banach nên δh := δhn n xác định khả vi liên tục hai lần, hội tụ x ∞ δhn , chuỗi n ∞ ∞ n δhn n x) = với δhn Vì qn∗ , x− x¯ = τn nên cn (¯ n Do δh(¯ x) = 0, δh (¯ x) = δh (¯ x) = Tách δh thành hai thành phần δf δg Ta chứng minh x ¯ cực tiểu địa phương yếu (P ) f g tương ứng thay f + δf g + δg, ký hiệu toán (Pδ ) Vì δh(¯ x) = nên x¯ điểm chấp nhận (Pδ ) giá trị hàm mục tiêu (Pδ ) f (¯ x) Tuy nhiên, δh(xn ) = yn − h(xn ) với n, nên, nhờ (2.18), (g + δg)(xn ) = g(xn ) + (vn − g(xn )) = ∈ K, (f + δf )(xn ) − (f + δf )(¯ x) = f (xn ) + un − (f (xn ) − f (¯ x)) − f (¯ x) = un ∈ −intL Kết hợp với xn → x ¯, ta suy x¯ điểm cực tiểu địa ✷ phương yếu (Pδ ) 2.2.5 Nhận xét Định lý 2.2.4 cho thấy x ¯ cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai, với thơng tin bậc hai hàm mục tiêu ánh xạ xác định miền ràng buộc x ¯ khơng có hy vọng thiết lập điều kiện đủ để x ¯ cực tiểu địa phương yếu (P ) 34 2.2.6 Định lý ([6, Theorem 3.6]) Cho x ¯ điểm tới hạn bậc hai (P ) Giả sử x ¯ điểm không suy thoái, nghĩa int h (¯ x)BX − C = ∅ (2.19) Khi đó, tồn ánh xạ δh = (δf, δg) thỏa mãn δh(x) = ψ( x − x ¯ )y, y ∈ Y := U × V ψ : R+ → R+ hàm số khả vi liên tục hai lần, ψ(0) = ψ (0) = ψ (0) = 0, cho x ¯ cực tiểu địa phương chặt (P ) với f g tương ứng thay f + δf g + δg Chứng minh Đặt η(r) := − 0, inf x ¯=x∈¯ x+rBX dˆC h(x), h (¯ x), x − x¯ x − x¯ 3/2 , r > Khi đó, η hàm số đơn điệu tăng x ¯ điểm tới hạn bậc hai (P ) nên lim η(r) = =: η(0) Tiếp theo, xây dựng hàm số r→0+ khả vi liên tục hai lần ψ : R+ → R+ thỏa mãn ψ(0) = ψ (0) = ψ (0) = ψ(r) > r2 η(r) với r ∈ (0, 1) Đặt ϕ0 := η(1) + ϕn := max{ϕn−1 /2, η(2−n )} với n = 1, 2, Nếu ϕn = ϕn−1 /2, ϕn < ϕn−1 Mặt khác, ϕn = η(2−n ) nhờ tính đơn điệu η ta có ϕn ≤ η 2−(n−1) ≤ ϕn−1 Như vậy, (ϕn ) dãy giảm Hơn nữa, lim ϕn = Do đó, xây dựng hàm số n→∞ liên tục tăng ϕ : R+ → R+ sau: ϕ(0) = 0, ϕ tuyến tính đoạn [2−(n+1) , 2−n ], ϕ(2−n ) = ϕn ϕ(t) = ϕ0 + (t − 1)ϕ0 với t > Đặt ϕ (r) := 256 r ϕ(ξ)dξ với r ≥ Vì ϕ(ξ) hàm số dương, tăng (0, +∞) ϕn+1 ≥ ϕn /2, nên 2−n −n ψ (2 ) > 256 ϕ 2−(n+1) dξ = 256 · 2−(n+1) ϕn+1 2−(n+1) ≥ 64 · 2−n ϕn , với n Tiếp theo, đặt ψ(r) := r ψ (ξ)dξ với r ≥ Lấy r ∈ (0, 1) lấy n ∈ N thỏa mãn r ∈ [2−(n+1) , 2−n ) Tương tự trên, 35 ta có 2−(n+1) ψ(r) > ψ 2−(n+2) dξ = 2−(n+2) ψ 2−(n+2) 2−(n+2) > 64 · 2−(n+2) ϕn+2 ≥ (2−n )2 ϕn ≥ (2−n )2 η(2−n ) ≥ r2 η(r) Hơn nữa, ta có ϕ khả vi liên tục hai lần ψ(0) = ψ (0) = ψ (0) = Từ (2.19) ta suy tồn y˜ ∈ Y thỏa mãn ∈ int y˜ + h(¯ x) + h (¯ x)BX − C Do đó, theo Định lý 1.2.3, ta có −2ρ := dˆC y˜ + h(¯ x), h (¯ x), < Bây giờ, đặt δh(x) := ψ( x − x ¯ )y , y := −˜ y /p Chúng ta x ¯ cực tiểu địa phương chặt tốn (P ) f g tương ứng thay f + δf g + δg, toán gọi toán nhiễu ký hiệu (Pδ ) Theo Bổ đề 1.2.5, dˆC (·, h (¯ x), ·) hàm lồi Vì vậy, dˆC (1 + α)h(x) − α(˜ y + h(¯ x)), h (¯ x), (1 + α) x − x¯ ≥ (1 + α)dˆC h(x), h (¯ x), x − x¯ 3/2 3/2 −α − αdˆC y˜ + h(¯ x), h (¯ x), ≥ −(1 + α) x − x¯ η( x − x¯ ) + 2αρ, với α ≥ x ∈ X Nhờ tính liên tục Lipschitz liên tục với hệ số dˆC (·, h (¯ x), κ), ta có y , h (¯ x), (1 + α) x − x¯ dˆC h(x) − α˜ 3/2 −α ≥ dˆC (1 + α)h(x) − α(˜ y + h(¯ x)), h (¯ x), (1 + α) x − x¯ 3/2 −α − (1 + α)h(x) − α(˜ y + h(¯ x)) − h(x) − α˜ y ≥ − x − x¯ η( x − x¯ ) +α 2ρ − x − x¯ η( x − x¯ ) − h(x) − h(¯ x) (2.20) 36 Cuối cùng, lấy R ∈ (0, 1) cho với x ∈ x ¯ + RBX ta có ψ( x − x¯ ) ≤ x − x¯ ρ x − x¯ η( x − x¯ ) + h(x) − h(¯ x) < ρ 3/2 Do đó, với x ∈ x ¯ + RBX , x = x¯, ta có κ(x) := + ≥ ψ( x−¯ x ) ρ ψ( x−¯ x ) ρ x − x¯ x − x¯ 3/2 3/2 − ψ( x−¯ x ) ρ > Sử dụng (2.20) với α := ψ( x − x ¯ )/ρ, ta thu dˆC (h + δh)(x), h (¯ x), κ(x) ≥ − x − x¯ η( x − x¯ ) + ψ( x − x¯ 3/2 ) > Vì vậy, nhờ Định lý 1.2.3, d (h + δh)(x), C > Kết hợp với δf (¯ x) = 0, ta suy x ¯ cực tiểu địa phương chặt (Pδ ) ✷ 2.2.7 Nhận xét Bằng cách kiểm tra trực tiếp, thấy ánh xạ δh Định lý 2.2.6 khả vi x ¯ với δh (¯ x) = 0, khả vi theo hướng bậc hai với ψ(t z ) − ψ(0) − tψ (0) y = 0, z ∈ X, t→0+ t2 /2 δh (¯ x; z) = lim (2.21) hội tụ (2.21) hội tụ theo z tập hợp bị chặn Hơn nữa, tồn η, rη > cho δh(x1 ) − δh(x2 ) − δh (¯ x)(x1 − x2 ) ≤ η max{ x1 − x¯ , x2 − x¯ } x1 − x2 , với x1 , x2 ∈ x ¯ + rη BX Nếu X khơng gian Hilbert thì, δh ánh xạ khả vi liên tục hai lần 37 Kết luận Luận văn nghiên cứu điều kiện cực trị cho lớp tốn tối ưu khơng gian Banach đạt kết sau: + Trình bày cách có hệ thống khái niệm nghiệm toán tối ưu, mối quan hệ nghiệm tối ưu tính quy mêtric số tính chất hàm khoảng cách có dấu + Phân tích diễn giải khái niệm điểm cực tiểu địa phương yếu, điểm cực tiểu địa phương chặt điểm cực tiểu địa phương thiết yếu bậc hai; khác chúng minh họa ví dụ cụ thể + Trình bày điều kiện Fritz John, điều kiện Kuhn-Tucker, tập nhân tử Fritz John tập nhân tử Kuhn-Tucker, đồng thời chứng minh chi tiết số kết liên quan + Trình bày phân tích điều kiện cần điều kiện đủ bậc hai liên quan đến hàm khoảng cách có dấu số kết cho thấy rằng, theo nghĩa định, điều kiện tối ưu bậc hai điều kiện bậc hai tốt Các điều kiện tối ưu khảo sát tổng quát Do đó, việc áp dụng điều kiện cực trị cho lớp tốn tối ưu có cấu trúc tốt hơn, nhờ thu điều kiện tối ưu dễ kiểm tra hơn, chủ đề triển khai hướng nghiên cứu 38 Tài liệu tham khảo [1] Benita, F., Dempe, S., Mehlitz, P (2016), Bilevel optimal control problems with pure state constraints and finite-dimensional lower level, SIAM J Optim 26, 564-588 [2] Bonnans, J F., Shapiro, A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York [3] Cominetti, R (1990), Metric regularity, tangent sets, and secondorder optimality conditions, Appl Math Optim 21, 265-287 [4] Dempe, S., Mordukhovich, B S., Zemkoho, A B (2014), Necessary optimality conditions in pessimistic bilevel programming, Optimization 63, 505-533 [5] Dmitruk, A V., Milyutin, A A., Osmolovskii, N P (1980), Lyusternik’s theorem and the theory of extrema, Russian Math Surveys 35, 11-51 [6] Gfrerer, H (2006), Second-order optimality conditions for scalar and vector optimization problems in Banach spaces, SIAM J Control Optim 45, 972-997 [7] Ioffe, A D (2000) Metric regularity and subdifferential calculus, Russian Math Surveys 55, 501-558 [8] Ioffe, A.D., Tikhomirov, V.M (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland, Amsterdam, The Netherlands [9] Jahn, J (2004), Vector optimization Theory, applications, and extensions Springer-Verlag, Berlin 39 [10] Luenberger, D.G (1969), Optimization by Vector Space Methods, John Wiley, New York [11] Mordukhovich, B S (2006), Variational analysis and generalized differentiation I Basic Theory, II Applications Springer-Verlag, Berlin [12] Robinson, S.M (1976), First order conditions for general nonlinear optimization, SIAM J Appl Math 30, 597-607 [13] Rockafellar, R.T (1993), Lagrange multipliers and optimality SIAM Rev 35, 183-238 40 ... định, điều kiện tối ưu bậc hai điều kiện bậc hai tốt Các điều kiện tối ưu khảo sát tổng quát Do đó, việc áp dụng điều kiện cực trị cho lớp tốn tối ưu có cấu trúc tốt hơn, nhờ thu điều kiện tối ưu. .. tốn tối ưu ln chủ đề thu hút ý nhiều nhà toán học Nghiên cứu điều kiện cần đủ cực trị hướng nghiên cứu lý thuyết tối ưu ([2], [10]) Đến nay, có nhiều kết điều kiện cực trị cho lớp toán tối ưu. .. x, 0) 22 Chương Các điều kiện cần đủ cực trị Trong chương này, trình bày điều kiện cần điều kiện đủ để điểm chấp nhận nghiệm tối ưu toán (P ) 2.1 Điều kiện Fritz John điều kiện Kuhn-Tucker Mục