Luật số lớn dạng hội tụ mosco của mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC NGUYỄN THÚY HẰNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CỦA MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, ĐỘC LẬP THEO HÀNG CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thúy Hằng VINH - 2012 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số kiến thức không gian Banach 1.2 Tập Borel không gian tôpô 1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 1.4 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên không gian Banach 10 1.5 Biến ngẫu nhiên đa trị 11 1.6 Không gian Rademacher dạng p 12 CHƯƠNG II: LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, ĐỘC LẬP 13 2.1 Hội tụ Mosco 13 2.2 Luật số lớn dạng hội tụ Mosco dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập 14 CHƯƠNG III : LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CỦA MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, ĐỘC LẬP THEO HÀNG 23 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 LỜI NÓI ĐẦU Trong thập kỷ gần đây, lý thuyết biến ngẫu nhiên đa trị xuất có bước phát triển mạnh mẽ, dẫn tới nhiều ứng dụng khác như: tối ưu hóa điều khiển, hình học ngẫu nhiên, tốn kinh tế, thống kê, … Trong báo đầu tiên, tác giả Artstein Vitale (1995) thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập phân phối, nhận giá trị compact không gian Euclid, mở rộng cho kết đơn trị Cho đến luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị nghiên cứu dạng hội tụ khác như: hội tụ Kuratovski-Mosco, hội tụ Wijsman, hội tụ slice, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff, … Chúng ta kể đến số nhà tốn học tiêu biểu nghiên cứu vấn đề như: G Beer, C Castaing, C Hess, F Hiai, R Taylor, H Inoue, … Gần đây, số cơng trình mình, tác giả Charles Castaing, Nguyễn Văn Quảng Dương Xuân Giáp thiết lập luật số lớn cho mảng kép biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập (hay độc lập đôi một), nhận giá trị đóng khơng gian Banach theo tơpơ Mosco, mở rộng kết có đơn trị mảng kép, kết đa trị dãy Dựa kết có, chúng tơi muốn nghiên cứu sâu cố gắng mở rộng, thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài “Luật số lớn dạng hội tụ Mosco mảng biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng” Khóa luận chia làm chương: Chương Kiến thức sở Trong chương giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, chúng tơi trình bày khái niệm, ký hiệu tính chất phần tử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị không gian Banach Chương Luật số lớn dạng hội tụ Mosco dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, ký hiệu tính chất hội tụ Mosco Chúng đưa hai định lý dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập với giả thiết khác Chương Luật số lớn dạng hội tụ Mosco mảng biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng Trong chương cuối này, trọng tâm khóa luận, thiết lập chiều hội tụ Mosco cho luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng, nhận giá trị đóng khơng gian Banach khả li thực, đưa phản ví dụ cho chiều cịn lại Khóa luận hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo Th.s Dương Xuân Giáp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sống Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng thầy cơ, anh chị nhóm Seminar “Xác suất thống kê” tận tình giúp đỡ tác giả Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Xác suất Thống kê Tốn Ứng dụng, thầy giáo Khoa Tốn Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm, động viên tạo điều kiện để tác giả thực khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng song khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số kiến thức không gian Banach Không gian vectơ X gọi không gian định chuẩn tồn ánh xạ : X thỏa mãn i x  0, x  X; ii x   x  ; iii kx  k x , k  , x  X; iv x  y  x  y , x, y  X Nếu đặt d ( x, y)  x  y ( x, y  X) (X, d) khơng gian metric Khi d gọi metric sinh chuẩn Nếu X không gian vectơ thực khơng gian định chuẩn  X ,  gọi không gian định chuẩn thực Không gian định chuẩn  X ,  gọi không gian Banach (X, d) không gian đầy đủ, d gọi metric sinh chuẩn Nếu X không gian vectơ thực  X ,  gọi không gian Banach,  X , gọi không gian Banach thực Giả sử X không gian Banach thực Ký hiệu X *  {f : X  : f phiếm hàm tuyến tính, liên tục} Ta gọi X * không gian liên hợp X Với f  X * , chuẩn f xác định công thức f  sup f ( x) x 1  1.2 Tập Borel không gian tôpô 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X khơng gian tơpơ Khi  - đại số bé chứa tập mở X gọi  - đại số Borel ký hiệu ( X ) Mỗi tập A ( X ) gọi tập Borel 1.2.2 Ví dụ Nếu lấy X = ( ) =  {(  , a): a } =  {(a,  ): a } =  {[a, b):  < a < b <  } =  {(a, b]:  < a < b <  } Ký hiệu K  { a, b  ,  , b  , a,   : a, b  } Mỗi tích D  D1  D2   Dn , với Di  K gọi khoảng Ký hiệu M n tập hợp hữu hạn khoảng rời 1.2.3 Định lý M n đại số  ( M n )  ( n n n ) 1.2.4 Định nghĩa Giả sử X không gian Banach thực X * không gian liên hợp X Tập A  X gọi tập trụ tồn n  , f1, f , , f n  X * , A  ( n ) cho A  {x  X : ( f1 ( x), f ( x), , f n ( x))  A} Ký hiệu tập tập trụ (X) 1.2.5 Ví dụ Lấy f  X * , a  A  {x  X : f ( x)  a} tập trụ ( n  1, f1  f , A  a ) , A  ( x, y, z )  : x  y  1 Khi A tập trụ Thật vậy, với n  , f1 :  , f1 ( x, y, z )  x  , f ( x, y, z )  y , Nếu X = f2 : A  ( x, y)   A  ( x, y, z )  1.2.6 Định lý i (X) đại số : x  y  1  (  ), :  f1 ( x, y, z ), f ( x, y, z )   A tập trụ ii Nếu X không gian Banach thực khả ly  (F (X ))  (X), với (X)  đại số tập Borel X 1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Từ mục trở đi, giả sử (, F , P ) không gian xác suất đầy đủ, X không gian Banach thực khả ly,   - đại số  - đại số , ( X )  - đại số tập Borel X 1.3.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạ X :   X phần tử ngẫu nhiên - đo được, X ánh xạ /(X) đo (nghĩa với B (X) X 1 ( B) ) Phần tử ngẫu nhiên - đo gọi cách đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên  - đo X phần tử ngẫu nhiên Mặt khác, dễ thấy X phần tử ngẫu nhiên họ  (X) = { X 1 ( B) : B (X)} lập thành  - đại số  - đại số   - đại số gọi  - đại số sinh X Hơn nữa,  (X)  - đại số bé mà X đo Do đó, X phần tử ngẫu nhiên - đo  (X)   Nếu X nhận không đếm giá trị X gọi phần tử ngẫu nhiên rời rạc Nếu X nhận hữu hạn giá trị X gọi phần tử ngẫu nhiên đơn giản 1.3.2 Ví dụ Xét ánh xạ X :   X xác định X ( )  ,   Khi đó, X phần tử ngẫu nhiên  - đo với  = {, } Thật vậy, với B (X) ,  B; X 1 ( B)   nên X 1 ( B)   ,  B Giả sử a  X, a  , Avà xét ánh xạ X :   X xác định a,   A; X ( )   0,   A Khi X phần tử ngẫu nhiên đơn giản Thật với B (X) ,  A,  1 X ( B)    A, ,  B, a  B;  B, a  B;  B, a  B;  B, a  B nên X 1 ( B)   1.3.3 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {X n , n  1} gọi hội tụ đến ánh   xạ X :   X X n ( )  X ( ) (khi n   ) lim X n ( )  X ( )  với n   Ký hiệu X n  X n   1.3.4 Định lý Giả sử X1, X2 không gian Banach thực khả ly, T: X1  X2 ánh xạ (X1)/(X2) - đo X :   X1 phần tử ngẫu nhiên - đo Khi ánh xạ T X :   X2 phần tử ngẫu nhiên  - đo Chứng minh Vì T X1  X2 ánh xạ (X1)/(X2) đo nên với B2  (X2), ta có T 1 (B2) = B1  ( X1) Lại có, X :   X1 phần tử ngẫu nhiên - đo nên với B1  ( X1), ta có X 1 (B1)  Từ suy (T X )1 ( B2 )  X 1 (T 1 ( B2 ))  X 1 ( B2 )   Vậy ánh xạ T X :   X2 phần tử ngẫu nhiên  - đo 1.3.5 Hệ Giả sử ánh xạ X :   X phần tử ngẫu nhiên - đo Khi ánh xạ X :   Chứng minh biến ngẫu nhiên  - đo Ánh xạ X :   X phần tử ngẫu nhiên - đo được, :X ánh xạ liên tục, ánh xạ (X)/( ) - đo Từ theo định lý 1.3.4 suy ánh xạ X  X :  biến ngẫu nhiên  - đo 1.3.6 Định lý Ánh xạ X :   X phần tử ngẫu nhiên - đo với f  X * f ( X ) biến ngẫu nhiên - đo Chứng minh * Điều kiện cần Giả sử X :   X phần tử ngẫu nhiên - đo Khi đó, với f  X * , f liên tục nên f ánh xạ (X)/( ) - đo Do đó, theo định lý f ( X ) biến ngẫu nhiên - đo * Điều kiện đủ Giả sử với f  X * f ( X ) biến ngẫu nhiên - đo Ta cần chứng minh X ánh xạ /(X) - đo Vì (X) đại số sinh tập trụ, nên ta cần chứng minh X 1 ( A)   với tập trụ A Để làm điều đó, giả sử A tập trụ, tồn n  , f1, f , , f n  X * , A  ( n ) cho A  {x  X : ( f1 ( x), f ( x), , f n ( x))  A} Đặt f  ( f1, f , , f n ) : X  f ( x)  ( f1 ( x), f ( x), , f n ( x)) x g f X :  n n Ta chứng minh g ánh xạ /( n ) - đo Do ( n ) sinh tập dạng D  (, a1 )  (, a2 )   (, an ) , (ai  ) , nên ta cần chứng minh g 1 ( D)   Thật vậy, ta có: g 1 ( D) = ( f  X )1 ( D)  X 1  f 1 ( D)   X 1 x  X : f ( x)  D   X 1  x  X : ( f1 ( x), f ( x), , f n ( x))  ( , a1)  ( , a2 )   ( , an)   X 1  x  X : f1 ( x)  (, a1), f ( x)  ( , a2 ), , f n ( x) ( , an )  n  n   1   X  {x  X : fi ( x)  (, )}   X  fi 1 (, )   i 1   i 1  1  n   X 1  fi 1 (, )     i 1  Vậy g ánh xạ /( n n  f (X ) i i 1 1 (, )    ) - đo Mặt khác A  f 1 ( A) nên X 1 ( A)  X 1  f 1 ( A)   g 1 ( A)   Đó điều cần phải chứng minh 1.3.7 Hệ Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên - đo được, a, b   :  , biến ngẫu nhiên - đo Khi đó, aX  bY  X phần tử ngẫu nhiên - đo Chứng minh Ta có * (aX  bY )( )  aX ( )  bY ( )  X, với   Khi với f  X * , f (aX  bY )()  f (aX ()  bY ())  f (aX ())  f (bY ())  af ( X ())  bf (Y ()) hay f (aX  bY )  af ( X )  bf (Y ) Vì X, Y phần tử ngẫu nhiên - đo nên theo định lý 1.3.6 ta có f ( X ), f (Y ) biến ngẫu nhiên - đo được, suy af ( X )  bf (Y ) biến ngẫu nhiên - đo được, suy f (aX  bY ) biến ngẫu nhiên - đo Do đó, lại theo định lý 1.3.6 ta có aX  bY phần tử ngẫu nhiên - đo *  X ( )   ( ) X ( )  X, với   Khi với f  X * , f ( X )()  f ( ( ) X ( ))   ( ) f ( X ( )) hay f ( X )   f ( X ) Vì X phần tử ngẫu nhiên - đo nên theo định lý 1.3.6 ta có  f ( X ) biến ngẫu nhiên - đo được, hay f ( X ) biến ngẫu nhiên - đo Do đó, lại theo định lý 1.3.6 suy  X phần tử ngẫu nhiên - đo 14 t – liCn = t – lsCn = C Trong trường hợp này, viết C = t – limn Cn ; điều hai bao hàm thức sau thỏa mãn: t – liCn  C  t – lsCn Ký hiệu s (tương ứng w) tô pô mạnh (tô pô sinh chuẩn) (tương ứng yếu) X Một tập C gọi giới hạn dạng Mosco dãy (Cn ) n1 ký hiệu M – limn Cn nếu: w – liCn = s – lsCn = C Điều khi: w – liCn  C  s – lsCn Hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa cách thay Cn Xn(  ) phát biểu h.c.c 2.2 Luật số lớn dạng hội tụ Mosco dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập 2.2.1 Bổ đề.(xem [3]) Giả sử X không gian Banach A  X Khi đó, với x  co A   , ta chọn x1, x2 , , xn  A, n n * n x  x i 1 i cho   2.2.2 Bổ đề (xem [5]) (1) Với X  Lc1(X ) (), S 1X (F )   , co E( X )  co E(X , F X ) (2) Giả sử X, Y  Lc (X ) () hai biến ngẫu nhiên đa trị phân phối Khi đó, với lát cắt f  S 1X  F X  , tồn lát cắt g  SY1  F Y  cho f, g phân phối 15 (3) Giả sử X, Y  Lc (X ) () hai biến ngẫu nhiên đa trị phân phối, S 1X (F )   Khi E  X , F X  = E Y , FY  2.2.2 Bổ đề (xem [3]) Cho  xn : n  1 dãy số thực cho lim xn  Khi n lim n n  xi  n i 1 2.2.3 Bổ đề (xem [3]) Nếu {X i , i  I } họ biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập, khả tích, nhận   giá trị đóng khơng gian Banach thực khả ly fi  S 1X i F X i với i  I , họ {fi , i  I } độc lập 2.2.4 Định lý Cho dãy { X n , n  1} dãy biến ngẫu nhiên đa trị, khả tích, độc lập phân phối, nhận giá trị đóng khơng gian Banach thực khả ly X Khi n cl  X i ( )  co EX h.c.c n   n i 1 Chứng minh n Đặt Yn ( )  cl  X i ( ) , C  co EX1 n i 1 Trước hết, ta chứng minh C  s  liminf Yn ( ) Với x  C   , theo bổ đề 2.2.1, 2.2.2(1) 2.2.2(3) ta chọn   f j  S X1 j F X j ,  j  m cho m m x j 1 j  x   với x j  E f j ,  j  m Như vậy, ta cần chứng minh m m x j 1 j  s  liminf Yn () , điều   tương đương với việc chứng minh tồn dãy {f n , n  1} , f n  S 1X n F X n thỏa mãn 16 n m f (  )  i  x j  h.c.c n   n i 1 m j 1   Theo bổ đề 2.2.2(2), tồn dãy {f n , n  1} , f n  S 1X n F X n cho f ( k 1) m j , k  phân phối với j  1, , m Nếu n  (k  1)m  l , ta có n m xj  fi ( )  m  n i 1 j 1 m k m m   f (i1) m j ( )   f( k 1) m j ( )   x j n j 1 i 1 n j l 1 m j 1 k m 1 k  k     f (i1) m j ( )  x j   n j 1  k i1  n k  m xj  f(k 1)m j ()   n  m   j l 1 k j 1 k m 1 k k      f (i1) m j ( )  x j   n j 1  k i1 n  k  m xj  f(k 1)m j ()   n  m   j l 1 k j 1  k m k k f (i1) m j ( )  x j    n j 1 k i1 n m m  j l 1 m k  f ( k 1) m j ( )     k n m m x j 1 j Theo bổ đề 2.2.3, với  j  m ,  f( k 1) m j : k  1 dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối L (  , X ), nên áp dụng luật số lớn ta có 1 k f (i1) m j ( )  x j h.c.c k   hay  k i1 k  f(i1) m j ( )  x j  h.c.c k   , suy k i1 m  j 1 k  f(i1) m j ( )  x j  h.c.c n   k i1 Bên cạnh đó, k k 1 i 1 i 1 f ( k 1) m j ( )   f(i1) m j ( )   f( i1) m j ( ) , suy 17 1 k k  1 k 1 f ( k 1) m j ( )   f( i1) m j ( )   f(i1) m j ( ) , k k i1 k k  i1 với f k 1    k   , mà k k ( k 1) m j áp dụng luật số lớn cho dãy : k  1 , lại có k f (i1) m j ( )  x j h.c.c k    k i1 k 1 f (i1) m j ( )  x j h.c.c k   ,  k  i1 nên f ( k 1) m j ( )  h.c.c k   Do k m  j 1 f ( k 1) m j ( )  h.c.c k   k Vì k km  n km  (k  1)m  l m  l l =     n    = mn mn n m n n m mn k  nên    n m Vậy m x j 1 j  n   n m x j  h.c.c n    fi ( )  m  n i 1 j 1 Tiếp theo, ta cần chứng minh w  limsupYn ()  C h.c.c Gọi {x j } dãy trù mật X \C Khi tồn dãy {x*j } X * với x*j  cho X j Vì hàm X * x  X :  x j , x*j  s  C , x*j  s  X , x*j  từ c(X) đến  ,  c(X) – đo 18   E s  X1 ( ), x*j   s  C , x*j    , j  ,   nữa, s  X n ( ), x*j  : n  dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối L nên tồn tập N có xác suất 0, cho với   \ N j  , s   n s  X i ( ), x*j   E s  X ( ), x*j  n   hay  n i 1 s Yn ( ), x*j   s  C , x*j  n   w Nếu x  w  limsup Yn ( ) với   \ N , xk   x k   với xk  Ynk ( ) ta có   x, x*j  lim xk , x*j  lim s Ynk ( ), x*j  s C , x*j  , j  , với x  C k  k  Vậy w  limsupYn ()  C h.c.c 2.2.5 Định lý Cho dãy { X n , n  1} dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập, nhận giá trị đóng khơng gian Banach thực khả ly Rademacher dạng p X cho n   E Xn  i 1  np p    Khi đó, tồn tập X  c(X ) thỏa mãn (i) X  s  liminf cl E  X n , F X n  (ii) lim sup s  cl E  X n   s  X , x*  x* X * n cl  X i ( )  co X h.c.c n   n i 1 Chứng minh n Đặt Y ( )  cl  X i ( ) n i 1 19 Với x  co X   , chọn x1, x2 , , xn  X cho m  xj  x   m j 1   Theo (i), tồn dãy {f n , n  1} , f n  S 1X n F X n thỏa mãn E ( f( k 1) m j )  x j  k   với j  1, , m Đặt yn  E ( f n ) , n  Nếu n  (k  1)m  l , ta có n m xj  fi ( )  m  n i 1 j 1 n n n m yi   yi   x j  fi ( )  n  n i 1 n i 1 m j 1 i 1 n n m    fi ( )  yi    yi   x j n i 1 n i 1 m j 1 Vì { f n : n  1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập Xn    sup f nX n  n  i 1 E  f n , suy f  p n np n   i 1 fn  X n   E Xn  np  p   L p (  , X ), lại có , f n  X n , dẫn đến   nên ta có n   fi ( )  yi   h.c.c n   n i 1 Bên cạnh n m m k m m xj = y( k 1) m j   x j  yi  m   y(i1)m j  n j n i 1 n j 1 i 1 m j 1 j 1 l 1  m k m k k  m y  x  y     (i1) m j j  j ( k 1) m  j    xj n j 1 k i 1  n m  j 1  l 1 n  k m k    y(i1) m j  x j   n j 1 k i 1 k  m y  xj  (k 1)m j  n  m   j  l 1 n j 1 m 20 k m k    y(i 1) m j  x j  n j 1 k i 1 k  y( k 1) m j      n m j  l 1 n m m x j 1 j Do E ( f( k 1) m j )  x j  k   với j  1, , m nên theo bổ đề 2.2.2 k  y(i1)m j  x j  k   với j  1, , m , suy k i1 m k k   j 1 k n m k i 1 k   j 1 i 1 y(i1) m j  x j  k   , suy y(i1) m j  x j  n   Ta có k k 1 i 1 i 1 y( k 1) m j   y(i1) m j   y(i1) m j , suy 1 y( k 1) m j = n n  n  n k y i 1 ( i 1) m j k  i 1 y(i1) m j k 1 k y ( i 1) m j i 1  n  n   y(i1) m j i 1 k 1 y i 1 ( i 1) m j k 1  i 1 y( i1) m j Trong k k y(i1) m j  x j  x j  y(i1) m j  n  n i1 i 1 k k   y(i1) m j  x j   x j n i1 n i1 k k k   y(i1) m j  x j  x j  n   n k i1 n Tương tự ta có k 1 k  1 k 1 k 1 y(i1) m j  y(i1) m j  x j  x j  n     n i1 n k  i1 n 21 m n Do j  l 1 y( k 1) m j  n   Hơn nữa, tương tự chứng minh định lý 2.2.4, ta có k     n m m x j 1 j  h.c.c n   Vậy n m x j  h.c.c n   , suy  yi  m  n i 1 j 1 n m f (  )  i  x j  h.c.c n   n i 1 m j 1 m Từ suy  x j  s  liminf Yn ( ) h.c.c hay coX  s  liminf Yn ( ) m j 1 h.c.c Tiếp theo, gọi {x j } dãy trù mật X \ coX Khi tồn dãy {x*j } X * với x*j  cho coX  j  * x  X :   x j , x*j  s coX , x*j  Ta có s  X n ( ), x*j  : n  dãy biến ngẫu nhiên n   E s  X n ( ), x*j  np i 1 Từ suy hay s Yn ( ), x*j  =  p   n  i 1   E Xn   p  np n s  X i ( ), x*j   E s  X i ( ), x*j   n i 1    n     n n * s X ( ), x  E s  X i ( ), x*j  n      i j n i 1 n i 1 Hơn nữa, theo điều kiện (i), (ii) bổ đề 2.2.2 (1),  L p với  E s  X n ( ), x*j   s  cl E[X n ], x*j   s  X , x*j  n   , 22   n E s  X i ( ), x*j   s  X , x*j  n    n i 1 Do vậy, tồn tập N có xác suất 0, cho với   \ N j  , cho s Yn ( ), x*j   s  X , x*j  n   w Nếu x  w  limsup Yn ( ) với   \ N , xk   x k   với xk  Ynk ( ) ta có     x, x*j  lim xk , x*j  lim s Ynk (), x*j  s  X , x*j   s co X , x*j , j  , với k  k  x C Vậy w  limsup Yn ( )  coX h.c.c 23 CHƯƠNG III LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CỦA MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, ĐỘC LẬP THEO HÀNG 3.1 Mệnh đề (xem [2]) Cho  fni : n  1,1  i  n mảng tam giác phần tử ngẫu nhiên, độc lập theo hàng, nhận giá trị không gian Banach thực khả ly Rademacher dạng p (1  p  ). (t ) hàm dương thỏa mãn:  ( t )  (t ) t p 1  t  Khi đó, điều kiện sau thỏa mãn: i Ef ni  ,  ii n  n 1 i 1  E   f ni ( )   an   n  f ( ) iii    E  ni  an n 1  i 1     p ,     p k  , với k nguyên dương an  dãy số thực dương tăng ngặt đến  , thì: an n f i 1 ni ( )  h.c.c n   3.2 Định lý Cho  X ni : n  1,1  i  n mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng, nhận giá trị đóng khơng gian Banach thực khả ly Rademacher dạng p (1  p  )  (t ) hàm dương thỏa mãn:  ( t )  (t ) t p 1  t  Khi đó, điều kiện sau thỏa mãn: i  E  X ni , F X ni  , 24  n  ii  E   X ni ( )  n 1 i 1   an   n  X ( ) iii    E  ni  an n 1  i 1    p  ,     p k  , với k nguyên dương an  dãy số thực dương tăng ngặt đến  , thì:  s  lin n cl  X ni ( ) h.c.c an i 1 Chứng minh Với n  1,1  i  n , từ giả thiết (i):  E  X ni , F X ni  , suy tồn lát cắt   f ni  S 1X ni F X ni cho Efni  Mặt khác, theo giả thiết  X ni : n  1,1  i  n mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng, nhận giá trị đóng f ni lát cắt F X ni - đo X ni nên áp dụng Bổ để 2.2.3, suy  fni : n  1,1  i  n mảng tam giác phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng Vì  X ni  sup x , x  X ni ( ) mà fni ()  X ni () , hàm  ( t )  nên     fni ()   X ni () Từ suy ra:  n    f ()   E  n 1 i 1 ni  (an )  n  f ( )    E  ni  an n 1  i 1     n  n 1 i 1 p     p k   E  X ni ( )  (an )  n  X ( )     E  ni  an n1  i 1     p      , p k   , với k nguyên dương Như  fni : n  1,1  i  n thỏa mãn giả thiết mệnh đề 3.1 nên áp dụng mệnh đề, ta có: an n f i 1 ni ()  h.c.c n   25 Điều kéo theo  s  lin n cl X ni ( ) h.c.c an i 1 Chứng minh định lý hoàn thành Bây ta xét phản ví dụ cho chiều lại hội tụ Mosco định lý 3.2 3.3.Ví dụ Xét X  , X không gian Banach dạng Rademacher dạng  1 Xét X ni      ,    , n  1,1  i  n , X  Lc (X ) (),  n n  F X  ,   X ni : n  1,1  i  n mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị đóng, độc lập theo hàng Xét biến ngẫu nhiên đơn trị f ni , n  1,1  i  n cho: 1 1   P  f ni     P  f ni    , n  n     11 1 suy f ni  S 1X () Ef ni       , P( f ni  0)    n  n Đặt g ( )     Eg  g  S X1 () ni Do đó:  E  X ni , F ni  Chọn  ( x)  x , an   n2 , chúng thỏa mãn điều kiện định lý 3.2 Ta có:   1 X ni  sup x , x  X ni ()  sup  x , x    ,    ,  n n  n  X ni X   1  2ni  sup  x , x    ,   = an n  n n  n  Từ suy ra:  E   X ni   an    E  X ni an    E   E   n  n2       3, n n n2 26  n   E   X ni   an  n 1 i 1  n  X  E  ni   an n 1  i 1      n  n 1 i 1     2k  1    ,  n3 n1 n  n           n 1  i 1  n    2k       11  n 1  n  2k   22 k n 1 n với k nguyên dương Dễ thấy f ()  n n n fni ()  cl X ni () h.c.c  n i 1 i 1 n cl f () h.c.c Nên ta có:  n  n i 1 và, hiển nhiên f ()  w  lim n f ()  w  lim cl X ni () h.c.c n  n i 1 f ()  {0} h.c.c Vậy n w  lim cl X ni () Ø {0} h.c.c n  n i 1  , 27 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo Th.s Dương Xuân Giáp, luận văn hoàn thành, giải vấn đề sau đây: Hệ thống số khái niệm tính chất phần tử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị không gian Banach dạng hội tụ Mosco Trình bày hai định lý Luật số lớn dạng hội tụ Mosco dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập với giả thiết khác Thiết lập chiều hội tụ Mosco cho luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng, nhận giá trị đóng khơng gian Banach khả li thực, dựa hướng mở rộng giả thiết “kỳ vọng 0” đơn trị sang “0 thuộc kỳ vọng” xác suất đa trị, đưa phản ví dụ cho chiều cịn lại Đây kết làm phong phú thêm định lý giới hạn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị Hướng nghiên cứu luận văn: Mở rộng kết định lý 2.2.5 cho trường hợp mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng, nhận giá trị đóng khơng gian Banach khả li thực 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Quảng (2011), Xác suất không gian Banach, Giáo trình, Trường Đại học Vinh, 2011 TIẾNG ANH [2] A Bozorgnia, R.F Patterson and R.L Taylor (1992), Chung type strong laws for arrays of random elements and bootstrapping, Statistics Technical Report 928, University Georgia [3] Charles Castaing, Nguyen Van Quang and Duong Xuan Giap (2011), Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, to appear in Journal of Nonlinear and Convex Analysis [4] Charles Castaing, Nguyen Van Quang and Duong Xuan Giap (2012), Various convergence results in strong law of large numbers for double array of random sets in Banach space, to appear in Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Volume 13, Number 1, pp 1-30 [5] F Hiai (1985), Convergence of conditional expectation and strong law of large numbers for multivalued random variables, Trans A M S., 291(2) ... 13 2.2 Luật số lớn dạng hội tụ Mosco dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập 14 CHƯƠNG III : LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CỦA MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, ĐỘC LẬP THEO HÀNG 23 KẾT LUẬN... hiệu tính chất hội tụ Mosco Chúng đưa hai định lý dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập với giả thiết khác Chương Luật số lớn dạng hội tụ Mosco mảng biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập theo hàng Trong... III LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CỦA MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, ĐỘC LẬP THEO HÀNG 3.1 Mệnh đề (xem [2]) Cho  fni : n  1,1  i  n mảng tam giác phần tử ngẫu nhiên, độc lập theo hàng,