Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết thiết lập luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả li.
TẠP CHÍ ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 19 - Tháng 2/2014 LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CHO MẢNG CÁC BIẾN NG U NHIÊN ĐA TRỊ, HOÁN ĐỔI ĐƯỢC THEO HÀNG DƯƠNG XUÂN GIÁP(*) NGUYỄN THỊ QUỲNH HOA(**) TÓM TẮT Trong báo này, thiết lập luật số lớn dạng hội tụ osco cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach khả li Kết thu không cần giả thiết kì vọng bị chặn c n mở rộng kết Inoue Taylor Từ khoá: luật số lớn dạng hội tụ osco, biến ngẫu nhiên đa trị, không gian Banach khả li ABSTRACT In this paper, we establish the law of large numbers for triangular array of row-wise exchangeable random sets in a separable Banach space in the Mosco sense The results are obtained without bounded expectation conditions and improve the results by Inoue and Taylor Keywords: the law of large numbers in the Mosco sense, random sets, separable Banach space PHẦN MỞ ĐẦU Trong thập kỉ gần đây, luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị dẫn tới nhiều ứng dụng lĩnh vực khác như: tối ưu hoá điều khiển, hình học ngẫu nhiên, tốn kinh tế, thống kê, y học, Năm 2006, H Inoue R L Taylor thiết lập luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach khả li [4, tr 271] Gần đây, báo [5], Nguyễn Văn Quảng Dương Xuân Giáp thiết lập luật số lớn theo tôpô Mosco cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng khơng gian Rademacher dạng Đây báo thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị Tiếp nối hướng nghiên cứu này, thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach khả li Trong báo [5], luật số lớn thiết lập điều kiện kì vọng bị chặn, nhiên báo không cần giả thiết Kết chúng tơi cịn mở rộng kết Inoue Taylor KIẾN THỨC CHUẨN B Trong suốt báo này, giả thiết không gian xác suất đầy đủ, không gian Banach khả li thực khơng gian đối ngẫu Ký hiệu họ tất tập đóng khác rỗng khơng gian Banach , tập tất số thực Trên ta xác định cấu trúc tuyến tính với phép toán định nghĩa sau: (*) (**) ThS.NCS, Trường Đại học Vinh Học viên Cao học 19 Tốn - Trường Đại học Vinh 82 Ánh xạ tập gọi biến ngẫu nhiên đa trị, với tập mở U thuộc Phần tử ngẫu nhiên đo được) X -đại số Effros gọi lát cắt -đo (hay nói gọn lát cắt với -đại số sinh tập với U tập mở Khi đó, hàm đa trị -đo được, nghĩa với , ta có Một họ hữu hạn biến ngẫu nhiên đa trị đo gọi hoán đổi với với phép hoán vị tập Với biến ngẫu nhiên đa trị -đo X, ta đặt Kì vọng biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa sau với tích phân Bochner thông thường Cho -đại số -đại số biến ngẫu nhiên đa trị -đo (nghĩa với tập mở ) Với xác định , ta định nghĩa: Cho , kí hiệu: bao đóng (theo chuẩn), bao đóng (theo tơpơ yếu), bao lồi, bao lồi đóng Hàm khoảng cách , hàm tựa tương ứng định nghĩa sau Chúng ta cịn định nghĩa Cho tơpơ dãy nhận giá trị với dãy giới hạn giới hạn Chúng ta dễ dàng suy Một dãy gọi hội tụ tới thức sau thỏa mãn Đặt: Các tập tương ứng gọi , liên quan đến tôpô , theo dạng Kuratowski, tôpô , hai đẳng 83 Trong trường hợp này, viết Rõ ràng, điều Chúng ta ký hiệu (tương ứng ) tôpô mạnh (tôpô sinh chuẩn) (tương ứng, tôpô yếu) Một tập gọi giới hạn dạng osco dãy ký hiệu Điều Hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa cách thay , phát biểu hầu chắn (h.c.c.) KẾT QUẢ CHÍNH Cho biến ngẫu nhiên đa trị , ta kí hiệu -đại số sinh , nghĩa -đại số bé mà đo Để chứng minh kết chính, cần bổ đề sau: Bổ đ [6] Giả sử mảng tam giác phần tử không gian Banach thỏa mãn: , tồn số C cho , với Khi đó, ta có Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng, sử dụng kĩ thuật chứng minh H Inoue R L Taylor khơng thu kết Vì thế, chúng tơi phải sử dụng thêm Bổ đề 3.1 đưa phương pháp để xây dựng mảng lát cắt, đưa số kĩ thuật biến đổi khác Định lí Cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach khả li Giả sử với cho: +) Với hàm đo Khi đó, tồn , tồn mảng tam giác hoán đổi theo hàng, +) Với thỏa mãn điều kiện với với với , Chứng minh Đặt Đầu tiên, chứng tỏ h.c.c Để làm điều này, sử dụng Bổ đề 3.1 Với 84 , theo Bổ đề 3.6[1], tồn phụ thuộc vào Từ điều kiện ) cho , tồn mảng tam giác , mảng hoán đổi theo hàng Đặt đó, ta có (các phần tử , với với Giả sử Đặt , với Khi với Do mảng tam giác hoán đổi theo hàng nên mảng phần tử ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng Từ , với , ta có cho với Chúng ta có (từ tính chất ) 85 , nghĩa (theo bất đẳng thức hàm lồi) Từ đó, có Điều có nghĩa Với , ta có (do ánh xạ tuyến tính) (theo định nghĩa phần tử ngẫu nhiên) với (từ giả thiết ) Từ khẳng định trên, thấy với , mảng tam giác thỏa mãn tất điều kiện Định lí 1[8] Áp dụng định lí ta có h.c.c , với Điều tương đương với h.c.c Với đặt Với , từ điều kiện theo trung bình bậc theo cột tới suy hoán đổi theo hàng hội tụ nên chúng có kì vọng bị chặn Do đó, với Từ , suy , với tụ theo ) Từ đó, ta có Kết hợp điều với , nhận thấy tất giả thiết Bổ đề 3.1, với cho mảng thu Từ đó, ta suy 86 (hội tụ theo kéo theo hội thỏa mãn Từ đó, áp dụng bổ đề với Từ , có Tương tự, từ , thu Chúng ta có có Điều kéo theo Tiếp theo, giả sử thuộc với Từ đó, kết hợp với , , Vì Từ định lí khả li, tồn dãy dãy trù mật cho Khi đó, với Từ mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, suy mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, với Đặt Khi mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng Lập luận tương tự, suy mảng tam giác thỏa mãn đầy đủ điều kiện Định lí 1[8] cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, với Khi đó, áp dụng bổ đề này, có h.c.c , với Điều có nghĩa h.c.c , với Hơn nữa, từ , có 87 với Từ đó, tính hốn đổi theo hàng mảng tam giác biến ngẫu nhiên , ta suy mảng tam giác có kì vọng bị chặn Áp dụng Bổ đề 3.1, ta có Từ đó, với , , cho với Với Từ đó, thu Từ suy h.c.c Vì vậy, Nghĩa là, tồn khi , h.c.c KẾT LUẬN Bài báo thiết lập luật số lớn dạng hội tụ Mosco mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach khả li Đây tổng quát kết H Inoue and R.L.Taylor (2006) đăng tạp chí Stochastic Analysis and Applications (SCIE) Để chứng minh kết chính, tác giả đưa số kĩ thuật mà áp dụng cho lớp rộng toán liên quan TÀI LIỆU THAM KHẢO C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, Journal of Nonlinear and Convex Analisis, Vol 13, No 4, pp 615-636 C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Various convergence results in strong law of large numbers for double array of random sets in Banach spaces, Journal of Nonlinear and Convex Analisis, Vol 13, No 1, pp 1-20 Y S Chow and H Teicher, Probability Theory, Springer, New York, 1978 H Inoue and R.L.Taylor (2006), Law of large numbers for exchangeable random sets in Kuratowski-Mosco sense, Stochastic Analisis and Applications, Volume 24, Issue 2, pp 263-275 N V Quang and D X Giap (2013), Mosco convergence of SLLN for triangular arrays of rowwise independent random sets, Statistics and Probability Letters, 83, pp 1117-1126 N V Quang and D X Giap (2013), SLLN for double array of mixing dependence random sets and fuzzy random sets in a separable Banach space, Journal of Convex Analisis, Vol 20, No 88 R L Taylor, P Z Daffer and R F Patterson (1985), Limit theorems for sums of exchangeable variables, Rowman $\&$ Allanheld Publishers, Totowa N.J R L Taylor and R F Patterson (1985), Strong laws of large numbers for arrays of row-wise exchangeable random elements, Internat J Math Math Sci., Vol 8, No 1, 135-144 Bài báo tài trợ uỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia Vietnam (NAFOSTED) * Ngày nhận bài: 4/4/2013 Biên tập xong: 18/2/2014 Duyệt đăng: 24/2/2014 89 ... mật cho Khi đó, với Từ mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, suy mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng, với Đặt Khi mảng tam giác biến ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng. .. tồn mảng tam giác , mảng hốn đổi theo hàng Đặt đó, ta có (các phần tử , với với Giả sử Đặt , với Khi với Do mảng tam giác hoán đổi theo hàng nên mảng phần tử ngẫu nhiên hoán đổi theo hàng. .. hạn biến ngẫu nhiên đa trị đo gọi hoán đổi với với phép hoán vị tập Với biến ngẫu nhiên đa trị -đo X, ta đặt Kì vọng biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa sau với tích phân Bochner thơng thường Cho