ụể ủ ủể ỉừể èệ ề è è ẻ ề í ẻ ề ậ ỉ í ủ é ỉ ẹừề ì é ề úí ụ ềề ề ề é ễ ẹ ỉ ề ề ỉ ì ỉểụề ẻ ề ắẳẵ ụể ủ ủể ỉừể èệ ề è è ẻ ề í ẻ ề ậ ỉ í ủ é ỉ ẹừề ì é ề úí ụ ềề ề ề é ễ ẹ ỉ í ề ề ủề ỉ í ỉ ĩụ ì ỉ ủ è ú ì ề ề ỉểụề ẳ ẳẵẳ ề ề ỉ ì ỉểụề ặ ề ể ẻ ề ắẳẵ ậèậặ í ề ẻ ề ẫũề é é ẵ ẵ ụ ẵẵ ềỉ ì ề ẵẵẵ ề ĩụ ì ỉ ề ụ ỉ ề ẵẵ ụ ì ỉ ụề è ề ĩừ ẵắẵ ể ủ ỉ ụề ĩừ ề ề ể ĩụ ì ỉ ĩụ ì ỉ ủ é ễ ể ẵắắ ề ụ ề ề ề ề ề ể ề ề ẵắ ẩ ề ễ ĩụ ì ỉ ẵắ ề ẵắ è ề ề ẵẵ ẵắ ỉ ẳạẵ ểéẹể ểệể ẵắ ẵắ ắ ậ ỉ é ễ ắẵ ề ẵẵắ ẵẵ ẵắ ậ é ễ ụ é ễ ủ ụ ụ ề ề ề ề ỉệ í ủ é ỉ ẹừề ì é ề ề ề ề í ẵ ể úí ụ ềề ề ẹ ỉ ỉ ẵẳ ề ẵ úí ụ ề ề ề ề ẵ ắẵẵ ắẵắ ắắ ắ ẵ ẵ ẵ ì ắ ề ề ủ ụ ỉ ề ụ ỉ ẹừề é ề ỉ ỉ é ề ủ ề ễ ụỉ ỉệ ề èủ é ỉ ẹ ũể úí ụ ề ề ề ề é ễ ẹ ỉ ắ ề ỉ í ỉ ĩụ ì ỉ éủ ẹ ỉ ề ề ề ề ữẹ ỉ ẹ ệ ề íá é ếí é ỉ ề ề ễ ề ỉểụề ếí é ỉ ỉệểề ỉ í ỉ ĩụ ì ỉ ệ ỉ í ỉ ĩụ ì ỉ ễ ụỉ ỉệ ề ề ề ềỉ ủể ề ề ẹừề ẹ ề ụ ủ ề ề ỉ ỉ ề ẵ ề ềỉ ề ề ề ẩ ụễ ặ ủí ề ỉ ỉ ỉệểề ì ề èệểề é ậ ỉ ề ỉ ỉ í ỉ ĩụ ì ỉá ụ é ỉ ì í úí ụ ề é ỉ ẹừề ỉ ữề í ẹ ỉ ì ềề ì é ề è X ề é ề ề ề ề ề ề úí ỉệ ế ề ỉệ ề ỉệ ề ề P {|Xn X| > } < ế ề ỉệ ề ề ề ỉệểề {Xn , n 1} >0 ẹ n=1 ụ ề ệữề ỉệề ễ ề ỉ ễ ề ẹ ềủí ề í ẹ ỉ ề ỉ ỉệ ề ì ỉá ề ề ẹ ề ỉịá ì úí ụ ề ú ề ẵá ỉệ ề ề ề ỉ ủí ụ ề ề ềá ũ ỉ ủí ề úí ề ề ề ề ề ề ề ế ề ẵ ề ẹ ề é ễá ề ề ề ủ ẹ ề ắ ắ ề ề ề ếụỉ ỉ úí ụ ề ỉ ề ú ề ụ ủí ỉệểề ỉệ ề ủ ề ệ ề ễ ề ỉ ề ẹ ủ ẽ ề ẽá ụ ỉủ é ỉệ ề ềì ỉ ề ẹ ủ ỉịá ủ ỉ ẹ é ễá é ủ é ỉ ẹừề ì é ề ụ ề ề ì ì ủ ấể ừề ỉ ếũ ềủí ũ ề ỉ ệ ề èệ ề ỉ ề í ì ỉụ éủ ề ề ềề ề ỉủ ề ậ é ễ ề ì ề ề ề ỉ ềá é ỉ í ỉ ĩụ ì ỉá ề ề ềá ụ ẹ ề ỉ ề ề ĩụ ề ỳ éừ ỉ ề ụ ỉá ụ ề ề ỉ è ề ễ ỉ ắ éủ ề ểá ề ì ụểá ỉệểề ỉệểề á úí ụ ề ừề ỉệểề ì ỉ ụể ủ ừề úề ề ể ụ ề é ẻ ề ì ủí ỉ ề ỉ ủề ũẹ ũề ề ì ỉụ á ễ ủ ỉ ỉ í ỉ í ề ụ ỉ ề ề ỉụ ề ề ì ìỳ ề éúề ừí ủ ỉ ề ề ề ẹ ỉ ắẵ ỉ í ỉ ĩụ ì ỉ ủ è ú ề ẹ é ề ủ ũẹ ỉỉ ề ĩ ề ụẹ ề é ễ ẩ ừẹ èểụề ỉ ềủíá ỉệ ừể ẩ ề íá ụể ễ ỉụ ề ễá ề ũ ừề èểụề ũ ỉệểề ì ỉ ề ề ề é ễ ẻ ề ú ậ ề ề ũ ĩ ề ũ ĩ ề èểụề ỉ ễ ủ ề ề ề ễ ềủíá ỉụ ẹ ể ỉ ễ ủ ề íá ỉ ề ề ẹ ỉ ì ề ỉừ èệ ề ề ề ếụ ỉệ ề ỉ é ề ề èệểề ủ ẹ ỉ ì ề ỉ éủ ụ ỉừ èệ ỉ ễ ụ ì ỉá ể ì ỉ ỉ ì í ặ ề ẹ ề ỉ ỉ ề ỉ ề ề ậèậặ í ề ẻ ề ẫũề èụ ẹ ề ậ ề é ề ề ề í ề ủ é ỉ ẹừề ỉ ề ỉ ỳề ề ệ ỉ ẹểề é ề ề ề ề é ề ề ề ề ểủề ỉ ặ ề ỉệụề ề ề ề ề ề ễ ừề ụ ề ềá è ụề è ắ ề ẵẳ ề è ẹ ắẳẵ íẻ ề ề ẵ ụ ẵẵ ềỉ ì ề èệểề ề ĩụ ì ẹ ềủíá ề ỉ ỉ ỉệ ề ủí éừ ẹ ỉ ì ỉ ếũ ì ề ề ĩụ ì ỉ ẵẵẵ ề ề ề ề ẵẵẵ ể éủ ẹ ỉ ể ĩụ ì ỉ éủ ẹ ỉ ỉ ễ ỉ í ề ỉ ì ụ ệ ề ỉ ẹúề F ề ề ỉ ễ ểề ề F ặ ể ủ ặ (, F ) ẵẵắ éủ P(A) \ A F ỉ An F , n ễ ề ề AF ũì A F P() = ỉ ề ề F ề éủ ẹ ỉ (, F ) éủ ẹ ể ĩụ ì ỉ ỉệ ề n=1 An 1ỉ F ỉ ề ề ề ề ỉ ề ề ẹà ể ể ỉ ụề ĩừ P:F R An F (n = 1, 2, 3, ), Ai Aj = AiAj = (i = j) ỉ ặ An ) = P( n=1 ỉ ề ề ỉ ề ụ ẹ n=1 ề àạ ỉ éủ ề (, F , P) éủ ề ề ĩụ ì ỉ éủ ề ề è ễ ì ụ AF F ề F ề A = \A í ì ễá ĩụ ì ỉ F ì éủ ề ề ề ề éủ A, B ỉ éủ ề A éủ ụ ề éủ (, F , P)á ỉ é ễ (, F , P) ĩụ ì ỉ ề ề éủ ề ĩụ ì ỉ ỳ ỳề ề éủ ề ĩụ ì ỉ ề ề éủ ẹ ỉ A B = AB = ỉ ỉ ễ ểề ề ề ặ ề ểéẹể ểệể ề ề ĩề ề ĩụ ì ỉ ề ề é ề ĩ ẹ ỳ í ũềá ỉ éủ ề ề ẹ ề í ì ề ĩụ ì ỉ ĩụ ì ỉ ề P(An ) ề ữề ề ỉệểề ẵ èí ề ỳ ề ề ềá ì ềủí ỉ ú éủ ề ỉ ì ũẹ ễ ề ỳ ỳề ặ ề ũể ệữề ề ề ề ề ề ỳ ỳề ĩụ ì ỉ í ữề ẵ ề éủ ỳ ỳề ẵẵắ ụ ỉ ề ũ ì ỉ ề ẵ ỉ ì P() = A, B, C, éủ ề ĩụ ì ỉ ề ề ĩụ ì ỉ ề ụ AB = ỉ ắ ặ = P(A) P(A) ABỉ ặ P(A P(A B) = P(A) + P(B) P(B \ A) = P(B) P(A) ủ P(A) ể P(B) B) = P(A) + P(B) P(AB) n n P(Ak ) Ak ) = P( k P(A1A2 An) = P(A1)P(A2/A1) P(An/A1 An1) ẵẵ ề ề è ề é ễ ũ ì (, F , P) éủ ẵẵ ụ ề ề ề ề ĩụ ì ỉ A ủ B éủ é ễ ề P(AB) = P(A)P(B) è ề ỉ ắ ẵ ũ ì P(A) > 0, P(B) > P(A/B) = P(A) ể A, B P(B/A) = P(B) é ễ ủ è ỉ íá Xk E|Xk |I(|Xk | > n) Xk I >1 =E n n n p Xk Xk Xk E I > +E n n n p p Xk |Xk | E =E p n n ỉ +c (Xk EXk ) > n ỉ n1P ỉ ệ ể ề n npE|Xk |p k=1 n n=1 n1p (Xk I(|Xk | n C n=1 C n=1 12 n3 n) EXk I(|Xk | n)) > (n/2)2 n (Xk I(|Xk | n) EXk I(|Xk | n n E n k=1 k=1 n=1 E|Xk |p n n P n=1 E|Xk |p k=1 n n=1 n=1 A ủ B k=1 n n n c P {|Xk |p > np } p c ỉ n n=1 ụ ề n1 B=C k=1 := A + B n=1 P {|Xk | > n} (Xk I(|Xk | n) EXk I(|Xk | n)) > n/2 k=1 ứề n n1 n=1 A= C n c k=1 n=1 ề n np P n=1 C Xk n I ậ p n)) k=1 n |(Xk I(|Xk | E n) EXk I(|Xk | n))| k=1 n E|(Xk I(|Xk | n) EXk I(|Xk | (E|Xk I(|Xk | n)| E|Xk I(|Xk | k=1 n k=1 ắẳ n))|2 n)|)2 n n3 C n=1 C n3 n=1 k=1 n k=1 p E|Xk |2 n1p E|Xk | c n)|2 E|Xk I(|Xk | k=1 n=k ể A+B k p E|Xk |p < C k=1 ắắ ề ề ề ụ ữề ì ỉệểề ỉệ ề è ể r ủ ể é ễ ỉ ẹ ỉá ề ễ ề ễ |ai | < i= ễ ụ EX = ủ E|X|r < ể ỉ r2 ể ể (0, 1) > 0á ỉ ẹ P ề < Xi+k > n n=1 k=1 i= ẹ ề è n i+n Xi+k = k=1 i= i= Xj j=i+1 ẻ |ai | < EX = ủ i= n E i+n Xj I(|Xj | i= =n n) j=i+1 E i+n Xj I(|Xj | > n) i= j=i+1 ắẵ éủ úí ụ {ai , < i < } n n ề {X, Xi, < i < } r =1 ủ éủ ề úí =1 =n i+n E Xj I(|Xj | > n) j=i+1 i= =n i+n Xj I(|Xj | > n) E i= j=i+1 =n i+n EXj I(|Xj | > n) j=i+1 i= n i+n EXj I(|Xj | > n) |ai | j=i+1 i= n n i+n |ai | i= j=i+1 i+n |ai | i= i+n = E|X|I(|X| > n) i= > 0á ỉ j=i+1 n é ề n E|Xj |I(|Xj | > n) j=i+1 ể |EXj I(|Xj | > n)| ề ỉ i+n E Xj I(|Xj | n < /4 j=i+1 i= ặ ề n nr2 P Xi+k > n n=1 i= nr2P j=i+1 i+n n=1 Xj I(|Xj | > n) > n/2 n=1 +C k=1 i= i+n nr2 P i= n) EXj I(|Xj (Xj I(|Xj n) > n/4 j=i+1 =: I1 + I2 I1 ỉ ể ỉ ứề ỉ ệ ể ủ ắắ ỉ ứề ỉ cr ệữề 0< 1à nr2 P I1 = n=1 j=i+1 i+n n=1 nr2 n=1 =C n=1 =C |Xj I(|Xj | > n)| j=i+1 |Xj I(|Xj | > n)| |ai |E i= C i+n i+n n=1 n=1 j=i+1 i= nr2 C Xj I(|Xj | > n) |ai | n=1 C |ai | nr2 E j=i+1 i+n i= Xj I(|Xj | > n) n=1 C i+n i= nr2 E C Xj I(|Xj | > n) j=i+1 i= nr2 E C Xj I(|Xj | > n) > (n/2) i= n=1 i+n nr2 n E C j=i+1 i+n E|Xj I(|Xj | > n)| |ai | j=i+1 i= nr1 E|X| I(|X| > n) m=n (m nr1 E|X| I ( nr1 n=1 =C < |X| E|X| I(m < |X| m=n m=1 C m + 1) m E|X| I(m < |X| m + 1)) m + 1) nr1 n=1 mr1 E|X| I(m < |X| CE|X|r < m + 1) m=1 I2 ỉ ể ỉ ứề ỉ I2 ệ ể ủ n=1 nr4 E C n=1 ểé ệ n)) j=i+1 i+n i= ỉ (Xj I(|Xj | n) EXj I(|Xj | i= ứề i+n nr2 r2 E C ỉ (Xj I(|Xj | j=i+1 ắ n) EXj I(|Xj | n)) nr4 C i+n |ai | |ai |E (Xj I(|Xj | n=1 i= i= j=i+1 i+n nr4 C |ai | n=1 C n i+n nr4 | |EXj I(|Xj | n=1 n=1 n) n n r3 n=1 E|X|2 I(m < |X| E|X| I(m < |X| nr3 m) n=m m=1 mr2 E|X|2 I(m < |X| C m) m=1 =C n)| j=i+1 nr3 E|X|2 I(|X| =C n) j=i+1 C n) j=i+1 i= EXj I(|Xj | | n=1 C (Xj I(|Xj | i+n r4 |ai |E i= n) EXj I(|Xj | m) CE|X|r < m=1 ắắ ũ ì ụ A1 , ., An ỉ ề n D( ẹúề n IAi ) P {Ai } C i=1 i=1 n 1P n n P {Ai } CP Ai i=1 i=1 ắ Ai i=1 n) ắ ỉ ẹừề ì ề ề ễ é ề é ắẵ é ễ ể ề ẹ úí ụ 1} éủ úí ụ np E|Xn |p < ủ {Xn , n ẹúề ề ề ỉ ủ {Xn , n p ẹ ỉá ỉ é ề ề 1} ề ũ ỉ ề ỉ ể ỉ ể n=1 ề ìủệể ắà n lim sup n E|Xk |I(|Xk | > x) = x n ắ >0 ẹ m n P < (Xk EXk ) > n max m n n=1 k=1 k=1 ỉá ắ n n (Xk EXk ) k=1 ề ề ẹ ề ẻ >0 ẹ ìủệểá é ề ẹ ỉ ữề ể ỉệ ì ỉ ể x = x() > ì ề ỉ ề ể ể ắ n n EXk I(|Xk | > x) k=1 n n |EXk I(Xk |I(|Xk | > x)| k=1 n n1 E|Xk |I(Xk |I(|Xk | > x) k=1 ắ /4 ũ ỉ ẹ n è m n P n=1 k=1 m n P (Xk I(|Xk | max m n n=1 x) EXk I(|Xk | x)) > n/4 k=1 m + n P ề (Xk I(|Xk | > x) EXk I(|Xk | > x)) > 3n/4 max m n n=1 (Xk EXk ) > n max m n ẹ ề k=1 ắ àá ỉ ề ẹ ề ụ ề ỉ ì ắ m n P (Xk I(|Xk | max m n n=1 x) EXk I(|Xk | < x)) > n/4 k=1 ủ ắ m n P n=1 (Xk I(|Xk | > x) EXk I(|Xk | > x)) > 3n/4 max m n ề ỉ < k=1 ắ àá ỉ ể ỉ ứề ỉ ệ ể ủ ỉ ứề ỉ ấ ẹ ề ềì ể m n P max1 (Xk I(|Xk | m n n=1 x) EXk I(|Xk | x)) > n/4 k=1 n n E max1 C n=1 n=1 n=1 C x) EXk I(|Xk | m n n (Xk I(|Xk | k=1 EXk I(|Xk x)) m n (logn) C (Xk I(|Xk | m n k=1 n E max1 C m x) k=1 n2(logn)2 < n=1 ắ x) EXk I(|Xk | x)) ệạ ắ àá ỉ ể ắ ủ m n P (Xk I(|Xk | > x) EXk I(|Xk | > x)) > 3n/4 max m n n=1 k=1 n P n1P n=1 n1P n=1 n1P n=1 k=1 m (Xk I(|Xk | > x) + n/4 > 3n/4 k=1 m Xk I(|Xk | > x) > 2n/4 k=1 k=1 m n1P (|Xk I(|Xk | > x) E|Xk ||I(|Xk | > x)) > n/4 n=1 ể ề ẹ ề ắắẵá ìí ệ ề é ắắ ề ể é ễ ẹ ề ỉ ắ r0 ắ < k=1 ẻ í ắ ỉ k=1 |Xk |I(|Xk | > x) > 2n/4 n=1 ề E|Xk |I(|Xk | > x) > 3n/4 m n1P m n max m n k=1 m (Xk I(|Xk | > x) + max max m n m n k=1 m max m n EXk I(|Xk | > x) > 3n/4 (Xk I(|Xk | > x) + max max m n n=1 ề m m è ắắắ ề P éủ ỉệ Xk > n max m n k=1 ề ề ề è < ễ ệ ắ ề ể ỉ ề é ắ ẻ í ể nr2 P n=1 max |Xk | > n k n ắ < , ề ủ P max1kn |Xk | > n è ỉ íá ỉ n Xk = Sk Sk1 ặ ề |Xk | |Sk | + |Sk1| max |Xk | max |Sk | + max |Sk1| k n k n k n ậí ệ max |Xk | > n P ể max |Sk | > n/2 + P P k n k n max |Sk1| > n/2 k n > 0á ẹ m P è ể max |Xk | > n P k n ắắá ề ỉ ề ỉ max k n ì Xk > n k=1 n é ề n P {|Xk |} 2P k=1 ể max |Xk | > n k n nr1 P {|X| > n} < n=1 ắ ềủí ỉ ề ề E|X|r < è r2 P ỉ ỉệ ề ề é ắ ề ề ề ụ ữề ì ỉệểề ỉệ ề ỉ ỉ ể ề r < k=1 ỉ ắ àá ủ ể ề ỉ EX = {X, Xi, < i < } éủ é ễ ỉ ề (Xk EXk ) > n max m n n=1 ễ ề m n ỉ ể ẹ ỉá ề ễ ề ễ ể |ai | < i= ễ ụ è EX = ủ E|X|r < úí ụ {ai , < i < } éủ (0, 1) =1 ề ể ỉ r =1 ể ủ ẹ n P ỉá ề EX = ỉ ỉ < Xi+k > n max m n n=1 m r2 k=1 i= é ỉ ẹừề ì é ề ểéẹể ểệể ắẵẵà n m Xi+k k=1 i= ề ẹ ề E|X| < ũ ì ể EX = ủ E|X|r < ẻ ệữề ề ỉ ỉ í ệữề ẹ ỉ ì ỉ x = x() > ỉ > 0á ẹúề ắ |ai | |EXI(|X| > x)| i= |ai | E|X|I(|X| > x) i= ỉ Yj = Xj I(|Xj | x) EXj I(|Xj | x) Yj = Xj I(|Xj | > x) EXj I(|Xj | > x) è m n n=1 r2 P max m n Xi+k > n k=1 i= ắ úí > 0á ắẵẳà ề /4 n P Yi+k > n/4 max 1m n n=1 k=1 i= n r2 P max ẹ ề ắẵà ề ỉ r2 P m n P ứề ỉ ỉ ắẵàá ỉ ấ ẹ P ể ỉ ứề ỉ n P n=1 k=1 i= m n i= j=i+1 m n i= m n n=1 nr4 n i+m Yj |ai |E max i= m n j=i+k i+n |ai |(logn) i= EXj I(|Xj | j=i+k nr3 (logn)2 < C j=i+k |ai | r4 Yj i= j=i+k n= n=1 Yj i+m i+m nr4 E max n=1 Yj > n/4 C ểé i+m max P n=1 C ỉ Yi+k > n/4 nr2 n2E max C ứề C ỉ ệạ ềì ể = ệ ể max P r2 < k=1 i= m n n=1 < m n ì Yi+k > 3n/4 r2 ỉ k=1 i= max m n n=1 ề m r2 ẹ ề Yi+k > n/4 n ỉ ề max n=1 ề m n k=1 i= ắẵẳà ỉ ắẵ Yi+k > 3n/4 m n n=1 ề m + m r2 n=1 ẳ x) ệ ủ ề ỉ ắẵ àá ỉ n n=1 P max m n nr2 P n=1 Yi+k > 3n/4 k=1 i= m Xi+k I(|Xi+k | > x) > 2n/4 max m n m k=1 i= nr2 P n=1 |ai ||Xi+k |I(|Xi+k | > x) > 2n/4 k=1 i= m nr2 P n=1 ắắắ m r2 ể ắẵắà ủ (|ai ||Xi+k |I(|Xi+k | > x) E|Xi+k |I(|Xi+k > x)) > n/4 k=1 i= < ẵ ỉ é ề ủ ề ễ ụỉ ỉệ ề ỉ é ề ề ỉ èệ ề ề ủí ề ỉ ỉ ếũ ì ề ề ỉ ủí ì ỉ èệ ề ủí ủ ề ẹ ề ụ ề ề ề ề í ệ ề úí ệ ề ỉ í ỉ ĩụ ì ỉ ề ể ỉ ếũ ể ễ ụ ỉ ếũ ể ề ủ ụ ề ề ề é é ỉ ẹừề ì é ề é ễ ề ụ ề ề ề ỉ ễ ề ụỉ ỉệ ề ề é é ề ề èệ ề úí ụ í ẹ ỉ ì ề úí ề ắ ì ề ề ề ề ụ ỉệ ỉệ ề ề ề èủ é ỉ ẹ ũể è ẵ ặ í ề ẻ ề ẫũề ủ ặ ề ẫ ủ ặ ặ í ề í è ẫ ủ ặ ắẳẳ àá ụể ỉệ ề ĩụ ì ỉá ặ ắẳẳ àá ụể ỉệ ề ĩụ ì ỉ ề ề ẩ ìỉệểề ềá ẻ ẫ ẻ ề ắẳẳà ỉ é ể é ệ ỉ ề ẩ ì ề ấể ềẹ ệá àá ỉ í ỉ ĩụ ì ỉ áặ ệ ì àá è ệ ễệể ề ầề ểẹễé ỉ ắẳẵ àá ệ ểệ ễ ểẹễé ỉ ậ ậ ắẳẵ àá ệ ề ỉị ẵ ệ ì ề ểề ệ ễ ề ề ề ềỉ ệ ề ểẹ ệ ẳắạ ẵ ềì ẵ ệì áẩệể ặ ỉé ệ ểệ ễ ề ềá ậ ậề ỉ ậ ậề ểá ặ é ìá ềẹ è ỉ ỉ ắ ặ í ề ẻ ề ẫũề ẩ ẻ ểề ệ ệ é ỉí ề ỉ ề ỉ é ể é ệ ẵá ắ ạẵ ịạ í ẹề ểẹ ề ỉíễ ìỉệểề é ể é ệ ềẹạ é ì è ểệ ỉ ẩệể ắ ỉ ìỉệ ềề ỉ ậỉ ỉ ìỉá ẵắạẵ éể ỉ ểềá ạẵẳ ệ ề ểẹ ề ề é ìá ẽ ẽ ề ắẳẳẵàáậỉệểề ề ì ềề ỉ é ì ểệ ìẹì ể ề ì ậ ệ é ìá ắẳ ạắẵ ẹ ĩ ề