Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc

ii MC LC Thụng tin kt qu nghiờn cu M u Chng Kin thc chun b 1.1 Mt s ký hiu v khỏi nim c bn 1.2 Dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta Chng Tc hi t lut mnh s ln 2.1 Cỏc b liờn quan 2.2 Tc hi t lut mnh s ln i vi dóy vộct ngu nhiờn 11 Kt lun v kin ngh 22 Ti liu tham kho 23 Thuyt minh ti THễNG TIN KT QU NGHIấN CU Thụng tin chung - Tờn ti: Lut mnh s ln i vi cỏc bin ngu nhiờn cú cu trỳc ph thuc - Mó s: CS2014-34 - Ch nhim: TS Nguyn Vn Hun - C quan ch trỡ: Trng i hc Si Gũn - Thi gian thc hin: t 9/2014 n 9/2015 (theo Hp ng s 472/H-HSG-QLKH&SH) Mc tiờu Cung cp iu kin cn v cho tc hi t lut mnh s ln i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm nhn giỏ tr khụng gian Hilbert Tớnh mi v sỏng to - Phỏt trin nh lý Baum-Katz cho trng hp dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert vụ hn chiu; - Ch s khỏc gia k thut chng minh c s dng ti v mt s cụng b ó bit; - Cung cp vớ d v mt s nhn xột lm sỏng t hn cho cỏc kt qu v nhng liờn quan Kt qu nghiờn cu nh lý Baum-Katz i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert cho trng hp r = 1/; Sn phm Cỏc kt qu ca ti c vit thnh 01 bi bỏo khoa hc: Nguyen Van Huan, On the complete convergence for sequences of random vectors in Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, January 12, 2015) M U Tng quan v tỡnh hỡnh nghiờn cu Lut s ln l mnh khng nh trung bỡnh s hc ca cỏc bin ngu nhiờn hi t theo xỏc sut Lut mnh s ln l mnh khng nh trung bỡnh s hc ca cỏc bin ngu nhiờn hi t hu chc chn Lut yu s ln u tiờn c chng minh bi Bernoulli v kt qu ny c cụng b nm vo 1713 ụng ó qua i Sau ú, lut s ln ca Bernoulli c m rng bi Bienaymộ, Chebyshev v Markov Tuy nhiờn phi n nm 1909 thỡ lut mnh s ln mi c mt nh toỏn hc ngi Phỏp l Borel phỏt hin v kt qu ny ó c Kolmogorov hon thin vo nm 1926 Lut s ln i vi dóy bin ngu nhiờn tip tc c nhiu tỏc gi quan tõm nghiờn cu, mt s dng lut s ln ó c t tờn gn lin vi cỏc nh khoa hc nh Marcinkiewicz, Zygmund, Brunk, Prokhorov, Chung, Feller, Hsu v Robbins [7] ó gii thiu khỏi nim hi t y v chng minh rng dóy trung bỡnh s hc ca cỏc bin ngu nhiờn c lp, cựng phõn phi hi t y n giỏ tr k vng ca cỏc bin ngu nhiờn nu phng sai cỏc bin ngu nhiờn hu hn iu ngc li ó c chng minh bi Erdăos [4, 5] Kt qu ca Hsu, Robbins v Erdăos tr thnh mt nh lý c s v nhn c s quan tõm ca nhiu tỏc gi Mt kt qu quan trng m rng nh lý Hsu-Robbins-Erdăos c xut hin bi bỏo ni ting ca Baum v Katz [3] Cỏc tỏc gi ó s dng k thut i xng húa thit lp nh lý ỏnh giỏ tc hi t lut s ln Cỏc kt qu [3, 4, 5, 7] ó m nhng hng nghiờn cu cú tớnh thi s liờn quan n s hi t y v ỏnh giỏ tc hi t lut s ln Trong lý thuyt xỏc sut, tớnh c lp ca cỏc bin ngu nhiờn l mt tớnh cht mnh v ó c nghiờn cu rng rói Sau ú, nhiu kiu ph thuc khỏc ca cỏc bin ngu nhiờn ó c xột n Chng hn nh: ph thuc martingale, ph thuc Markov, m-ph thuc, m-ph thuc theo khi, ph thuc õm, ph thuc dng, liờn kt õm, liờn kt dng, mixing, Khỏi nim cỏc bin ngu nhiờn liờn kt õm ó c gii thiu bi Alam v Saxena [1] Sau ú, Joag-Dev v Proschan [8] ó chng minh nhiu tớnh cht quan trng ca cỏc bin ngu nhiờn liờn kt õm v ch mt s phõn phi xỏc sut thng kờ cú tớnh cht liờn kt õm Ko, Kim v Han [10] ó phỏt trin khỏi nim liờn kt õm cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr thc sang trng hp cỏc vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr khụng gian vộct thc Rd , trng hp cỏc vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr khụng gian Hilbert thc kh ly v h ó thu c s hi t hu chc chn cho cỏc vộct ngu nhiờn liờn kt õm Cụng c chỡa khúa h nghiờn cu s hi t hu chc chn l bt ng thc moment i vi cỏc vộct ngu nhiờn liờn kt õm cú k vng khụng Bt ng thc moment ca Ko, Kim v Han [10] tip tc c s dng bi Miao [14] chng minh bt ng thc cc i Hỏjek-Rộnyi v bi Thanh [18] thit lp lut mnh s ln Tớnh cp thit ca ti Lut s ln núi riờng v cỏc nh lý gii hn núi chung ó c nhiu nh nghiờn cu v xỏc sut v thng kờ trờn th gii quan tõm Cỏc kt qu thu c t nhng nghiờn cu ny cú nhiu ng dng thng kờ toỏn hc, kinh t, y hc v mt s ngnh khoa hc thc nghim khỏc Chớnh vỡ vy, vic nghiờn cu ny khụng ch cú ý ngha lý thuyt m cũn cú ý ngha thc tin Cỏc cụng trỡnh liờn quan v lut s ln thng ch yu trung cho lp cỏc bin ngu nhiờn c lp Vi cu trỳc ph thuc mnh ny, nhiu tỏc gi ó s dng phng phỏp i xng húa thit lp lut mnh s ln v cỏc nh lý ỏnh giỏ v tc hi t lut mnh s ln Tuy nhiờn, mt s kt qu cụng c s dng cho phng phỏp i xng húa khụng cũn ỳng iu kin c lp c thay th bi mt s iu kin yu hn Vỡ vy, cựng vi vic xut hin thờm cỏc cu trỳc ph thuc ca cỏc bin ngu nhiờn thỡ bi toỏn nghiờn cu v lut mnh s ln i vi cỏc cu trỳc ph thuc ny cng ó c t Chỳng tụi thy rng õy l mt hng nghiờn cu m v cú th tip tc nghiờn cu Gn õy, cỏc tỏc gi [6] ó gii thiu khỏi nim cỏc vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta v nghiờn cu nh lý Baum-Katz i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert cho trng hp r > 1/ Trong ti, chỳng tụi tip tc nghiờn cu bi toỏn ny cho trng hp r = 1/ Mc tiờu ca ti Cung cp iu kin cn v cho tc hi t lut mnh s ln i vi dóy cỏc vộct ngu nhiờn liờn kt õm nhn giỏ tr khụng gian Hilbert i tng nghiờn cu nh lý ỏnh giỏ v tc hi t lut mnh s ln Phm vi nghiờn cu ti trung nghiờn cu nh lý Baum-Katz i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert vụ hn chiu cho trng hp r = 1/ Phng phỏp nghiờn cu Chỳng tụi s dng phng phỏp nghiờn cu lý thuyt thc hin ti V mt k thut, chỳng tụi s dng k thut cht ct n iu Ni dung v cu trỳc ca ti Trong ti ny, nh lý Baum-Katz c thit lp i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert cho trng hp r = 1/ Cỏc kt qu nhn c l s tip ni nhng ni dung ó c cp [6] V cu trỳc, ngoi cỏc phn Thụng tin kt qu nghiờn cu, M u, Kt lun v kin ngh, Ti liu tham kho v ph lc, phn ni dung chớnh ca ti c trỡnh by hai chng Chng trỡnh by phn kin thc chun b dựng chung cho c ti Ni dung chớnh bao gm cỏc ký hiu thng dựng v khỏi nim dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta Chng ch yu c dnh trỡnh by iu kin cn v cho tc hi t lut mnh s ln i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta K thut c s dng chng minh cỏc kt qu ny l k thut cht ct n iu Chỳng tụi cng cp mt s nhn xột v vớ d lm sỏng t hn cho cỏc kt qu v nhng liờn quan Cỏc kt qu chớnh ca Chng l cỏc nh lý 2.2.4, 2.2.6 v 2.2.8 Cỏc kt qu ca ti d kin s c bỏo cỏo ti Hi ngh ton quc ln th V Xỏc sut - Thng kờ: Nghiờn cu, ng dng v ging dy (Trng i hc S phm - i hc Nng, 23-25/5/2015) v ó c vit thnh mt bi bỏo khoa hc: Nguyen Van Huan, On the complete convergence for sequences of random vectors in Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, January 12, 2015) CHNG KIN THC CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by phn kin thc chun b dựng chung cho c ti Ni dung chớnh bao gm cỏc ký hiu thng dựng v khỏi nim dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta 1.1 Mt s ký hiu v khỏi nim c bn Trong ti ny, R l cỏc s thc, C l hng s dng v giỏ tr ca nú cú th khỏc gia cỏc ln xut hin Vi a R, log2 (max{2; a}) s c ký hiu bi log+ a Cho trc s thc õm v hm f : R R, ký hiu f (n) = o(n ) c hiu l f (n)/n n Vi A l mt hp, |A| l lc lng ca hp A Bin ngu nhiờn c hiu l phn t ngu nhiờn nhn giỏ tr thc, vộct ngu nhiờn c hiu l phn t ngu nhiờn nhn giỏ tr khụng gian vộct thc Rd hay khụng gian Hilbert thc kh ly Vi X l mt phn t ngu nhiờn, k vng v phng sai ca X ln lt c ký hiu bi EX v VarX Ta núi X cú k vng khụng thay cho cỏch vit EX = H l mt khụng gian Hilbert thc, kh ly, vi phộp nhõn ã, ã v chun ã Gi s {ej , j 1} l mt c s trc chun ca H v X l mt vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr H , X, ej s c ký hiu bi X (j) Gi s {Xn , n 1} l mt dóy vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr H Khi ú, cu trỳc ca {Xn , n 1} c th hin di dng mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn nh sau: (1) (2) X1 (1) X2 X1 (2) X2 (1) Xn Xn (2) X1(d) X2(d) Xn(d) ú Xn(d) l bin ngu nhiờn vi mi n v d Nh [6], gi s {X, Xn , n 1} l mt dóy vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr H Ta xột bt ng thc kp sau õy C1 P(|X (j) | > t) n n P(|Xk(j) | > t) C2 P(|X (j) | > t) (1.1.1) k=1 Nu tn ti hng s dng C1 (C2 ) tha v trỏi (tng ng, v phi) ca (1.1.1) vi mi j 1, n v t thỡ ta núi dóy {Xn , n 1} b chn di yu theo ta (tng ng, b chn trờn yu theo ta ) bi X Ta núi dóy {Xn , n 1} b chn yu theo ta bi X nu nú va b chn di yu v b chn trờn yu theo ta bi X Rừ rng, nu {Xn , n 1} l mt dóy vộct ngu nhiờn cựng phõn phi thỡ nú b chn yu theo ta bi X1 v C1 = C2 = 1.2 Dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta Gi s X v Y l hai bin ngu nhiờn Khi ú, giỏ tr E (X EX)(Y EY ) (nu tn ti) c gi l hip phng sai ca X v Y , ký hiu l Cov(X, Y ) D thy nu X v Y c lp thỡ Cov(X, Y ) = Theo Alam v Saxena [1], h hu hn bin ngu nhiờn {Yi , i n} c gi l h bin ngu nhiờn liờn kt õm nu vi mi A, B ri ca {1, 2, , n}, vi mi hm f, g khụng gim theo ta v tng ng xỏc nh trờn R|A| , R|B| thỡ Cov f (Yi , i A), g(Yj , j B) vi iu kin hip phng sai tn ti H vụ hn bin ngu nhiờn c gi l h bin ngu nhiờn liờn kt õm nu mi h hu hn ca h ny u liờn kt õm Ko, Kim v Han [10] ó phỏt trin khỏi nim liờn kt õm cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr thc sang trng hp cỏc vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr khụng gian Hilbert thc kh ly lm c iu ny, cỏc tỏc gi ó a khỏi nim cỏc vộct ngu nhiờn liờn kt õm nhn giỏ tr khụng gian vộct thc Rd H hu hn vộct ngu nhiờn {Xi , i n} nhn giỏ tr Rd c gi l h vộct ngu nhiờn liờn kt õm nu vi mi A, B ri ca {1, 2, , n}, vi mi hm f, g khụng gim theo ta v tng ng xỏc nh trờn Rd|A| , Rd|B| thỡ Cov f (Yi , i A), g(Yj , j B) vi iu kin hip phng sai tn ti H vụ hn vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr khụng gian vộct thc Rd c gi l h vộct ngu nhiờn liờn kt õm nu mi h hu hn ca h ny u liờn kt õm Khi ú, Ko, Kim v Han [10] ó gii thiu khỏi nim dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm nhn giỏ tr khụng gian Hilbert thc kh ly theo cỏch tip cn nh sau 1.2.1 nh ngha [10] Dóy {Xn , n 1} cỏc vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr H c gi l dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm nu vi mi d (1) (2) (d) Xn , Xn , , Xn ,n 1, l h vộct ngu nhiờn liờn kt õm nhn giỏ tr Rd Gn õy, [6], bng cỏch tip cn trc tip t trng hp thc, cỏc tỏc gi ó gii thiu khỏi nim dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert vụ hn chiu H cng ó ch rng khỏi nim dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta thc s tng quỏt hn khỏi nim dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm ca Ko, Kim v Han [10] Hn na, cỏc kt qu chớnh ca Ko, Kim v Han [10], Miao [14] v Thanh [18] khụng ch ỳng cho dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm m cũn ỳng cho lp rng hn - dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta 1.2.2 nh ngha ([6], nh ngha 1.3) Dóy {Xn , n 1} cỏc vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr H c gi l dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nu vi mi j (j) 1, {Xn , n 1} l dóy bin ngu nhiờn liờn kt õm CHNG TC HI T TRONG LUT MNH S LN Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu nh lý Baum-Katz i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert vụ hn chiu cho trng hp r = 1/ K thut c s dng chng minh cỏc kt qu l k thut cht ct n iu Chỳng tụi cng trỡnh by mt vớ d v mt s nhn xột lm sỏng t hn cho cỏc kt qu chớnh 2.1 Cỏc b liờn quan Trong mc ny, chỳng tụi s trỡnh by nm b B u tiờn cung cp mt bt ng thc cc i i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta Kt qu tng ng trng hp cỏc bin ngu nhiờn liờn kt õm nhn giỏ tr thc thuc v Shao [16] 2.1.1 B ([6], B 1.7) Gi s {Xn , n 1} l mt dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta , cú k vng khụng, nhn giỏ tr H v E Xn vi mi n < Khi ú k E max k n n Xl E Xk l=1 vi mi n k=1 Phng phỏp chng minh ca hai b tip theo hon ton ging nhau, ú phn chng minh ca B 2.1.2 s khụng c cp 2.1.2 B Gi s l mt s thc dng v X l mt vộct ngu nhiờn nhn giỏ tr H tha E|X (j) |1/ < Khi ú j=1 j=1 n=1 E |X (j) | I(|X (j) | > n ) < nu n < 1/; 15 C n n+1 n=1 C j=1 n=1 C j=1 n=1 C j=1 n=1 E Znk k=1 n n+1 n+1 E|Xk(j) I(|Xk(j) | > n ) n I(Xk(j) > n ) + n I(Xk(j) < n )| k=1 n E|Xk(j) I(|Xk(j) | > n )| + C n P(|Xk(j) | > n ) j=1 n=1 k=1 (j) k=1 E|X (j) I(|X (j) | > n )| + C n n P(|X | > n ) < j=1 n=1 nh lý c chng minh Di cỏc gi thit ca nh lý 2.2.4, (2.2.3) kộo theo (2.2.4) Mt cõu hi t nhiờn c t l iu ngc li cú ỳng khụng Cõu tr li trng hp ny l khụng, nh vớ d sau s cp Chỳ ý rng bi toỏn tỡm iu kin cho (2.2.3) ó c gii quyt [6, nh lý 2.6] 2.2.5 Vớ d Ta xột khụng gian x = {xk , k gm cỏc dóy s thc bỡnh phng kh tng 1/2 k=1 xk 1} vi chun x = Gi s l mt s thc (1/2 < < 1), {X, Xn , n 1} l mt dóy vộct ngu nhiờn c lp, cng phõn phi v nhn giỏ tr tha P X (j) = j = 1/2 vi mi j Vỡ l mt khụng gian Rademacher dng (xem chi tit Pisier [15]) nờn vi mi > 0, P n n=1 k Xl > n max k n l=1 k C n=1 C n=1 =C n=1 n max E 2+1 l=1 n E Xk n2+1 n2 k n Xl k=1 j=1 j 2 < , ngha l (2.2.4) ỳng Tuy nhiờn, trng hp ny (j) 1/ E|X | j=1 v ú (2.2.3) sai = j=1 = , j 16 Trong nh lý di õy, chỳng tụi trỡnh by mt phiờn bn tng t ca nh lý 2.2.4 Kt qu ny phỏt trin nh lý ca Baum v Katz [3] cho trng hp dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert Chỳ ý rng k thut c s dng [3] l k thut i xng húa, chỳng tụi s dng k thut cht ct n in 2.2.6 nh lý Gi s l mt s thc (1/2 < 1), {Xn , n 1} l dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta , cú k vng khụng, nhn giỏ tr H v b chn trờn yu theo ta bi vộct ngu nhiờn X Nu E |X (j) |1/ log+ |X (j) | < (2.2.5) j=1 thỡ n=1 k log n P n Chng minh Vi n, k (j) (j) Xl > n < vi mi > max k n l=1 1, t (j) Ynk = Xk I(|Xk | (j) (j) n )+n I(Xk > n ) n I(Xk < n ) (j (j) Ynk = Ynk ej j=1 Khi ú, vi mi > 0, log n P n n=1 n=1 + n=1 log n n k Xl > n max k n l=1 n P(|Xk(j) | > n ) j=1 k=1 log n P n k Ynl > n max k n l=1 log n P(|X (j) | > n ) C j=1 n=1 + n=1 (2.2.6) log n P n k (Ynl EYnl ) > n /2 max k n l=1 1); 17 k log n P max n n k n + n=1 EYnl > /2 l=1 (theo B 2.1.3) = C + J1 + J2 S dng bt ng thc Markov, hai b 2.1.1, 2.1.3 v cỏc lp lun s dng chng minh nh lý 2.2.4, ta cú J1 C n=1 C k log n E n2+1 log n n2+1 n=1 C j=1 n=1 k n (Ynl EYnl ) max l=1 n E Ynk EYnk k=1 n log n n2+1 (j) E(Ynk ) k=1 log n P(|X (j) | > n ) C j=1 n=1 +C j=1 n=1 log n E (X (j) )2 I(|X (j) | n n ) < chng minh J2 < , ta ch cn ch J2n k := max n k n EYnl n l=1 Tht vy, J2n max n k n E Xl(j) I(|Xl(j) | j=1 (j) + n I(Xl max n k n + n n k l=1 (j) > n ) n I(Xl < n ) k E Xl(j) I(|Xl(j) | j=1 n n ) n ) l=1 (j) n P |Xk | > n j=1 k=1 n E j=1 k=1 (j) (j) |Xk |I(|Xk | n P |X (j) | > n >n ) +C j=1 18 C (j) n1 (j) n P |X (j) | > n E |X |I(|X | > n ) + C j=1 j=1 E |X (j) |1/ I(|X (j) |1/ > n) n (by B 2.1.4) C j=1 Nhng lp lun trờn m bo rng (2.2.6) ỳng 1), {X, Xn , n 2.2.7 Nhn xột Gi s l mt s thc (1/2 < 1} l dóy vộct ngu nhiờn c cp Vớ d 2.2.5 Khi ú, bng nhng lp lun tng t nh i vi Vớ d 2.2.5, ta cú th ch rng (2.2.6) ỳng (2.2.5) sai Nh vy, di cỏc gi thit ca nh lý 2.2.6, (2.2.6) khụng kộo theo (2.2.5) nh lý di õy s cung cp cỏc iu kin cho (2.2.5) 2.2.8 nh lý Gi s l mt s thc dng, {Xn , n 1} l dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta , cú k vng khụng, nhn giỏ tr H , b chn di yu theo ta bi vộct ngu nhiờn X v tha E |X (j) |1/ log+ |X (j) | I(|X (j) |1/ 2) < (2.2.7) j=1 Nu j=1 n=1 log n P n k (j) max k n Xl > n < vi mi > l=1 thỡ (2.2.5) ỳng Chng minh Vỡ E |X (j) |1/ log+ |X (j) | j=1 E |X (j) |1/ log+ |X (j) | I(|X (j) |1/ > 2) =C+ j=1 (k + 1) log+ (k + 1) P(k < |X (j) |1/ C+ j=1 k=2 k + 1) (2.2.8) 19 k log k P(k < |X (j) |1/ C +C k + 1) j=1 k=2 k log n P(k < |X (j) |1/ C +C k + 1) n=1 j=1 k=1 log n P(|X (j) | > n ) =C +C j=1 n=1 nờn ta ch cn chng minh log n P(|X (j) | > n ) < (2.2.9) j=1 n=1 (j) 1, {I(Xk > n ), k Nh rng vi mi n, j (j) 1} v {I(Xk < n ), k 1} l hai dóy bin ngu nhiờn liờn kt õm, ú theo B 2.1.1, n n (j) I(|Xk | Var n (j) I(Xk 2Var >n ) k=1 I(Xk < n ) > n ) + 2Var k=1 k=1 n n Var I(Xk(j) > n ) + 4 (j) k=1 n Var I(Xk(j) < n ) k=1 P(|Xk(j) | > n ) k=1 Khi ú, B 2.1.5 m bo rng n (j) P( max |Xk | k n >n ) P(|Xk(j) | > n ) (j) P( max |Xk | > n ) (2.2.10) k n k=1 Mt khỏc, (2.2.8) kộo theo j=1 n=1 log n P n (j) max |Xk | > n < vi mi > k n Vy nờn vi mi > 0, nP j=1 n=1 (j) max n |Xk | > 2n k 2n+1 C j=1 n=1 m=2n C j=1 m=1 log m P m log m P m (j) max n |Xk | > 2n k (j) max |Xk | > (/2 ) m < k m (2.2.11) 20 iu ny m bo rng P max |Xk(j) | > n n k n j=1 Vỡ vy, theo (2.2.10), tn ti mt s nguyờn dng n0 , khụng ph thuc vo j tha n P(|Xk(j) | > n ) (j) C P( max |Xk | > n ) vi mi n > n0 , j k n k=1 T (2.2.11), (2.2.12) v gi thit {Xn , n (2.2.12) 1} b chn di yu theo ta , ta cú log n P |X (j) | > n j=1 n=1 n0 log n P |X = j=1 n=1 n0 C j=1 n=1 log n n j=1 n=n0 +1 j=1 n=1 |>n log n P |X (j) | > n + j=1 n=n0 +1 +C C (j) n P |Xk(j) | > n k=1 log n P max |Xk(j) | > n n k n log n P max |Xk(j) | > n < , n k n ngha l (2.2.9) ỳng 2.2.9 Nhn xột D thy gi thit {Xn , n 1} b chn trờn yu theo ta khụng c s dng phỏt biu ca nh lý 2.2.8 õy l im quan trng ch rng, chỳng ta khụng th chng minh kt qu ny bng phng phỏp chng minh nh i vi nh lý 2.6 [6] 2.2.10 Nhn xột Nu H hu hn chiu thỡ iu kin (2.2.7) nh lý 2.2.8 tr nờn tm thng Bõy gi ta s xột vai trũ ca iu kin ny H l khụng gian vụ hn chiu Gi s l mt s thc ( > 1/2), {X, Xn , n 1} l dóy vộct ngu nhiờn c cp Vớ d 2.2.5 Khi ú vi mi > 0, j=1 n=1 log n P n k (j) max k n Xl l=1 > n 21 C j=1 n=1 C j=1 n=1 k log n E n2+1 log n n2+1 (j) max k n Xl l=1 n E|Xk(j) |2 < , k=1 ngha l (2.2.8) ỳng Chỳng ta cng thy rng (j) 1/ E |X | + log |X (j) j=1 | I(|X (j) 1/ | 2) = j=1 = , j ú kt lun (2.2.5) sai Nh vy, nh lý 2.2.8, chỳng ta khụng th b iu kin (2.2.7) hoc thm thay th nú bi iu kin yu hn E |X (j) |1/ log+ |X (j) | I(|X (j) |1/ 2) j 2.2.11 Nhn xột Gi s , l cỏc s thc (1/2 < < ), {X, Xn , n mt dóy vộct ngu nhiờn c lp, cựng phõn phi, nhn giỏ tr P X (j) = j = 1/2 vi mi j 1} l tha Khi ú cỏc iu kin (2.2.7) v (2.2.8) c tha Vỡ vy, nh lý 2.2.8 m bo rng kt lun (2.2.5) ỳng 22 KT LUN V KIN NGH Kt lun ti trung nghiờn cu v tc hi t lut mnh s ln i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta ti ó thu c cỏc kt qu sau õy: - nh lý Baum-Katz i vi dóy vộct ngu nhiờn liờn kt õm theo ta nhn giỏ tr khụng gian Hilbert vụ hn chiu cho trng hp r = 1/; - Cung cp vớ d v mt s nhn xột lm sỏng t hn cho cỏc kt qu v nhng liờn quan Kin ngh Trong thi gian ti, chỳng tụi d nh nghiờn cu cỏc sau õy: - Lut s ln i vi dóy v mng vộct ngu nhiờn; - Tc hi t lut s ln i vi cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr hoc cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr m; - nh lý gii hn trung tõm v lut loga lp i vi cỏc bin ngu nhiờn liờn kt õm 23 TI LIU THAM KHO [1] K Alam and K M L Saxena, Positive dependence in multivariate distributions, Comm Statist A-Theory Methods, 10 (1981), 11831196 [2] J I Baek, I B Choi and S L Niu, On the complete convergence of weighted sums for arrays of negatively associated variables, J Korean Statist Soc., 37 (2008), 7380 [3] L E Baum and M Katz, Convergence rates in the law of large numbers, Trans Amer Math Soc., 120 (1965), 108123 [4] P Erdăos, On a theorem of Hsu and Robbins, Ann Math Statistics, 20 (1949), 286291 [5] P Erdăos, Remark on my paper On a theorem of Hsu and Robbins, Ann Math Statistics, 21 (1950), 138 [6] N V Huan, N V Quang and N T Thuan, Baum-Katz type theorems for coordinatewise negatively associated random vectors in Hilbert spaces, Acta Math Hungar., 144 (2014), 132149 [7] P L Hsu and H Robbins, Complete convergence and the law of large numbers, Proc Nat Acad Sci U S A., 33 (1947), 2531 [8] K Joag-Dev and F Proschan, Negative association of random variables, with applications, Ann Statist., 11 (1983), 286295 [9] M H Ko, On the complete convergence for negatively associated random fields, Taiwanese J Math., 15 (2011), 171179 [10] M H Ko, T S Kim and K H Han, A note on the almost sure convergence for dependent random variables in a Hilbert space, J Theoret Probab., 22 (2009), 506513 24 [11] A Kuczmaszewska, On complete convergence in Marcinkiewicz-Zygmund type SLLN for negatively associated random variables, Acta Math Hungar., 128 (2010), 116130 [12] A Kuczmaszewska and Z A Lagodowski, Convergence rates in the SLLN for some classes of dependent random fields, J Math Anal Appl., 380 (2011), 571584 [13] T L Lai, Convergence rates and r-quick versions of the strong law for stationary mixing sequences, Ann Probability, (1977), 693706 [14] Y Miao, Hỏjek-Rộnyi inequality for dependent random variables in Hilbert space and applications, Rev Un Mat Argentina, 53 (2012), 101112 [15] G Pisier, Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces Probability and analysis, Lecture Notes in Math., 1206, Springer (Berlin, 1986) [16] Q M Shao, A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables, J Theoret Probab., 13 (2000), 343356 [17] S H Sung, On complete convergence for weighted sums of arrays of dependent random variables, Abstr Appl Anal., 2011, Art ID 630583, 11 pp [18] L V Thanh, On the almost sure convergence for dependent random vectors in Hilbert spaces, Acta Math Hungar., 139 (2013), 276285 [19] L X Zhang and J W Wen, A strong law of large numbers for B -valued random fields, Chinese Ann Math Ser A, 22 (2001), 205216 U BAN NHN DN THNH PH H CH MINH TRNG I HC SI GềN THUYT MINH TI NGHIấN CU KHOA HC CP C S M S (do cỏn b qun lý ghi) TấN TI Lut mnh s ln i vi cỏc bin ngu nhiờn cú cu trỳc ph thuc LNH VC NGHIấN CU T nhiờn Kinh t; XH-NV Giỏo dc x CS2014-34 LOI HèNH NGHIấN CU K thut Mụi trng Nụng Lõm ATL Y Dc S hu trớ tu C bn ng dng Trin khai x THI GIAN THC HIN 12 thỏng T thỏng 06 nm 2014 n thỏng 05 nm 2015 N V QUN Lí V CHUYấN MễN Khoa: Toỏn - ng dng T b mụn: Xỏc sut thng kờ CH NHIM TI H v tờn: Nguyn Vn Hun Nm sinh: 1980 Chc danh khoa hc: Hc v: TS n v cụng tỏc: Khoa Toỏn - ng dng a ch nh riờng: in thoi nh riờng: Di ng: 0917918008 E-mail: nguyenvanhuan@hotmail.com.vn NHNG THNH VIấN THAM GIA NGHIấN CU TI TT H v tờn n v cụng tỏc v lnh vc chuyờn mụn Ni dung nghiờn cu c th c giao TS Nguyn Vn Hun Khoa Toỏn - ng dng Ch trỡ ti, trc tip t chc v thc hin nghiờn cu ThS Trng Phỳc Tun Khoa Toỏn - ng dng Anh Nghiờn cu v cỏc bt ng thc moment ca cỏc bin ngu nhiờn liờn kt õm Ch ký N V PHI HP CHNH Tờn n v v ngoi trng Ni dung phi hp nghiờn cu H v tờn ngi i din n v 10 TNG QUAN TèNH HèNH NGHIấN CU THUC LNH VC CA TI TRONG V NGOI NC 10.1 Tỡnh hỡnh nghiờn cu thuc lnh vc ca ti: Lut mnh s ln l mt dng nh lý gii hn v s hi t hu chc chn ca trung bỡnh s hc ca cỏc bin ngu nhiờn Lut mnh s ln u tiờn c chng minh bi mt nh toỏn hc ngi Phỏp l Borel vo nm 1909 Kt qu ny ó c Kolmogorov hon thin Hsu v Robbins [7] ó gii thiu khỏi nim hi t y v chng minh rng dóy trung bỡnh s hc ca ca cỏc bin ngu nhiờn c lp, cựng phõn phi hi t y n giỏ tr k vng ca cỏc bin ngu nhiờn nu phng sai cỏc bin ngu nhiờn hu hn iu kin cn ó c chng minh bi Erds [3,4] Kt qu ca Hsu, Robbins v Erds tr thnh mt nh lý c s ca lý thuyt xỏc sut Mt kt qu quan trng m rng nh lý Hsu-Robbins-Erds c xut hin mt bi bỏo kinh in ca Baum v Katz [1] Cỏc tỏc gi ó s dng phng phỏp i xng húa thit lp nh lý ỏnh giỏ tc hi t lut s ln (nh lý Baum-Katz) Cỏc kt qu [1,3,4,7] ó m nhng hng nghiờn cu quan trng cú liờn quan n s hi t y v cỏc nh lý ỏnh giỏ v tc hi t lut mnh s ln Mt s kt qu gn õy cú th tỡm thy cỏc bi bỏo[2,5,6,8,10,11] Trong lý thuyt xỏc sut, tớnh c lp ca cỏc bin ngu nhiờn l mt tớnh cht mnh v l i tng nghiờn cu ch yu ca cỏc nh lý gii hn c in Bờn cnh cu trỳc c lp ca cỏc bin ngu nhiờn, nhiu kiu ph thuc khỏc ó c xột n nh ph thuc martingale, ph thuc Markov, m-ph thuc, m-ph thuc theo khi, ph thuc õm, ph thuc dng, liờn kt õm, liờn kt dng, Trong ti ny, chỳng tụi nghiờn cu v lut mnh s ln ca cỏc bin ngu nhiờn cú cu trỳc ph thuc nh m-ph thuc, ph thuc õm, liờn kt õm 10.2 Ti liu tham kho [1] Baum, L E., Katz, M., Convergence rates in the law of large numbers.Trans Amer Math Soc 120 (1965) 108-123 [2] Chen, P Y., Convergence rate of the Cesro strong law of large numbers for pairwise independent identically distributed random variables Acta Math Sinica 49 (2006), no 5, 1061-1066 [3] Erdửs, P On a theorem of Hsu and Robbins Ann Math Statistics 20 (1949) 286-291 [4] Erdửs, P., Remark on my paper On a theorem of Hsu and Robbins. Ann Math Statistics 21 (1950) 138 [5] Gut, A., Steinebach, J., Precise asymptotics - a general approach Acta Math Hungar 138 (2013), no 4, 365-385 [6] Gut, A., Stadtmỹller, U., An intermediate Baum-Katz theorem Statist Probab Lett 81 (2011), no 10, 1486-1492 [7] Hsu, P L., Robbins, H., Complete convergence and the law of large numbers Proc Nat Acad Sci U S A 33 (1947) 25-31 [8] Rosalsky, A., Thanh, L V and Volodin, A., On complete convergence in mean of normed sums of independent random elements in Banach spaces Stoch Anal Appl 24 (2006), no 1, 23-35 [9] Sung, S H., On complete convergence for arrays of dependent random variables.Comm Statist Theory Methods 41 (2012), no 9, 1663-1674 [10] Sung, S H., Ordúủez Cabrera, M and Hu, T C., On complete convergence for arrays of rowwise independent random elements J Korean Math Soc 44 (2007), no 2, 467-476 [11] Thanh, L V., Yin, G., Almost sure and complete convergence of randomly weighted sums of independent random elements in Banach spaces Taiwanese J Math 15 (2011), no 4, 1759-1781 [12] Wang, X., Li, X., Yang, W and Hu, S., On complete convergence for arrays of rowwise weakly dependent random variables Appl Math Lett 25(2012), no 11, 1916-1920 10.3 Danh mc cỏc cụng trỡnh ó cụng b thuc lnh vc ca ti ca ch nhim v nhng thnh viờn tham gia nghiờn cu: [1] Quang, N V., Huan, N V., On the weak law of large numbers for double arrays of Banach space valued random elements JPSS J Probab Stat Sci 6(2008), no 2, 125-134 [2] Quang, N V., Huan, N V., On the strong law of large numbers andLp-convergence for double arrays of random elements in p-uniformly smooth Banach spaces Statist Probab Lett 79 (2009), no 18, 1891-1899 [3] Quang, N V., Huan, N V.,A characterization of p-uniformly smooth Banach spaces and weak laws of large numbers for d-dimensional adapted arrays Sankhya A 72 (2010), no 2, 344-358 [4] Quang, N V., Huan, N V., A Hỏjek-Rộnyi-type maximal inequality and strong laws of large numbers for multidimensional arrays J Inequal Appl 2010, Art ID 569759, 14 pp [5] Huan, N V., Quang, N V and Volodin, A., Strong laws for blockwise martingale difference arrays in Banach spaces Lobachevskii J Math 31 (2010), no 4, 326-335 [6] Huan, N V.,The Hỏjek-Rộnyi inequality for M-dependent arrays and a general strong law of large numbers JPSS J Probab Stat Sci (2011), no 2, 119-126 [7] Huan, N V., Quang, N V.,The Doob inequality and strong law of large numbers for multidimensional arrays in general Banach spaces Kybernetika (Prague) 48 (2012), no 2, 254-267 [8] Huan, N V., Quang, N V and Thuan, N T., Baum-Katz type theorems for coordinatewise negatively associated random vectors in Hilbert spaces Acta Mathematica Hungarica (to appear) 11 TNH CP THIT CA TI Tớnh cht c lp l mt tớnh cht mnh lý thuyt xỏc sut v nhiu tỏc gi ó s dng phng phỏp i xng húa thit lp lut mnh s ln v cỏc nh lý ỏnh giỏ v tc hi t lut mnh s ln i vi cỏc bin ngu nhiờn c lp Tuy nhiờn, mt s kt qu cụng c s dng cho phng phỏp i xng húa ó khụng cũn ỳng iu kin c lp c thay th bi mt s iu kin yu hn Vỡ vy, cựng vi vic xut hin thờm cỏc cu trỳc ph thuc ca cỏc bin ngu nhiờn thỡ bi toỏn nghiờn cu v lut mnh s ln i vi cỏc cu trỳc ph thuc ny cng ó c t Chỳng tụi thy rng õy l mt hng nghiờn cu m v cú th tip tc nghiờn cu 12 MC TIấU TI Nghiờn cu v lut mnh s ln ca cỏc bin ngu nhiờn cú cu trỳc ph thuc nh m-ph thuc, ph thuc õm, liờn kt õm 13 I TNG, PHM VI NGHIấN CU, CCH TIP CN V PHNG PHP NGHIấN CU - i tng nghiờn cu: Lut mnh s ln - Phm vi nghiờn cu: Cỏc bin ngu nhiờn m-ph thuc, ph thuc õm, liờn kt õm - Phng phỏp nghiờn cu: S dng phng phỏp cht ct v phng phỏp dóy 14 NI DUNG NGHIấN CU V TIN THC HIN 14.1 Ni dung nghiờn cu Ni dung Nghiờn cu v cỏc bt ng thc moment i vi cỏc bin ngu nhiờn cú cu trỳc ph thuc nh: m-ph thuc, ph thuc õm, liờn kt õm,; Ni dung Nghiờn cu v s hi t hu chc chn ca cỏc bin ngu nhiờn cú cu trỳc ph thuc; Ni dung 3.Nghiờn cu v s hi t y ca cỏc bin ngu nhiờn cú cu trỳc ph thuc 14.2 Tin thc hin TT Cỏc ni dung, cụng victhc hin Sn phm Thi gian (06/2014-05/2015) Ngi thc hin Ni dung 1 chuyờn 06/2014-07/2014 Nguyn Vn Hun Trng Phỳc Tun Anh Ni dung chuyờn 08/2014-10/2014 Nguyn Vn Hun Ni dung chuyờn 11/2014-01/2015 Nguyn Vn Hun Bỏo cỏo khoa hc bui xemina 02/2015 Nguyn Vn Hun Hon thin bỏo cỏo bỏo cỏo 03/2015-05/2015 Nguyn Vn Hun Trng Phỳc Tun Anh 15 SN PHM 15.1 Loi sn phm: Bi bỏo khoa hc 15.2 Cỏc sn phm khỏc: 15.3 Tờn sn phm, s lng v yờu cu khoa hc i vi sn phm Stt Tờn sn phm S lng Yờu cu khoa hc Bỏo cỏo khoa hc cha ni - Bỏo cỏo khoa hc ỳng th thc 01 dung ca mt bi bỏo khoa hc - Bi bỏo cụng b trờn khoa hc 16 HIU QU V A CH NG DNG 16.1 Hiu qu ca ti - ti gúp phn to mt hng nghiờn cu mi cho ging viờn v sinh viờn Khoa Toỏn - ng dng, Trng i hc Si Gũn; - ti l mt ti liu tham kho cho sinh viờn, hc viờn cao hc chuyờn ngnh Lý thuyt xỏc sut v Thng kờ toỏn hc 16.2 a ch ng dng Khoa Toỏn - ng dng, Trng i hc Si Gũn 17 KINH PH THC HIN TI V NGUN KINH PH Tng kinh phớ: 20.000.000 (hai mi triu ng) Trong ú: Ngõn sỏch Nh nc: 20.000.000 Cỏc ngun kinh phớ khỏc: D trự kinh phớ theo cỏc mc chi (phự hp vi ni dung nghiờn cu): n v tớnh: ng Khon chi 1) Chi tin cụng: (ghi tng s theo mc ny) - iu tra, kho sỏt ban u, xõy dng cng, thuyt minh, - Lp phiu iu tra, cung cp thụng tin,thuờ cỏn b nghiờn cu thc a, - Thự lao ch nhim ti, qun lý chung 2.000.000 2) Chi phớ chuyờn mụn nghip v: (ghi tng s theo mc ny) - Dng c, nguyờn vt liu, phũng phm, ti liu phc v nghiờn cu, - Thuờ khoỏn thc hin ti, nghiờn cu chuyờn , phõn tớch mu thớ nghip, x lý s liu, - Bỏo cỏo tng kt ti, nghim thu, ỏnh giỏ, 14.000.000 3) Chi phớ khỏc: (ghi tng s theo mc ny) Cụng tỏc phớ, hi ngh, hi tho, in n, thuờ phng tin, a im nghiờn cu, Tng s Ngy thỏng 06 nm 2014 Xỏc nhn ca Khoa Toỏn - ng dng Kinh phớ 3.000.000 1.000.000 20.000.000 Ngy 04 thỏng 06 nm 2014 Ch nhim ti [...]... các cấu trúc phụ thuộc của các biến ngẫu nhiên thì bài toán nghiên cứu về luật mạnh số lớn đối với các cấu trúc phụ thuộc này cũng đã được đặt ra Chúng tôi thấy rằng đây là một hướng nghiên cứu mở và có thể tiếp tục nghiên cứu 12 MỤC TIÊU ĐỀ TÀI Nghiên cứu về luật mạnh số lớn của các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc như m -phụ thuộc, phụ thuộc âm, liên kết âm 13 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU, CÁCH... giới hạn cổ điển Bên cạnh cấu trúc độc lập của các biến ngẫu nhiên, nhiều kiểu phụ thuộc khác đã được xét đến như phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m -phụ thuộc, m -phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, liên kết âm, liên kết dương, Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu về luật mạnh số lớn của các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc như m -phụ thuộc, phụ thuộc âm, liên kết âm 10.2... CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Luật mạnh số lớn - Phạm vi nghiên cứu: Các biến ngẫu nhiên m -phụ thuộc, phụ thuộc âm, liên kết âm - Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp chặt cụt và phương pháp dãy con 14 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN ĐỘ THỰC HIỆN 14.1 Nội dung nghiên cứu Nội dung 1 Nghiên cứu về các bất đẳng thức moment đối với các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc như: m -phụ thuộc, phụ thuộc. .. tính chất mạnh trong lý thuyết xác suất và nhiều tác giả đã sử dụng phương pháp đối xứng hóa để thiết lập luật mạnh số lớn và các định lý đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên, một số kết quả công cụ sử dụng cho phương pháp đối xứng hóa đã không còn đúng khi điều kiện độc lập được thay thế bởi một số điều kiện yếu 3 hơn Vì vậy, cùng với việc xuất... 1−P 2 n Ak k=1 n P(Ak ) k=1 θP Ak k=1 2.2 Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến ngẫu nhiên hữu hạn Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨os [4,... tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau đây: - Luật số lớn đối với dãy và mảng véctơ ngẫu nhiên; - Tốc độ hội tụ trong luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập hoặc các biến ngẫu nhiên nhận giá trị mờ; - Định lý giới hạn trung tâm và luật loga lặp đối với các biến ngẫu nhiên liên kết âm 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Alam and K M L Saxena, Positive dependence in multivariate distributions,... bình số học của các biến ngẫu nhiên Luật mạnh số lớn đầu tiên được chứng minh bởi một nhà toán học người Pháp là Borel vào năm 1909 Kết quả này đã được Kolmogorov hoàn thiện Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng dãy trung bình số học của của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến. .. có cấu trúc phụ thuộc như: m -phụ thuộc, phụ thuộc âm, liên kết âm,…; Nội dung 2 Nghiên cứu về sự hội tụ hầu chắc chắn của các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc; Nội dung 3.Nghiên cứu về sự hội tụ đầy đủ của các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc 14.2 Tiến độ thực hiện TT Các nội dung, công việcthực hiện Sản phẩm Thời gian (06/2014-05/2015) Người thực hiện 1 Nội dung 1 1 chuyên đề 06/2014-07/2014... (định lý Baum-Katz) Các kết quả trong [1,3,4,7] đã mở ra những hướng nghiên cứu quan trọng có liên quan đến sự hội tụ đầy đủ và các định lý đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn Một số kết quả gần đây có thể tìm thấy trong các bài báo[2,5,6,8,10,11] Trong lý thuyết xác suất, tính độc lập của các biến ngẫu nhiên là một tính chất mạnh và là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của các định lý giới hạn... 22 (2001), 205–216 UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ 2 MÃ SỐ (do cán bộ quản lý ghi) 1 TÊN ĐỀ TÀI Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc 3 LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU Tự nhiên Kinh tế; XH-NV Giáo dục x CS2014-34 4 LOẠI HÌNH NGHIÊN CỨU Kỹ thuật Môi trường Nông Lâm ATLĐ Y Dược Sở hữu trí tuệ Cơ bản Ứng dụng