Luật số lớn cho tổng trọng số các biến ngẫu nhiên hoán đổi

Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC TRẦN THỊ THUẬN LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN HOÁN ĐỔI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUN NGÀNH TỐN - TIN HỌC ỨNG DỤNG Vinh, tháng năm 2012 SV: Trần Thị Thuận Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN HOÁN ĐỔI Người hướng dẫn : ThS Dương Xuân Giáp Người thực : Trần Thị Thuận Lớp MSSV : 49B - Toán - Tin học ứng dụng : 0851090369 Vinh, tháng năm 2012 SV: Trần Thị Thuận Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.2 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.3 Biến ngẫu nhiên phân phối 1.4 Các dạng hội tụ 1.5 Luật số lớn 1.6 Bất đẳng thức Holder CHƯƠNG 2: LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN HOÁN ĐỔI 11 2.1 Giới thiệu 11 2.2 Luật số lớn cho biến ngẫu nhiên hoán đổi 14 KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 SV: Trần Thị Thuận Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh LỜI NĨI ĐẦU Luật mạnh số lớn đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn James Bernoulli công bố năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn E.Borel phát Kết Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926 Trên sở đọc hiểu tìm hiểu tài liệu tham khảo, nghiên cứu đề tài " Luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên hốn đổi " Khóa luận chia làm chương Chương 1: Kiến thức Chương trình bày số định nghĩa tính chất để làm công cụ nghiên cứu chương sau Cụ thể chúng tơi trình bày khái niệm khái niệm biến ngẫu nhiên, luật số lớn, dạng hội tụ, bất đẳng thức Holder Chương 2: Luật mạnh số lớn tổng trọng số biến ngẫu nhiên hoán đổi Đây nội dung khóa luận Trong khóa luận này, định lý Marcinkiewicr mở rộng cho biến ngẫu nhiên hoán đổi Chúng ta thu luật số lớn cho tổng trọng số biến ngẫu nhiên hốn đổi Mục đích khóa luận tổng quát hóa biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Bai, 2000, P.105 – 112 Sung, 2001, P.413 – 419 thành biến ngẫu nhiên hốn đổi Khóa luận thực trường Đại học Vinh hướng dẫn ThS Dương Xuân Giáp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy nhiệt tình hướng dẫn thầy dành cho tác giả suốt trình hồn thành khóa luận SV: Trần Thị Thuận Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Vinh, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng song khả thân hạn chế nên khóa luận hẳn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Vinh, tháng năm 2012 Tác giả SV: Trần Thị Thuận Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 σ_đại số Định nghĩa: Cho Ω tập khác rỗng Một họ F tập Ω gọi σ_đại số thỏa mãn ba điều kiện i,   F ; ii, Nếu A F  \ A F ; iii, Nếu An  F , n   A n F ; i 1 1.1.2 Độ đo xác suất Cho  rập khác rỗng F σ_đại số tập  Hàm tập P xác định F gọi độ đo xác suất thỏa mãn điều kiện i, P( A)  A F ii, P()  iii, Nếu dãy {An , n  1} dãy tập đôi rời thuộc F  n i 1 i 1 P( An )   P( An ) Khi ba (, F , P) gọi không gian xác suất 1.1.3 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Ánh xạ X :   R gọi hàm F – đo (hoặc biến ngẫu nhiên) {   : X ()  B}  X 1 ( B)  F , B  B( R) SV: Trần Thị Thuận Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh 1.1.4 Các loại biến ngẫu nhiên 1.1.4.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm giá trị Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất giá trị có liệt kê dãy hữu hạn hay vô hạn x1 , x2 , xn , Tập hợp giá trị có biến ngẫu nhiên X kí hiệu X () Bảng phân phối: Khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên rời rạc X, ta cần biết giá trị với xác suất tương ứng Các thông tin xác định tiện lợi bảng gọi bảng phân phối Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x2 , xn , với xác suất tương ứng P( X  xi )  pi , ( i =1, 2, 3,…, n) Khi bảng có dạng X x1 x2 xn … P p2 … pn … p1 bảng gọi bảng phân phối biến ngẫu nhiên X Trong đó: p i  i Nhận xét: Từ bảng phân phối X ta suy phân phối xác suất hàm phân phối PX (B) =  pi , xiB FX (x) = p xi x i 1.1.4.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên liên tục hàm phân phối F(x) hàm liên tục tồn hàm p(x) cho p( x)  ;    x   SV: Trần Thị Thuận Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh x F (x) =  P(t )dt ;    x    Hàm số p(x) nêu gọi hàm mật độ xác suất X Trong trường hợp này, xác suất để X thuộc vào khoảng ( x0, x1 ) tính sau: x1 P{x0  X  x1} =  p( x)dx x0 1.2 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2.1 Kỳ vọng Định nghĩa: Giả sử X : (, F , P)  ( R, B( R)) biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn ) gọi kì vọng X ký hiệu EX Vậy EX   XdP  Nếu tồn E X p   (p > 0), ta nói X khả tích bậc p Đặc biệt, E X   , X gọi biến ngẫu nhiên khả tích Lược đồ xây dựng kỳ vọng: Lược đồ xây dựng kỳ vọng lược đồ xây dựng tích phân Lebesgue n Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản X   I A i 1 i n EX :  P( Ai ) i 1 Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm X giới hạn dãy không tăng biến ngẫu nhiên đơn giản ( X n , n  1) n 2n Xn   k 1 SV: Trần Thị Thuận k 1 I k 1 k  nI ( X n ) n ( 2n  X  2n ) Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh Khi EX : lim EX n n  Nếu X biến ngẫu nhiên X  X   X  ; với X   max( X ,0)  0; X   max(  X ,0)  Khi EX : EX   EX  (nếu có nghĩa ) Tính chất: Kỳ vọng có tính chất sau đây: 1, Nếu X  EX  2, Nếu X  C EX  C 3, Nếu tồn EX với C  R ta có E(CX )  CEX 4, Nếu tồn EX EY (EX EY )= EX EY 1.2.2 Phương sai Định nghĩa: Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó, số DX := E (X – EX)2 (nếu tồn tại) gọi phương sai X Tính chất: phương sai có tính chất sau đây: 1, DX = EX2 – (EX)2 2, DX ≥ 3, DX = X = EX = số h.c.c 4, D(CX) =C2 DX 1.3 Biến ngẫu nhiên phân phối Định nghĩa phân phối xác suất: Giả sử (, F , P) không gian xác suất, X :   P biến ngẫu nhiên Khi hàm tập PX : B( R)  R B  PX ( B)  P( X 1 ( B)) SV: Trần Thị Thuận Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh gọi phân phối xác suất X Định nghĩa: Những biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất gọi biến ngẫu nhiên phân phối 1.4 Các dạng hội tụ Định nghĩa: Ta nói dãy biến ngẫu nhiên ( X n , n  1) hội tụ đến biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞ )  Hầu chắn P(lim X n  X  0)  n c.c Ký hiệu X n h  X  Theo xác suất với   lim P( X n  X   )  n p Ký hiệu X n  X  Đầy đủ với   P( X n 1 n  X   )   c  X Ký hiệu X n   Theo trung bình cấp p, (p >0 ) lim E X n  X n p   p X Ký hiệu X n   Yếu (theo phân phối ) lim Fn ( x)  F ( x) n SV: Trần Thị Thuận x  C (F ) Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh Trong Fn (x) F (x) tương ứng hàm phân phối biến ngẫu nhiên Xn X; C (F ) tập hợp điểm mà F (x) liên tục D Ký hiệu X n  X Hội tụ hầu chắn gọi hội tụ với xác suất 1; hội tụ theo trung bình cấp p gọi hội tụ  p 1.5 Luật số lớn 1.5.1 Định nghĩa: Cho dãy X , X , , X n , biến ngẫu nhiên có kì vọng EX i  ( i = 1, ) Dãy ( X n , n  1) gọi tuân theo luật yếu số lớn X   X n a1   an P   n n ( n →∞ ) Dãy ( X n , n  1) gọi tuân theo luật yếu số lớn tổng quát tồn dãy số (bn),  bn   cho X   X n a1   an P   bn bn ( n →∞ ) Nếu định nghĩa trên, hội tụ theo xác suất thay hội tụ hầu chắn dãy ( X n , n  1) gọi tuân theo luật mạnh số lớn (luật mạnh số lớn tổng quát) 1.5.2 Luật số lớn dạng Chebyshev: Nếu dãy đại lượng ngẫu nhiên X , , X n , độc lập, có phương sai giới nội ( DX n  C, n) ta có n n lim P{  X k   EX k   }  0,   n n k 1 n k 1 1.5.3 Luật số lớn dạng Khinchin: Nếu dãy đại lượng ngẫu nhiên X , , X n , độc lập phân phối có kì vọng hữu hạn ta có SV: Trần Thị Thuận 10 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp lim P{ n Đại học Vinh n  X k  EX k   }  0,   n k 1 n Nói cách khác  X k hội tụ tới EX k (theo xác suất) n k 1 Áp dụng kết cho dãy  X k  dãy phép thử Bernoulli ta nhận định lí Bernoulli: n m X k  hội tụ tới p (theo xác suất )  n k 1 n Khi n tăng vô hạn (nghĩa tần suất hội tụ theo xác suất n tăng vô hạn ) 1.5.4 Luật số lớn dạng Borel: Xét n phép thử Bernoulli, P( X k  1)  p; P( X k  0)   p Khi ta có: P{( n  X k  p)  0}  n k 1 n →∞ tức n m hội tụ tới p với xác suất Xk   n k 1 n (Luật số lớn xét theo hội tụ với xác suất gọi luật mạnh số lớn Vì luật số lớn dạng Borel luật mạnh số lớn) 1.6 Bất đẳng thức Holder Giả sử p, q  (1,) cho 1   X   p , Y   p Khi p q E XY  X p Y q Chứng minh: Vì hàm f ( x)  x p , x  (0,) lồi (lõm), nên f ( x)  f (1)  f ' (1)( x  1) hay x p   p( x  1) với x  Thay x  (a b)1 p , a  0, b  0 vào bất đẳng thức sau cùng, ta có SV: Trần Thị Thuận 11 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh 1 1 a b   a p b p  b, p p hay 1 a b   a pbq , p q thay a  X X p p , b p Y Y q q vào bất đẳng thức lấy kỳ vọng, ta q E XY 1   p q X pY 1 q Từ ta có E XY  X p Y q Nếu E X E Y  E XY  X p q SV: Trần Thị Thuận p Y q 12 điều hiển nhiên Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh CHƯƠNG LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN HOÁN ĐỔI 2.1 Giới thiệu Nếu phép hoán vị phân phối điểm dãy X1 , , Xn không đổi, nghĩa là, với phép hoán vị π cho 1, 2, …, n phân phối điểm X1, …, Xn giống với X  (1) , , X  ( n) ; dãy hữu hạn biến ngẫu nhiên X1,…, Xn gọi hoán đổi Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên độc lập phân phối biến ngẫu nhiên hoán đổi đơn giản Khái niệm biến ngẫu nhiên hoán đổi đề xuất De Finetti 1930 Tính chất tiếng biến ngẫu nhiên hoán đổi định lý cấu trúc nó, gọi định lý De Finetti; là, dãy vơ hạn biến ngẫu nhiên hoán đổi độc lập phân phối, phần σ_đại số Mục đích khóa luận mở rộng biến độc lập phân phối Bai, 2000, P.105-112 Sung, 2001, P.413-419 cho biến ngẫu nhiên hốn đổi Phương pháp chặt cụt khó khăn xem xét cho biến ngẫu nhiên, phương pháp chứng minh đơn giản Bai, 2000, P.105-112 Sung, 2001, P.413-419 2.1.1 Định nghĩa: (Wu, 2006, P.132-133) Hàm giá trị dương l (x) xác định [0,) gọi thay đổi chậm, cho c > có l (cx ) Giả sử {ani ,1  i  n, n  1} mảng x  l ( x ) lim    ,n số thực dương thoả mãn A SV: Trần Thị Thuận n   ani A  lim sup A ,n   n n i 1 13 (1) Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh 2.1.2 Bổ Đề : (Wu ,2006,P.132-133) Giả sử {X n , n  1} biến ngẫu nhiên hốn đổi, thỗ mãn Cov( f1 ( X ), f ( X ))  Cho A1 , , Am tập điểm khác rỗng { 1, 2, …, n } với m ≥ Giả sử fi, i=1, 2, …, m hàm không tăng (Không giảm ) Khi (1) Nếu fi ≥ ,i = 1, 2, …, m n n i 1 i 1 E  f ( X j , j  Ai )   E f (X j , j  Ai ) (2) Đặc biệt, cho xi  R , i = 1, …, m, có: n P( X  x1 , , X n  xn )   P( X i  xi ) i 1 Tiếp theo, phác thảo vài bổ đề tổng quát, sử dụng chứng minh định lý Nếu cần thiết đưa chứng minh 2.1.3 Bổ đề 2: Giả sử X1, , Xn biến ngẫu nhiên hoán đổi thoả mãn: Cov( f1 ( X ), f ( X ))  EX k  0, k2  EX km   ( k=1, 2, …,n) Giả sử tồn số dương H cho EX m k m 2 m2   k H , k = 1, 2, …, n Sau có n n i i 1 P( X i  x)  exp(  x   i2 ) n n i i 1 P( X i   x)  exp(  x   i2 ) SV: Trần Thị Thuận 14 n  k2 i 1 H 0 x n  k2 i 1 H 0 x , , Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh Chứng minh: Dựa định lý 2.5 Taylor, 2002, P.643-656 hệ Sung, 2001, P.413-419, Bổ đề chứng minh dễ dàng 2.1.4 Bổ đề Giả sử {X n , n  1} biến ngẫu nhiên hoán đổi tồn h>0, e>0 cho E[exp(h( x) r )]   (2) { X ni ,1  i  n, n  1} biến ngẫu nhiên hoán đổi thoả mãn: Cov( f1 ( X n1 ), f ( X n ))  với EX ni  , ≤ i ≤ n, n ≥ 1; {a ni } , ≤ i ≤ n, n ≥ mảng số dương, thoả mãn (i) u n  cho Tồn  với    r {U n , n  1} với lim n  a ni X ni  (ii) un X i  , h.c.c log n  cho Tồn   mảng {vn} thoả mãn lim n n X ni a i 1 n a i 1 ni ni  X i  log n , h.c.c X ni  , h.c.c, n→ Chứng minh: Dựa định lý 2.5 Taylor, 2002, P.463-656 định lý 18 Petrov, 1991, 83-84, Bổ đề dễ dàng chứng minh 2.1.5 Bổ đề Giả sử {X n , n  1} biến ngẫu nhiên hoán đổi tồn h>0, r>0 cho SV: Trần Thị Thuận 15 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh E[exp(h( x) r )]   { X n ,1  i  n, n  1} biến ngẫu nhiên hoán đổi, thoả mãn: Cov( f1 ( X n1 ), f ( X n ))  với EX ni  , 1≤ i ≤ n, n ≥ 1; {a ni } , ≤ i ≤ n, n ≥ mảng số dương thoả mãn: (1) E[exp(h( x) r )]   ( ) Tồn  với    r số c  cho: a ni X ni  c Xi  log n , h.c.c  ( ) Tồn  > mảng { } thoả mãn: lim n n cho X ni a i 1 n a i 1 ni ni  X i  log n , h.c.c X ni  , h.c.c, n   2.2 Luật số lớn cho biến ngẫu nhiên hoán đổi 2.2.1 Định lý 1: Giả sử {X , X n , n  1} biến ngẫu nhiên hoán đổi thoả mãn: Cov( f1 ( X ), f ( X ))  SV: Trần Thị Thuận 16 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh Giả sử fi , i = 1, hàm thoả mãn trước khơng giảm với X1 X2, EX1, p  1, p0 hàm đơn điệu không giảm x   , { ani },   ,n ≤ i ≤ n, n ≥ mảng số thực với A n  ani n i 1 A , n≤ ∞; Hơn nữa, giả sử A  lim n  EX  ; EX = 0; với   ,1   ,1  p  n1 p 1   Sau có p   n a i 1 ni X ni   , h.c.c, n→∞ (3) Chứng minh: Khơng tính tổng qt, cho ≤ i ≤ n, n ≥ 1, giả sử ani > {X , X n , n  1} biến ngẫu nhiên hoán đổi, an1X1, …, annXn thoả mãn Cov( f1 (an1 X ), f (an X ))    ,1   ,1  p  , 1   Sau p  2 Từ Yang, 2000, p   P.218 -223 (1) có: E | n 1 n p n  ani X i |  Cn2 p  ani i 1  i 1 Do đó, n1 p n a i 1 ni EX  Cn2 p1 A22,n  0, n   X i  , n   Từ bất đẳng thức đối xứng chứng minh bổ đề 14 Petrov, 1991, P.83-84, biết rằng, chứng minh n1 p n a i 1 ni SV: Trần Thị Thuận X i  , n   , cần chứng minh: 17 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh n 1 p ani X iS  , h.c.c, n   , Ở X iS dạng đối xứng Xi Từ định lí Chi, 1997, P.199-203 Chúng ta có dãy đối xứng Cov( f1 ( X ), f ( X ))  thoả mãn bất đẳng thức, h.k.n Cov( f1 ( X 1s ), f ( X 2s ))  Khơng tính tổng qt, giả định {X n , n  1} biến ngẫu nhiên hốn đổi đối xứng thỗ mãn: Cov( f1 ( X ), f ( X ))  cho tất ≤ i ≤ n, n ≥ Để cho X i'  X i I ( X i  n1  )  n1  I ( X i   )  n1  I ( X i  n1  I ( X i  n1  ), X i'  X i I ( X i  n1  )  n1  I ( X i   )  n1  I ( X i  n1  I ( X i  n1  ), n X i  X i I ( X i  n1  ), ani'  ani I ( ani  n1  ), ani''  ani  ani'  ani I ( ani  n1  ) Sau có: n n n n i 1 i 1 i 1 i 1  ani X i   ani' X i'   anin X i'   ani X in (4) '' 1    ,  {1   (1 - )}, X i  X i p    1 p tương đương   P( X  ''   1 n (1 ) p , E | X |    ,  n)   i 1 Từ bổ đề Berel –Cantelli, có '' n Xi  n i 1 SV: Trần Thị Thuận  P( X   n, i.o.)    ,  , h.c.c ( n   ) 18 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh '' i ''  ( 1)  i Từ bất đẳng thức Holder, X | X | | X || X | ' i '' n Xi  n i 1  '' i n (1 ) p  , h.c.c ( n   ) Thì có: n 1 p n  ani X i  n '' 1 n p i 1 n  ani X i  n 1  ani X i'' '' i 1  ( 1) /  i 1  A ,n (  n X i'' ) ( 1) /  ,h.c.c,  n i 1 n   Sau có n1 p Do  p  , 1 n a i 1 '' ni X i  n 1 p  , h.c.c, n   (5) 1   ,     , p   (2   )    (2   )    ,          ,      Sau đó, có n  E (a X i' )  Cn A22,n n ' ni i 1 ( 2 )  ( 2  )     X  2  2  (max{ n  , n, n  }) Ngoài ra, cho 1≤ i ≤ n, n ≥ 1, có n 1 n ani' X i'  n1  n1  n 1 p , max{n  , n, n   (n p log 2 n) Từ bổ đề 2, cho  đủ bé n đủ lớn, có n P(n1 p  a ni' X i'   )  exp ( i 1   exp(  (log n) ) 2 p 2 2 4n (max{n , n, n }) Tương tự, chứng minh: P(n 1 p n a i 1 ' ni X i'   )  exp(  (log n) ) SV: Trần Thị Thuận 19 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh Do đó, n  P( n 1 p i 1 n a i 1 ' ni X i'   )   Từ kết bất đẳng thức trước đó, có n1 p n a i 1 ' ni X i'  , h.c.c, n   (6) 1   , có p   Hơn nữa, vào α >1 n 1 p n n n i 1 i 1 i 1  ani'' X i'  n 1 p n1   ani I (a ni  n1  )  n 1 p1  n (1 ) /   ani   A,n (7) Từ (4), (5), (6), (7), có lim sup n 1 p n  n a i 1 ni X i  A , h.c.c, n   Thế chỗ Xi tXi có lim sup n 1 p n  A , h.c.c, n   a ni X i   t i 1 n n Để cho t   , có n 1 p  a ni X i   , h.c.c, n   , h.k.n bất đẳng thức i 1 (3) SV: Trần Thị Thuận 20 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo ThS Dương Xn Giáp, khóa luận hồn thành giải vấn đề sau đây: Hệ thống khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên, luật số lớn, dạng hội tụ, bất đẳng thức Holder số khái niệm khác Trình bày khái niệm, định lý, tính chất bổ đề luật số lớn cho tổng trọng số biến ngẫu nhiên hoán đổi Đây phần khóa luận, phần chúng tơi tổng qt hóa lại biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Bai, 2000, P.105 – 112 Sung, 2001, P.413 – 419 thành biến ngẫu nhiên hoán đổi SV: Trần Thị Thuận 21 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB _Đại học Quốc Gia Hà Nội TIẾNG ANH [1] Bai, Z., & D Cheng, P.E (2000) Marcinkiwicz Strong laws for Linear Statistics Statist Probad Lett,46,105-112 [2] Chi,X.,& Su, C (1997) A weak law of large number of indentical distribution NA series Applied Probad and Statist, 13, 199-203 [3]Fintti, B, De (1930) Funzione Caratteristica Di Unfenomeno Aleatorio Atti Accad NaZ Lincei Rend cl Sci Fis Mat Nat 4, 86 – 133 [4] Lin ,Z Y.,L ,C, R & Su ,Z G (1999) The basic material for probability limit theory Higher Education Press, Beijing, 85 – 86 [5] Petrov , B.(1991) Sums of independent random variable Hefei : USTC Press, 83-84 [6] Sung ,S.H (2001).Strong Laws for weighted suns of i.i.d random variable s Statist Probad Lett, 52,413-419 [7] Taylor, R.L.& Patterson ,R.F (2002) A strong laws of numbers for arrays of rowwise negatively dependent random variables Stochastic Anal Appl 20, 643-65 [8]Wang ,L.,& Liu, J.Q (2001) Covergence on bivariate weighted sums of row-wise exchangeale random variables Journal of Harbin Institute of Technology ,33, 826-829 [9]Wu,Y.,Q.(2006) The probability limit theory of composite series Academic Press , 132-133 [10] Yang ,S,Z.(2000) The matrix inequality of partial sum of random variables.Scenice in China ,30,218-223 SV: Trần Thị Thuận 22 Lớp: 49B - Toán Tin ứng dụng ... trọng số biến ngẫu nhiên hoán đổi Đây nội dung khóa luận Trong khóa luận này, định lý Marcinkiewicr mở rộng cho biến ngẫu nhiên hoán đổi Chúng ta thu luật số lớn cho tổng trọng số biến ngẫu nhiên. .. Holder CHƯƠNG 2: LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN HOÁN ĐỔI 11 2.1 Giới thiệu 11 2.2 Luật số lớn cho biến ngẫu nhiên hoán đổi 14 KẾT LUẬN ... tính chất biến ngẫu nhiên, luật số lớn, dạng hội tụ, bất đẳng thức Holder số khái niệm khác Trình bày khái niệm, định lý, tính chất bổ đề luật số lớn cho tổng trọng số biến ngẫu nhiên hoán đổi Đây